专题02 实数（考点串讲）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

七年级新人教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲02 实数 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理，也可用思维导图 十一大题型典例剖析+举一反三 四大易错易混经典例题+针对训练 02 考点一 实数的分类 1._________的数叫做正数.正数前面加上符号“_________”的数叫负数.负数前面的负号“-”不能_________.0既不是_________，也不是_________. 2.正负数的意义：表示具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，通常先规定其中一个为正，则另一个就用_________表示． 3. _________和_________统称为有理数（本质：能够化为_________的形式）. __________________小数叫做无理数. _________和_________统称为实数. 大于 － 省略 正数 负数 负 整数 分数 分数 无限不循环 有理数 无理数 考点透视 4.实数的分类： 1）按定义分类： 考点透视 4.实数的分类： 2）按性质分类： 考点透视 02 易混易错 1.有限小数和无限循环小数可以转化为分数，因此有限小数和无限循环小数是有理数.（例：0.53（分数形式： ）、1.333333…（分数形式： ）等）. 2.无限不循环小数不能化成分数，因此无限不循环小数不是有理数.(例如：π，（不是分数）等). 3.带根号的数并不都是无理数，而开方开不尽的数才是无理数. 4.对非负整数、非正整数、非负数、非正数分类时遗漏0. 考点透视 02 考点二 实数比较大小 实数比较大小的6种基础方法： 1. 数轴比较法: 将两个数表示在同一条数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大. 2. 类别比较法: 正数大于零；负数小于零；正数大于一切负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 3. 作差比较法: 若a，b是任意两个实数，则①a-b>0a>b；②a-b=0a=b；③a-b<0a<b 4. 平方比较法：①对任意正实数a，b，若a2>b2a>b ②对任意负实数a，b，若a2>b2a<b 5. 倒数比较法：若> ，ab>0，则a<b 6. 作商比较法：1) 任意实数a，b， =1a=b 2)任意正实数a，b， >1a>b , <1a>b 3)任意负实数a，b， >1a<b , <1a>b 考点透视 02 考点三 平方根、算术平方根、立方根 考点透视 02 易混易错 1. 一个正数a的算数平方根用符号表示为，一个非负数a的平方根用符号表示为± ；一个数a的立方根用符号表示为3√a 2. 0的算术平方根、平方根和立方根都是0； 平方根等于其自身的有0和1；立方根等于其自身的有－1、0和1. 3. 有时候题目会故意没有把去根号，这时候就要注意千万不要把的平方根当作a的平方根，要先把√a去根号，再求平方根． 考点透视 02 考点四 实数的运算 常见的实数运算： 考点透视 02 实数的四则运算： 1.实数的加法法则： 1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2)异号两数相加，绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值. 2.实数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数. 3.实数的乘方法则：1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2）任何数同0相乘，都得0. 4.实数的除法法则： 1）除以一个不为0的数，等于乘以这个数的倒数； 2）0除以任何不为0的数，都得0 考点透视 02 5.运算顺序：加和减属于运算中的第一级运算，级别是最低的，通常放在最后面计算； 乘和除属于运算中的第二级运算，级别中等，运算顺序高于加和减； 而乘方和开方则属于第三级运算，级别较高，通常是最优先计算的（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）. 考点透视 题型01 利用数轴法比较实数大小 题型剖析 C D 题型02利用类比法比较实数大小 题型剖析 B A B 题型03 利用作差法比较实数大小 题型剖析 题型04 利用作商法比较实数大小 题型剖析 题型05 利用平方法比较实数大小 > > > 题型剖析 题型06 利用其它方法比较实数大小 > 题型剖析 C 题型07 求一个数的算术平方根 C B D 题型剖析 题型08 利用算术平方根的非负性解题 2 直角 题型剖析 题型09 求一个数的平方根 ±2 8 ±3 题型剖析 题型10 已知一个数的平方根，求这个数 C 1 题型剖析 题型11 求一个数的立方根 3 2 2 C 题型剖析 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 易错易混 押题预测 押题预测 押题预测 押题预测 【例】实数a与b在数轴上的位置如图所示，则它们的大小关系是（    ）    A． B． C． D．无法确定 练习已知有理数在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是（    ）    A． B． C． D． 【例】在有理数，，0，2中，最小的是（　　） A． B． C．0 D．2 练习1某一天，哈尔滨、北京、杭州、金华四个城市的最低气温分别是， ，，，其中最低气温是（    ） A． B． C． D． 练习2四个实数，0，2，中，最大的数是（    ） A． B．0 C．2 D． 【例】课堂上，老师提出了下面的问题： 已知，，，试比较与的大小． 小华：整式的大小比较可采用“作差法”. 老师：比较与的大小． 小华：∵， ∴． 老师：分式的大小比较能用“作差法”吗？ … (1)请用“作差法”完成老师提出的问题． (2)比较大小：__________．（填“”“”或“”） 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ． 故答案为：． 【详解】 因为，，，所以 【例】作商比较法的理论依据是，，若，则；若，则；若，则．请用作商法比较与的大小． 练习1若a＞0，b＞0，且，则a＞b；若a＜0，b＜0，且，则a＜b．以上这种比较大小的方法，叫做作商比较法．试利用作商比较法，比较与的大小． 【详解】解：，，， ． 【例】比较大小： （填“>”“=”或“<”） 练习1比较大小： （填“”，“”或“”）． 练习2比较大小： ．（填“>”，“=”或“<”） 【例】已知，则a、b、c的大小关系是(   ) A． B． C． D． 练习1比较大小： （填“＞”，“＜”或“=”） 【例】9的算术平方根是（    ） A． B． C．3 D． 练习1面积为9的正方形，其边长等于（　　） A．9的平方根 B．9的算术平方根 C．9的立方根 D．5的算术平方根 练习2化简：＝（    ） A．±2 B．－2 C．4 D．2 【例】若，则 ． 训练1在中，的对边分别为a、b、c，且满足，为 三角形． 【例】的平方根是 ． 训练1 64的算术平方根是 ，的平方根是 ． 【例】若正数的两个平方根是与，则为（    ） A．0 B．1 C． D．1或 练习1 已知2m-4与3m-1是同一个正数的两个平方根,则m的值是　 　.  【例】﹣8的立方根是（　　） A．±2 B．2 C．﹣2 D．不存在 训练1计算： ． 训练2的立方根是 ． 训练3一个正数a的两个平方根是和，则的立方根为 ． 【易错一 对无理数的概念理解不透彻或对实数的分类不清楚致错】 例题：在实数，，，中，其中无理数的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】解：根据无理数的定义可知： ， ， 是无理数； 故选： ． 训练1 下列各数、、、、、（相邻两个之间的个数逐次增加），无理数的个数是（　　） 【详解】解： ， 故在实数 、± 、 、 、 、 （相邻两个 之间 的个数逐次增加 ）中， 无理数有3π、 、0.303000300003…（相邻两个 之间 的个数逐次增加 ），共 个． 故选：C． 【易错二 易混淆a与的平方根】 例题：的值等于 ；的算术平方根为 ． 【详解】解： ， 的算术平方根为3； 故答案为 ，3． 训练1．下列说法错误的是（    ） A．没有算术平方根 B．的平方根是 C．0的平方根是它本身 D． 【详解】解：A、 没有算术平方根，原说法正确，不符合题意； B、 的平方根是 ，原说法错误，符合题意； C、0的平方根是它本身，原说法正确，不符合题意； D、 ，原说法正确，不符合题意； 故选B． 【易错三 求二次根式有意义时未考虑清楚致错】 例题：已知，则 ． 【详解】解：由题意得： ， 解得 ， ， ， 故 ．故答案为： ． 训练1．已知a，b为实数，且a，b满足，则 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， 即 ， EMBED Equation.DSMT4 ，解得 ， 将 代入 得 ， ，故答案为： ． 【易错四 忽略二次根式有意义的隐含条件或对理解不透彻致错】 例题：当时，化简： ． 【详解】解： EMBED Equation.DSMT4 ， ， EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 故答案为： ． 训练1 已知，化简： ． 【详解】解：原式 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， ∴原式 EMBED Equation.DSMT4 ． 故答案为： ． 1．（22-23八年级上·北京昌平·期中）已知一个正数m的两个平方根为和，求a和m的值． 【解答】解：由题意得， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 2.（23-24七年级下·北京海淀·期末）如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（    ） A． B． C． D．0 【详解】解： 正方形 的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 .故选：A. 3．（23-24七年级下·北京朝阳·期中）若的立方根是，则的平方根是 ． 【详解】解：∵ 的立方根是， ∴ ， 解得 ， ∴ ， 则 的平方根是 ， 故答案为 ． 4．（23-24七年级下·北京朝阳·阶段练习）求下列各式的值； (1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． $$