专题03 反比例函数（期中专项训练，易错必刷49题10种题型）九年级数学上学期北京版

专题03 反比例函数（易错必刷49题 10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 反比例函数的定义 · 求反比例函数的值 · 由反比例函数的值求自变量 · 反比例函数图像 · 反比例函数的增减性 · 比例系数与图形的面积关系 · 求反比例函数解析式 · 一次函数与反比例函数综合 · 反比例函数与几何综合 · 反比例函数与实际问题 一、反比例函数的定义（共2小题） 1．（22-23九年级上·北京顺义·期末）下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 2．（22-23九年级上·广西北海·期中）已知函数（为整数），当为 时，是的反比例函数． 二、求反比例函数的值（共4小题） 3．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 5．（22-23九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上，则的值为 ． 6．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第 象限． 三、由反比例函数的值求自变量（共2小题） 7．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 8．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 四、反比例函数图像（共8小题） 9．（2023·北京朝阳·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①矩形的面积一定，一边长与它的邻边； ②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口； ③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间． 其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 10．（2023·北京西城·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)； ②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)； ③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(　　)    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 11．（2021·北京海淀·二模）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 13．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 14．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 15．（2022·北京昌平·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 16．（23-24九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 五、反比例函数的增减性（共6小题） 17．（23-24九年级上·北京顺义·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象分布在第二、第四象限 B．点在它的图象上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 18．（2023·北京朝阳·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，，有下面三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 19．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 20．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是 （写出一个即可）． 21．（2024·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 22．（2023·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值 ． 六、比例系数与图形的面积关系（共7小题） 23．（22-23九年级上·北京平谷·期末）如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 24．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，面积分别记为，，则______．（    ） A．> B． C．< D．不确定 25．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      26．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形面积为1，则阴影部分的面积之和为 ． 27．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 28．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为    29．（20-21九年级上·北京西城·期中）如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形的面积为2，则反比例函数的解析式是 ． 七、求反比例函数解析式（共4小题） 30．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 31．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的关系式； (2)画出反比例函数的图像； (3)当时，的取值范围． 32．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 33．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 八、一次函数与反比例函数综合（共6小题） 34．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 35．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，则 ． 36．（2024·北京西城·二模）如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 37．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 38．（2022·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 39．（21-22九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于点和点B．    (1)直接写出点A的坐标和一次函数的解析式； (2)直接写出点O到直线的距离； (3)点C是双曲线在第一象限内的一点，若的面积大于面积的2倍，直接写出C点的横坐标的取值范围． 九、反比例函数与几何综合（共5小题） 40．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为 ． 41．（22-23九年级上·北京·期中）如图，一组抛物线的顶点，，为正整数依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点，，等腰为第一个三角形；第二条抛物线以为顶点且经过点，，等腰为第二个三角形；；第条抛物线以为顶点且经过点，，等腰为第个三角形． （1）写出满足的面积为整数的的值 ． （2）若第条抛物线为满足，称“滑翔抛物线”，试求出满足条件的“滑翔抛物线”解析式为 ． 42．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围__________； (2)取几组y与x的对应值，填写在下表中． x … 0 1 3 4 5 6 8 … y … 1 2 3 6 8 8 6 3 m 1 … m的值为______；    (3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是______； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N （点M在点N的左侧），则的值为______． 43．（22-23九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求点A的坐标和该反比例函数的表达式； (2)点M在这个反比例函数图象上，过M作平行于x轴的直线，交y轴于点C．交直线于点D．连接，，．若，请直接写出点M的坐标． 44．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像过点． (1)求的值； (2)一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 十、反比例函数与实际问题（共5小题） 45．（2022·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 46．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 47．（23-24九年级上·北京·期末）火力发电站的燃烧塔的轴截面是如图所示的图形，是一个矩形，分别是两个反比例函数图像的一部分，已知，上口宽，求整个燃烧塔的高度． 48．（23-24九年级上·北京·期末）如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 49．（23-24九年级上·北京石景山·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，即，其图象如图所示． (1)求的值； (2)若用电器的电阻为，则电流为______； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是______． $$专题03 反比例函数（易错必刷49题 10种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 反比例函数的定义 · 求反比例函数的值 · 由反比例函数的值求自变量 · 反比例函数图像 · 反比例函数的增减性 · 比例系数与图形的面积关系 · 求反比例函数解析式 · 一次函数与反比例函数综合 · 反比例函数与几何综合 · 反比例函数与实际问题 一、反比例函数的定义（共2小题） 1．（22-23九年级上·北京顺义·期末）下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【答案】B 【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答． 【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x ∴另一边长为 ∴为二次函数； ②∵矩形的面积为20，矩形的长x ∴是反比例函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键． 2．（22-23九年级上·广西北海·期中）已知函数（为整数），当为 时，是的反比例函数． 【答案】 【分析】根据（）是反比例函数，可得答案． 【详解】解：函数（为整数）是反比例函数， ，且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的定义，熟记定义和定义的条件是解本题的关键． 二、求反比例函数的值（共4小题） 3．（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 4．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 5．（22-23九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图像上，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数图像与性质，将，代入函数表达式得到关于的方程求解即可得到答案． 【详解】解：点，在反比例函数的图像上， ，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图像与性质，理解函数图像上的点的坐标特征是解决问题的关键． 6．（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第 象限． 【答案】四 【分析】由点在反比例函数上，可得，由可得，进而得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键． 三、由反比例函数的值求自变量（共2小题） 7．（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 8．（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】把，代入反比例函数，求出m、n的值即可． 【详解】∵点，都在反比例函数的图象上 ∴，解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，把坐标代入解析式是解题的关键． 四、反比例函数图像（共8小题） 9．（2023·北京朝阳·一模）下面的三个问题中都有两个变量： ①矩形的面积一定，一边长与它的邻边； ②某村的耕地面积一定，该村人均耕地面积与全村总人口； ③汽车的行驶速度一定，行驶路程与行驶时间． 其中，两个变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（    ）    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】当两个变量的积为定值时，两个变量之间的函数关系可以用形如（k为常数，）的式子表示，由此逐项判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，这两个变量之间成反比例函数关系， ①矩形的面积，因此矩形的面积一定时，一边长y与它的邻边x可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象； ②耕地面积，因此耕地面积一定时，该村人均耕地面积S与全村总人口n可以用形如的式子表示，即满足所给的函数图象； ③汽车的行驶速度，因此汽车的行驶速度一定，行驶路程s与行驶时间t不可以用形如的式子表示，即不满足所给的函数图象； 综上可知：①②符合要求， 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解题的关键是掌握反比例函数的定义． 10．（2023·北京西城·二模）下面的三个问题中都有两个变量： ①京沪铁路全程为，某次列车的平均速度y(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间x(单位：h)； ②已知北京市的总面积为，人均占有面积y(单位：/人)与全市总人口x(单位：人)； ③某油箱容量是的汽车，加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了．油箱中的剩油量与加满汽油后汽车行驶的路程． 其中，变量y与变量x之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是(　　)    A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】分别求出三个问题中变量与变量之间的函数关系式即可得到答案． 【详解】解：①由平均速度等于路程除以时间得：，符合题意； ②由人均面积等于总面积除以总人口得：，即，符合题意； ③由加满汽油后开了时，油箱中汽油大约消耗了，可知每公里油耗为：，再由油箱中的剩油量等于油箱容量减去耗油量，耗油量等于每公里油耗乘以加满汽油后汽车行驶的路程得：，不符合题意； 综上分析可知，变量 y与变量x之间的函数关系可以用该图象表示的是①②． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了列函数关系式，反比例函数的识别，正确列出三个问题中的函数关系式是解题的关键． 11．（2021·北京海淀·二模）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择． 【详解】假设点A在该反比例函数图象上， ∴， ∵点A实际在该反比例函数图象上方， ∴． 选项中只有A选项的值小于2． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 12．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）反比例函数与两条坐标轴的正半轴所夹的开放区域内（不含边界）只有8个整点（横、纵坐标均为整数），则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】画出图象，找到临界状态，会发现，当时，是8个整点，满足条件． 【详解】解：如图， 当时，是5个整点，当时，是8个整点． ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，画出函数图象是解题的关键． 13．（2024·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 14．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，双曲线与直线交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】根据反比例函数的中心对称性判断即可． 【详解】解：双曲线与直线交于，两点，直线经过原点， 、两点关于原点对称， 又点的坐标为， 点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质·，熟练掌握反比例函数的中心对称性是解题关键． 15．（2022·北京昌平·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，若点，的横坐标分别为，，则 ． 【答案】0 【分析】根据反比例函数与正比例函数都是中心对称图形可得x1＝−x2，然后求解即可． 【详解】解：∵反比例函数与正比例函数都是中心对称图形， ∴x1＝−x2， ∴x1＋x2＝0， 故答案为：0． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握反比例函数与正比例函数的中心对称性是解题的关键． 16．（23-24九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4) 【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）先描点，再连线，画出函数图象即可； （4）根据函数图象可得P、Q关于直线对称，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是，即， 故答案为：； （2）解：在中，当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，函数的函数图象关于直线对称， ∵是函数图象上的两点， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，求函数值，画反比例函数图象，反比例函数的性质等等，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 五、反比例函数的增减性（共6小题） 17．（23-24九年级上·北京顺义·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象分布在第二、第四象限 B．点在它的图象上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，根据反比例函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A，因为，所以图象在第一、第三象限，不符合题意； 选项B，对于反比例函数，当时，，所以点不在它的图象上，不符合题意； 选项C，对于反比例函数，当时，图象在第一象限内，所以y随x的增大而减小，符合题意； 选项D，对于反比例函数，当时，图象在第三象限内，所以y随x的增大而减小，不符合题意． 故选C． 18．（2023·北京朝阳·二模）已知点，，在反比例函数的图象上，，有下面三个结论： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先求出反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大，再根据所给条件结合反比例函数图象的性质逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大， ∵，， ∴， ∴，故①错误； ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴或， 当时，； 当时，； ∴若，则，故③正确； 故选B． 【点睛】本题主要考查了比较反比例函数函数值的大小，反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的相关知识是解题的关键． 19．（2024·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，若点，在反比例函数的图象上，则 （填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象与性质进行判断即可，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴反比例函数图象的两个分支在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小， 又∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 20．（2024·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上．若，则满足条件的k的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，写出一个小于0的值即可． 【详解】解：、两点的横坐标都为正数， 、两点在同一个象限， 又，， 随的增大而增大， ， 的值可以为， 故答案为：（答案不唯一）． 21．（2024·北京顺义·一模）已知点，在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的m的值 ． 【答案】4（答案不唯一） 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据题意得在每个象限内，随的增大而减小，即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴在每个象限内y随x的增大而减小， ∵，，， ∴或， ∴满足条件的m的值可以为4， 故答案为：4（答案不唯一）． 22．（2023·北京海淀·二模）在平面直角坐标系中，点和点在反比例函数的图象上．若，写出一个满足条件的的值 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据随的增大而增大，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵点和点在反比例函数的图象上．，， ∴随的增大而增大，则函数图象位于第二、四象限， ∴， ∴（答案不唯一） 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 六、比例系数与图形的面积关系（共7小题） 23．（22-23九年级上·北京平谷·期末）如图，若点A是反比例函数的图象上一点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，点C是y轴上任意一点，则的面积为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设点A的坐标为，将长和点C到的距离用a表示出来，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵轴， ∴， ∵点C在y轴上， ∴点C到的距离为a， ∴， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k值的几何意义以及反比例函数的图象和性质． 24．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D，面积分别记为，，则______．（    ） A．> B． C．< D．不确定 【答案】B 【分析】根据反比例函数比例系数的几何意义求解即可． 【详解】解：∵A，B两点在函数图象上，垂直y轴于点C，垂直x轴于点D， ∴， ∴， 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 25．（2024·北京平谷·二模）如图，点A、B分别是反比例函数的图象上两点，分别过点A、B向坐标轴作垂线，四边形的面积记作，四边形的面积记作，则 （填、或）．      【答案】 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，设，得出，，即可得出答案． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， 设， ∴，， ∴． 故答案为：． 26．（23-24九年级上·北京通州·期末）如图，A，B两点在反比例函数的图像上，分别过点A，B向坐标轴作垂线段．若四边形面积为1，则阴影部分的面积之和为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了反比例系数k的几何意义，在反比例函数图像中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值，在反比例函数的图像上任意一点作坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数解析式中k的几何意义可知，因为，则，然后求和即可解答． 【详解】解：∵A，B两点在反比例函数的图像上， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积之和为． 故答案为6． 27．（23-24九年级上·北京门头沟·期末）如图，已知点P是反比例函数上的一点，则矩形的面积为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了反比例函数 中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为．熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： ∵点P是反比例函数图象上的一点， ∴矩形． 故答案为：3． 28．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）如图，已知反比例函数的图象经过点A，且．的面积为2，则k的值为    【答案】4 【分析】根据反比例函数的性质可以得到的面积等于的一半，由此可以得到它们的关系． 【详解】解：依据比例系数k的几何意义可得面积等于， 解得：， ∵反比例函数（k为常数，）的图象在第一和第三象限， ． 故答案为：4． 【点睛】本题考查反比例系数k的几何意义，熟练掌握过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于是解题的关键． 29．（20-21九年级上·北京西城·期中）如图，P是反比例函数图象上第二象限内的一点，且矩形的面积为2，则反比例函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】因为过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即S＝|k|，再根据反比例函数的图象所在的象限确定k的值，即可求出反比例函数的解析式． 【详解】解：由图象上的点所构成的矩形PEOF的面积为2可知， 矩形PEOF的面积＝|k|＝2，k＝±2． 又由于反比例函数的图象在第二、四象限，k＜0， 则k＝﹣3，所以反比例函数的解析式为y＝﹣， 故答案为：y＝﹣． 【点睛】本题考查反待定系数法求反比例函数的解析式，比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于|k|． 七、求反比例函数解析式（共4小题） 30．（2024·河北邯郸·二模）如图，已知点，，点是线段上的整点（不与重合，且横、纵坐标都是整数），若双曲线（）经过点，写出一个符合条件的的值： ． 【答案】或或（任选一个即可）． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，由，可得轴，得到点的纵坐标为，再根据横坐标，横坐标为整数，求出点的坐标，即可求解，掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴轴， ∵点在线段上， ∴点的纵坐标为，且横坐标， ∵点的横坐标为整数， ∴或或， ∴点的坐标为或或， ∴的值为，，， 故答案为：或或（任选一个即可）． 31．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知反比例函数的图象经过点． (1)求该反比例函数的关系式； (2)画出反比例函数的图像； (3)当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)的取值范围为 【分析】本题考查了利用待定系数法求反比例函数解析式，画函数图象，以及已知反比例函数自变量范围求函数值取值范围，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）直接利用待定系数法求解，即可解题； （2）根据画函数图象步骤，列表、描点、连线画出图象即可； （3）根据（2）中图象与数据，即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 故该反比例函数的关系式为； （2）解：根据题意列表如下： 根据表格数据画函数图象如下： （3）解：由（2）可知，当时，的取值范围为． 32．（24-25九年级上·北京·开学考试）已知反比例函数的图象位于第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若该反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点为，求的值． (3)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)的取值范围为或． 【分析】（1）根据反比例函数的图象位于第一、三象限，即，列不等式求解，即可解题； （2）先利用正比例函数求出交点，再将代入反比例函数求解，即可解题； （3）根据反比例函数与正比例函数的交点，再根据交点情况即可得到的取值范围． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， 解得， ∴的取值范围为； （2）解：∵正比例函数的图象过点， ∴， 反比例函数与正比例函数交点为， ∴， 解得； （3）解：由，则，解得：， ∴反比例函数与正比例函数的交点为，， ∴当时，的取值范围为或． 【点睛】本题考查反比例函数的图象性质，解一元一次不等式，一次函数与反比例函数交点情况，以及根据一次函数与反比例函数交点情况求不等式解集，解题的关键在于熟练掌握相关知识并灵活运用． 33．（2024·北京顺义·二模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与函数的图象交于点 (1)求k，b的值； (2)已知直线与图象分别交于点若结合函数图象，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的性质，，正确作出函数的图象是解题的关键． （1）用待定系数法求解即可； （2）用待定系数法求出过点A的正比例函数解析式，再分别画出函数的图象，根据图象即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得； 把代入，得， 解得：； （2）解：设过点的正比例函数解析式为， 把代入，得， ∴过点的正比例函数解析式为，如图， 由图可得：直线与图象分别交于点若则． 八、一次函数与反比例函数综合（共6小题） 34．（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答． 【详解】解：∵当反比例函数图象位于第一、三象限， ∴，则， ∴一次函数的应该经过第二、四象限， 又∵， ∴该直线与y轴交于正半轴， 故B、C选项错误； ∵当反比例函数图象位于第二、四象限时，，则， ∴一次函数的应该经过第一、三象限， 故D选项错误． 故选：A． 35．（2024·北京·三模）在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于两点，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线与双曲线交于两点，得出，，再解方程，即可作答． 【详解】解：∵直线与双曲线交于两点 ∴ 则， ∴ 整理得 ∴ 当时，则，此时； 当时，则，此时； 故答案为： 36．（2024·北京西城·二模）如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 37．（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或 【分析】该题主要考查了一次函数和反比例函数综合，重点掌握一次函数和反比例函数图象和性质，解析式求解，交点问题； （1）点代入直线求出，点代入双曲线求出，联立直线与双曲线求出点的坐标； （2）分两种情况画图解答即可； 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 故点， 将点代入双曲线得：， 故双曲线为 联立直线与双曲线得：或2， 故点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，当直线在点P上方时，， 此时，，即；    如图，当直线在点Q上方x轴下方时，， 此时，，即； 综上，或；    38．（2022·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 39．（21-22九年级下·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交于点和点B．    (1)直接写出点A的坐标和一次函数的解析式； (2)直接写出点O到直线的距离； (3)点C是双曲线在第一象限内的一点，若的面积大于面积的2倍，直接写出C点的横坐标的取值范围． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）将点代入中，即可解得点A的坐标，再将点A的坐标代入中即可解得一次函数的解析式； （2）根据一次函数解析式求出与x轴的交点D和与y轴的交点E的坐标，并根据勾股定理求出长，再根据等面积法即可解答； （3）设和，求出的面积，表示出的面积，得出，列出不等式求出解集即可； 【详解】（1）根据题意，将点代入中， 解得：， 故点A的坐标为：； 将点代入中， 解得：， 故一次函数的解析式为：； （2）解：由（1）可得：一次函数的解析式为：， 求得一次函数与x轴的交点D和与y轴的交点E的坐标分别为：， ， 故点O到直线的距离为：；    （3）因为点C是双曲线在第一象限内的一点， 故设， 则， 联立和解得：或（舍）， 故， 由题可解得：， ， ， ， 化简得：， 令， 该二次函数开口向上，与坐标轴交点横坐标分别为：， 故当时， 解得：， ， 故， 故当的面积大于面积的2倍时， C点的横坐标的取值范围为：；    【点睛】该题主要考查了反比例函数和一次函数图像和性质，解答的关键是数形结合． 九、反比例函数与几何综合（共5小题） 40．（23-24九年级上·北京海淀·阶段练习）如图，矩形的顶点和正方形的顶点都在反比例函数的图象上，点的坐标为，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质的应用，求反比例函数的解析式，由题意，首先根据B的坐标求出k，然后可设，再由正方形，建立关于a的方程，进而得解． 【详解】解：点的坐标为，且在反比例函数的图象上， ， 反比例函数的解析式为， 点在反比例函数图像上， 设， ， 或， ， ， ， 故答案为：． 41．（22-23九年级上·北京·期中）如图，一组抛物线的顶点，，为正整数依次是反比例函数图象上的点，第一条抛物线以为顶点且过点，，等腰为第一个三角形；第二条抛物线以为顶点且经过点，，等腰为第二个三角形；；第条抛物线以为顶点且经过点，，等腰为第个三角形． （1）写出满足的面积为整数的的值 ． （2）若第条抛物线为满足，称“滑翔抛物线”，试求出满足条件的“滑翔抛物线”解析式为 ． 【答案】 1或4 或 【分析】（1）由题意，第条抛物线的对称轴为：，因为点，（为正整数）在反比例函数图象上，所以的坐标为，所以的面积，当的面积为整数时，即可得出的值； （2）设第条抛物线为，将顶点坐标代入，可得，所以第条抛物线为，根据列出方程，解方程求得的值，即可得出满足条件的“滑翔抛物线”解析式． 【详解】解：（1）第条抛物线以为顶点且经过点，，等腰为第个三角形． 抛物线的对称轴为：， 点，（为正整数）在反比例函数图象上， 的坐标为， 的面积， 的面积为整数的的值1或4； 故答案为：1或4； （2）设第条抛物线为， ，， 第条抛物线为， ， ， 解得：或， 当时， 当时，或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查用待定系数法求二次函数的解析式，解一元二次方程，三角形的面积公式．解决（2）问的关键是用待定系数法得出第条抛物线的解析式． 42．（23-24九年级上·北京东城·阶段练习）有这样一个问题：探究函数的图象与性质并解决问题． 小明根据学习函数的经验，对问题进行了探究． 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围__________； (2)取几组y与x的对应值，填写在下表中． x … 0 1 3 4 5 6 8 … y … 1 2 3 6 8 8 6 3 m 1 … m的值为______；    (3)如下图，在平面直角坐标系中，描出补全后的表中各组对应值所对应的点，并画出该函数的图象； (4)获得性质，解决问题： ①通过观察、分析、证明，可知函数的图象是轴对称图形，它的对称轴是______； ②过点作直线轴，与函数的图象交于点M，N （点M在点N的左侧），则的值为______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4)①，②6 【分析】（1）根据分式有意义的条件即可得到结论； （2）把代入函数解析式求出函数值即可． （3）利用描点法画出函数图象即可． （4）①根据轴对称图形的定义即可判断是轴对称图形． ②求出，的长（用n表示）即可解决问题． 【详解】（1）解：函数的自变量x的取值范围是， 解得：， 故答案为：； （2）解：由题意时，， ∴， 故答案为：2． （3）解：函数图象如图所示：    （4）解：①观察图象可知函数的图象关于对称； 图象的对称轴为：， 故答案为：． ②由题意， ，点M在点N的左侧， ，即， 解得：，， ， ， ，， ， ，，， 故答案为：6． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是学会用描点法画出函数图象，属于中考常考题型． 43．（22-23九年级下·北京海淀·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与反比例函数的图象在第一象限交于点． (1)求点A的坐标和该反比例函数的表达式； (2)点M在这个反比例函数图象上，过M作平行于x轴的直线，交y轴于点C．交直线于点D．连接，，．若，请直接写出点M的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）求出当函数的自变量时，的值即可得点的坐标，再根据直线的解析式求出点的坐标，然后利用待定系数法即可得反比例函数的解析式； （2）先利用反比例函数的性质求出，再分两种情况：①点在第一象限，②点在第三象限，求出，根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：对于函数， 当时，， ， 将点代入函数得：， ， 将点代入得：， 则该反比例函数的表达式为． （2）解：设直线与轴的交点为点，点的坐标为，则， ， ， 对于函数， 当时，，解得， ， ①如图，当点在第一象限时，则， ， ， ， 解得，符合题意， 则， 则此时点的坐标为； ②如图，当点在第三象限时，则， ， ， ， 解得，不符合题意，舍去， 综上，点的坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法和反比例函数的性质是解题关键． 44．（22-23九年级上·北京海淀·阶段练习）在平面直角坐标系中，反比例函数的图像过点． (1)求的值； (2)一次函数与轴相交于点，与反比例函数的图像交于点，过点作轴的平行线，过点作轴的平行线，两平行线相交于点，当时，结合图像，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法即可求得； （2）根据分两种情况讨论：当时，则，则的横坐标为1，即且；当时，则，则的横坐标为，即，据此即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：反比例函数的图像过点， ，解得； （2）解：一次函数与轴相交于点， 当时，，即， 根据题意，分两种情况讨论： ①当时，如图所示： ，， ， ， ，即的横坐标为1， 一次函数与反比例函数的图像交于点， 且 ，解得； ②当时，如图所示： ，， ， ， ， 一次函数与反比例函数的图像交于点， 且 ，解得； 综上所述：． 【点睛】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了待定系数法求反比例函数、一次函数的解析式，函数图像与特殊三角形面积问题等，数形结合是解题的关键． 十、反比例函数与实际问题（共5小题） 45．（2022·北京昌平·二模）某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压千帕随气球内气体的体积立方米的变化情况如下表所示，此时p与V的函数关系最可能是（   ） 立方米 64 48      32 24 … 千帕      2      3 4 … A．正比例函数 B．一次函数 C．二次函数 D．反比例函数 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数的应用，观察表格中的数据可知的值是一个定值，则p与V的函数关系最可能是反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，；；；；，… 由此可得出p和V的函数关系是为： 故选：D． 46．（2024·北京·三模）小明对某市出租汽车的计费问题进行研究，他搜集了一些资料，部分信息如下： 收费项目 收费标准 3公里以内收费 13元 基本单价 2.3元/公里 … … 备注：出租车计价段里程精确到500米，出租汽车收费结算以元为单位，元以下四舍五入． 小明首先简化模型，从简单情形开始研究： ①只考虑白天正常行驶（无低速和等候）； ②行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元． 下面是小明的探究过程，请补充完整： 记一次运营出租车行驶的里程数为x（单位：公里），相应的实付车费为y（单位：元）． (1)下表是y随x的变化情况，补全表格中的数据，并在平面直角坐标系中，画出当时y随x变化的函数图象； 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 (2)一次运营行驶x公里（）的平均单价记为w（单位：元/公里），其中． ①当和时，平均单价依次为，则的大小关系是______；（用“”连接） ②若一次运营行驶x公里的平均单价w不大于行驶任意s（）公里的平均单价，则称这次行驶的里程数为幸运里程数．请直接写出3~4（不包括端点）之间的幸运里程数x的取值范围（保留两位小数）． 【答案】(1)17，18；见解析 (2)①；②或 【分析】题目属于新定义问题，考查反比例函数的图象与性质，读懂题目是解题的关键． （1）根据计费标准完成表格即可；根据表格画出图象即可； （2）①根据把和分别代入计算的值，并作比较； ②根据幸运里程数的概念及反比例函数求解即可． 【详解】（1）根据计费模型，可得行驶路程3公里以上时，计价器每500米计价1次，且每1公里中前500米计价元，后500米计价元．且计费以元为单位得出 ；； 故答案为：17，18； 补全表如图： 行驶里程数x 0 … 实付车费y 0 13 14 15 17 18 （2）①当时，， 当时，， 当时，， 则 ； ②当时，，w随x的增大而减小， ∴幸运里程数的取值范围，且w最小接近于； 当时，，w随x的增大而减小， 当时，里程数x为幸运里程数， 解得， ∴； 综上：轴上表示出（不包括端点）之间的幸运里程数的取值范围或． 47．（23-24九年级上·北京·期末）火力发电站的燃烧塔的轴截面是如图所示的图形，是一个矩形，分别是两个反比例函数图像的一部分，已知，上口宽，求整个燃烧塔的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例的应用，正确求得函数的解析式，理解燃烧塔的高度等于F的纵坐标是解题的关键．先求得C的坐标，然后利用待定系数法求得反比例函数的解析式，然后把F的横坐标代入求得纵坐标即可． 【详解】解：∵， ∴C的坐标是． 设反比例函数的解析式是， 把C的坐标代入得， 则反比例函数解析式是， 当时，． 答：整个燃烧塔的高是． 48．（23-24九年级上·北京·期末）如图，学校生物兴趣小组的同学们用围栏围了一个面积为平方米的矩形饲养场地．设为米，为米． (1)求与的函数关系式； (2)延长至，使比少米，围成一个新的矩形，结果场地的面积增加了平方米，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的应用、矩形的面积以及分式方程的求解等， （1）利用矩形的面积公式，可得出与的函数关系式； （2）由的长可得出的长，再利用矩形的面积公式，结合矩形的面积为平方米，即可得出关于的方程． 【详解】（1）解：矩形饲养场的面积为平方米． 即： （2）比少米，为米． 为米． 此时新增加的面积为矩形的面积． 即： 又 化简得： 解得：． 经检验，是所列方程的解，符合题意， 所以的长为米． 49．（23-24九年级上·北京石景山·期末）已知某蓄电池的电压为定值，使用此电源时，用电器的电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，即，其图象如图所示． (1)求的值； (2)若用电器的电阻为，则电流为______； (3)如果以此蓄电池为电源的用电器的电流不得超过，那么用电器的电阻应控制的范围是______． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】此题考查了反比例函数的实际应用，熟练掌握反比例函数的图象及性质是解题的关键． （）根据待定系数法即可求解； （）代入函数求值即可； （）当时，代入求出，再根据图象即可求解． 【详解】（1）∵图象经过点， ∴， 解得：； （2）由（）得：， ∴， 当时，， 故答案为：； （3）当电流，， 解得：， 根据图象电流不得超过，则， 故答案为：． $$