精品解析：湖北省十堰市竹溪县第二高级中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试卷

2024-2025学年竹溪二中高二年级9月数学试卷 高二数学 本试题共4页，19题，满分150分，考试用时120分. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A. 53 B. 74 C. 78 D. 83 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，将数据从小到大排列，结合百分位数的计算方法，即可求解. 【详解】将8位同学考试的物理成绩从小到大排列：， 由，所以数据的第60百分位数为. 故选：C. 2. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接,利用空间向量的基本定理求解即可. 【详解】连接，因为是线段的中点，所以 因为，所以 所以 故选：D 3 已知随机事件A和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件的概率公式可求得，利用对立事件概率公式求得结果． 【详解】因为与互斥，则， 可得， 所以 故选：D． 4. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量在向量上的投影向量公式求出，再由夹角公式求解. 【详解】因为，在上的投影向量为， 所以， 所以， 所以， 由，可知. 故选：B 5. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率. 【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：． 故选：C. 6. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：由于，且互不相同，故可得个三位数.若，则“凹数”有：.共6个；若，则“凹数”有：.共2个.所以这个三位数为“凹数”的概率为有. 考点：古典概型. 7. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，运用中位线性质，找出异面直线所成角，结合余弦定理求解即可. 【详解】如图，取中点，连接.则， 且，则四边形为平行四边形，则. 由图则异面直线所成角为或其补角， 中，，，. 由余弦定理可知. 异面直线所成角的余弦值为. 故选：D. 8. 在棱长为1的正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，由可得点的轨迹方程，从而由平面知识即可求出线段AM的长的最小值． 【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设，，，， 所以，由可得，即，所以线段AM的长的最小值为． 故选：B． 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则或 C. 若平面，的法向量分别为，，则 D. 若向量，，则向量在上的投影向量 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量数量积的值即可判断A；根据空间向量数量积的值即可判断B；根据两平面法向量之间的关系可判断C；利用投影向量计算方法可判断D. 【详解】对于A，， 则，所以直线与垂直，故A是真命题； 对于B，，则， 所以或，故B是真命题； 对于C，，所以不成立，故C是假命题； 对于D，在上的投影为, 则向量在上的投影向量, 故D是真命题. 故选：ABD. 10. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存在点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接使用中位线的性质即可证明；对于B，使用等腰三角形的中线性质即可证明；对于C，使用反证法即可否定结论；对于D，直接计算出三棱锥的体积即可验证. 【详解】对于A，由于分别是的中点，故. 而，所以，故A正确； 对于B，当是的中点时，由于，故，而，所以，故B正确； 对于C，假设平面平面，则两平面没有公共点，从而两直线没有公共点，又由于两直线都在下底面内，故. 而，这意味着和重合，矛盾，故C错误； 对于D，设到平面的距离和到直线的距离分别为和，则，从而三棱锥的体积，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于C选项对线面平行和线线平行定义的运用. 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与互为对立事件 C. 发生概率为 D. 与相互独立 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据互斥事件，对立事件相互独立事件的定义结合古典概型注意判断即可. 【详解】由题意，不放回的随机取两次，共有种情况， 共个基本事件， 共个基本事件，故，故C正确； 显然事件与有交事件，不是互斥事件，故A错误； 共个基本事件，故， 共个基本事件， 所以与互为对立事件，故B正确； 事件共个基本事件， 所以， 所以与相互独立，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本进行质量检测，若样本中有20件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为___________件. 【答案】3200 【解析】 【分析】先求出抽取样本中乙设备生产的件数，可求得抽样比，即可求出乙设备生产的产品总数. 【详解】因为样本中有20件产品由甲设备生产，40件产品由乙设备生产， 所以乙设备生产的产品总数为：(件). 故答案为：3200. 13. 已知向量满足，，且，则______． 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，结合向量共线的坐标表示，列出方程求得，得到，结合向量模的计算公式，即可求解. 【详解】由向量满足， 因为，可得，解得，即， 所以. 故答案为：. 14. 假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据全概率公式求出，再带入贝叶斯公式计算即可． 【详解】设“从待出厂产品中取出个是次品”为事件A，从待出厂产品中取出个产品是甲、乙、丙车间生产的事件分别为事件，，， 则，，，，，， 由全概率公式得  ， 现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）求c的值； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出，根据向量模长公式列出方程，求出； （2）分与两种情况，根据向量垂直列出方程，求出实数k的值. 【小问1详解】 ， 所以，解得：； 【小问2详解】 当时， ， ， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 当时，， 因为与互相垂直， 所以，解得：， 综上：. 16. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 【答案】（1） （2）平均数为，方差 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质可求得，的值； （2）直接根据平均数及方差的定义求解即可； （3）先求得抽样比例，可得在区间和内抽取的人数，从而利用古典概型公式求解即可． 【小问1详解】 因为个体在区间内的频率是， 所以频数； 在内的频率是， 所以频数. 【小问2详解】 平均数为， 方差. 【小问3详解】 由等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，则抽样比例为， 所以在区间和内抽取的人数各为和， 分别记这人为、、、、和、，则事件的总体是 ，，，，，，，，，， ，，，，，，，，，，， 其中共有个基本事件， 记所求的事件为，则中包含的基本事件为： ，，，，，，，，，共个， 所以． 17. 如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】(1)根据题目所给的条件，连接AC，BD得交点O，连接SO，易证 ； (2)构造辅助线，使得BE所在的平面平行于平面PAC即可求解. 【小问1详解】 连接AC，BD得交点O，连接SO，则点O是正方形ABCD的中心， 是等腰三角形， , 又 ， 平面SBD， 平面SBD， ， 平面SBD， 平面SBD，∴ ； 【小问2详解】 在SP上取点N，使得，过N作交SC于点E，连BN， 由面，面，则， 设底面边长为a，则，， ，由等面积法，得出 ，则 ， ∵P是ND的中点，O是BD的中点， ∴，面，面，故面， 又平面，平面，则面， ，面BNE，则平面BNE平面PAC， 面BNE，则平面APC， ，， 综上，存在， . 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得事件“甲连胜四场”的概率； （2）计算出四局以内结束比赛的概率，然后利用对立事件的概率公式可求得所求事件的概率； （3）列举出甲赢的基本事件，结合独立事件的概率乘法公式计算出甲赢的概率，由对称性可知乙赢的概率和甲赢的概率相等，再利用对立事件的概率可求得丙赢的概率. 【详解】（1）记事件甲连胜四场，则； （2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 则四局内结束比赛的概率为 ， 所以，需要进行第五场比赛的概率为； （3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输， 记事件甲赢，记事件丙赢， 则甲赢的基本事件包括：、、、 、、、、， 所以，甲赢的概率为. 由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等， 所以丙赢的概率为. 【点睛】本题考查独立事件概率的计算，解答的关键就是列举出符合条件的基本事件，考查计算能力，属于中等题. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值； （3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 【答案】（1） （2） （3）体积为128，相邻两个面（有公共棱）所成二面角为 【解析】 【分析】（1）记平面，的法向量为，设直线的方向向量，由直线为平面和平面的交线，则，，列出方程即可求解； （2）设，由平面经过点，，列出方程中求得，记平面的法向量为，求出与交线方向向量为，根据，即可求得的值； （3）由题可知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，即可计算出体积，设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为，由题得出平面和平面的法向量，根据两平面夹角的向量公式计算即可． 【小问1详解】 记平面，的法向量为，设直线的方向向量， 因为直线为平面和平面交线， 所以，，即，取，则， 所以直线的单位方向向量为． 【小问2详解】 设， 由平面经过点，， 所以，解得，即， 所以记平面的法向量为， 与（1）同理，与确定的交线方向向量为， 所以，即，解得． 【小问3详解】 由集合知，由一个边长是4的正方体和6个高为2的正四棱锥构成，如图所示， ，， 设几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为， 平面，设平面法向量， 平面，设平面法向量， 所以， 所以几何体相邻两个面（有公共棱）所成二面角为． 【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是作出空间图形，求出相关法向量，利用二面角的空间向量求法即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年竹溪二中高二年级9月数学试卷 高二数学 本试题共4页，19题，满分150分，考试用时120分. 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某学校高二某班向阳学习小组8位同学在一次考试中的物理成绩如下：95，45，62，78，53，83，74，88，则该小组本次考试物理成绩的第60百分位数为（ ） A 53 B. 74 C. 78 D. 83 2. 在三棱锥中，已知，是线段的中点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知随机事件A和互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量满足，且在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为，当且仅当时称为“凹数”（如213，312等），若，且互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率为 A. B. C. D. 7. 如图，在正三棱柱中，分别为棱的中点，，则异面直线所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为1正方体中，若点E是线段AB的中点，点M是底面ABCD内的动点，且满足，则线段AM的长的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 给出下列命题，其中是真命题的是（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与垂直 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则或 C. 若平面，法向量分别为，，则 D. 若向量，，则向量在上的投影向量 10. 如图，正方体 的棱长为1，动点在线段 上，分别是的中点，则下列结论中正确的是（   ） A. B. 当为中点时， C. 存点，使得平面平面 D. 三棱锥的体积为定值 11. 有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中不放回的随机取两次，每次取1个球，事件表示“第一次取出的球的数字是偶数”，事件表示“第二次取出的球的数字是奇数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是偶数”，事件表示“两次取出的球的数字之和是奇数”，则（ ） A. 与是互斥事件 B. 与互为对立事件 C. 发生的概率为 D. 与相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 甲､乙两套设备生产的同类型产品共4800件，采用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为60的样本进行质量检测，若样本中有20件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为___________件. 13. 已知向量满足，，且，则______． 14. 假定某工厂甲、乙、丙个车间生产同一种螺钉，产量依次占全厂的、、，如果各车间的次品率依次为、、.现在从待出厂产品中检查出个次品，则它是由甲车间生产的概率是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，且． （1）求c的值； （2）若与互相垂直，求实数k的值． 16. 为响应国家“学习强国”的号召、培养同学们的“社会主义核心价值观”，我校团委鼓励全校学生积极学习相关知识，并组织知识竞赛．今随机对其中的名同学的初赛成绩满分：分作统计，得到如图所示的频率分布直方图有数据缺失． 请大家完成下面的问题： （1）根据直方图求以下表格中、的值； 成绩 频数   （2）求参赛同学初赛成绩的平均数及方差同一组中的数据用该组区间的中点值作代表； （3）若从这名参加初赛的同学中按等比例分层抽样的方法抽取一个容量为的样本，再在该样本中成绩不低于分的同学里任选人继续参加教育局组织的校际比赛，求抽到的人中恰好人的分数低于分且人的分数不低于分的概率． 17. 如图所示，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点． （1）求证：AC⊥SD； （2）若SD平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE平面PAC？若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由． 18. 甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为， （1）求甲连胜四场的概率； （2）求需要进行第五场比赛的概率； （3）求丙最终获胜的概率. 19. 在空间直角坐标系中，已知向量，点．若直线以为方向向量且经过点，则直线的标准式方程可表示为；若平面以为法向量且经过点，则平面的点法式方程可表示为，一般式方程可表示为． （1）若平面，平面，直线为平面和平面的交线，求直线的单位方向向量（写出一个即可）； （2）若三棱柱的三个侧面所在平面分别记为，其中平面经过点，，平面，平面，求实数m的值； （3）若集合，记集合中所有点构成的几何体为，求几何体的体积和相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$