专题03 二次根式（易错必刷57题，15种题型专项训练）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（北京版）

专题03 二次根式（易错必刷57题 15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式的概念 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式值得非负性 · 二次根式被开方数的非负性 · 二次根式的性质 · 二次根式的综合应用 · 二次根式的乘除 · 最简二次根式 · 同类二次根式 · 二次根式的加减运算 · 二次根式的混合运算 · 分母有理化 · 二次根式化简求值 · 二次根式的大小比较 · 二次根式的综合应用 一、二次根式的概念（共4小题） 1．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 3．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 4．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）的绝对值是 ，相反数是 ． 二、二次根式有意义的条件（共5小题） 5．（20-21八年级下·北京朝阳·期中）若是整数，则满足条件的自然数n共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 7．（22-23八年级下·北京海淀·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 8．（21-22八年级下·北京海淀·期中）已知二次根式满足条件“只含有字母，且当时有意义”，请写出一个这样的二次根式： ． 9．（2022·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 三、二次根式值得非负性（共3小题） 10．（23-24八年级下·北京·期中）若，则 ． 11．（22-23八年级下·北京西城·期中）若，则 ． 12．（22-23八年级下·北京丰台·期中）若，则的值为 ． 四、二次根式被开方数的非负性（共3小题） 13．（21-22八年级下·北京海淀·期中）若，则3x+2y的值等于（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13 14．（10-11八年级上·福建厦门·期中）已知x，y为实数，，则 ． 15．（23-24八年级下·北京·期中）若，求的值． 五、二次根式的性质（共7小题） 16．（21-22八年级下·北京海淀·期中）已知＝2﹣3a，那么a的取值范围是（　　） A．a≠ B．a＞ C．a≥ D．a≤ 17．（22-23八年级下·北京海淀·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 18．（23-24七年级下·北京·期中）有两个数和，它们表示的数如图所示，化简： ． 19．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如果，那么m的值是 ． 20．（23-24八年级下·北京·期中）已知，化简 ． 21．（19-20九年级上·海南海口·期中）当时，化简： ． 22．（21-22八年级下·北京西城·期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得： 原式 (1)【启发应用】按照上面的解法，试化简：； (2)【类比迁移】实数，在数轴上的位置如图所示，化简． 六、二次根式性质的应用（共2小题） 23．（22-23八年级上·北京昌平·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； (2)写出根分式中x的取值范围______； (3)已知两个根分式． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______． 24．（21-22八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)结合小明的探索过程填空： + ； (2)的算术平方根为 ； (3)化简： ．(��为正整数) 七、二次根式的乘除（共5小题） 25．（22-23八年级下·北京海淀·期中）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 26．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）计算：． 27．（22-23八年级下·北京密云·期末）计算：． 28．（22-23八年级上·北京昌平·期中）计算： 29．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）． 八、最简二次根式（共3小题） 30．（22-23八年级下·北京丰台·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 31．（22-23七年级下·北京朝阳·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 32．（22-23八年级下·北京密云·期末）阅读材料，并回答问题： 小君在学习二次根式时，化简的过程如下： 解：     ……第①步     ……第②步     ……第③步     ……第④步 (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 九、同类二次根式（共5小题） 33．（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 34．（23-24八年级上·北京延庆·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 35．（22-23八年级上·上海宝山·期中）当 时，最简二次根式与是同类二次根式． 36．（21-22八年级下·北京·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 37．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 十、二次根式的加减运算（共3小题） 38．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）计算：． 39．（23-24八年级下·北京·期中）计算：． 40．（23-24八年级下·北京大兴·期中）计算：． 十一、二次根式的混合运算（共4小题） 41．（23-24八年级下·北京东城·期中）计算： (1)； (2) 42．（23-24八年级下·北京海淀·期中）（1）； （2）． 43．（23-24八年级下·北京·期中）（1）已知，求代数式的值； （2）已知，，求代数式的值． 44．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 十二、分母有理化（共4小题） 45．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数满足，求的值． 46．（22-23八年级下·北京海淀·期中）已知：，，求：的值． 47．（23-24八年级下·北京海淀·期中）阅读材料：在解决问题“已知求的值”时，小芳是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 请根据小芳的方法探索解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 48．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)计算：． (2)已知n是整数，，，且．求n的值． 十三、二次根式化简求值（共3小题） 49．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 50．（23-24八年级下·北京西城·期中）（1） （2）已知，求代数式的值． 51．（20-21八年级下·北京朝阳·期中）已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 十四、二次根式的大小比较（共2小题） 52．（23-24八年级下·北京昌平·期中）比较大小： 4（填“”，“”或“”）． 53．（21-22七年级下·北京·期中）阅读材料并回答问题 肖博睿同学发现如下正确结论： 材料一： 若，则；若，则；若，则； 材料二： 完全平方公式：（1）；（2）． (1)比较大小：___________； (2)___________； (3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）． 十五、二次根式的综合应用（共4小题） 54．（22-23八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 55．（23-24八年级下·北京昌平·期中）小明在解方程时采用了下面的方法： 又有， 可得， 将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)方程的解是______（用含a、b的式子表示）． 56．（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 57．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ， ，即． 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)_______，______； (2)求的最值； (3)比较和的大小，并说明理由． $$专题03 二次根式（易错必刷57题 15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 二次根式的概念 · 二次根式有意义的条件 · 二次根式值得非负性 · 二次根式被开方数的非负性 · 二次根式的性质 · 二次根式的综合应用 · 二次根式的乘除 · 最简二次根式 · 同类二次根式 · 二次根式的加减运算 · 二次根式的混合运算 · 分母有理化 · 二次根式化简求值 · 二次根式的大小比较 · 二次根式的综合应用 一、二次根式的概念（共4小题） 1．（21-22八年级下·北京朝阳·期末）若是整数，则正整数n的最小值是（　　） A．3 B．7 C．9 D．63 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质即整数的意义判断解答． 【详解】解：∵63=7×9， ∴， ∵是整数， ∴正整数n的最小值是7， 故选：B． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，整数的定义，正确理解整数的定义是解题的关键． 2．（23-24八年级下·浙江衢州·期中）当时，二次根式的值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，先将代入，再利用二次根式的性质化简求解即可． 【详解】当时， ． 故选：C． 3．（21-22八年级下·北京西城·期中）已知n是正整数，是整数，则满足条件的所有n的值为 ． 【答案】或或 【分析】先利用算术平方根有意义的条件求得正整数的取值范围，然后令等于所有可能的平方数即可求解． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵n是正整数， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵是整数， ∴或或或或， 解得或或或或， ∵n是正整数， ∴或或， 故答案为：或或 【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键． 4．（23-24八年级上·甘肃酒泉·期中）的绝对值是 ，相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的估算，绝对值，相反数．熟练掌握二次根式的估算，绝对值，相反数是解题的关键． 根据化简绝对值，相反数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的绝对值为，相反数为， 故答案为：，． 二、二次根式有意义的条件（共5小题） 5．（20-21八年级下·北京朝阳·期中）若是整数，则满足条件的自然数n共有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了对二次根式的定义的应用，关键是能根据已知求出n．根据二次根式的意义求出，在此范围内要使是整数，n只能是3或8或11或12，求出即可． 【详解】解：∵要使有意义； 必须，解得； ∵是整数； ∴n只能是3或8或11或12； ∴满足条件的n有4个 故选：D． 6．（23-24八年级下·全国·课后作业）若代数式有意义，则x的取值范围是（　　） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式分母不能为零，二次根式被开方数需大于等于零列出不等式，求解即可． 【详解】解：由题意得且， 解得：且， 故选：D． 7．（22-23八年级下·北京海淀·期中）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 【答案】/ 【分析】此题考查了二次根式的意义．根据二次根式有意义的条件即可解得． 【详解】解：由题意可得， ， ， 故答案为：． 8．（21-22八年级下·北京海淀·期中）已知二次根式满足条件“只含有字母，且当时有意义”，请写出一个这样的二次根式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案． 【详解】解：由题意可得：这样的二次根式可以是， 故答案为： ． 【点睛】本题考查二次根式的定义，解题的关键是正确理解二次根式的定义，本题属于基础题型． 9．（2022·北京·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】x≥8 【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： x8≥0， 解得：x≥8． 故答案为：x≥8． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键． 三、二次根式值得非负性（共3小题） 10．（23-24八年级下·北京·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性，二次根式的非负性，根据题意可得，代入代数式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 11．（22-23八年级下·北京西城·期中）若，则 ． 【答案】 【分析】根据非负数的性质即可求出与的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：由题意可知：，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了非负数的性质，解题的关键是求出与的值，本题属于基础题型． 12．（22-23八年级下·北京丰台·期中）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据平方的非负性和二次根式的非负性，得，再解方程求出x，y的值，然后求积即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平方的非负性和二次根式的非负性，熟练运用平方的非负性和二次根式的非负性是本题的关键． 四、二次根式被开方数的非负性（共3小题） 13．（21-22八年级下·北京海淀·期中）若，则3x+2y的值等于（　　） A．﹣5 B．5 C．13 D．﹣13 【答案】A 【分析】根据非负数的性质即可求出x和y的值，再代入3x+2y中求值即可． 【详解】∵， ∴， 解得：． ∴． 故选A． 【点睛】本题考查非负数的性质，代数式求值．掌握被开方数为非负数是解题关键． 14．（10-11八年级上·福建厦门·期中）已知x，y为实数，，则 ． 【答案】或 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数求得，即可求解． 【详解】解：由题意可得：且 ∴ 解得 此时 当时， 当时， 故答案为：或 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，有理数的加减运算，平方根等运算，解题的关键是熟练掌握相关运算法则． 15．（23-24八年级下·北京·期中）若，求的值． 【答案】 【分析】首先根据二次根式有意义的条件可以确定x的值，进而求出y的值，再将x、y的值代入要求的式子即可. 【详解】解：由题意得：，， ，， ， ∴. 五、二次根式的性质（共7小题） 16．（21-22八年级下·北京海淀·期中）已知＝2﹣3a，那么a的取值范围是（　　） A．a≠ B．a＞ C．a≥ D．a≤ 【答案】D 【分析】由题意利用二次根式的性质，进而去绝对值讨论即可得出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题考查了二次根式的性质与化简，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质． 17．（22-23八年级下·北京海淀·期中）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式的化简能力．运用二次根式的性质进行逐一化简、求解． 【详解】解：，选项A不符合题意； ，选项B符合题意； ，选项C不符合题意； ，选项D不符合题意， 故选：B． 18．（23-24七年级下·北京·期中）有两个数和，它们表示的数如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的化简和去绝对值，根据数轴分别判断和的正负，然后由二次根式的性质，去掉绝对值即可，解题的关键是结合数轴判断绝对值符号里面代数式的正负． 【详解】解：原式， ， ， 故答案为：． 19．（23-24八年级下·北京丰台·期中）如果，那么m的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质，将化为，再化简绝对值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： 20．（23-24八年级下·北京·期中）已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了完全平方公式、二次根式等知识点．先求出和的符号，再利用完全平方公式、二次根式的性质化简即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：1． 21．（19-20九年级上·海南海口·期中）当时，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了化简绝对值、二次根式的性质，由题意得出，，再根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：， ，， ， 故答案为：． 22．（21-22八年级下·北京西城·期中）在解决数学问题时，我们一般先仔细阅读题干，找出有用信息作为已知条件，然后利用这些信息解决问题，但是有的题目信息比较明显，我们把这样的信息成为为显性条件；而有的信息不太明显需要结合图形，特殊式子成立的条件，实际问题等发现隐含信息作为条件，我们把这样的条件称为隐含条件；所以我们在做题时，要注意发现题目中的隐含条件． 【阅读理解】 阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得： 原式 (1)【启发应用】按照上面的解法，试化简：； (2)【类比迁移】实数，在数轴上的位置如图所示，化简． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）根据二次根式有意义条件得出2﹣x≥0，求出x≤2，再根据二次根式的性质进行计算即可； （2）根据数轴得出a＜0＜b，|a|＞|b|，再根据二次根式的性质和绝对值进行计算即可． 【详解】（1）隐含条件， 解得：， 所以 ； （2）从数轴可知：，， 所以 ． 【点睛】本题考查了数轴与实数，二次根式的性质与化简等知识点，能熟记二次根式的性质是解此题的关键． 六、二次根式性质的应用（共2小题） 23．（22-23八年级上·北京昌平·期中）我们已经学习了整式、分式和二次根式，当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似的形式，我们把形如的式子称为根分式，例如，都是根分式． (1)下列式子中①，②，③，______是根分式（填写序号即可）； (2)写出根分式中x的取值范围______； (3)已知两个根分式． ①若，求的值； ②若是一个整数，且为整数，请直接写出的值：______． 【答案】(1)③ (2)且 (3)①；②或 【分析】（1）根据定义进行判断即可求解； （2）根据二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件进行计算即可求解； （3）①根据题意列出方程，解方程即可求解，最后要检验； ②先计算，根据是一个整数，为整数，求得的值，最后检验即可求解． 【详解】（1）解：①的分子不是二次根式，不是根分式， ②的分母不是整式，不是根分式， ③是根分式， 故答案为：③； （2）由题意得：，， 解得：，， 故x的取值范围是：且； 故答案为：且； （3）当，时， ①， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解； ② ， 是一个整数，且x为整数， 是一个整数， ， 解得：或1， 经检验，或1符合题意， 故答案为：3或1． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，解分式方程，正确的计算是解题的关键． 24．（21-22八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方． 例如：． 这样小明就找到了一种把类似的式子化为完全平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)结合小明的探索过程填空： + ； (2)的算术平方根为 ； (3)化简： ．(��为正整数) 【答案】(1)21；4 (2) (3) 【分析】（1）根据，填写答案即可； （2）由题意知，配完全平方得，然后求算术平方根即可； （3）由题意知，配完全平方得，然后求得算术平方根为，将原式进行配完全平方和求算术平方根得，最后进行二次根式的加减运算即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：21；4； （2）解：∵， ∴， 故答案为：； （3）解：∵ ， ∴， ∴ ， ∴原式化简结果为． 【点睛】本题考查了完全平方公式运算、算术平方根、二次根式的加减运算．解题的关键在于熟练掌握完全平方公式． 七、二次根式的乘除（共5小题） 25．（22-23八年级下·北京海淀·期中）下列等式不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的的性质、二次根式的乘除法则计算出结果，即可判断． 【详解】解：A、，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的的性质、二次根式的乘除，掌握二次根式的性质和乘除法则是解题的关键． 26．（22-23八年级下·北京朝阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】把括号内的每一项都除以，再化简，相加即可． 【详解】解： ； 【点睛】本题考查的是二次根式的除法运算，熟记运算法则是解本题的关键． 27．（22-23八年级下·北京密云·期末）计算：． 【答案】6 【分析】根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 28．（22-23八年级上·北京昌平·期中）计算： 【答案】当 时，；当 时，． 【分析】利用二次根式的乘除法则以及二次根式的性质，进行化简即可． 【详解】解：∵， ∴同号，且， ， ， ， ， ； ∴当 时，原式；当 时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的性质，以及乘除运算．熟练掌握二次根式的性质和乘除运算法则是解题的关键． 29．（20-21八年级上·北京门头沟·期中）． 【答案】 【分析】直接利用二次根式乘除运算法则求出答案． 【详解】解：原式， ， ． 【点睛】此题主要考查二次根式的运算，解题的关键是熟知二次根式的乘除运算法则． 八、最简二次根式（共3小题） 30．（22-23八年级下·北京丰台·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、是最简二次根式，故C符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 31．（22-23七年级下·北京朝阳·期中）下列根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】检查最简二次根式的两个条件进行逐一判断即可：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、，不是最简二次根式，不符合题意； D、，是最简二次根式，符合题意； 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的特征是解题的关键． 32．（22-23八年级下·北京密云·期末）阅读材料，并回答问题： 小君在学习二次根式时，化简的过程如下： 解：     ……第①步     ……第②步     ……第③步     ……第④步 (1)上述解答过程中，从第______步开始出现了错误（填序号）； (2)在下面的空白处，写出正确的解答过程． 【答案】(1)② (2) 【分析】（1）利用分母有理化进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用分母有理化进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：上述解答过程中，从第②步开始出现了错误， 故答案为：②； （2）正确的解答过程如下： 【点睛】本题考查了分母有理化，二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 九、同类二次根式（共5小题） 33．（23-24八年级下·北京·期中）下列说法正确的是（    ） A．与可以合并 B．与可以合并 C．与可以合并 D．与可以合并 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，同类二次根式，根据二次根式的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     B. 与可以合并，故该选项正确，符合题意； C. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意；     D. 与不可以合并，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 34．（23-24八年级上·北京延庆·期中）下列二次根式中与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的性质和同类项的定义判断求解即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不符合题意； C、是同类二次根式，符合题意； D、不是同类二次根式，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的性质、同类项的定义，解答的关键是熟知同类项的定义：字母相同，并且相同字母的指数也相同的两个单项式叫同类项． 35．（22-23八年级上·上海宝山·期中）当 时，最简二次根式与是同类二次根式． 【答案】4 【分析】根据同类二次根式的定义可知被开方数相等，由此得到方程，解方程即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， 故答案为：4． 【点睛】本题考查同类二次根式定义（化成最简二次根式后的被开方数相同）和最简二次根式，熟记定义是解题的关键． 36．（21-22八年级下·北京·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则a的值为 ． 【答案】2 【分析】根据同类二次根式定义，它们的被开方数相同，列出方程求解． 【详解】解：∵最简二次根式2与是同类二次根式， ∴3a-1=a+3，解得a=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式． 37．（22-23七年级上·北京海淀·期末）已知最简二次根式和是同类二次根式，求的平方根． 【答案】 【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义列出关于x、y的方程组，解方程组得出x、y的值，再求出的值，最后求出平方根即可． 【详解】解：∵最简二次根式和是同类二次根式， ∴， 解得：， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，平方根的定义，最简二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握同类二次根式的定义，准确进行计算． 十、二次根式的加减运算（共3小题） 38．（24-25九年级上·北京西城·开学考试）计算：． 【答案】 【分析】本题考查实数混合运算，涉及零指数幂、二次根式性质化简、去绝对值及二次根式加减运算等知识，先由零指数幂、二次根式性质、去绝对值化简，再由二次根式加减运算法则计算即可得到答案，熟练掌握零指数幂、二次根式性质化简、取绝对值及二次根式加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解： ． 39．（23-24八年级下·北京·期中）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键．先化简各式，然后再进行计算即可解答． 【详解】解： 40．（23-24八年级下·北京大兴·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，零指数幂和负整数指数幂，根据，，二次根式的加减运算求解即可． 【详解】 ． 十一、二次根式的混合运算（共4小题） 41．（23-24八年级下·北京东城·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （1）先将二次根式化为最简二次根式，再将除法化为乘法，进行运算即可求解； （2）先将二次根式化为最简二次根式及利用平方差进行计算，再进行加减运算，即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 42．（23-24八年级下·北京海淀·期中）（1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）先算乘法，再化简算加减法； （2）先算乘除法，再算加减法，可以利用平方差公式简化运算． 【详解】（1） （2） ． 43．（23-24八年级下·北京·期中）（1）已知，求代数式的值； （2）已知，，求代数式的值． 【答案】（1）；（2）10 【分析】本题主要考查了分式化简求值，二次根式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）将变形为，然后再将代入求值即可； （2）先求出，，然后将变形为，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴ ， ； （2）∵，， ∴， ， ∴． 44．（23-24八年级下·北京·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算； （1）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可求解； （2）根据二次根式的混合运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 十二、分母有理化（共4小题） 45．（23-24八年级上·北京海淀·期中）已知实数满足，求的值． 【答案】 【分析】先将分式按照分式的运算法则进行化简，然后由得出，最后整体代入进行计算即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， 原式， 的值为． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先化简，再利用条件整理出所求的代数式中的相关式子的值，利用“整体代入”思想代入即可． 46．（22-23八年级下·北京海淀·期中）已知：，，求：的值． 【答案】496 【分析】利用分母有理化化简a、b，把原式因式分解，再根据完全平方公式变形，代入计算即可． 【详解】解：， ， 则，， ∴ ． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握二次根式的加法法则、乘法法则、完全平方公式是解题的关键． 47．（23-24八年级下·北京海淀·期中）阅读材料：在解决问题“已知求的值”时，小芳是这样分析与解答的： ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 请根据小芳的方法探索解决下列问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化和二次根式的化简求值： （1）根据分母有理化的方法求解即可； （2）先分母有理化得到，进而得到，再由完全平方公式推出，最后根据进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 48．（23-24八年级下·北京西城·期中）阅读下列材料： ①在进行二次根式的化简与运算时，我们会遇到分母中含有字母，形如的式子．我们可以用这样的方法将其进行化简：，这种化简的方法叫做分母有理化． ②数学学习的一项最重要内容是数学思想方法的学习与运用，有这样一种“整体思想”，它可以简化计算过程，如：已知，，求．我们可以把和分别看成一个整体，令则．这样我们不用求出a和b的值就可以得到要求的结果． 根据以上材料回答下列问题： (1)计算：． (2)已知n是整数，，，且．求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，掌握分母有理化的方法是解本题的关键； （1）先分母有理化，再合并即可； （2）先求解，，再把原方程化为，再代入解方程并检验即可． 【详解】（1）解： ； （2）∵，， ∴， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴； 十三、二次根式化简求值（共3小题） 49．（23-24八年级下·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查二次根式化简求值．由，可得，故，即得代数式的值为． 【详解】解：， ， ， ， ， ； 代数式的值为． 50．（23-24八年级下·北京西城·期中）（1） （2）已知，求代数式的值． 【答案】（1） （2）5 【分析】本题考查了二次根式的混合运算： （1）根据二次根式的乘法和二次根式的性质化简，再进行加减运算； （2）先将代数式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：， 当时，原式． 51．（20-21八年级下·北京朝阳·期中）已知，，求代数式xy2﹣x2y的值． 【答案】xy（y﹣x）；2+3 【分析】先将题目中所求式子化简，然后再根据 ，，求出x、y的值，再代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】xy2﹣x2y， ＝xy（y﹣x）， ∵，， ∴， 解得：， 当x＝，时，原式＝． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 十四、二次根式的大小比较（共2小题） 52．（23-24八年级下·北京昌平·期中）比较大小： 4（填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的估算，根据题意得到，进而得到，即可解答． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 53．（21-22七年级下·北京·期中）阅读材料并回答问题 肖博睿同学发现如下正确结论： 材料一： 若，则；若，则；若，则； 材料二： 完全平方公式：（1）；（2）． (1)比较大小：___________； (2)___________； (3)试比较与的大小（写出相应的解答过程）． 【答案】(1) (2)， (3)，过程见解析 【分析】（1）根据作差法，判定的符号，结合材料一中的规则即可得到答案； （2）根据所给式子，结合完全平方式的结构特征即可得到； （3）根据作差法，判定的符号，根据材料二完全平方公式变形，根据平方的非负性确定符号，再结合材料一中的规则即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 又，即， ，即； （2）解：根据题意，； （3）解： ， 又， ，即． 【点睛】本题考查利用作差法解代数式比较大小，涉及二次根式加减运算、去括号法则、整式混合运算、合并同类项、完全平方公式因式分解、平方式的非负性等知识，读懂材料，掌握作差法比较代数式大小的方法是解决问题的关键． 十五、二次根式的综合应用（共4小题） 54．（22-23八年级下·北京海淀·期中）阅读材料： 小华在学习分式运算时，通过具体运算发现： ，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律，请将下面的探究过程，补充完整． （1）具体运算： 特例1：； 特例2：； 特例3： （填写一个符合上述运算特征的例子）． （2）发现规律： （n为正整数），并证明此规律成立． （3）应用规律： 如果 的小数部分0.06，那么整数部分为 ． 【答案】（1）；（2）；见解析；（3）15 【分析】本题考查二次根式的混合运算，数字的变化类，掌握二次根式的混合运算的方法以及所列举代数式所呈现的规律是正确解答的关键． （1）由二次根式的运算规律即可得出答案； （2）由二次根式的运算规律即可得出一般性的规律； （3）根据规律计算出结果，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：（1）由二次根式的运算规律可得， ， 故答案为：； （2）由二次根式的运算规律可得， ， 证明：左边 右边， 故答案为：； （3）原式 ， ∵结果的小数部分0.06，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为． 故答案为：15． 55．（23-24八年级下·北京昌平·期中）小明在解方程时采用了下面的方法： 又有， 可得， 将这两式相加可得， 将两边平方可解得，经检验是原方程的解． 请你学习小明的方法，解下面的方程： (1)解方程； (2)方程的解是______（用含a、b的式子表示）． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二次根式在解方程中的应用等知识点， （1）利用已知化简思路化简，再利用二次根式的加减和二次根式的性质进行化简即可得解； （2）由（1）中方法得，再利用二次根式的加减和二次根式的性质进行化简即可得解； 解答此题的关键是能熟练应用有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 【详解】（1） ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验是原方程的解； （2） ， ∵， ∴， ∴ ∴或 经检验或是原方程的解， 故答案为：或． 56．（23-24八年级下·北京·期中）在数学课上，老师说统计学中常用的平均数不是只有算术平均数一种，好学的小聪通过网络搜索，又得到了两种平均数的定义，他把三种平均数的定义整理如下： 对于两个数a，b， 称为a，b这两个数的算术平均数． 称为a，b这两个数的几何平均数， 称为a，b这两个数的平方平均数． 小聪根据上述定义，探究了一些问题，下面是他的探究过程 (1)若，则_____， _____， _____； (2)小聪发现当a，b两数异号时，在实数范围内N没有意义，所以决定只研究当a，b都是正数时这三种平均数的大小关系．结合乘法公式和勾股定理的学习经验，他选择构造几何图形，用面积法解决问题： 如图，画出边长为的正方形和它的两条对角线，则图1中阴影部分的面积可以表示． ①请分别在图2，图3中用阴影标出一个面积为的图形； ②借助图形可知当a，b都是正数时，M，N，P的大小关系是______（把M，N，P从小到大排列，并用“”或“”号连接）． 【答案】(1)，， (2)①作图见解析；② 【分析】（1）将分别代入求值即可得； （2）①分别求出，再根据正方形的性质、矩形和直角三角形的面积公式即可得；②根据（2）①中的所画的图形可得，由此即可得出结论． 【详解】（1）解：当时， ， ， ， 故答案为：，，； （2）①， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ， 则用阴影标出一个面积为的图形如下所示： ②由（2）①可知，，当且仅当，即时，等号成立， 都是正数， 都是正数， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的应用、完全平方公式、正方形的性质等知识点，较难的是题（2）①，正确利用完全平方公式进行变形运算是解题关键． 57．（23-24八年级下·北京·期中）阅读材料： 材料一：数学上有一种根号内又带根号的数，它们能通过完全平方式及二次根式的性质化去一层（或多层）根号，如：． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，配方法的最终目的就是配成完全平方式，利用完全平方式来解决问题，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：， ， ，即． 的最小值为1． 阅读上述材料解决下面问题： (1)_______，______； (2)求的最值； (3)比较和的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)的最小值为 (3)，见解析 【分析】此题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式及配方法的应用． （1）利用完全平方公式及二次根式的性质即可求解； （2）利用完全平方公式配方即可求解； （3）首先计算和，然后比较即可． 【详解】（1）， ； 故答案为：；； （2）∵ ∴的最小值为； （3） ∵ ∴． $$