专题02 有理数及其运算（考题猜想，易错必刷37题13种题型专项训练）-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版2024）

专题02有理数及其运算（易错必刷37题13种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 正数和负数 · 有理数 · 数轴 · 相反数 · 有理数的加法 · 有理数的加减混合运算 · 有理数的乘法 · 有理数的除法 · 绝对值 · 非负数的性质：绝对值 · 有理数大小比较 · 有理数的乘方 · 有理数的混合运算 一．正数和负数（共4小题） 1．如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（　　） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 2．一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（　　） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 3．超市购进8筐白菜，以每筐25kg为准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，称后的记录如下：1.5，﹣3，2，﹣0.5，1，﹣2，﹣2，﹣2.5． （1）这8筐白菜总计超过或不足多少千克？ （2）这8筐白菜一共多少千克？ （3）超市计划这8筐白菜按每千克3元销售，为促销超市决定打九折销售，求这8筐白菜现价比原价便宜了多少钱？ 4．某股票上周五的收盘价为39.60元，本周此股票每日的涨跌情况如下表： 某股票一周涨跌情况表（单位：元） 星期一 星期二 星期三 星期四 星期五 +2.1 ﹣1.8 +3.8 ﹣0.6 A （当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价2.1元记作+2.1元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作﹣1.5元．） （1）本周星期四此股票的收盘价是多少？ （2）若本周星期五此股票的收盘价为42.6元，求a的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 二．有理数（共2小题） 5．循环小数0.可化分数为 　 　． 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值； （2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 三．数轴（共7小题） 7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　） A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006 8．数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．5 C．1或﹣5 D．1或5 9．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 　 　． 10．如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 　 　． 11．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为　 　． 12．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是　 　． 13．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A、B是数轴上的点，完成下列各题： （1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　，A、B两点间的距离是 　 　． （2）如果点A表示数是3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 　 　，A、B两点间的距离是 　 　． （3）一般地，如果点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，再向左移动c个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 　 　，A、B两点间的距离是 　 　． 四．相反数（共1小题） 14．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 五．绝对值（共9小题） 15．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 16．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数 B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数 C．绝对值越大，这个数越大 D．两个负数，绝对值大的那个数反而小 17．若ab＞0，则++的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 18．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 19．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 20．绝对值大于2且不大于5的整数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 21．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 22．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝　 　． 23．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　 　， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　 　． （3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　 　． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是　 　． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 六．非负数的性质：绝对值（共1小题） 24．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 七．有理数大小比较（共1小题） 25．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（　　） A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 八．有理数的加法（共2小题） 26．如果|a+b|＝|a|+|b|，那么（　　） A．a，b同号 B．a，b为一切有理数 C．a，b异号 D．a，b同号或a，b中至少有一个为0 27．已知有理数a、b、c满足a+b+c＝0，则++＝　 　． 九．有理数的加减混合运算（共1小题） 28．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 一十．有理数的乘法（共1小题） 29．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　 　． 一十一．有理数的除法（共2小题） 30．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④＞0．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 31．计算： （1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； （2）﹣； （3） ； （4）． 一十二．有理数的乘方（共3小题） 32．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 33．﹣（﹣3）2 的运算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 34．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得： 2S﹣S＝22014﹣1，即S＝22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013＝22014﹣1 请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值． 一十三．有理数的混合运算（共3小题） 35．定义一种新运算：a⊕b＝a﹣b+ab． （1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值； （2）求5⊕[1⊕（﹣2）]的值． 36．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求+的值． （4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求+++的值． 37．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：＝　 　． （2）直接写出下列各式的计算结果：＝　 　； （3）探究并计算：． $$专题02有理数及其运算（易错必刷37题13种题型专项训练） 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（当天的收盘价高出前一个交易日的收盘价2.1元记作+2.1元；当天的收盘价低于前一个交易日的收盘价1.5元记作﹣1.5元．） （1）本周星期四此股票的收盘价是多少？ （2）若本周星期五此股票的收盘价为42.6元，求a的值，并说明星期五此股票是涨了还是跌了，涨或跌了多少元？ 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵上周五的收盘价为39.60元， ∴周四收盘价：39.60+2.1﹣1.8+3.8﹣0.6＝43.1元． （2）由（1）中求出的周四收盘价，及周五收盘价得： 43.1+a＝42.6， 解得：a＝﹣0.5， 故星期五此股票跌了，跌了0.5元． 二．有理数（共2小题） 5．循环小数0.可化分数为 　　． 【答案】． 【解答】解：设x＝，则100x＝15.， ∴15.＝15+， ∴100x＝15+x 解得x＝． 故答案为：． 6．在解决数学问题的过程中，我们常用到“分类讨论”的数学思想，下面是运用分类讨论的数学思想解决问题的过程，请仔细阅读，并解答问题． 【提出问题】三个有理数a，b，c满足abc＞0，求的值． 【解决问题】 解：由题意，得a，b，c三个有理数都为正数或其中一个为正数，另两个为负数． ①a，b，c都是正数，即a＞0，b＞0，c＞0时，则； ②当a，b，c中有一个为正数，另两个为负数时，不妨设a＞0，b＜0，c＜0，则． 综上所述，值为3或﹣1． 【探究】请根据上面的解题思路解答下面的问题： （1）三个有理数a，b，c满足abc＜0，求的值； （2）若a，b，c为三个不为0的有理数，且，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵abc＜0， ∴a，b，c都是负数或其中一个为负数，另两个为正数， ①当a，b，c都是负数，即a＜0，b＜0，c＜0时， 则：＝++＝﹣1﹣1﹣1＝﹣3； ②a，b，c有一个为负数，另两个为正数时，设a＜0，b＞0，c＞0， 则＝++＝﹣1+1+1＝1． （2）∵a，b，c为三个不为0的有理数，且， ∴a，b，c中负数有2个，正数有1个， ∴abc＞0， ∴＝＝1． 三．数轴（共7小题） 7．数轴上表示整数的点称为整点．某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长为2004厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点的个数是（　　） A．2002或2003 B．2003或2004 C．2004或2005 D．2005或2006 【答案】C 【解答】解：依题意得：①当线段AB起点在整点时覆盖2005个数； ②当线段AB起点不在整点，即在两个整点之间时覆盖2004个数． 故选：C． 8．数轴上点P表示的数为﹣2，与点P距离为3个单位长度的点表示的数为（　　） A．1 B．5 C．1或﹣5 D．1或5 【答案】C 【解答】解：如图： 根据数轴可以得到在数轴上与点P距离3个长度单位的点所表示的数是：﹣5或1． 故选：C． 9．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图中标出的数值，判断墨迹盖住的整数个数是 　120　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：因为墨迹最左端的实数是﹣109.2，最右端的实数是10.5．根据实数在数轴上的排列特点，可得墨迹遮盖部分最左侧的整数是﹣109，最右侧的整数是10．所以遮盖住的整数共有120个． 故答案为：120． 10．如果数轴上的点A对应的数为﹣1，那么与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 　﹣4或2　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：在A点左边与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为﹣4； 在A点右边与A点相距3个单位长度的点所对应的有理数为 2． 故答案为﹣4或2． 11．如图，在数轴上，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为4，C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为　﹣6　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点C所表示的数为x， ∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C， ∴AB＝4﹣（﹣1），AC＝﹣1﹣x， 根据题意AB＝AC， ∴4﹣（﹣1）＝﹣1﹣x， 解得x＝﹣6． 故答案为：﹣6． 12．点A表示数轴上的一个点，将点A向右移动7个单位，再向左移动4个单位，终点恰好是原点，则点A表示的数是　﹣3　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设点A表示的数是x． 依题意，有x+7﹣4＝0， 解得x＝﹣3． 故答案为：﹣3 13．如图，一个点从数轴上的原点开始，先向右移动了3个单位长度，再向左移动5个单位长度，可以看到终点表示的数是﹣2．已知点A、B是数轴上的点，完成下列各题： （1）如果点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是 　4　，A、B两点间的距离是 　7　． （2）如果点A表示数是3，将点A向左移动7个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是 　1　，A、B两点间的距离是 　2　． （3）一般地，如果点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，再向左移动c个单位长度，那么请你猜想终点B表示的数是 　a+b﹣c　，A、B两点间的距离是 　|b﹣c|　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由图可知，点A表示数﹣3，将点A向右移动7个单位长度，那么终点B表示的数是4， A、B两点间的距离是|﹣3﹣4|＝7； 故答案为：4，7； （2）如果点A表示数3，将点A向左移动7个单位长度，则点A表示3﹣7＝﹣4， 再向右移动5个单位长度，那么终点B表示的数是﹣4+5＝1， A、B两点间的距离是|3﹣1|＝2； 故答案为：1，2； （3）点A表示数为a，将点A向右移动b个单位长度，则点A表示a+b，再向左移动c个单位长度，那么终点B表示的数是a+b﹣c， A、B两点间的距离是|a+b﹣c﹣a|＝|b﹣c|． 故答案为：a+b﹣c，|b﹣c|． 四．相反数（共1小题） 14．下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 【答案】B 【解答】解：只有符号不同的两个数互为相反数， 且互为相反数两个数相加得0， ﹣0.5+＝0． 故选：B． 五．绝对值（共9小题） 15．如果|a|＝a，下列各式成立的是（　　） A．a＞0 B．a＜0 C．a≥0 D．a≤0 【答案】C 【解答】解：∵|a|＝a， ∴a为绝对值等于本身的数， ∴a≥0， 故选：C． 16．下列说法正确的是（　　） A．一个数的绝对值等于它本身，这个数一定是正数 B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数 C．绝对值越大，这个数越大 D．两个负数，绝对值大的那个数反而小 【答案】D 【解答】解：A．一个数的绝对值等于它本身，这个数是正数或0，故选项A不合题意； B．一个数的绝对值等于它的相反数，这个数一定是负数或0，故选项B不合题意； C．负数绝对值越大，这个数越小，故选项C不合题意； D．两个负数，绝对值大的那个数反而小，故选项D符合题意． 故选：D． 17．若ab＞0，则++的值为（　　） A．3 B．﹣1 C．±1或±3 D．3或﹣1 【答案】D 【解答】解：因为ab＞0，所以a，b同号． ①若a，b同正，则++＝1+1+1＝3； ②若a，b同负，则++＝﹣1﹣1+1＝﹣1． 故选：D． 18．若x的相反数是3，|y|＝5，则x+y的值为（　　） A．﹣8 B．2 C．8或﹣2 D．﹣8或2 【答案】D 【解答】解：x的相反数是3，则x＝﹣3， |y|＝5，y＝±5， ∴x+y＝﹣3+5＝2，或x+y＝﹣3﹣5＝﹣8． 则x+y的值为﹣8或2． 故选：D． 19．数轴上表示数m和m+2的点到原点的距离相等，则m为（　　） A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣1 【答案】D 【解答】解：由题意得：|m|＝|m+2|， ∴m＝m+2或m＝﹣（m+2）， ∴m＝﹣1． 故选：D． 20．绝对值大于2且不大于5的整数有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【解答】解：绝对值大于2且不大于5的整数有：﹣5，﹣4，﹣3，3，4，5， 故选：D． 21．把有理数a代入|a+4|﹣10得到a1，称为第一次操作，再将a1作为a的值代入得到a2，称为第二次操作，…，若a＝23，经过第2020次操作后得到的是（　　） A．﹣7 B．﹣1 C．5 D．11 【答案】A 【解答】解：第1次操作，a1＝|23+4|﹣10＝17； 第2次操作，a2＝|17+4|﹣10＝11； 第3次操作，a3＝|11+4|﹣10＝5； 第4次操作，a4＝|5+4|﹣10＝﹣1； 第5次操作，a5＝|﹣1+4|﹣10＝﹣7； 第6次操作，a6＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； 第7次操作，a7＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7； … 第2020次操作，a2020＝|﹣7+4|﹣10＝﹣7． 故选：A． 22．有理数a、b、c在数轴的位置如图所示，且a与b互为相反数，则|a﹣c|﹣|b+c|＝　0　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且a+b＝0， ∴|a﹣c|﹣|b+c|＝c﹣a﹣c﹣b＝﹣（a+b）＝0． 23．同学们都知道：|5﹣（﹣2）|表示5与﹣2之差的绝对值，实际上也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： （1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是　7　， （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为　|x﹣2|　． （3）如果|x﹣2|＝5，则x＝　7或﹣3　． （4）同理|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数x，使得|x+3|+|x﹣1|＝4，这样的整数是　﹣3、﹣2、﹣1、0、1　． （5）由以上探索猜想对于任何有理数x，|x﹣3|+|x﹣6|是否有最小值？如果有，直接写出最小值；如果没有，说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）数轴上表示5与﹣2两点之间的距离是|5﹣（﹣2）|＝|5+2|＝7，故答案为：7； （2）数轴上表示x与2的两点之间的距离可以表示为|x﹣2|，故答案为：|x﹣2|； （3）∵|x﹣2|＝5， ∴x﹣2＝5或x﹣2＝﹣5， 解得：x＝7或x＝﹣3， 故答案为：7或﹣3； （4）∵|x+3|+|x﹣1|表示数轴上有理数x所对应的点到﹣3和1所对应的点的距离之和，|x+3|+|x﹣1|＝4， ∴这样的整数有﹣3、﹣2、﹣1、0、1， 故答案为：﹣3、﹣2、﹣1、0、1； （5）根据绝对值的几何意义可知当3≤x≤6时，有最小值是3． 六．非负数的性质：绝对值（共1小题） 24．若|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数，则a+b的值为（　　） A．3 B．﹣3 C．0 D．3或﹣3 【答案】A 【解答】解：∵|a﹣1|与|b﹣2|互为相反数， ∴|a﹣1|+|b﹣2|＝0， 又∵|a﹣1|≥0，|b﹣2|≥0， ∴a﹣1＝0，b﹣2＝0， 解得a＝1，b＝2， a+b＝1+2＝3． 故选：A． 七．有理数大小比较（共1小题） 25．a、b在数轴上位置如图所示，则a、b、﹣a、﹣b的大小顺序是（　　） A．﹣a＜b＜a＜﹣b B．b＜﹣a＜a＜﹣b C．﹣a＜﹣b＜b＜a D．b＜﹣a＜﹣b＜a 【答案】B 【解答】解：从数轴上可以看出b＜0＜a，|b|＞|a|， ∴﹣a＜0，﹣a＞b，﹣b＞0，﹣b＞a， 即b＜﹣a＜a＜﹣b， 故选：B． 八．有理数的加法（共2小题） 26．如果|a+b|＝|a|+|b|，那么（　　） A．a，b同号 B．a，b为一切有理数 C．a，b异号 D．a，b同号或a，b中至少有一个为0 【答案】D 【解答】解：∵|a+b|＝|a|+|b|， ∴a，b同号，或a，b中至少有一个为0， 故选：D． 27．已知有理数a、b、c满足a+b+c＝0，则++＝　±1　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵有理数a、b、c满足a+b+c＝0，且a、b、c都不能为0， ∴a、b、c异号， ①当其中一个数为正数，另外两个数为负数时， 原式＝1﹣1﹣1＝﹣1． ②当其中一个数为负数，另外两数为正数时， 原式＝﹣1+1+1＝1． 综上，++＝±1， 故答案为±1． 九．有理数的加减混合运算（共1小题） 28．将式子（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）省略括号和加号后变形正确的是（　　） A．20﹣3+5﹣7 B．﹣20﹣3+5+7 C．﹣20+3+5﹣7 D．﹣20﹣3+5﹣7 【答案】C 【解答】解：（﹣20）+（+3）﹣（﹣5）﹣（+7）＝﹣20+3+5﹣7． 故选：C． 一十．有理数的乘法（共1小题） 29．|x|＝8，|y|＝6，且xy＞0，则x﹣y的值为　±2　． 【答案】±2． 【解答】解：∵|x|＝8，|y|＝6， ∴x＝±8，y＝±6． ∵xy＞0， ∴x、y同号． ∴当x＝8时，y＝6，x﹣y＝8﹣6＝2．当x＝﹣8时，y＝﹣6，x﹣y＝﹣8﹣（﹣6）＝﹣2． 故答案为：±2． 一十一．有理数的除法（共2小题） 30．点A，B在数轴上的位置如图所示，其对应的有理数分别是a和b．对于下列四个结论： ①b﹣a＞0；②|a|＜|b|；③a+b＞0；④＞0．其中正确的是（　　） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【解答】解：根据图示，可得﹣3＜a＜0，b＞3， ∴（1）b﹣a＞0，故正确； （2）|a|＜|b|，故正确； （3）a+b＞0，故正确； （4）＜0，故错误． ∴正确的是①②③． 故选：B． 31．计算： （1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）； （2）﹣； （3）； （4）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣85）×（﹣25）×（﹣4）， ＝（﹣85）×[（﹣25）×（﹣4）]， ＝﹣85×100， ＝﹣8500； （2）﹣2×2÷（﹣2）， ＝﹣××（﹣）， ＝2； （3）（﹣）÷（1﹣+）， ＝（﹣）÷（﹣+）， ＝（﹣）÷， ＝（﹣）×， ＝﹣； （4）（﹣+﹣）×36， ＝×36﹣×36+×36﹣×36， ＝28﹣30+27﹣14， ＝55﹣44， ＝11． 一十二．有理数的乘方（共3小题） 32．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【答案】C 【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误； B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确； D、＝，＝，≠，故本选项错误． 故选：C． 33．﹣（﹣3）2 的运算结果是（　　） A．6 B．﹣6 C．9 D．﹣9 【答案】D 【解答】解：﹣（﹣3）2＝﹣9． 故选：D． 34．阅读材料：求1+2+22+23+24+…22013的值． 解：设S＝1+2+22+23+24+…+22012+22013，将等式两边同时乘以2得： 2S＝2+22+23+24+25+…+22013+22014，将下式减去上式得： 2S﹣S＝22014﹣1，即S＝22014﹣1，即1+2+22+23+24+…22013＝22014﹣1 请你仿照此法计算1+3+32+33+34…+32014的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵设S＝1+3+32+33+…+32014，则3S＝3+32+33+…+32014+32015， ∴2S＝32015﹣1， ∴． 一十三．有理数的混合运算（共3小题） 35．定义一种新运算：a⊕b＝a﹣b+ab． （1）求（﹣2）⊕（﹣3）的值； （2）求5⊕[1⊕（﹣2）]的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（﹣2）⊕（﹣3）＝（﹣2）﹣（﹣3）+（﹣2）×（﹣3）＝1+6＝7； （2）5⊕[1⊕（﹣2）]＝5⊕[1﹣（﹣2）+1×（﹣2）]＝5⊕1＝5﹣1+5×1＝4+5＝9． 36．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a＞0时，|a|＝a；当a＝0时，|a|＝0；当a＜0时，|a|＝﹣a．用这种方法解决下列问题： （1）当a＝5时，求的值． （2）当a＝﹣2时，求的值． （3）已知a，b是有理数，当ab＞0时，试求+的值． （4）已知a，b是有理数，当abc＜0时，试求+++的值． 【答案】（1）1； （2）﹣1； （3）±2； （4）0，﹣4． 【解答】解：（1）当a＝5时，＝1； （2）当a＝﹣2时，＝﹣1； （3）若a，b是有理数，当ab＞0时，分两种情况： 当a＞0，b＞0时， +＝1+1＝2， 当a＜0，b＜0时， +＝﹣1﹣1＝﹣2 ∴当ab＞0时，+的值为±2； （4）若a，b是有理数，当abc＜0时，分2种情况： ①当a，b，c三个字母中有一个字母小于0，其它两个字母大于0时，+++＝﹣1+1+1﹣1＝0， ②当a＜0，b＜0，c＜0时，+++＝﹣1﹣1﹣1﹣1＝﹣4， 综上所述，+++的所有可能的值为0，﹣4． 37．观察下列等式：，，，将以上三个等式两边分别相加得：． （1）猜想并写出：＝　﹣　． （2）直接写出下列各式的计算结果：＝　　； （3）探究并计算：． 【答案】（1）﹣； （2）； （3）． 【解答】解：（1）由题意得： ＝﹣， 故答案为：﹣； （2）由题意得： ＝1﹣+﹣+﹣+...+﹣ ＝1﹣ ＝， 故答案为：； （3）由题意得： ＝×（﹣+﹣+﹣+...+﹣） ＝×（﹣） ＝× ＝ ＝． $$