专题03 反比例函数（期中知识清单，9个考点梳理+题型解读+提升训练）九年级数学上学期北京版

清单03 反比例函数（9个考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】反比例函数的定义 1、定义： 一般地，表达式形如（为常数，且）的函数叫做反比例函数，其中是自变量，是的函数.自变量的取值范围是不等于0的一切实数. 2、反比例函数的三种表达形式： （1）； （2）； （3）（为常数，且） 【注意】反比例函数的表达式中，无论x，y怎样变化，k的值始终等于x与y的乘积，因此人们习惯上称k为比例系数. 【清单02】反比例函数图象与性质 1、 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 2、反比例函数的性质： 反比例函数 （） K的符号 图象 图像位置 第一、三象限 第二、四象限 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而减小 在每个象限内，y随x的增大而增大 【清单03】求反比例函数的表达式 1、确定反比例函数表达式的方法 由于在反比例函数 ( k≠0)中只有一个待定系数，因此只需要一对x，y的对应值或图象上一个点的坐标，用待定系数法即可求出k的值，从而确定其表达式. 2、用待定系数法求反比例函数表达式的一般步骤 【注意】 （1） 用待定系数法求反比例函数的表达式的实质是代入一对对对应值，解一元一次方程. （2） 当题目中已经明确“y是x的反比例关系”时，可直接设函数的表达式为 ( k≠0). 【清单04】反比例函数中k的几何性质 1、矩形面积 如图，过双曲线上任意一点p（x，y）分别作x轴、y轴的垂线PM，PN，所得的矩形PMON的面积S=PMS=PM•PN=，即过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线所得的矩形的面积为. 2、三角形的面积 如图，过双曲线上的任意一点E作EF垂直于y轴，垂足为F，连接EO，则，即过双曲线上任意一点作一坐标轴的垂线，连接该点与原点，所得的三角形的面积为. 【考点题型一】判定是否是反比例函数 【例1】（2022·北京大兴·一模）某市煤气公司要在地下修建一个容积为立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【变式1 -1】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【变式1 -2】（22-23九年级上·北京顺义·期末）下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【考点题型二】根据定义求未知数值 【例2】（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【变式2 -1】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知双曲线的解析式为，则下列各点在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【变式2 -2】（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【变式2 -3】（2023·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则 ． 【考点题型三】反比例函数求值 【例3】（2023·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 ． 【变式3 -1】（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第 象限． 【变式3 -2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【变式3 -3】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【考点题型四】根据函数值求自变量的值 【例4】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【变式4 -1】（21-22八年级下·江苏连云港·阶段练习）若点A(t，2)在反比例函数的图象上，则t的值为 ． 【变式4 -2】（21-22九年级上·湖南邵阳·期末）已知反比例函数的图像经过点P（a-1，2），则a= ． 【变式4 -3】（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【考点题型五】求反比例函数解析式 【例5】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． 【变式5 -1】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【变式5 -2】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为2，轴，垂足为，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； 【变式5 -3】（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数图象上，则 ． 【考点题型六】反比例函数图像 【例6】（23-24九年级上·北京通州·期末）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式6 -1】（2021·北京海淀·二模）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式6 -2】（23-24八年级下·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值 ．    【变式6 -3】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【变式6 -4】（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是 ．（写出一个即可）．    【变式6 -5】（23-24九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【考点题型七】反比例函数的增减性 【例7】（23-24九年级上·北京顺义·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象分布在第二、第四象限 B．点在它的图象上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【变式7 -1】（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）下列函数中，当时，y的值随着x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【变式7 -2】（23-24九年级下·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7 -3】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知反比例函数．则： （1）当时，y的取值范围为 ； （2）当时，y的取值范围为 ； （3）当且时，y的取值范围为 ． 【变式7 -4】（2024·北京西城·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图像上，则 （填“>”“=”或“<”）． 【变式7 -5】（2022·北京房山·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 【变式7 -6】（23-24八年级下·北京·期中）已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 【考点题型八】比例系数与特殊图形面积 【例8】（21-22九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【变式8 -1】（2015·江苏扬州·一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式8 -2】（23-24八年级下·北京·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【变式8 -3】（23-24九年级上·北京·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形是正方形，四边形是矩形，与交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形的面积等于矩形的面积 B．点M的坐标为 C．矩形的面积为6 D．矩形的面积等于矩形的面积 【变式8 -4】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【变式8 -5】（23-24九年级上·北京·期末）如图，A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，平行于y轴，平行于x轴，则的面积为 ． 【变式8 -6】（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【考点题型九】一次函数与反比例函数综合 【例9】（22-23九年级上·北京平谷·期末）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围． 【变式9 -1】（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式9 -2】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象与正比例函数的图象没有交点，写出满足条件的一个值 ． 【变式9 -3】（2024·北京西城·二模）如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【变式9 -4】（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【变式9 -5】（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝mx交于点A（2，2）． (1)求k，m的值； (2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数（x＞0）的图象于点N． ①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【变式9 -6】（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象向右移动三个单位后，图象经过点；一次函数的图象也经过点，并且与反比例函数交于两点； (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个取值，一次函数的值大于反比例函数的值，结合图象直接写出的取值范围． 【变式9 -7】（23-24八年级下·北京·期末）如图所示，双曲线的图像与一次函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)设为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【变式9 -8】（2022·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【变式9 -9】（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 【变式9 -10】（2023·北京东城·二模）某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程．    (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； (3)平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； (4)得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 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【例1】（2022·北京大兴·一模）某市煤气公司要在地下修建一个容积为立方米的圆柱形煤气储存室，记储存室的底面半径为r米，高为h米，底面积为S平方米，当h，r在一定范围内变化时，S随h，r的变化而变化，则S与h，S与r满足的函数关系分别是（    ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．反比例函数关系，二次函数关系 C．一次函数关系，反比例函数关系 D．反比例函数关系，一次函数关系 【答案】B 【分析】根据已知条件求出S随h，S随r变化的函数关系式即可得到解答． 【详解】解：由已知可得：S=πr2，Sh=104， ∴S=， ∴S与h，S与r满足的函数关系分别是反比例函数关系，二次函数关系， 故选B． 【点睛】本题考查函数类型的判别，根据实际问题列出函数解析式并根据解析式的特征判断函数的类型是解题关键． 【变式1 -1】（2024·北京顺义·一模）已知y是x的函数，下表是x与y的几组对应值： x … 1 2 4 … y … 4 2 1 … y与x的函数关系有以下3个描述： ①可能是一次函数关系； ②可能是反比例函数关系； ③可能是二次函数关系，所有正确描述的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】C 【分析】本题考查了用列表法表示函数关系，函数关系的判定，根据表格数据的特点判断出三点不共线，且三个点的横坐标和纵坐标的积都为4是解题的关键． 根据图表数据可知，三个点不在同一直线上即可判断不是一次函数可能是二次函数，三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，即可判断可能是反比例函数． 【详解】解：观察可知，三个点不在同一直线上，故①错误，③正确； 三个点的横坐标和纵坐标的积都为4，故都在反比例函数图象上，故②正确； 故选：C． 【变式1 -2】（22-23九年级上·北京顺义·期末）下面两个问题中都有两个变量： ①矩形的周长为20，矩形的面积y与一边长x； ②矩形的面积为20，矩形的宽y与矩形的长x． 其中变量y与变量x之间的函数关系表述正确的是（　　） A．①是反比例函数，②是二次函数 B．①是二次函数，②是反比例函数 C．①②都是二次函数 D．①②都是反比例函数 【答案】B 【分析】先根据矩形的周长和面积公式列出函数关系式，然后根据反比例函数和二次函数的定义即可解答． 【详解】解：①∵矩形的周长为20，一边长x ∴另一边长为 ∴为二次函数； ②∵矩形的面积为20，矩形的长x ∴是反比例函数． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反比例函数、二次函数解析式的判定等知识点，正确列出函数解析式是解答本题的关键． 【考点题型二】根据定义求未知数值 【例2】（2024·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图象与性质，根据题意，将点和代入反比例函数表达式，得到，解方程即可得到答案，熟记反比例函数图象与性质是解决问题的关键． 【详解】解：函数的图象经过点和， ， 解得， 故答案为：． 【变式2 -1】（23-24九年级上·北京东城·期中）已知双曲线的解析式为，则下列各点在此双曲线上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】只需把所给点的横纵坐标相乘，结果是的，就在此函数图象上． 【详解】∵反比例函数中， ∴， ∴只需把各点横纵坐标相乘，结果为的点在函数图象上， 四个选项中只有D选项符合． 故选：D． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，所有在反比例函数上的点的横纵坐标的积应等于比例系数． 【变式2 -2】（2024·北京平谷·一模）如图，反比例函数经过点、点，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法确定函数关系式．把点坐标代入解析式求出，进而求出反比例函数的解析式，然后将代入反比例函数的解析式即可． 【详解】解：由图可知，， 将代入， 得：， ， 将代入得：， 解得：， 故答案为：． 【变式2 -3】（2023·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象过点和，则 ． 【答案】1 【分析】由点在反比例函数图象上，代入后求出的值，再结合点在反比例函数图象上，由此得到关于的一元一次方程，即可求出结果． 【详解】反比例函数的图象过点， ， 在反比例函数的图象上， ， 解得， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题的关键是求出的值，得到关于点坐标的方程即可求出结果，本题较为基础． 【考点题型三】反比例函数求值 【例3】（2023·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象经过点和点，则 ． 【答案】0 【分析】将，两点代入反比例函数求得和的值，再计算求值即可； 【详解】解：∵点和在反比例函数图象上， ∴，， ∴， 故答案为：0； 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的性质，掌握函数图象上的点满足函数关系式是解题关键． 【变式3 -1】（22-23九年级下·北京西城·阶段练习）在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上．若，则点P在第 象限． 【答案】四 【分析】由点在反比例函数上，可得，由可得，进而得出答案． 【详解】解：∵点在反比例函数上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在第四象限． 故答案为：四． 【点睛】考查反比例函数图象上的点坐标的特征，求出是解答此题的关键． 【变式3 -2】（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则的值是 . 【答案】0 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，已知自变量求函数值，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 将点和代入，求得和，再相加即可． 【详解】解：∵函数的图象经过点和， ∴有， ∴， 故答案为：0． 【变式3 -3】（2024·北京·一模）在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点和，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数上点的坐标特征，先将点和代入函数解析式得出，，结合题意可得，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点和， ∴，， 又∵， ∴， 即； 即的值为． 故答案为：． 【考点题型四】根据函数值求自变量的值 【例4】（2024·北京海淀·一模）在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和．则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，理解反比例函数图象上的点满足反比例函数的表达式是解决问题的关键．将点和代入之中得，，由此可得的值． 【详解】解：函数的图象经过点和， ，， ，， ． 故答案为：0． 【变式4 -1】（21-22八年级下·江苏连云港·阶段练习）若点A(t，2)在反比例函数的图象上，则t的值为 ． 【答案】/-0.5 【分析】将点A坐标代入反比例函数解析式，即可求出t的值． 【详解】将点A(t，2)代入，得：， 解得：． 经检验符合题意． 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．掌握函数图象上的点的坐标满足其解析式是解题关键． 【变式4 -2】（21-22九年级上·湖南邵阳·期末）已知反比例函数的图像经过点P（a-1，2），则a= ． 【答案】﹣3 【分析】直接将点P代入求出a即可． 【详解】∵反比例函数的图象经过点P， ∴直接将点P代入，则2-2a=8，解得a=－3． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数知识和计算准确性是解决本题的关键，难度较小． 【变式4 -3】（2022·北京石景山·一模）在平面直角坐标系xOy中，点，都在反比例函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】把，代入反比例函数，求出m、n的值即可． 【详解】∵点，都在反比例函数的图象上 ∴，解得 ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查反比例函数解析式，把坐标代入解析式是解题的关键． 【考点题型五】求反比例函数解析式 【例5】（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）反比例函数的图象经过点，则k的值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的性质，把代入解析式，即可求解． 【详解】∵反比例函数的图象经过点 故选：D． 【变式5 -1】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知是的反比例函数，是的正比例函数． (1)当时，．当时，．求与之间的函数关系式； (2)证明：是的反比例函数． 【答案】(1)与之间的函数关系式为； (2)证明见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）根据反比例函数的定义即可求证； 本题考查了求正比例函数解析式，反比例函数定义及求解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】（1）解：∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∵时，， ∴，解得：， 当时，， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式为； （2）∵是的反比例函数，是的正比例函数， 设，， ∴， ∴是的反比例函数． 【变式5 -2】（23-24八年级下·北京西城·期中）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象交于，两点，点的横坐标为2，轴，垂足为，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； 【答案】(1) (2)12 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式及函数的交点问题，在（1）中求得点坐标、在（2）中求得点到的距离是解题的关键． （1）把点横坐标代入正比例函数可求得点坐标，代入反比例函数解析式可求得，可求得反比例函数解析式； （2）根据反比例函数的对称性得出点的坐标，再利用三角形的面积公式解答即可； 【详解】（1）解：∵点在正比例函数上，且点的横坐标为， 把代入中，得到， ∴点坐标为， ∵点在反比例函数图象上， 将代入到反比例函数得， ， ∴反比例函数的表达式为 ； （2）由题意得：解得：， 经检验：都是原方程组的解， ， ， ∵， ， ， ， ， ， ． 【变式5 -3】（2024·北京昌平·二模）在平面直角坐标系xOy中，若点和在反比例函数图象上，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征．根据比例函数中的系数得到关于的方程，求解即可得到答案． 【详解】解：点和在反比例函数图象上， ， 解得， 故答案为：8． 【考点题型六】反比例函数图像 【例6】（23-24九年级上·北京通州·期末）兴趣小组同学借助数学软件探究函数的图象，输入了一组a，b的值，得到了它的函数图象，借助学习函数的经验，可以推断输入的a，b的值满足（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查函数的图象；能够通过已学的反比例函数自变量的取值范围确定b的取值是解题的关键．由图象可知，当时，，可知；由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得；从而可得答案. 【详解】解：由图象可知，当时，， ∴； 由函数自变量的取值范围可得，结合函数图象可得； 故选：A． 【变式6 -1】（2021·北京海淀·二模）反比例函数（k为正整数）在第一象限的图象如图所示，已知图中点A的坐标为，则k的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】首先假设点A在该反比例函数图象上，即可求出此时k的值．再根据实际，即可判断k的取值范围，即可选择． 【详解】假设点A在该反比例函数图象上， ∴， ∵点A实际在该反比例函数图象上方， ∴． 选项中只有A选项的值小于2． 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的性质．利用数形结合的思想是解答本题的关键． 【变式6 -2】（23-24八年级下·北京·期末）如图为反比例函数的图象，请写出满足图象的一个的值 ．    【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据图象可得比例系数的坐标在和之间，即可得，据此即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：由图象可得，比例系数的坐标在和之间， ∴，即， ∴满足图象的一个的值可以为， 故答案为：． 【变式6 -3】（22-23九年级上·安徽亳州·期末）已知反比例函数的图象位于第二、第四象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据双曲线分布的象限，得到，然后解不等式即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，解得， 故答案为：． 【变式6 -4】（2023·北京丰台·二模）在平面直角坐标系中，反比例函数和的图象如图所示，k的值可以是 ．（写出一个即可）．    【答案】2（答案不唯一） 【分析】先确定的取值范围，然后在范围内去一个值即可． 【详解】如图，在上任取一点，作轴，交与点，作轴，过点作轴，    设，则， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴k的值可以是2． 故答案为：2．（答案不唯一） 【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式6 -5】（23-24九年级上·北京顺义·期中）探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4) 【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）先描点，再连线，画出函数图象即可； （4）根据函数图象可得P、Q关于直线对称，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是，即， 故答案为：； （2）解：在中，当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，函数的函数图象关于直线对称， ∵是函数图象上的两点， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，求函数值，画反比例函数图象，反比例函数的性质等等，正确利用数形结合的思想求解是解题的关键． 【考点题型七】反比例函数的增减性 【例7】（23-24九年级上·北京顺义·期末）对于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．它的图象分布在第二、第四象限 B．点在它的图象上 C．当时，y随x的增大而减小 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解答本题的关键，根据反比例函数的图象与性质，对各选项逐一分析即可． 【详解】选项A，因为，所以图象在第一、第三象限，不符合题意； 选项B，对于反比例函数，当时，，所以点不在它的图象上，不符合题意； 选项C，对于反比例函数，当时，图象在第一象限内，所以y随x的增大而减小，符合题意； 选项D，对于反比例函数，当时，图象在第三象限内，所以y随x的增大而减小，不符合题意． 故选C． 【变式7 -1】（23-24九年级下·北京顺义·阶段练习）下列函数中，当时，y的值随着x的值增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题综合考查了二次函数、正比例函数及反比例函数的性质．掌握二次函数、正比例函数及反比例函数的增减性是解决问题的关键． 根据正比例函数的性质，二次函数的图象的性质，反比例函数的图象的性质解答即可． 【详解】解：A．∵在正比例函数中，， ∴随的增大而增大，故本选项不符合题意； B．∵在二次函数中，， ∴二次函数的图象的开口向上，在轴左侧（时），随的增大而减小，故本选项符合题意； C．∵在反比例函数中，， ∴它的图象在一象限，随的增大而增大，故本选项不符合题意； D．∵在二次函数中，， ∴二次函数的图象的开口向下，在对称轴的左侧（即时，随的增大而增大，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式7 -2】（23-24九年级下·北京东城·开学考试）在平面直角坐标系中，若点和在反比例函数 图象上，则下列关系式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查反比例函数，熟练掌握反比例函数的增减性是解题的关键． 根据反比例函数中，y随x的增大而减小，点和中，，得到． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数图象 经过第一、三象限，在第一象限中，函数值y随x的增大而减小， ∵点和中，， ∴， 故选：A． 【变式7 -3】（24-25九年级上·北京海淀·开学考试）已知反比例函数．则： （1）当时，y的取值范围为 ； （2）当时，y的取值范围为 ； （3）当且时，y的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质； （1）根据反比例函数的增减性求解即可； （2）根据反比例函数的增减性求解即可； （3）根据反比例函数的增减性求解即可． 【详解】∵反比例函数， ∴反比例函数的图象在第二、四象限，在每一象限内，随增大而增大； （1）当时，该函数图象在第一象限，且随增大而增大， 当时，；当时，； ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：； （2）当时，该函数图象位于第二象限，且随增大而增大， 当时，； ∴当时，y的取值范围为； 故答案为：； （3）当时，；当时，； 当时，该函数图象在第二象限，且随增大而增大，此时y的取值范围为； 当时，该函数图象在第四象限，且随增大而增大，此时y的取值范围为； ∴当且时，y的取值范围为或； 故答案为：或． 【变式7 -4】（2024·北京西城·模拟预测）已知点，都在反比例函数的图像上，则 （填“>”“=”或“<”）． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图像与性质，熟练掌握本题反比例函数的增减性质是解题的关键．由反比例函数的性质：当时，的图像分别在第二、四象限，根据增减性即可求解； 【详解】解：， ∴的图像分别在第二、四象限， 点，都在反比例函数的图像上， 在每一个象限内，随的增大而增大， 即， 故答案为： 【变式7 -5】（2022·北京房山·二模）已知点，在反比例函数的图象上，且，则k的值可以是 ．（只需写出符合条件的一个k的值） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质．熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 由题意知，当时，随着的增大而增大，则，然后作答即可． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上，且， ∴当时，随着的增大而增大， ∴， ∴k的一个值为：， 故答案为：（答案不唯一）． 【变式7 -6】（23-24八年级下·北京·期中）已知双曲线． (1)若双曲线与直线的一个交点的纵坐标为，求的值． (2)在双曲线的每一支上，随的增大而减小，求的取值范围． (3)若双曲线的一支位于第二象限，在这一支上任取两点，，当时， （填“”，“”或“”）． 【答案】(1)13 (2) (3) 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题及反比例函数的性质． （1）设点P的坐标为，由点P在正比例函数的图象上可求出m的值，进而得出P点坐标，再根据点P在反比例函数的图象上，所以，解得； （2）由于在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小，故，求出k的取值范围即可； （3）反比例函数图象的一支位于第二象限，故在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，所以与点在该函数的第二象限的图象上，且，故可知． 【详解】（1）解：由题意，设点P的坐标为， ∵点P在正比例函数的图象上， ∴，即． ∴点P的坐标为． ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 解得． （2）解：∵在反比例函数图象的每一支上，y随x的增大而减小， ∴，解得． （3）解：∵反比例函数图象的一支位于第二象限， ∴在该函数图象的每一支上，y随x的增大而增大． ∵与点在该函数的第二象限的图象上，且， ∴ 故答案为： 【考点题型八】比例系数与特殊图形面积 【例8】（21-22九年级上·北京·开学考试）如图，点A、B是函数与的图象的两个交点，作轴于C，作轴于D，则四边形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查反比例函数的几何意义和三角形的面积公式 根据函数的解析式得到各线段的长度，将四边形分为四个小三角形即可求出面积 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知，， ∴的面积都等于， ∴四边形的面积为， 故选：D. 【变式8 -1】（2015·江苏扬州·一模）如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，根据图象所在象限可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式8 -2】（23-24八年级下·北京·期末）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为3，则k的值为（    ） A．3 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．根据反比例函数的几何意义即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵轴， ∴， ∴ ∴ ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：D． 【变式8 -3】（23-24九年级上·北京·期末）如图，点M，N在反比例函数的图象上，点A，C在y轴上，点B，D在x轴上，且四边形是正方形，四边形是矩形，与交于点E，下列说法中不正确的是（　　） A．正方形的面积等于矩形的面积 B．点M的坐标为 C．矩形的面积为6 D．矩形的面积等于矩形的面积 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，坐标与图形； 根据反比例函数系数k的几何意义可判断A、C；根据正方形的面积为6求出边长，可得点M的坐标，然后判断B；根据正方形的面积等于矩形的面积可知矩形的面积等于矩形的面积，进而判断D选项． 【详解】解：A、∵过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积S是个定值，即， ∴正方形的面积等于矩形的面积，等于6，此选项正确； B、∵四边形是正方形，面积等于6， ∴， ∴点M的坐标为，此选项错误； C、矩形的面积为6，此选项正确； D、∵正方形的面积等于矩形的面积，等于6， ∴同时减去四边形的面积仍然相等，即矩形的面积等于矩形的面积，此选项正确； 故选：B． 【变式8 -4】（23-24九年级下·北京·开学考试）如图，过点分别作轴于点C，轴于点D，、分别交反比例函数的图象于点A、B，则四边形的面积为 ．    【答案】 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义； 由点P坐标可得四边形的面积，根据反比例函数系数的几何意义可得 ，再利用矩形的面积减去和的面积即可. 【详解】 解：∵， ∴四边形的面积为， ∵两点在反比例函数的图象上， ， ∴四边形的面积为：， 故答案为: . 【变式8 -5】（23-24九年级上·北京·期末）如图，A，B是函数的图象上关于原点O对称的任意两点，平行于y轴，平行于x轴，则的面积为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数k的意义．设A点坐标为，则B点坐标为，得出C点坐标为，求出，根据反比例函数k值的意义求出，即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 设A点坐标为，则B点坐标为， ∴C点坐标为， ∴， ∵A、B为函数图象上两点， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式8 -6】（2023·北京·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点A、B、C在双曲线上，轴于点D，轴于点E，点F在x轴上，且，则图中阴影部分的面积之和为 ．    【答案】16 【分析】过A作垂直于x轴，交x轴于点G，由，利用三线合一得到G为的中点，根据等底同高得到三角形的面积等于三角形的面积，再由A，B及C三点都在反比例函数图象上，根据反比例的性质得到，及的面积都相等，都为，由反比例解析式中的k值代入，求出三个三角形的面积，问题随之得解． 【详解】解：过A作轴，交x轴于点G，如图所示：    ∵，， ∴G为的中点，即， ∴， 又∵A，B及C点都在反比例函数上，轴，轴， ∴， ∴， 则， 故答案为：16． 【点睛】本题考查反比例函数，掌握反比例函数的性质，运用反比例函数的性质来解答本题关键． 【考点题型九】一次函数与反比例函数综合 【例9】（22-23九年级上·北京平谷·期末）已知：一次函数，与反比例函数的图象交与点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)已知点过点P作垂直于y轴的直线，与反比例函数的图象交于点B，与一次函数的图象交于点C，横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若线段、与反比例函数图象上之间的部分围成的图象中（不含边界）恰有3个整点，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)一次函数的表达式为；反比例函数的表达式为 (2)或 【分析】 （1）把点分别代入和求出k和m的值即可； （2）画出图形，分两种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：把点代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为：， 把点代入得：， 解得：， ∴反比例函数的表达式为：； （2）如图所示， ①当线段在点A上方时，点P在7和8之间时，恰有3个整点， 此时； ②当线段在点A下方时，点P在1和2之间时，恰有3个整点， 此时； 综上：当或时，恰有3个整点． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤，会画函数图象． 【变式9 -1】（21-22九年级上·北京海淀·阶段练习）一次函数与反比例函数在同一坐标系中的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质．因为k的符号不确定，所以应根据k的符号及一次函数与反比例函数图象的性质解答． 【详解】解：∵当反比例函数图象位于第一、三象限， ∴，则， ∴一次函数的应该经过第二、四象限， 又∵， ∴该直线与y轴交于正半轴， 故B、C选项错误； ∵当反比例函数图象位于第二、四象限时，，则， ∴一次函数的应该经过第一、三象限， 故D选项错误． 故选：A． 【变式9 -2】（2024·北京·模拟预测）在平面直角坐标系中，函数的图象与正比例函数的图象没有交点，写出满足条件的一个值 ． 【答案】（答案不唯一，小于） 【分析】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的关系，根据反比例函数的图象是分布在第一、三象限的双曲线，只需正比例函数在第二、四象限，与双曲线无交点，即可得到的值，熟练掌握反比例函数与正比例函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象是分布在第一、三象限的双曲线，是过原点的一条直线， ∴当时，直线在第二、四象限，与双曲线无交点，值只要满足小于即可， ∴（答案不唯一）， 故答案为：．（答案不唯一） 【变式9 -3】（2024·北京西城·二模）如图，，两点在反比例函数的图象上．若将横、纵坐标都是整数的点称为整点，则线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为 ． 【答案】和 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数和一次函数解析式，坐标与图形，熟练掌握一次函数和的反比例函数的图象与性质是解题的关键． 根据，两点在反比例函数的图象上．求出反比例函数解析式、点的坐标，根据点、、的坐标，分别求出直线、的解析式，根据坐标与图形，分析当时、当时，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的情况，得出答案即可． 【详解】解：∵，两点在反比例函数的图象上， ∴，反比例函数解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， 设直线解析式为， 把代入得：， 解得：， ∴直线解析式为， ∵当时，，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， ∵，当时，，， ∴整点在线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中， 综上所述，线段，及反比例函数图象上，两点之间的部分围成的区域（不含边界）中，整点的坐标为和， 故答案为：和． 【变式9 -4】（2022九年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)直接写出关于x的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将代入中求出反比例函数解析式，进而求出，再用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）通过观察图象中直线在曲线上方的x的取值范围求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴反比例函数的表达式为 又∵点在反比例函数的图象上． ∴，即． ∵一次函数的图象经过两点． ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）观察图象，关于x的不等式的解集是或． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握待定系数法求函数解析式，掌握函数与方程及不等式的关系． 【变式9 -5】（2022·北京海淀·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与直线y＝mx交于点A（2，2）． (1)求k，m的值； (2)点P的横坐标为n，且在直线y＝mx上，过点P作平行于x轴的直线，交y轴于点M，交函数（x＞0）的图象于点N． ①n=1时，用等式表示线段PM与PN的数量关系，并说明理由； ②若0<PN≤3PM，结合函数的图象，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)k=4，m=1． (2)①PN=3PM． ②n≥1且n≠2． 【分析】（1）将点A坐标代入双曲线解析式中和直线解析式中，求解即可得出结论． （2）①先求出点M，N点坐标，即可得出结论． ②根据①当n=1时，PN=3PM，结合函数图象可以求解结果． 【详解】（1）解：∵函数y＝(x＞0)的图象与直线y=mx交于点A（2，2）， ∴k=2×2=4，2=2m， ∴m=1， ∴k=4，m=1． （2）解：①由（1）知，k=4，m=1， ∴双曲线的解析式为y＝，直线OA的解析式为y=x， ∵n=1， ∴P（1，1）， ∵PM//x轴， ∴M（0，1），N（4，1）， ∴PM=1，PN=4-1=3， ∴PN=3PM． ②如图， 根据①可知：当n=1时，PN=3PM． 当n≥1且n≠2时，0＜PN≤3PM． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合题，解题关键是结合函数图象，求解不等式，掌握数形结合思想． 【变式9 -6】（23-24八年级下·北京·期末）在平面直角坐标系中，将反比例函数的图象向右移动三个单位后，图象经过点；一次函数的图象也经过点，并且与反比例函数交于两点； (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个取值，一次函数的值大于反比例函数的值，结合图象直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】（）利用待定系数法可求出一次函数解析式，根据平移可得，利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式即可得到点的坐标； （）根据函数图象和一次函数性质即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，一次函数， 把代入得，， ∴， ∴一次函数解析式为， 将反比例函数的图象向右移动三个单位后得到的函数解析式为， 把代入得，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 由，解得或， ∴，； （2）解：由函数图象可得，当时，有，对于的每一个取值，一次函数的值大于反比例函数的值， ∴的取值范围． 【变式9 -7】（23-24八年级下·北京·期末）如图所示，双曲线的图像与一次函数的图像交于，两点． (1)求反比例函数的解析式； (2)设为轴上一点，当的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数综合，熟练掌握交点的意义是解题的关键． （1）根据直线的解析式求出点、的坐标，再代入中求出即可求解； （2）先求出点的坐标，设，则，根据即可求解． 【详解】（1）解：将、分别代入一次函数中得： ，， 解得：，， ，， 将代入中，得：， 反比例函数的解析式为； （2）在中，令，则， 解得：， ， 设， 则， ，， ， 即， 解得：或， 点的坐标为或． 【变式9 -8】（2022·北京海淀·三模）在平面直角坐标系中，一次函数经过点，，． (1)求这个一次函数的解析式； (2)①当双曲线经过点时，求的值； ②当时，对于的每一个值，永远有成立，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；②且 【分析】（1）待定系数法求解析式； （2）①将点坐标代入解析式即可； ②解不等式，时求出的值，即可确定的取值范围． 【详解】（1）解：将点，代入一次函数解析式； 得， 解得， 一次函数解析式：； （2）解：①将点代入反比例函数解析式， 得． ②当时，， ， 满足条件的的取值范围是：且． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握待定系数法求解析式是解决本题的关键． 【变式9 -9】（23-24九年级上·北京房山·期末）在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于点和点Q． (1)求m的值及点Q的坐标； (2)已知点，过点N作平行于x轴的直线交直线与双曲线分别为点和．当时，直接写出的取值范围是． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或 【分析】该题主要考查了一次函数和反比例函数综合，重点掌握一次函数和反比例函数图象和性质，解析式求解，交点问题； （1）点代入直线求出，点代入双曲线求出，联立直线与双曲线求出点的坐标； （2）分两种情况画图解答即可； 【详解】（1）解：将点代入直线得：， 故点， 将点代入双曲线得：， 故双曲线为 联立直线与双曲线得：或2， 故点的坐标为， 故答案为：，； （2）解：如图，当直线在点P上方时，， 此时，，即；    如图，当直线在点Q上方x轴下方时，， 此时，，即； 综上，或；    【变式9 -10】（2023·北京东城·二模）某校学生参加学农实践活动时，计划围一个面积为4平方米的矩形围栏．设矩形围栏周长为米，对于的最小值问题，小明尝试从“函数图象”的角度进行探究，过程如下． 请你补全探究过程．    (1)建立函数模型： 设矩形相邻两边的长分别为．由矩形的面积为4，得，即；由周长为，得，即．满足要求的应是两个函数图象在第_________象限内交点的坐标； (2)画出函数图象： 函数的图象如图所示，而函数的图象可由直线平移得到．请在同一平面直角坐标系中画出直线； (3)平移直线，观察函数图象： 当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，直线与轴交点的纵坐标为_________； (4)得出结论： 若围出面积为4平方米的矩形围栏，则周长的最小值为_________米，此时矩形相邻两边的长分别为_________米、_________米． 【答案】(1)一 (2)见解析 (3)直线与轴交点的纵坐标为； (4)周长的最小值为8米；矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【分析】（1）根据x，y是矩形的边长，都是正数，即可求解； （2）通过描点法可画出的图像； （3）根据题意将点代入，求出m，即可求出答案； （4）联立和，可知，即可求解． 【详解】（1）解：∵x，y是矩形的边长，都是正数， 所以点在第一象限； （2）解：当时，， 当时，， ∴图像如图所示：    （3）解：将点代入得：， 解得：， 即， 当时，， ∴直线与轴交点的纵坐标为； （4）解：联立和并整理得：， ∴时，两个函数有交点， 解得：， ∴周长的最小值为8米， 可得，解得， ∴矩形相邻两边的长分别为2米、2米； 【点睛】本题考查的是反比例函数的综合应用，涉及到一次函数、一元二次方程、函数的平移等，此类探究题，通常按照题设条件逐次求解，难度不大． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$