专题03 二次根式（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

八年级新京改版数学上册期中考点大串讲 串讲03 二次根式 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 五大常考点：知识梳理，也可用思维导图 六大题型典例剖析+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 可以精选3~5道期末真题对应考点练 (a≥0) 不含分母 不含开得尽方 被开方数相同 考点透视 双重非负性 a≥0 a(a≥0) a -a 考点透视 合并同类二次根式 加减 乘方 括号 括号 考点透视 x≤9 题型剖析 C C 题型剖析 B 题型剖析 A 题型剖析 A C 题型剖析 Ａ C D 题型剖析 题型剖析 题型剖析 ﹣4 2 题型剖析 A 题型剖析 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 知识点1. 二次根式的概念和性质 1．二次根式的有关概念 (1)二次根式：式子_________叫做二次根式． (2)最简二次根式需满足两个条件 ①被开方数____________；②被开方数中____________________的因数或因式． (3)同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果 ，则把这几个二次根式叫做同类二次根式． 注意事项：先把所有的二次根式化成最简二次根式；再根据被开方数是否相同来加以判断．要注意同类二次根式与根号外的因式无关. 2．二次根式的性质： (1) （a≥0）具有 ，一是 ，二是 (2()2＝__________． (3)＝|a|＝ 知识点2.　二次根式的运算 1.加减运算：在二次根式加减运算中，先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二 次根式．二次根式的加减实质是 ．2.乘除运算：（1）二次根式的乘法：.＝_______(a≥0，b≥0)． （2）二次根式的除法：＝_______(a≥0，b＞0)． 3.运算顺序：先算 ，再算乘除，最后算 ，如果有 ，就先算 里的． 实数中的运算律及乘法公式在二次根式中同样适用． 运算结果中的二次根式，一般都要化成最简二次根式或整式． ■考点1.二次根式的意义及性质 ◇典例： 【例1】使有意义的x的取值范围为________． 解:根据二次根式有意义的条件可得9－x≥0； 即x≤9. 【答案】x≤9 ◆变式训练 1.要使二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　） 　 A．x= B． x≠ C．x≥ D． x≤ 解:由题意得：5x﹣3≥0，解得：x≥ ，故选C． 2. 如果式子有意义，那么x的取值范围在数轴上表示出来，正确的是 ( ) 3.若x、y满足+2(y-1)2=0，则x+y的值等于( ) A. 3 B. C.2 D. 解:∵+2(y-1)2=0， ∴ ∴ .∴x+y=1+. 故选B. ■考点2. 最简二次根式与同类二次根式 ◇典例:【例1】下列计算正确的是（　　） A． =2 B． = C．=x D． =x 【分析】直接利用二次根式的性质分别化简求出答案． 解:A、 =2，正确； B、 =，故此选项 C、=-x，故此选项错误；D、=|x|，故此选项错误； 故选：A． 【例2】下列式子为最简二次根式的是(　　　) A. B. C. D. 【解析】最简二次根式要满足：(1)被开方数中不含开方开的尽的因数或因式；(2)被开方数中不含分母；(3)分母中不含根式． 【例3】(1)与是同类二次根式的是 （　 ） A． B． C． D． 【分析】先将各选项化简，再找到被开方数为5的选项即可. ◆变式训练 1. 下列计算正确的是 ( ) A． B． C． D． 2. 下列运算中，错误的有 ( )个 ①，②，③，④. A．1 B．2 C．3 D．4 3. 下列各式与是同类二次根式的是（　　） 　 A． B． C． D． ■考点3. 二次根式的运算  ◇典例：【例1】计算＝ 【分析】原式先化为同类二次根式,然后再合并即可. 解：原式=2－3× =2－ =. 【例2】(1)当l<x<4时，化简 (2)a、b、c在数轴上对应点如图，化简 【分析】利用二次根式的非负性这一性质去进行根式的化简时，注意符号运算． 解：(1) ∵1<x<4,∴x-4<0，x-1>0, ∴=4-x-x+1=-2x+5 (2)由数轴可知，0<a<1，c<b<-1， ∴-a<0，a+b<0，c<0 ∴=a-a-b+c=-b+c ◆变式训练 1.化简： 。 解:原式==4-2=2 2.计算：6﹣（+1）2=　 　． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】首先化简二次根式，进而利用完全平方公式计算，求出答案． 解：原式=6×﹣（3+2+1） =2﹣4﹣2 =﹣4． 3.实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|+的结果是（　　） A．﹣2a+b B．2a﹣b C．﹣b D．b 【考点】二次根式的性质与化简；实数与数轴． 【分析】直接利用数轴上a，b的位置，进而得出a＜0，a﹣b＜0，再利用绝对值以及二次根式的性质化简得出答案． 解：如图所示：a＜0，a﹣b＜0， 则|a|+=﹣a﹣（a﹣b）=﹣2a+b． 故选：A． 易错考点一：二次根式的性质与化简 【例题】下列等式一定成立的是（　　） A．＝a B．＝a+b C．＝a﹣b D．＝a﹣b 试题思路分析：直接利用二次根式的性质化简判断即可． 详细规范解答： 解：A、＝|a|，故此选项错误；B、，无法化简，故此选项错误； C、＝|a﹣b|，故此选项错误；D、＝a﹣b，故此选项正确． 故选：D． 练习1已知y＝﹣x+3，当x分别取1，2，3，…，2021时，所对应的y值的总和是　 　 　． 详细规范解答：解：∵y＝﹣x+3＝＝|x﹣2|﹣x+3， ∴当x＜2时，y＝2﹣x﹣x+3＝5﹣2x， 即当x＝1时，y＝5﹣2＝3； 当x≥2时，y＝x﹣2﹣x+3＝1， 即当x分别取2，3，...，2021时，所对应的y的值的总和是3+2020×1＝2023， 故答案为：2023． 易错考点二：二次根式的应用 【例题】如图，从一个大正方形中可以裁去面积为8cm2和32cm2的两个小正方形，则大正方形的边长为 　 　． 详细规范解答：解：由题意知：AB2＝32，BC2＝8，∴AB＝＝4，BC＝＝2． ∴AC＝AB+BC＝4+2＝6（cm）．故答案为：6cm． 练习1如图，在矩形ABCD中无重叠放入面积分别为12cm2和18cm2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 　 　cm2． 详细规范解答：解：根据题意可得： ×﹣12 ＝6﹣12． 故答案为：6﹣12． 易错考点三：二次根式的混合运算 【例题】下列计算正确的有（　　） A． B． C． D． 详细规范解答：解：A、与不能合并，故A不符合题意； B、2﹣＝，故B不符合题意； C、＝，故C不符合题意； D、×＝2，故D符合题意； 故选：D． 练习1计算式子：的值为 　 　． 详细规范解答：解： ＝（﹣）2﹣（）2+9+12+20 ＝2﹣3+9+12+20 ＝28+12， 故答案为：28+12． 1．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若 是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【详解】解：∵63=7×9， ∴ ， ∵ 是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 2．（23-24八年级下·北京·期中）若 ，则 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ， 解得： ， ∴ ， 故答案为： ． 3．（21-22八年级下·北京海淀·期中）若 ，则3x+2y的值等于（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13 【详解】∵ ， ∴ ， 解得： ． ∴ ． 故选A． 4．（23-24八年级下·北京东城·期中）计算： (1) ； (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 5．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数 满足 ，求 的值． 【详解】解： ， ， ， ， 原式 ， EMBED Equation.DSMT4 的值为 ． $$