专题02 二次函数（期中专项训练，易错必刷91题18种题型）九年级数学上学期北京版

专题02 二次函数（易错必刷91题 18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · y=ax²的图像和性质 · y=ax²+k的图象和性质 · y=a(x-h)²的图象和性质 · y=a(x-h)²+k的图象和性质 · y=ax²+bx+c的图象和性质 · 二次函数图像与各项系数符号 · 函数图像综合判断 · 二次函数的对称性 · 二次函数的最值问题 · 二次函数图像的平移 · 待定系数法求函数解析式 · 函数与方程和不等式 · 特殊图形问题 · 面积问题 · 相似问题 · 其他问题 · 二次函数与实际问题 一、二次函数的定义（共3小题） 1．（23-24九年级上·北京东城·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是 ． 2．（23-24九年级上·北京石景山·期中）函数是二次函数，则 ． 3．（22-23九年级上·北京东城·期末）如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 二、未知（共7小题） 4．（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 5．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，，两点，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（22-23九年级上·北京昌平·期末）关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随增大而增大 7．（23-24九年级上·北京石景山·期中）已知点在抛物线图象上，则 ． 8．（23-24九年级上·北京东城·期中）点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＜”或“＝”） 9．（22-23九年级上·北京·期中）已知为抛物线上任意两点，且．若对于，都有，则a的取值范围是 10．（22-23九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是 ． 三、y（共6小题） 11．（23-24九年级上·北京西城·期中）一个二次函数满足过点，且开口向上，该二次函数可以为 ． 12．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 13．（23-24九年级上·北京房山·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 15．（22-23九年级上·北京东城·期中）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 16．（22-23九年级上·天津和平·阶段练习）已知，点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 四、未侵权知（共7小题） 17．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知在二次函数的图象上，则 （填“>”，“<”或“=”）． 18．（22-23九年级上·北京石景山·期中）若点，，在抛物线上，请将，，按从小到大的顺序用“＜”连接 ． 19．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 20．（22-23九年级上·北京大兴·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 21．（21-22九年级上·北京朝阳·期末）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 22．（21-22九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（   ） A． B． C． D． 23．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 五、顶点式（共8小题） 24．（23-24九年级上·北京丰台·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·北京·阶段练习）对于抛物线，下列判断正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 26．（22-23九年级上·北京·期中）平面上有一个图形与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形上，则称是“点与图形的联系点”，设抛物线：（为常数）顶点为，点关于轴的对称点为，若抛物线上存在点是点与图形的联系点，则所有可能的的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 27．（23-24九年级上·北京东城·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值为2 B．当时，有最大值为2 C．当时，有最小值为2 D．当时，有最大值为2 28．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为 30．（24-25九年级上·北京·开学考试）写出一个开口向下，顶点为的二次函数 ． 31．（23-24九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 六、一般是（共7小题） 32．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数化为的形式，则所得表达式为（    ） A． B． C． D． 33．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 34．（23-24九年级上·北京·期末）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ． 35．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：二次函数中的和满足下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)直接写出的值为______； (2)求这个二次函数的解析式； (3)当时，的取值范围为______． 37．（23-24九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 38．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 七、二次函数图像与各项系数符号（共6小题） 39．（23-24九年级上·北京延庆·期中）已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   40．（22-23九年级上·北京·期中）如图是二次函数的图像，有下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A． B． C． D． 41．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 42．（23-24九年级上·北京昌平·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 43．（22-23九年级上·北京·期中）已知二次函数的图像与轴交于和，其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④；⑤若点，，均在二次函数图像上，．其中一定正确的结论的序号是 ． 44．（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示.则下列结论中正确的有 . ①；②；③；④（t为实数）； ⑤点，，是该抛物线上的点，则 八、函数图像综合判断（共4小题） 45．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 46．（2012·江苏淮安·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 47．（23-24九年级上·北京丰台·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   48．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   九、二次函数的对称性（共5小题） 49．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于大于1的实数m，都有求的取值范围． 50．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 51．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时．求抛物线的对称轴； (2)已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存任，说明理由． 52．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 53．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时，写出m，t的之间的等量关系． (2)当时，均满足，求m的取值范围． 十、二次函数的最值问题（共5小题） 54．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（      ） A． B． C． D． 55．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 56．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示） ； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为 ． 57．（2022·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于，，都有，求t的取值范围． 58．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，存在，求的取值范围． 十一、二次函数图像的平移（共4小题） 59．（23-24九年级上·北京西城·期中）将抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 60．（23-24九年级上·北京西城·期中）把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 61．（23-24九年级上·北京西城·期中）将抛物线向上平移4个单位，再向左平移2个单位得到的二次函数的表达式为 ． 62．（23-24九年级上·北京东城·期中）把抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 十二、待定系数法求函数解析式（共7小题） 63．（23-24九年级上·北京西城·期中）抛物线过和，且对称轴为直线．现有下面四个推断：①若，则；②若，则；③若，则；④存在实数，使得为定值．其中推断正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 64．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 65．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线 (1)若此抛物线过点，，求抛物线的解析式 (2)当时，对任意x值，都有，结合图象，直接写出k的取值范围． 66．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 67．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知二次函数的图像经过，，三点，求这个函数的表达式． 68．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点C的坐标． 69．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)已知，是抛物线上的两点，根据图象分析，若，则的取值范围是______． 十三、函数与方程和不等式（共11小题） 70．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 71．（22-23九年级上·北京西城·期末）现有函数：，如果对于任意实数n，都存在实数m，使得当时，，那么实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 72．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ． 73．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 74．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 75．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： (1)点A、B、C的坐标； (2)的面积． 76．（22-23九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系，已知点为抛物线上任意两点，其中 (1)求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）； (2)当M，N的坐标分别为时，求m的值； (3)若对于，都有，求m的取值范围， 77．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 78．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 79．（23-24九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 80．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 十四、特殊图形问题（共1小题） 81．（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 十五、面积问题（共1小题） 82．（23-24九年级上·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的值； ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 十六、相似问题（共1小题） 83．（20-21九年级上·北京·期末）如图，抛物线与直线y=mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标； （3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标． 十七、其他问题（共2小题） 84．（21-22九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，． （1）若， ①点A到轴的距离为_______； ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离； （2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围． 85．（20-21九年级上·北京石景山·期末）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义： 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点． 例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点． （1）已知：，，点， ① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________； ② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围． （2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________． 十八、二次函数与实际问题（共6小题） 86．（22-23九年级上·北京通州·期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 87．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 88．（21-22九年级上·北京昌平·期末）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元） （1）求出w与x的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 89．（23-24八年级下·北京海淀·期末）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．    通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示： 表1直发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 … （dm） 4 … 表2间发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … （dm） 0 … 根据以上信息，回答问题： (1)表格中______，______； (2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）． 90．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 91．（22-23九年级上·北京西城·期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m． (1)点的坐标是_____，点的坐标是_______； (2)求满足的函数关系； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． $$专题02 二次函数（易错必刷91题 18种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！9 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次函数的定义 · y=ax²的图像和性质 · y=ax²+k的图象和性质 · y=a(x-h)²的图象和性质 · y=a(x-h)²+k的图象和性质 · y=ax²+bx+c的图象和性质 · 二次函数图像与各项系数符号 · 函数图像综合判断 · 二次函数的对称性 · 二次函数的最值问题 · 二次函数图像的平移 · 待定系数法求函数解析式 · 函数与方程和不等式 · 特殊图形问题 · 面积问题 · 相似问题 · 其他问题 · 二次函数与实际问题 一、二次函数的定义（共3小题） 1．（23-24九年级上·北京东城·期中）若关于的函数是二次函数，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的定义列不等式求解即可． 【详解】∵函数是关于x的二次函数， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如（是常数，）的函数，叫做二次函数是解题的关键． 2．（23-24九年级上·北京石景山·期中）函数是二次函数，则 ． 【答案】1 【分析】根据二次函数的定义，即可解答． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，解得：， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数． 3．（22-23九年级上·北京东城·期末）如图，正方形和的周长之和为，设圆的半径为，正方形的边长为，阴影部分的面积为．当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，一次函数关系 B．一次函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，二次函数关系 D．二次函数关系，一次函数关系 【答案】B 【分析】根据圆的周长公式和正方形的周长公式先得到，再根据得到，由此即可得到答案． 【详解】解：∵正方形和的周长之和为，圆的半径为，正方形的边长为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴y与x，S与x满足的函数关系分别是一次函数关系，二次函数关系， 故选B． 【点睛】本题考查二次函数与一次函数的识别、正方形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解答的关键． 二、未知（共7小题） 4．（20-21九年级上·北京房山·期中）二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（    ） A．1，4，3 B．0，4，3 C．1，-4，3 D．0，-4，3 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义：一般地，形如的函数，叫做二次函数．其中x，y是变量，是常量， a是二次项系数， b是一次项系数， c是常数项作答． 【详解】解：解:二次函数的二次项系数是1，一次项系数是，常数项是3． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的定义，关键是注意在找二次项系数， 一次项系数和常数项时，不要漏掉符号． 5．（22-23九年级上·北京·期中）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，，，两点，若，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】通过比较点和点到轴的距离的远近判断与的大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为轴， 而，到轴的距离比，点到轴的距离要远， 所以． 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．利用二次函数的图象比较二次函数值的大小比较简便． 6．（22-23九年级上·北京昌平·期末）关于四个函数，，，的共同点，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．都有最低点 C．对称轴是轴 D．随增大而增大 【答案】C 【分析】根据a值得函数图象的开口方向，从而判定A；根据a值得函数图象的开口方向，即可得出函数有最高点或电低点，从而判定B；根据函数的对称轴判定C；根据函数的增减性判定D． 【详解】解：A．函数与的开口向下，函数与开口向上， 故此选项不符合题意； B．函数与的开口向下，有最高点；函数与开口向上，有最低点， 故此选项不符合题意； C．函数，，，的对称轴都是y轴，故此选项符合题意； D．函数与，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小；函数与，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大；故此选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查函数图象性质，熟练掌握函数的图象性质是解题的关键． 7．（23-24九年级上·北京石景山·期中）已知点在抛物线图象上，则 ． 【答案】1 【分析】将代入抛物线，进行计算即可得到答案． 【详解】解：点在抛物线图象上， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数图象上的点满足该解析式是解此题的关键． 8．（23-24九年级上·北京东城·期中）点，在抛物线上，则 （填“＞”，“＜”或“＝”） 【答案】< 【分析】根据二次函数的图象和性质得出抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下，比较即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线，抛物线的开口向下， 故答案为：<． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质等知识点，能熟记二次函数的图象和性质的内容是解此题的关键． 9．（22-23九年级上·北京·期中）已知为抛物线上任意两点，且．若对于，都有，则a的取值范围是 【答案】或 【分析】由点M、N是抛物线上的点得到、，然后代入，中，结合和求出a的取值范围． 【详解】解：因为为抛物线上任意两点， 所以、， 代入，得， 所以， 因为， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，且， ∴， ∴或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，根据题意列出关于a的不等式是解题的关键． 10．（22-23九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，若抛物线与线段有公共点，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】分别把A、B点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 【详解】解：把代入得； 把代入得， ∴a的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 三、y（共6小题） 11．（23-24九年级上·北京西城·期中）一个二次函数满足过点，且开口向上，该二次函数可以为 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质，开口向上，要求即可． 【详解】解：∵开口向上， ∴， 且与y轴的交点为， ∴函数解析式可以为：（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 12．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知抛物线，直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，组成图形G． 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上，则a的取值范围是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，轴对称的性质，本题先画出函数的简易图象，计算当的函数值，对折后可得函数值取全体实数，从而可得的范围． 【详解】解：如图，把代入， ∴， 由图象可得直线，将抛物线在直线l左侧的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变， 如果对于任意的实数n，都存在实数m，使得点在G上， ∴； 故选A 13．（23-24九年级上·北京房山·期中）抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握形如的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选C． 14．（23-24九年级上·全国·课后作业）二次函数的图象经过的象限为（    ） A．第一、二象限 B．第二、四象限 C．第三、四象限 D．第一、三象限 【答案】C 【分析】根据二次函数的各项的系数即可判断二次函数的图象位置． 【详解】解：∵二次函数，二次项系数为，一次项系数为，常数项为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，顶点为， ∴二次函数的图象经过第三、四象限． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是能够根据二次函数的各项的系数的符号确定二次函数的图象位置． 15．（22-23九年级上·北京东城·期中）已知点，都在二次函数图象上，则，大小关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据解析式求得开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可判断． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而减小， ∵与点关于直线对称，且， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的图象与性质． 16．（22-23九年级上·天津和平·阶段练习）已知，点，，都在函数的图象上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出抛物线的对称轴，抛物线的对称轴为y轴，即直线，图象开口向上，当时，，在对称轴左边，y随x的增大而减小，由此可判断的大小关系． 【详解】解：∵当时，， 而抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴三点都在对称轴的左边，y随x的增大而减小， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次函数图象上点的坐标特点，当二次项系数时，在对称轴的左边，y随x的增大而减小，在对称轴的右边，y随x的增大而增大；时，在对称轴的左边，y随x的增大而增大，在对称轴的右边，y随x的增大而减小． 四、未侵权知（共7小题） 17．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知在二次函数的图象上，则 （填“>”，“<”或“=”）． 【答案】 【分析】分别计算自变量为、1时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，， 当时，， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上的点的坐标满足其解析式，也考查了有理数的比较大小． 18．（22-23九年级上·北京石景山·期中）若点，，在抛物线上，请将，，按从小到大的顺序用“＜”连接 ． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质得到抛物线的开口向上，对称轴为直线，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小． 【详解】解∶抛物线的开口向上，对称轴为直线，而离直线的距离最远，点离直线最近， ． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了利用二次函数的性质比较函数值的大小.一般情况下我们可以采用两种方法：①是先判断二次函数的开口方向，然后三个点离对称轴的远近判断函数值的大小；②是将三个点的横坐标代入二次函数的解析式中比较函数值的大小. 19．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：的对称轴为直线，，开口向上， 当时，最小为， 又∵， ∴时，最大为 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性． 20．（22-23九年级上·北京大兴·期中）已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别计算自变量为2、1、对应的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， 所以 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式． 21．（21-22九年级上·北京朝阳·期末）对于二次函数的图象的特征，下列描述正确的是（    ） A．开口向上 B．经过原点 C．对称轴是y轴 D．顶点在x轴上 【答案】D 【分析】根据二次函数的性质判断即可． 【详解】在二次函数中， ∵， ∴图像开口向下，故A错误； 令，则， ∴图像不经过原点，故B错误； 二次函数的对称轴为直线，故C错误； 二次函数的顶点坐标为， ∴顶点在x轴上，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，掌握二次函数相关性质是解题的关键． 22．（21-22九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系xOy中，下列函数的图象经过点的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用时，求函数值进行一一检验是否为0即可． 【详解】A.当时，，图象过点，选项A不合题意； B.当时，，图象过点，选项B合题意； C.当时，，图象过点，选项C不合题意； D.当时，无意义，选项D不合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查求函数值，识别函数经过点，掌握求函数值的方法，点在函数图像上点的坐标满足函数解析式是解题关键． 23．（24-25九年级上·北京东城·开学考试）对于二次函数，下列说法错误的是（    ） A．它的图象的开口向下 B．它的图象的对称轴是直线 C．当时，y取最大值 D．当时，y随x的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质逐项判断即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴它的图象的开口向下，故该选项正确，不符合题意； B、它的图象的对称轴是直线，故该选项错误，符合题意； C、当时，y取最大值，故该选项正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而减小，故当时，y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意； 故选：B． 五、顶点式（共8小题） 24．（23-24九年级上·北京丰台·期末）抛物线的顶点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线的顶点式及顶点坐标；根据二次函数的顶点式，顶点坐标为，即可解答． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：B． 25．（24-25九年级上·北京·阶段练习）对于抛物线，下列判断正确的是（    ） A．抛物线的开口向上 B．对称轴为直线 C．抛物线的顶点坐标是 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．根据二次函数解析式结合二次函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：A、∵，∴抛物线的开口向下，本选项不符合题意； B、抛物线的对称轴为直线，本选项符合题意； C、抛物线的顶点坐标是，本选项不符合题意； D、因为开口向下，抛物线的对称轴为直线，所以当时，随的增大而减小，本选项不符合题意． 故选：B． 26．（22-23九年级上·北京·期中）平面上有一个图形与图形外一点，当时，的坐标为，当时，的坐标为，若点在图形上，则称是“点与图形的联系点”，设抛物线：（为常数）顶点为，点关于轴的对称点为，若抛物线上存在点是点与图形的联系点，则所有可能的的和为（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数顶点式的性质，以及新概念的理解．根据抛物线的表达式可知，可得，当时，的坐标为，当时，的坐标为，分别求出的值，再求出的和即可． 【详解】解：∵抛物线：（为常数）顶点为， ∴， ∵点关于轴的对称点为， ∴， ∴当时，的坐标为，当时，的坐标为， ∴当的坐标为时，则，， 此时，，解得（舍），， 当的坐标为时，则，， 此时，，解得，， ∴所有可能的的和为， 故选：B． 27．（23-24九年级上·北京东城·期末）关于二次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时，有最小值为2 B．当时，有最大值为2 C．当时，有最小值为2 D．当时，有最大值为2 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以写出该函数最值，明确二次函数的性质是解答本题的关键． 【详解】解：∵， ∴该函数图像开口向上，对称轴为， 当时，取得最小值2， 故选：A． 28．（23-24九年级上·北京海淀·开学考试）已知y是关于x的二次函数，部分y与x的对应值如下表所示： x … a 2 … y … 1 1 6 … 则当时，y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次函数的图像与性质，先根据表格得到对称轴，以及顶点，进而得到的值，然后再随便代入一个点即可得到的值，再根据图像的性质得到取值范围，考虑对称轴处取得最值是解题的关键． 【详解】解：设一元二次函数为， 由表格可知与关于对称轴对称， ∴对称轴为， 即， 又由表格可知当时，， 即， ∴解析式为：， 将表格中已知的点代入可解得， ∴该一元二次函数解析式为：， 当时，在对称轴处取得最小值，在处取得最大值， 当时，， ∴此时的取值范围为， 故选：A． 29．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知二次函数，当时，函数值y的取值范围为 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根据题意得当时，y随x的增大而增大，求得当时，；时，，即可求解． 【详解】解：由题意得，，对称轴， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵当时，；时，， ∴当时，函数值y的取值范围为， 故答案为：． 30．（24-25九年级上·北京·开学考试）写出一个开口向下，顶点为的二次函数 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，因为顶点为，所以设，因为开口向下，所以，据此即可作答． 【详解】解：∵顶点为 ∴设二次函数的解析式 ∵开口向下， ∴ ∴ 故答案为： 31．（23-24九年级上·北京大兴·期末）在平面直角坐标系中，若点，在抛物线上，则 （填“”，“ ”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点坐标的特征，解题的关键是把的值代入二次函数解析式，求出对应的值再比较即可． 【详解】点，在抛物线上， ；， ； 故答案为：． 六、一般是（共7小题） 32．（23-24九年级上·北京顺义·期末）将二次函数化为的形式，则所得表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了将二次函数解析式化为顶点式，解题的关键是熟练掌握将二次函数解析式化为顶点式的方法和步骤，以及完全平方公式． 【详解】解：， 故选：B． 33．（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）已知是二次函数的图像上的三个点，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次函数的函数值大小，根据二次函数的增减性，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴； 故选：D． 34．（23-24九年级上·北京·期末）已知某二次函数，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大，请写出一个符合条件的二次函数解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据“当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大”确定对称轴和开口方向，然后写出满足条件的一个二次函数的解析式即可． 【详解】解：∵当时y随x增大而减小； 当时y随x增大而增大， ∴对称轴为，开口向上， ∴符合条件的二次函数可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 35．（23-24八年级下·北京·期末）对于二次函数，当时，随的增大而减小，那么的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，理解二次函数图像的性质是解题的关键．根据题意知抛物线开口向下，只有抛物线的对称轴小于或等于时，满足当时，随的增大而减小，由此即可求解． 【详解】解：二次函数，开口向下，对称轴为直线， 时，满足当时，随的增大而减小， 故答案为：． 36．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知：二次函数中的和满足下表： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 0 0 8 … (1)直接写出的值为______； (2)求这个二次函数的解析式； (3)当时，的取值范围为______． 【答案】(1)3 (2)（或） (3) 【分析】本题考查待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的性质，正确求得二次函数解析式是解答的关键． （1）根据表格数据及二次函数的对称性求解即可； （2）利用待定系数法求解二次函数解析式即可； （3）根据二次函数的对称性和增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据表格数据，当和时，， 该二次函数图象的对称轴为直线， ∴当和时，， ∴， 故答案为：3； （2）解：根据表格数据，该二次函数图象的顶点坐标为， 故设该二次函数的解析式为， 将，代入，得，解得， ∴该二次函数的解析式为（或）； （3）解：由得：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y取最大值，最大值为， 当时，y取最小值，最小值为， ∴当时，y的取值范围为， 故答案为：． 37．（23-24九年级上·北京·期末）已知二次函数． (1)甲说：该二次函数图象必经过点；乙说：若图象的顶点在x轴上，则；你觉得他们的结论对吗？请说明理由． (2)若抛物线经过，两点，求证：． 【答案】(1)甲和乙的说法都不对，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． （1）先判断甲乙的说法，然后根据题意和二次函数的性质，说明理由即可； （2）根据抛物线经过，两点，可以得到、与的关系，然后根据二次函数的性质，即可得到． 【详解】（1）解：甲和乙的说法都不对， 理由：当时， ，故甲的说法不对； 令， 解得，，， 故乙的说法不对； （2）证明：抛物线经过，两点， ， ， ， 即． 38．（2024·北京延庆·模拟预测）在平面直角坐标系中，点，点在抛物线上．设抛物线的对称轴为直线． (1)若，求t的值； (2)点在该抛物线上，若对于都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数性质，熟悉相关结论是解题关键． （1）由题意得，据此即可求解； （2）分类讨论①当时，②当时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：点，点在抛物线上， 且，抛物线的对称轴为， ， ． （2）解：点，点，点在抛物线上， ，，． 且． ①当时，有， ②当时，有， ． ． ． ． 综上：． 七、二次函数图像与各项系数符号（共6小题） 39．（23-24九年级上·北京延庆·期中）已知二次函数，其中，，则该函数的图象可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】利用排除法，由得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和C选项，根据B选项和D选项中对称轴，得出，抛物线开口向下，即可得出结果． 【详解】解：对于二次函数， 令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为 ∵， ∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上， ∴可以排除A选项和C选项； B选项和D选项中，抛物线的对称轴， ∵ ， ∴， ∴抛物线开口向下，可以排除B选项， 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键． 40．（22-23九年级上·北京·期中）如图是二次函数的图像，有下列结论：①；②；③；④；⑤其中正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由抛物线开口方向得，由抛物线的对称轴得到，则可对①进行判断；由时函数值为负数，可对②进行判断；由，得到，则可对⑤进行判断；由时，，和得到，则可对③进行判断；由时，，可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，所以①正确； ∵时，， ∴，所以②正确； ∵， ∴，所以⑤正确； 而时，，即， ∴， ∴，所以③错误； ∵时，， ∴， ∴，所以④正确． 所以①②④⑤均正确，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与系数的关系：对于二次函数，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即），对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于．抛物线与x轴交点个数由决定：时，抛物线与x轴有2个交点；时，抛物线与x轴有1个交点；时，抛物线与x轴没有交点． 41．（23-24九年级上·北京大兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，．给出下面三个结论：①；②；③关于的一元二次方程有两个异号实数根．上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②③/③② 【分析】本题主要考查图像与二次函数系数之间的关系，由函数图象过点，列方程组判断①，由顶点的性质即可判断②，根据直线在直线的下面，即可判断③． 【详解】∵二次函数的图象经过点，． ∴， 解得，故①错误； ∵， ∴， ∴直线， ∴当时，有最大值， ∴， 即，故②正确； ∵，， ∴直线在直线的下面， ∵当时，， ∴直线于抛物线的交点的在轴的两侧， 故关于的一元二次方程有两个异号实数根，故③正确， 故答案为：②③． 42．（23-24九年级上·北京昌平·期末）已知抛物线（a，b，c为常数，）的对称轴是直线，其部分图象如图，则以下四个结论中：①；②；③；④．其中，正确结论的序号是 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，①根据抛物线开口向下可得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴正半轴相交，得，进而即可判断； ②根据抛物线对称轴是直线，即，可得进而可以判断；③当时，，即，根据,可得，即可判断；④根据顶点坐标和进而可以判断． 【详解】解：①根据抛物线开口向下可知：， ∵对称轴在y轴右侧，即：， ∴， ∵抛物线与y轴正半轴相交， ∴， ∴， ∴①错误； ②∵抛物线对称轴是直线，即， ∴ ∴，故②正确； ③由图象知，与关于对称轴对称， 当时，， 即， ∵, ∴，故③正确； ④∵, ∴， 如果, 那么, ∵， ∴, 根据抛物线与y轴的交点，可知， ∴结论④正确． 故答案为：②③④． 43．（22-23九年级上·北京·期中）已知二次函数的图像与轴交于和，其中，与轴交于正半轴上一点．下列结论：①；②；③；④；⑤若点，，均在二次函数图像上，．其中一定正确的结论的序号是 ． 【答案】①④#④① 【分析】根据坐标轴的交点判断出①，根据图像与轴交于两点判断②，根据对称轴和开口方向即可判断③，根据二次函数轴交于和，其中，得出和，即可判断④和⑤． 【详解】解：∵二次函数与轴交于和，其中，与轴交于正半轴上一点， ∴，故①正确； ∵二次函数图像与x轴有两个交点， ∴， ∵ ∴，故②错误； ∵二次函数与轴交于和，其中， ∴， ∴，故③错误； ∵二次函数与轴交于， ∴， ∴ ∵二次函数的与轴交于，其中， ∴当时，， ∴， 又∵， ∴， ∴，故④正确； ∵二次函数与轴交于和，其中， ∴与的大小不能判断，故⑤错误； 故答案为：①④ 【点睛】本题考查了二次函数的图像和系数的关系，结论④的判断有点难度，先根据与x轴的交点坐标求出是关键．根据图像与坐标轴的交点坐标判断出a是负数是解题的关键． 44．（22-23九年级上·北京朝阳·阶段练习）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和之间，其部分图象如图所示.则下列结论中正确的有 . ①；②；③；④（t为实数）； ⑤点，，是该抛物线上的点，则 【答案】①②③ 【分析】根据抛物线解析式以及二次函数图像性质分别判断每个结论即可求解． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴， 根据图形可得抛物线的对称轴小于0， ∴， ∴， 根据抛物线的图象和对称性可知，当x=0时，函数值小于0， ∴， ∴，故①正确； ②根据图象可得，抛物线与x轴交点有两个， ∴， ∴，故②正确； ③∵抛物线的对称轴为直线， ∴，故③正确； ④由于抛物线的对称轴为直线，抛物线开口向下， ∴当时，函数取最大值， ∴， ∴，即（t为实数），故④错误； ⑤∵抛物线的对称轴， ∴， 又∵抛物线的开口向下，点到对称轴的距离比点近，点到对称轴的距离比点近， ∴，故⑤错误． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 八、函数图像综合判断（共4小题） 45．（23-24八年级下·北京海淀·期末）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题综合考查了一次函数图象与二次函数图象；根据两个函数图象的特征结合各项系数进行分析即可． 【详解】解：A、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都一致，故符合题意； B、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； C、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，c的符号不一致，故不符合题意； D、由二次函数图象知，，即；由一次函数图象知，，a、c的符号都不一致，故不符合题意； 故选：A． 46．（2012·江苏淮安·一模）在同一平面直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数及一次函数的图象的性质，可先由一次函数图象得到字母系数的正负，再与二次函数的图象相比较看是否一致，反之也可，用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下． 【详解】解：A、由一次函数的图象可知 由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项不符合题意； B、由一次函数的图象可知 ，由二次函数的图象可知，两者相吻合，故选项符合题意； C、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； D、由一次函数的图象可知由二次函数的图象可知，两者相矛盾，故选项符合题意； 故选：B． 47．（23-24九年级上·北京丰台·阶段练习）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】B 【分析】一次函数，，则图像过一三象限，，则图像过二四象限，二次函数，时开口朝上，时开口朝下，根据特点逐项分析即可． 【详解】解：A、一次函数过二四象限，即，二次函数开口朝上，即，矛盾，该选项不符合题意； B、一次函数过一三象限，即，二次函数开口朝上，即，该选项符合题意； C、一次函数过一三象限，即，二次函数开口朝下，即，矛盾，该选项不符合题意； D、一次函数过一三象限，即，二次函数开口朝下，即，矛盾，该选项不符合题意； 故答案选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与二次函数的性质特点，准确分析是解题的关键． 48．（23-24九年级上·北京西城·阶段练习）在同一直角坐标系中，函数和函数是带数，且的图象可能是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】首先先确定的正负，对于二次函数的开口方向以及对称轴分析． 【详解】解：由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，故选项A正确； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，与图像不符，故选项B错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝上，对称轴，故对称轴在轴左侧，与图像不符，故选项C错误； 由函数的图像可知，即函数开口方向朝下，与图像不符，故选项D错误； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数和二次函数的图像性质以及分析能力和读图能力，熟练掌握一次函数和二次函数的图像性质是解题的关键． 九、二次函数的对称性（共5小题） 49．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，点在抛物线上． (1)当时，求的值； (2)若对于大于1的实数m，都有求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟悉二次函数的性质质以及分类讨论是解题的关键． （1）把代入，求得两点坐标，即可根据二次函数的对称性质求解； （2）根据二次函数的增减性质求解即可． 【详解】（1）解：当时， 抛物线经过和 抛物线对称轴为 （2）解：依题意，点在抛物线上 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大， 当时，都有 若时， 当时，都有 时，都有 当时，对于都有 当时，不合题意，舍去． 当时，不合题意，舍去． 综上所述，的取值范围是 50．（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，其中． (1)若抛物线经过点， ①求抛物线的对称轴； ②当时，比较，的大小，并说明理由； (2)设抛物线的对称轴为直线，若存在实数m，当时，，，都有，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)；，理由见解析 (2) 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，运用数形结合与分类讨论思想解题是解题的关键． （1）①利用抛物线经过点和点，函数值相等的两点连线的垂直平分线即为对称轴，即可得解； ②分当时和当时两种情况讨论，证明点比点离对称轴更近即可得解； （2）利用，开口向上得出，从而得到，结合“存在实数，当时，都有”得到，根据当时，有最小值，得出，从而得解． 【详解】（1）解：①∵抛物线经过点和点， ∴抛物线的对称轴是：直线， ②，理由如下： ∵， ∴离对称轴越近，函数值越小， ∵，， ∴， ∴， 当时，， 即点比点离对称轴更近， ∴， 当时， ∵ ∴， 即点比点离对称轴更近， ∴， 综上所述：． （2）∵即，开口向上， ∴， ∴ ， ∵， ∴随着m的增大而增大， 要使得存在实数，当时，都有， 只需保证， 即当时，， ∴的取值范围是． 51．（2024·北京海淀·一模）在平面坐标系中，点在抛物线上，其中． (1)当，时．求抛物线的对称轴； (2)已知当时，总有． ①求证：； ②点，在该抛物线上，是否存在a，b，使得当时，都有？若存在，求出与之间的数量关系；若不存任，说明理由． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线 (2)①证明见解析；②存在，，理由见解析 【分析】（1）将点代入，求出、的关系式，根据对称轴公式，即可求解， （2）①方法一：求出抛物线与轴交点，根据的符号分类讨论，即可求解，方法二：将代入，，根据，，得到，即可求解， （3）设抛物线的对称轴为，则，由，得到，，根据的范围，二次函数的增减性，分情况讨论即可求解， 本题考查了，求抛物线的对称轴，二次函数的增减性，解题的关键是：熟练掌握二次函数的增减性． 【详解】（1）解：由题意可知，点在抛物线上， ， ， ， 抛物线的对称轴为直线； （2）解：①方法一： 令，则， 解得：或， 抛物线与轴交于点，， ， 抛物线开口向上， （i）当时，， 当时，；当或时，， 当时，总有， ， ， ， （ii）当时，， 当时，；当或时，， 当时，，不符合题意， 综上，， 方法二： 由题意可知，． 若，则． ， ． ， ． 当时，． 当时，总有． ． ， ， ②存在， 设抛物线的对称轴为，则， ， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小， ， ，， （i）当时， ， ，符合题意， （ii）当时， 当时， ， ， 当时， 设点关于抛物线对称轴的对称点为点， 则，， ， ，， ， ， ， ， ， 当时，符合题意， （iii）当时， 令，，则，不符合题意， （iv）当时， 令，则， ，不符合题意， （v）当时， ， ，不符合题意， 当，即时，符合题意， ， ， 由（1）可得， ． 52．（2024·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，点和点在抛物线（）上，设抛物线的对称轴为． (1)若，，求t的值； (2)已知点，在该抛物线上，若，，比较，的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是明确题意，利用二次函数的对称性计算是解题的关键． （1）把点和点代入得出关于、的二元一次方程组，解方程组求出、的值，根据对称轴方程即可得答案； （2）根据得出当时，y随x的增大而增大，判断出，在对称轴的左侧，根据二次函数的对称性得出点关于对称轴的对称点坐标为，点关于对称轴的对称点坐标为，进而得出即可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴把点和点代入得：， 解得：， ∵对称轴为， ∴． （2）∵， ∴当时，y随x的增大而增大． 令，得， ∴抛物线与y轴交点坐标为． ∵，，， ∴，在对称轴的左侧， 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ∵， ． ． 点在对称轴左侧，点在对称轴右侧． 设点关于对称轴的对称点坐标， ． ． ∴点关于对称轴的对称点坐标为． ． ． 53．（2024·北京通州·一模）在平面直角坐标系中，，是抛物线上两点，且满足．设抛物线的对称轴为直线． (1)当时，写出m，t的之间的等量关系． (2)当时，均满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像上点的坐标特征，二次函数图像的对称性等知识． （1）根据抛物线关于对称轴对待的性质，点M、N到对称轴的距离相等，即可求得m，t的之间的等量关系； （2）将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为．根据，分别考虑及时 m的范围，最后取两个范围的公共部分即可． 【详解】（1）解：点，是抛物线上两点， 当时，点和点关于抛物线的对称轴直线对称， ， ． （2）解：将点到对称轴的距离记为，点到对称轴的距离记为，抛物线与轴交点记为点，到对称轴的距离记为． ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ， ， ， ， 当时，均满足， ， ，， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即， ， ， ； 当时，均满足， ， 综上，． 十、二次函数的最值问题（共5小题） 54．（23-24九年级下·北京·阶段练习）若二次函数的最小值是非负数，则实数取值范围为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质及解不等式，先把二次函数化为顶点式，再列不等式求解即可． 【详解】解：， ∵二次函数的最小值是非负数， ∴． ∴． 故选D． 55．（23-24九年级上·北京朝阳·期中）已知二次函数（m为常数），当时，函数值y的最小值为，则m的值是（　　） A． B．1 C．2或 D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题．先求得抛物线对称轴，分和，两种情况进行分析，求得m的值即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时，抛物线的开口向上， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴， 解得． ②当时，抛物线的开口向下， ∵当时，函数值y的最小值为， ∴当时，， ∴，解得： 故选：C． 56．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，已知二次函数． （1）该二次函数的顶点坐标 （用含 的代数式表示） ； （2）若对于点 总有 ，则满足条件的最大整数的值为 ． 【答案】 ； ． 【分析】（）把配成顶点式即可； （）利用二次函数性质求最值即可； 此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握图象及其性质的应用． 【详解】解：（）由二次函数得， ， ∴顶点坐标为：， 故答案为：； （）由（）得：顶点坐标为， ∴，即， 则满足条件的最大整数的值为， 故答案为：． 57．（2022·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含t的代数式表示）； (2)点，在抛物线上，其中，． ①若的最小值是，求的最大值； ②若对于，，都有，求t的取值范围． 【答案】(1) (2)①2；②或． 【分析】（1）将抛物线的解析式配成顶点式，即可写成答案； （2）①先确定出当时，的最小值为，进而求出，再判断出当时，取最大值，即可求出答案； ②先由得出，最后分两种情况，利用，，即可求出答案． 此题是二次函数综合题，主要考查了配方法，函数值的确定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 【详解】（1）解： ， 抛物线的顶点坐标为； （2）解：①， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线开口向上， ， 当时，的最小值为， 的最小值是， ， ，， 当时，， 即的最大值为2； ②点，，，在抛物线上， ，， 对于，，都有， ， ， Ⅰ、当时， 由①知，， ，， ， ， 由②知，， ，， ， ， ， 即； Ⅱ、当时， 由得：， ，， ， ， 由知，， ，， ， ， ， 即； 即满足条件的的取值范围为或． 58．（23-24九年级上·北京朝阳·期末）在平面直角坐标系中，点在抛物线上，设抛物线的对称轴为． (1)若对于，，有，求的值； (2)若对于，，存在，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的取值范围是 【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键． （1）根据二次函数的性质求的对称轴即可求解． （2）根据题意可得当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，设抛物线上的四个点的坐标为，，，可得，分情况讨论是否存在即可解答． 【详解】（1）解：由题意知，． ． ． （2）， 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 设抛物线上的四个点的坐标为，，，． 点A关于对称轴的对称点为． 抛物线开口向上，点是抛物线顶点， ． ⅰ．当时，． ． ． 不存在，不符合题意． ⅱ．当时，． ． ． 存在，符合题意． ⅲ．当时， 的最小值为． ， 存在，符合题意． ⅳ．当时，． ． ． 存在，符合题意． ⅴ．当时，． ． ． 不存在，不符合题意． 综上所述，的取值范围是． 十一、二次函数图像的平移（共4小题） 59．（23-24九年级上·北京西城·期中）将抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用规律求函数解析式． 【详解】解：抛物线向上平移2个单位，再向左平移3个单位，所得抛物线的解析式为， 故选D． 60．（23-24九年级上·北京西城·期中）把抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的平移，熟练掌握左加右减，上加下减，是解题的关键． 【详解】根据题意，得， 故答案为：． 61．（23-24九年级上·北京西城·期中）将抛物线向上平移4个单位，再向左平移2个单位得到的二次函数的表达式为 ． 【答案】 【分析】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式,按照“左加右减，上加下减”的规律即可求得． 【详解】解：向上平移4个单位，再向左平移2个单位得． 故得到抛物线的解析式为． 故答案为：． 62．（23-24九年级上·北京东城·期中）把抛物线向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图像的与几何变换，熟记“上加下减，左加右减”是解题的关键．根据“上加下减，左加右减”解题即可． 【详解】解：抛物线向右平移2个单位长度， 得， 故答案为：． 十二、待定系数法求函数解析式（共7小题） 63．（23-24九年级上·北京西城·期中）抛物线过和，且对称轴为直线．现有下面四个推断：①若，则；②若，则；③若，则；④存在实数，使得为定值．其中推断正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】B 【分析】把和代入，可得解析式为，可得对称轴为直线，再结合，，，再建立方程或不等式可判断①②③，再把代入化简，结合多项式的值与某个字母的值无关可判断④． 【详解】解：∵抛物线过和， ∴，解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，则， 解得：，经检验，符合题意，故①符合题意； 当，则， ∴， 当时，，当时，恒成立， ∴或，故②不符合题意； 当时，则， ∴， ∴当时，，此时，当时，不等式不成立，故③不符合题意； ∵， ∴ ； 当即，为定值；故④符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，不等式的性质，多项式的值与某字母的值无关，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 64．（24-25九年级上·北京·阶段练习）已知抛物线上部分点的横坐标与纵坐标的对应值如下表： … 0 1 2 3 … … 0 … (1)求该抛物线的解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)当时，的取值范围为． 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式求解和二次函数的图象和性质． （1）利用待定系数法可求得抛物线的解析式； （2）求得抛物线与轴的交点坐标，利用数形结合即可求解． 【详解】（1）解：由表得，和时，函数值都是， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得，， ∴二次函数的解析式为； （2）解：∵抛物线的对称轴为直线，过点， ∴抛物线也过点， ∵， ∴抛物线开口向上， 当时，的取值范围为． 65．（23-24九年级上·北京海淀·期中）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线 (1)若此抛物线过点，，求抛物线的解析式 (2)当时，对任意x值，都有，结合图象，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求抛物线解析式，抛物线和一次函数的图像与性质，根的判别式，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． （1）根据抛物线的对称轴为直线，可得，再将，代入抛物线解析式即可求得，的值，从而求得抛物线解析式； （2）根据“当时，对任意x值，都有，”求出当 与相切时，即与只有一个交点，时，k的取值，即可解题． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线， ， 抛物线过点，， 将，代入得：， 解得：， 抛物线的解析式为：； （2）解：当时，抛物线的解析式为， 当时，对任意x值，都有， 又当 与相切时，即与只有一个交点， 有， 整理得， ， 解得， 当，对任意x值，都有， 的取值范围为． 66．（23-24九年级上·北京东城·期中）已知二次函数的图象顶点为，且经过点．求这个二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了用定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求． 由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式，然后把代入求出a的值即可． 【详解】解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线解析式为． 67．（23-24九年级上·北京西城·期中）已知二次函数的图像经过，，三点，求这个函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线解析式计算，设抛物线解析式为，代入坐标，解方程组即可． 【详解】设抛物线解析式为， 把，，分别代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． 68．（23-24九年级上·北京西城·期中）在平面直角坐标系中，抛物线过点，． (1)求抛物线的解析式； (2)求抛物线的顶点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式及二次函数顶点式的图象及性质： （1）利用待定系数法即可求解； （2）将函数变为顶点式即可求解； 解题的关键是掌握待定系数法及将一般式化为顶点式． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴， 解得， ∴． （2）∵， ∴顶点C坐标为， 69．（23-24九年级上·北京昌平·期中）如图，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点． (1)求该抛物线的表达式； (2)已知，是抛物线上的两点，根据图象分析，若，则的取值范围是______． 【答案】(1)抛物线表达式为 (2)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据图象求解即可． 【详解】（1）设抛物线表达式为． ∵与轴交于点， ∴． 将点，代入可得， 解得，， ∴抛物线表达式为； （2）根据图象可得， 或． 【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象和性质等知识，读懂题意和准确计算是解题的关键． 十三、函数与方程和不等式（共11小题） 70．（23-24九年级上·北京海淀·期末）在平面直角坐标系中，抛物线如图所示，则关于的方程的根的情况为（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象与一元二次方程的关系；依题意，关于的方程的根即抛物线与的交点的横坐标，根据函数图象即可求解． 【详解】解：依题意，与无交点，即关于的方程的根的情况为没有实数根， 故选：D． 71．（22-23九年级上·北京西城·期末）现有函数：，如果对于任意实数n，都存在实数m，使得当时，，那么实数a的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，求出一次函数和二次函数的两个交点坐标，由图可知，要满足函数值可取任意实数，则在取值范围内必须包含其中一个交点，再进行分类讨论即可． 【详解】解：联立方程组， 解得：，， ∴一次函数和二次函数的交点坐标为：． 如图：画出一次函数函数和二次函数的图象， ∵二次函数， ∴二次函数顶点坐标为：． 当时，，解得， 当时，，解得， ∴a的取值范围为， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，解题的关键是掌握相关内容，根据函数值可取任意实数，进行分类讨论，数形结合是解决此类问题的常用方法． 72．（22-23九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】令计算即可． 【详解】令，则， ∴抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质以及与坐标轴的交点，解题的关键是熟记二次函数的性质． 73．（23-24九年级上·北京顺义·期末）已知二次函数的部分图象如图所示，写出一个满足不等式的x的值，这个值可以是 . 【答案】1（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次函数与不等式组，数形结合是解题的关键．先求出时的的值，然后结合图象求解即可． 【详解】解：由图象可知，当时，， 当时，． 不等式的解为 满足不等式的的值可以是1． 故答案为：1（答案不唯一）． 74．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）已知二次函数． (1)求此二次函数图象的顶点坐标； (2)求此二次函数图象与x轴的交点坐标； (3)当时，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)顶点坐标 (2)与x轴的交点坐标为、 (3)或 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． （1）把一般式配成顶点式可得到抛物线的顶点坐标； （2）解方程可得到抛物线与x轴的交点坐标； （3）画出二次函数图象，利用函数图象写出函数图象在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点坐标； （2）解：当时，， 解得， ∴抛物线与x轴的交点坐标为； （3）解：二次函数的函数图象如图所示： 结合函数图象得或时，． 75．（22-23九年级上·浙江杭州·阶段练习）已知二次函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，求： (1)点A、B、C的坐标； (2)的面积． 【答案】(1)；； (2)6 【分析】（1）根据题意得出求出图象与x轴以及y轴交点坐标； （2）根据A，B，C的坐标求出，长，即可求出的值． 【详解】（1）解：令，则， ∴； 令，则， 解得：，， ∴；． （2）解：∵，， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查了求二次函数与坐标轴的交点坐标，三角形面积的计算，解题的关键熟练进行计算． 76．（22-23九年级上·北京·期末）在平面直角坐标系，已知点为抛物线上任意两点，其中 (1)求该抛物线顶点P的坐标（用含m的式子表示）； (2)当M，N的坐标分别为时，求m的值； (3)若对于，都有，求m的取值范围， 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）求得抛物线的对称轴，代入即可求解； （2）由题意可得，一元二次方程的的两个根为，根据根与系数的关系，求解即可； （3）根据二次函数的性质，由可得，对式子进行化简，求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为， 将代入得，， 即该抛物线顶点P的坐标为； （2）解：由题意可得，一元二次方程的的两个根为 即的两个根为， 由根与系数的关系可得：， 解得； （3）解：抛物线 ，开口向上，对称轴为， 则由可得， 即，化简可得： 即， ∵， ∴，即 ∴ 又∵， ∴，即的最小值要大于， 解得． 【点睛】此题考查了二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相关基础性质． 77．（2022·北京·中考真题）单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系． 某运动员进行了两次训练． (1)第一次训练时，该运动员的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离x/m 0 2 5 8 11 14 竖直高度y/m 20.00 21.40 22.75 23.20 22.75 21.40 根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系； (2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y与水平距离x近似满足函数关系记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d1，第二次训练的着陆点的水平距离为，则______（填“>”“=”或“<”）． 【答案】(1)23.20 m； (2) 【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h、k的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a的值，得出函数解析式； （2）着陆点的纵坐标为，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t表示出和，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：， ∴，， 即该运动员竖直高度的最大值为23.20 m， 根据表格中的数据可知，当时，，代入得： ，解得：， ∴函数关系关系式为：． （2）设着陆点的纵坐标为，则第一次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离， 第二次训练时，， 解得：或， ∴根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为，用t表示出和是解题的关键． 78．（23-24九年级上·北京丰台·期末）在平面直角坐标系中，点，为抛物线上两个不同的点． (1)求抛物线的对称轴（用含m的式子表示）； (2)若，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线； (2)m的取值范围是：或． 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，利用二次函数求不等式的解集及熟知二次函数的性质是解题的关键． （1）由二次函数的对称轴公式即可解决问题． （2）根据题意列出不等式组即可． 【详解】（1）解：由题知， 所以抛物线的对称轴为直线； （2）解：将点点，坐标代入函数解析式得， ， ， 又因为， 所以， 解得或． 所以m的取值范围是：或 79．（23-24九年级上·北京顺义·期末）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）． (1)若，求抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； (2)已知点，，在该抛物线上，若，，中有且仅有一个大于0，求a的取值范围． 【答案】(1)，，对称轴：直线． (2)，． 【分析】本题考查抛物线与x轴交点、二次函数的图象与性质等知识，解题的关键是理解题意，学会分类讨论，属于中考常考题型． （1）将代入二次函数，求得二次函数解析式，再令，解方程即可得出抛物线的对称轴及A，B两点的坐标； （2）将抛物线解析式整理成顶点式，再令，解方程即可得出抛物线与x轴交点坐标，最后根据二次函数图象与性质进行分类讨论即可． 【详解】（1）将代入二次函数，得：， 令，得， 解得：， ，，对称轴：直线． （2）将抛物线解析式整理得． 令，得， 解得：， ∴抛物线与x轴交点坐标分别为，． ∵抛物线开口向上，且， ∴结合图象可知． ∵，，中有且只有一个大于零，． ∴①当时，． ，解得． ②当时，． ，解得． 综上所述，，． 80．（23-24九年级上·北京东城·期末）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求该二次函数的解析式； (2)用描点法画出该二次函数的图象； (3)当时，对于x的每一个值，都有，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)二次函数的解析式为 (2)见解析 (3)k的取值范围 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的图象和性质，二次函数与不等式(组)，数形结合是解题的关键； （1）利用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用描点法画出所给函数的图象即可； （3）由于当直线经过点时，利用一次函数和二次函数的性质，当时，函数的值大于二次函数的值 【详解】（1）点在二次函数的图象上， ，解得． 二次函数的解析式为． （2）列表： x … 0 1 2 3 … y … 3 0 0 3 … 描点，连线： （3）当直线经过点时解得，此时函数与二次函数的交点为和， 观察图象，当时，函数的值大于二次函数的值， 所以当时，对于x的每一个值，都有，k的取值范围． 十四、特殊图形问题（共1小题） 81．（22-23九年级上·北京通州·期末）如图，抛物线的图象与x轴交点为A和B，与y轴交点为，与直线交点为A和C． (1)求抛物线的解析式； (2)在直线上是否存在一点M，使得是等腰直角三角形，如果存在，求出点M的坐标，如果不存在请说明理由． (3)若点E是x轴上一个动点，把点E向下平移4个单位长度得到点F，点F向右平移4个单位长度得到点G，点G向上平移4个单位长度得到点H，若四边形与抛物线有公共点，请直接写出点E的横坐标的取值范围． 【答案】(1) (2)存在， (3) 【分析】（1）先求得，然后将，代入，即可求函数的解析式； （2）设，根据是等腰三角形，分类讨论，根据勾股定理即可求解； （3）设点E的横坐标，分别求出，，，，当F点在抛物线上时，或，当G点在抛物线上时，或，结合图象可得时，四边形与抛物线有公共点． 【详解】（1）解：由得，时，， ∴． ∵抛物线经过、D两点， ∴，解得 ∴抛物线的解析式为． （2）解：由，令，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵是直线上的点，设， 当为斜边时，, ∴， 解得：， ∴ 当为直角时，, ∴ 解得：（根据图形，不合题意舍去） ∴ 综上所述，存在 （3）解：∵点E的横坐标， ∴， 由题可知，，，， 当F点在抛物线上时，， 解得或， 当G点在抛物线上时，， 解得或， ∴时，四边形与抛物线有公共点． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，正方形的性质，数形结合解题是关键． 十五、面积问题（共1小题） 82．（23-24九年级上·北京·期末）如图，平面直角坐标系中，抛物线交轴于，，交轴于点．    (1)求抛物线的函数表达式； (2)直线与抛物线交于两点，与直线交于点．若点是线段上的动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点，交直线于点． ①当时，求的值； ②在平面内是否存在点，使四边形为正方形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①3或；②存在，点的坐标为：或 【分析】（1）用待定系数法求解即可； （2）①当点在点的左侧时，由，即，即可求解，当点在点的右侧时，同理可得；②存在，根据正方形的性质得：，，同理根据，得，，分两种情况：在的左侧，在的右侧，根据，列方程可得结果． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得， ；+ （2）解：①当点在点的左侧时， 如图1，，    ∴设的解析式为：， 则， 解得， 的解析式为：， ， 解得：， ， ，且轴， 的横坐标为， ， ， 即，即， 解得； 当点在点的右侧时， 同理可得， 即， 解得， 综上，或； ②存在，由①知：， ∵四边形是正方形， ， ，且轴， ，， 分两种情况： 当时，如图2，点在的左侧，    ， ， ， 解得：（舍去正值）， ， ， 当时，点在的右边，如图3，    同理得， 解得：（舍去负值）， 同理得； 综上，点的坐标为：或． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数，正方形的性质，二次函数，两函数的交点，图形的面积计算等，与方程组结合，求解点的坐标，难度适中． 十六、相似问题（共1小题） 83．（20-21九年级上·北京·期末）如图，抛物线与直线y=mx+n交于B（0，4），C（3，1）两点．直线与x轴交于点A，P为直线AB上方的抛物线上一点，连接PB，PO． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，连接PC，OC，△OPC和△OPB面积之比为1：2，求点P的坐标； （3）如图2，PB交抛物线对称轴于M，PO交AB于N，连接MN，PA，当MNPA时，直接写出点P的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为：；（2）点P的坐标为：(，)；（3）点P的坐标为：(，) 【分析】（1）直接将B（0，4），C（3，1）代入，解方程组即可； （2）待定系数法求BC的解析式为，OC解析式为，设P(，)，由△OPC和△OPB面积之比为1：2，可得关于m的方程，求解即可得点P的坐标； （3）过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F，设点P(，)，根据相似三角形性质可得方程求解即可． 【详解】（1）B（0，4），C（3，1）代入， 得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）B（0，4），C（3，1）代入， 得：， 解得：， 可得m=-1，n=4， ∴直线BC的解析式为：， 同理可求直线OC解析式为：， ∵P为直线AB上方的抛物线上一点， 设P(，)，则， 过点P作PD⊥y轴于D，作PF⊥x轴于F，交OC于G，过C作CE⊥x轴于E， ∴G(，)，E(3，0)， ∴PD=m，PG=()，OE=3， S△OBP=OB•PD=2m， S△OPC=OE•PG， ∵△OPC和△OPB面积之比为1：2， ∴， 整理得：， 解得：(舍去)， ， ∴点P的坐标为：(，)； （3）∵， ∴抛物线对称轴为直线， 如图2，过点P作PD⊥y轴于点D，交抛物线对称轴于点E，过点N作NF⊥y轴于点F， 设点P(，)，则DP=， DE=1，PE， 同理可得直线OP解析式为：， 联立方程组， 解得：， ∴FN=， ∵MN∥PA， ∴， ∵ME∥y轴， ∴， ∵FN∥x轴， ∴， ∴，即：DE•OA=FN•DP， ∴， 解得：(舍去)， ， ∴点P的坐标为：(，)． 【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式和二次函数解析式，三角形面积，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理等，解题关键是通过相似三角形性质以及平行线分线段成比例定理转化建立方程求解． 十七、其他问题（共2小题） 84．（21-22九年级上·北京西城·期末）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为A，． （1）若， ①点A到轴的距离为_______； ②求此抛物线与轴的两个交点之间的距离； （2）已知点A到轴的距离为4，此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，若点在此抛物线上，当时，总满足，求的值和的取值范围． 【答案】（1）①8；②；（2）， 【分析】（1）①当时，，可得抛物线的顶点坐标为 ，即可求解； ②令，可得此抛物线与轴的两个交点为，即可求解； （2）根据点A到轴的距离为4，可得．分两种情况：①当时，抛物线为，由此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中，得方程，从而得到，进而得到，然后把，，联立得 ，再由点在此抛物线上，当时，总满足，可得抛物线对称轴 在点的右侧，即可求解；②当时，抛物线为，由此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中得方程 ，从而得到，进而求出，把 ，，联立得，由点在此抛物线上，当时，总满足，抛物线对称轴 在点的左侧，即可求解． 【详解】解：（1）①当时，， ∴抛物线的顶点坐标为 ， ∴点A到轴的距离为8； ②令，即， 解得：， ∴此抛物线与轴的两个交点为， ∴此抛物线与轴的两个交点之间的距离为； （2）∵点A到轴的距离为4， ∴，解得： ， ①当时 ， ∴抛物线为， ∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， ∴，即， ∴， 解得：， 把，，联立得： ， 解得：， ∵点在此抛物线上，当时，总满足， ∴抛物线对称轴 过点C或在点的右侧， ∴， ∴， ∵． ∴的取值范围为 ． ②当时 ， ∴抛物线为 ， ∵此抛物线与直线的两个交点分别为，，其中， ∴，即 ， ∴ ， 解得： ， 把 ，，联立得： ， 解得：， ∵点在此抛物线上，当时，总满足， ∴抛物线对称轴 过B点或在点的左侧， ∴， ∴， ∴， ∵． ∴无解． 综上，，的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，与一函数的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，并利用数形结合思想解答是解题的关键． 85．（20-21九年级上·北京石景山·期末）对于平面直角坐标系中第一象限内的点和图形，给出如下定义： 过点作轴和轴的垂线，垂足分别为M，N，若图形中的任意一点满足且，则称四边形是图形的一个覆盖，点为这个覆盖的一个特征点． 例： 已知，，则点为线段的一个覆盖的特征点． （1）已知：，，点， ① 在，，中，是的覆盖特征点的为___________； ② 若在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，求的取值范围． （2）以点D（3，4）为圆心，半径为作圆，在抛物线 上存在⊙的覆盖的特征点，直接写出的取值范围__________________． 【答案】（1）①， ；②m≥-1且m≠0；（2）或 【分析】（1）①根据覆盖的定义线段AB坐标中横坐标的最大值，与纵坐标的最大值即可判断 ②先找覆盖的特征点，将特征点代入函数，求出m的值，结合图像即可求出范围； （2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点，当时，代入抛物线得，，结合图像得，，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点综合即可． 【详解】解：（1）①根据覆盖的定义C点的纵坐标最大是3，B点的横坐标最大是3，即：且，所以， 是覆盖的特征点 ②设点为的覆盖的特征点．依题意得：， 当时，结合函数图像可知，在一次函数的图像上存在的覆盖的特征点，故符合题意． 当时，如图，点为的覆盖的特征点． 又∵点在一次函数的图像上， 又∵点在一次函数的图像上， 当直线过点时，即： 解得：． ∴结合函数图像可知． 综上所述：． （2）圆中点的横坐标最大值为4，纵坐标的最大值为5，则（4，5）为覆盖的特征点， 当时，代入抛物线得 ， 解得：， 结合图像得，即存在覆盖特征点， 当时，此时y=4是一直线，不存在符合条件点， 当时，在直线x=4的右侧y随x的增大而增大，总存在y≥5的点，即存在覆盖特征点， 综合得的范围是或． 【点睛】本题考查新定义问题，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最大值与纵坐标的最大值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． 十八、二次函数与实际问题（共6小题） 86．（22-23九年级上·北京通州·期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【答案】米 【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系． 此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0),  D(100,0)． 设这条抛物线的解析式为 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，) 可得 解得．     ∴． 顶点坐标是（0，200） ∴ 拱门的最大高度为200米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式． 87．（23-24九年级上·北京海淀·期末）如图，在边长为的正方形各边上取点，，，（可与，，，重合），使得四边形为正方形．设为，正方形的面积为．    (1)关于的函数表达式是________，自变量的取值范围是________； (2)在下面的平面直角坐标系中，画出（1）中函数的图象； (3)当________时，正方形面积有最小值________． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)2；8 【分析】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，二次函数的应用，全等三角形的性质与判定： （1）由正方形的性质得到，证明，得到，则，利用勾股定理得到，则； （2）根据（1）所求画出对应的函数图象即可； （3）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为正方形，四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：，； （2）解；如图所示函数图象即为所求；    （3）解：， ∴当时，最小，最小值为8， ∴当时，正方形面积有最小值， 故答案为：2；8． 88．（21-22九年级上·北京昌平·期末）随着冬季的到来，干果是这个季节少不了的营养主角，某超市购进一批干果，分装成营养搭配合理的小包装后出售，每袋成本20元销售过程中发现，每天销售量y（袋）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：y＝-2x＋80（20≤x≤40），设每天获得的利润为w（元） （1）求出w与x的关系式； （2）当销售单价定为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】（1）；（2）当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元 【分析】（1）由公式利润=（售价−成本）×数量即可列出关系式； （2）把化为，由二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）由题可得：； （2）， ∵，且， ∴当时，． 答：当销售单价定为每袋30元时，每天可获得最大利润，最大利润是200元． 【点睛】本题考查二次函数的应用—销售问题，由题列出关系式，掌握二次函数的性质是解题的关键． 89．（23-24八年级下·北京海淀·期末）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式，在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线：在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系．    通过测量得到球距离台面高度（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离（单位：dm）的相关数据，如下表所示： 表1直发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 16 20 … （dm） 4 … 表2间发式 （dm） 0 2 4 6 8 10 12 14 16 … （dm） 0 … 根据以上信息，回答问题： (1)表格中______，______； (2)直接写出“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； (3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为，“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为，则______（填“>”“＝”或“<”）． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题是一次函数与二次函数的综合，考查了一次函数的特征，待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质；掌握这两类函数的图象与性质是解题的关键． （1）对于直发式，利用抛物线的对称轴为直线，可得当自变量取2与6时函数值相等，即可求得m的值；对于间发式，由表2知，自变量由0到8时图象是直线，根据直线的特征：自变量每增加相同的值，函数值均匀增加可减小相同的值，则可求得n的值； （2）由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为，利用二次函数顶点式即可求得直发式模式下球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式； （3）由（2）可求得，“间发式”模式下球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹是抛物线，由表2可求得抛物线的对称轴，当自变量为8时，函数值为0，由对称对称性可求得抛物线与x轴的另一个交点横坐标，即可求得，进行比较即可． 【详解】（1）解：由表1知，当自变量为0与8时，函数值相等， 而，根据抛物线的对称性得抛物线的对称轴为直线， 当自变量取2与6时函数值相等，故； 由表2知，自变量由0到8时图象是直线，且自变量每增加2个单位长度，函数值减小，则； 故答案为：；； （2）解：由表1及（1）知抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 由表1知，当时，，代入上述解析式得：， 解得：， 即“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为； （3）解：令，解得：（舍去） 即； 由表2知，当自变量为12与16时，抛物线的函数值相等， 则抛物线对称轴为直线， 由表2知，当时，函数值为， 由抛物线的对称性，当时，函数值为， ， 则， 故答案为：． 90．（23-24九年级上·北京丰台·期末）如图1，灌溉车为公路绿化带草坪浇水，图2是灌溉车浇水操作时的截面图．现将灌溉车喷出水的上、下边缘线近似地看作平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象．已知喷水口H离地竖直高度为，草坪水平宽度，竖直高度忽略不计.上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为，高出喷水口，下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，设灌溉车到草坪的距离为d（单位：m）． (1)求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程的长； (2)下边缘抛物线落地点B的坐标为______； (3)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为______． 【答案】(1)喷出水的最大射程为 (2) (3) 【分析】本题是二次函数的实际应用，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数与方程的关系等知识，读懂题意，建立二次函数模型是解题的关键． （1）由顶点得，设，再根据抛物线过点，可得a的值，从而解决问题； （2）由对称轴知点的对称点为，则下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，可得点B的坐标； （3）根据点坐标以及草坪宽度可得结论． 【详解】（1）解：由题意得是上边缘抛物线的顶点， 设， 又∵抛物线过点， ∴ ∴， ∴上边缘抛物线的函数解析式为， 当时，， 解得（舍去）， ∴喷出水的最大射程为； （2）解：∵对称轴为直线， ∴点的对称点为， ∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的， ∴点B的坐标为， 故答案为：； （3）解：∵， ， ，， ，， ， ∴要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个草坪，d的取值范围为， 故答案为：． 91．（22-23九年级上·北京西城·期末）跳台滑雪是冬季奥运会的比赛项目之一，如图，运动员通过助滑道后在点处起跳经空中飞行后落在着陆坡上的点处，他在空中飞行的路线可以看作抛物线的一部分，这里表示起跳点到地面的距离，表示着陆坡的高度，表示着陆坡底端到点的水平距离，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度（单位：m）与水平距离（单位：m）近似满足函数关系：，已知，，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m． (1)点的坐标是_____，点的坐标是_______； (2)求满足的函数关系； (3)运动员在空中飞行过程中，当他与着陆坡竖直方向上的距离达到最大时，直接写出此时的水平距离． 【答案】(1)，； (2)； (3) 【分析】（1），落点的水平距离是40m，竖直高度是30m，即可得到点、的坐标； （2）用待定系数法求解即可； （3）由，先求出直线的表达式，作轴交抛物线和直线于点、，用含未知数的式子表示，再根据二次函数的性质进行判断即可． 【详解】（1）解：，落点的水平距离是40m，竖直高度是30m， ，； （2）解：把，代入 得，， 解得，， ； （3）解：， 设直线的表达式为， 把代入，得， 解得，， ， 设到竖直方向上的距离最大，作轴交抛物线和直线于点、， ， ， 当时，最大，即水平距离为时，运动员与着陆坡竖直方向上的距离达到最大． 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，待定系数法求解析式，二次函数图象的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． $$