专题04 图形的相似（考题猜想，易错必刷35题8种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（北师大版）

专题04图形的相似（易错必刷35题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 平行线分线段成比例 · 相似多边形的性质 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的应用 · 相似三角形的性质 · 位似变换 一．比例的性质（共1小题） 1．若，则的值为（　　） A． B．1 C．1.5 D．3 二．平行线分线段成比例（共4小题） 2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 3．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（　　） A．9 B．10 C．2 D．15 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为　 　． 三．相似多边形的性质（共2小题） 6．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　 　． 7．如图，将矩形ABCD沿EF对折后，矩形ABCD与矩形AEFB相似，若AD＝2，则AB的长为 　 　. 四．相似三角形的性质（共2小题） 8．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 9．如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点．点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标为　 　． 五．相似三角形的判定（共3小题） 10．如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有 　 　个． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停． （1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2； （2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似． 12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 六．相似三角形的判定与性质（共16小题） 13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 14．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（　　） A．25 B．9 C．21 D．16 15．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，点H是边BC上的点，连接AH交线段DE于点G，且BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，则S四边形BCED＝（　　） A．24 B．22.5 C．20 D．25 16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（　　） A． B． C．1 D． 17．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝15cm2，则阴影部分的面积为　 　cm2． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 　 　． 19．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 　 　． 20．如图在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，AE＝DE，连接AC与BE交于点P，若点Q为CD的中点，则S△APE：S四边形PQDE　 　． 21．如图，∠BAD＝∠CAE，AC＝2AE，AB＝2AD，若BC＝3cm，则DE＝　 　cm． 22．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是 　 　． 23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证： （1）AG平分∠BAC； （2）EF•CG＝DF•BG． 24．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 25．（定理证明）小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，△ABC的角平分线BP交AC于点P，则． （1）若AB＝8，BC＝12，AC＝10，请利用上述结论直接写出AP的长＝　 　； （2）请帮助小明证明这一结论； （3）若∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，AB＝2，AC＝1，求AD的长． 26．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若BD＝1，BC＝3，求的值． 27．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′． （1）当D是AB的中点时，直接写出＝　 　． （2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围． 28．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． （1）如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是　 　； （2）如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积． 七．相似三角形的应用（共4小题） 29．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 30．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 31．为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度． 32．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，△ABC表示这块空地，BC＝36米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）如果矩形花坛的边DG：DE＝1：2，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； （2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由． 八．位似变换（共3小题） 33．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 34．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，若CD＝2，则端点C的坐标为　 　． 35．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OA'B'，若A（﹣1，3），B（﹣2，1），A′（﹣3，9），则B′的坐标为 　 　． $$专题04图形的相似（易错必刷35题8种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 平行线分线段成比例 · 相似多边形的性质 · 相似三角形的判定 · 相似三角形的判定与性质 · 相似三角形的应用 · 相似三角形的性质 · 位似变换 一．比例的性质（共1小题） 1．若，则的值为（　　） A． B．1 C．1.5 D．3 【答案】A 【解答】解：∵， ∴＝＝＝， ∴＝， 故选：A． 二．平行线分线段成比例（共4小题） 2．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C，直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G，且AG＝2，GB＝1，BC＝5，则的值为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】D 【解答】解：∵AG＝2，GB＝1， ∴AB＝AG+BG＝3， ∵直线l1∥l2∥l3， ∴＝， 故选：D． 3．如图，点A，E，F，C在同一条直线上，AD∥BC，BE的延长线交AD于点G，且BG∥DF，则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解答】解：∵BG∥DF，∴＝，A正确，C错误； ∴＝，B 正确； ∵AD∥BC，∴∠A＝∠C， ∵BG∥DF，∴∠BEC＝∠DFA， ∴△BEC∽△DFA， ∴＝，D正确， 故选：C． 4．如图，l1∥l2∥l3，直线a，b与l1、l2、l3分别相交于A、B、C和点D、E、F，若＝，DE＝6，则EF的长是（　　） A．9 B．10 C．2 D．15 【答案】A 【解答】解：∵l1∥l2∥l3， ∴＝，即＝， 解得：DF＝15， ∴EF＝15﹣6＝9． 故选：A． 5．如图，在△ABC中，DE∥BC，若AD＝1，DB＝2，则的值为　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵DE∥BC， ∴＝， ∵AD＝1，BD＝2， ∴AB＝3， ∴＝， 故答案为：． 三．相似多边形的性质（共2小题） 6．两个相似多边形的相似比为1：2，则它们的周长的比为 　1：2　． 【答案】1：2． 【解答】解：∵两个相似多边形的相似比为1：2， ∴两个相似多边形周长的比等于1：2， 故答案为：1：2． 7．如图，将矩形ABCD沿EF对折后，矩形ABCD与矩形AEFB相似，若AD＝2，则AB的长为 　　. 【答案】． 【解答】解：由折叠得：AE＝DE＝AD＝1， ∵矩形ABCD与矩形AEFB相似， ∴＝， ∴AB2＝AD•AE＝2×1＝2， ∴AB＝或AB＝﹣（舍去）， ∴AB的长为， 故答案为：． 四．相似三角形的性质（共2小题） 8．如图所示，若△DAC∽△ABC，则需满足（　　） A．CD2＝AD•DB B．AC2＝BC•CD C． D． 【答案】B 【解答】解：由CD2＝AD•DB，可得CD：AD＝BD：CD，由此得不出结论； 由AC2＝BC•CD，可得AC：BC＝CD：AC， ∵∠C＝∠C， ∴△ABC∽△DAC，故B选项正确； 由得不出结论； 由＝及∠BAC＝∠ADC＝90°可得结论，但题目中未提及． 故选：B． 9．如图在平面直角坐标系中，A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点．点P在x轴上，若以P、A、C为顶点的三角形与△AOB相似，则P点坐标为　（4，0）或（，0）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵A点坐标为（8，0），B点坐标为（0，6），点C是线段AB的中点， ∴OA＝8，OB＝6，AC＝AB， ∴AB＝10， ∴AC＝5， 若△PAC∽△OAB， ∵∠OAB＝∠PAC， 则需， ∴PA＝4，PC＝3， ∴OP＝4， ∴P点坐标为（4，0）； 若△PAC∽△BAO， ∵∠OAB＝∠PAC， 则需， ∴， 解得：PA＝， ∴OP＝8﹣＝． ∴P点坐标为（，0）． 故答案为：（4，0）或（，0）． 五．相似三角形的判定（共3小题） 10．如图，△ABO的顶点坐标是A（2，6），B（3，1），O（0，0），平面内点P使得△ABP与△ABO相似，则不与点O重合的点P有 　11　个． 【答案】11． 【解答】解：如图所示，当∠ABP＝∠AOB时，△ABP∽△AOB（当点P在AB另一侧时，也符合题意，下同）； 如图所示，当∠BAP＝∠AOB，∠ABP＝∠BAO时，△ABP∽△OAB； 如图所示，当∠P＝∠AOB，∠ABP＝∠BAO时，△ABO∽△BAP； 如图所示，当∠BAO＝∠BAP，∠AOB＝∠P时，△ABO∽△ABP（点P与点O重合时不合题意）． 如图所示，当∠P＝∠BAO，∠ABO＝∠PBA时，△ABO∽△PBA； 如图所示，当∠BAP＝∠ABO，∠ABP＝∠AOB时，△ABO∽△PAB； 综上所述，符合题意的点P的位置有11个． 故答案为：11． 11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8cm，BC＝6cm，点P从点A沿AC向C以2cm/s的速度移动，到C即停，点Q从点C沿CB向B以1cm/s的速度移动，到B就停． （1）若P、Q同时出发，经过几秒钟S△PCQ＝2cm2； （2）若点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过几秒△PCQ与△ACB相似． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）设经过t秒钟S△PCQ＝2cm2， 由题意得，AP＝2t，CQ＝t， 则PC＝8﹣2t， 由题意得，×（8﹣2t）×t＝2， 整理得，t2﹣4t+2＝0 解得，t＝2±， 则P、Q同时出发，经过（2±）秒钟S△PCQ＝2cm2； （2）设再经过n秒△PCQ与△ACB相似由题意得，AP＝2n，CQ＝2+n， 则PC＝8﹣2n， 当△PCQ∽△ACB时，＝，即＝， 解得，n＝1.6， 当△PCQ∽△BCA时，＝，即＝， 解得，n＝， 综上所述，点Q从C点出发2s后点P从点A出发，再经过1.6秒或秒秒△PCQ与△ACB相似． 12．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝16cm．点D由点A出发沿AB方向向点B匀速运动，同时点E由点B出发沿BC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接DE，设运动时间为t（s）（0＜t＜10），解答下列问题： （1）当t为何值时，△BDE的面积为7.5cm2； （2）在点D，E的运动中，是否存在时间t，使得△BDE与△ABC相似？若存在，请求出对应的时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）分别过点D、A作DF⊥BC、AG⊥BC，垂足为F、G 如图 ∴DF∥AG，＝ ∵AB＝AC＝10，BC＝16∴BG＝8，∴AG＝6． ∵AD＝BE＝t，∴BD＝10﹣t， ∴＝ 解得DF＝（10﹣t） ∵S△BDE＝BE•DF＝7.5 ∴（10﹣t）•t＝15 解得t＝5． 答：t为5秒时，△BDE的面积为7.5cm2． （2）存在．理由如下： ①当BE＝DE时，△BDE∽△BCA， ∴＝即＝， 解得t＝， ②当BD＝DE时，△BDE∽△BAC， ＝即＝， 解得t＝． 答：存在时间t为或秒时，使得△BDE与△ABC相似． 六．相似三角形的判定与性质（共16小题） 13．如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（　　） A．15 B．20 C．25 D．30 【答案】B 【解答】解：设正方形EFGH的边长EF＝EH＝x， ∵四边形EFGH是正方形， ∴∠HEF＝∠EHG＝90°，EF∥BC， ∴△AEF∽△ABC， ∵AD是△ABC的高， ∴∠HDN＝90°， ∴四边形EHDN是矩形， ∴DN＝EH＝x， ∵△AEF∽△ABC， ∴＝（相似三角形对应边上的高的比等于相似比）， ∵BC＝120，AD＝60， ∴AN＝60﹣x， ∴＝， 解得：x＝40， ∴AN＝60﹣x＝60﹣40＝20． 故选：B． 14．如图，在平行四边形ABCD中，EF∥AB，DE：AE＝2：3，△BDC的面积为25，则四边形AEFB的面积为（　　） A．25 B．9 C．21 D．16 【答案】C 【解答】解：因为EF∥AB，DE：AE＝2：3， 所以， 所以S△DEF：S△ABD＝4：25， 又因为四边形ABCD是平行四边形， 所以△ABD≌△BDC，△BDC的面积为25，所以△ABD的面积为25， 所以△DEF的面积为4， 则四边形AEFB的面积为21． 故选：C． 15．如图，△ABC中，点D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，点H是边BC上的点，连接AH交线段DE于点G，且BH＝DE＝12，DG＝8，S△ADG＝12，则S四边形BCED＝（　　） A．24 B．22.5 C．20 D．25 【答案】B 【解答】解：如图所示： ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， 又∵BH＝DE＝12，DG＝8， ∴， 又∵DE＝DG+GE， ∴GE＝12﹣8＝4， 又∵△ADG与△AGE的高相等， ∴， 又∵S△ADG＝12， ∴， 又∵S△ADE＝S△ADG+S△AGE， ∴S△ADE＝12+6＝18， 又∵， ∴， 又∵S四边形BCED＝S△ABC﹣S△ADE， ∴， 故选：B． 16．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，在△ABC的内部，作一个正方形PQRS，若BC＝3，AD＝2，则正方形PQRS的边长为（　　） A． B． C．1 D． 【答案】A 【解答】解：如图： 设正方形PQRS的边长为x， ∵AD是△ABC的高，SR∥BC， ∴AE是△ASR的高， 则AE＝AD﹣ED＝2﹣x， ∵四边形PQRS是正方形， ∴SR∥BC， ∴△ASR∽△ABC， ∴＝， ∴＝， 解得：x＝， ∴正方形PQRS的边长为． 故选：A． 17．如图，E，F分别是▱ABCD的边AB，CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD＝10cm2，S△BQC＝15cm2，则阴影部分的面积为　25　cm2． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，连接E、F两点， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴△EFC的FC边上的高与△BCF的FC边上的高相等， ∴S△EFC＝S△BCF， ∴S△EFQ＝S△BCQ， 同理：S△EFD＝S△ADF， ∴S△EFP＝S△ADP， ∵S△APD＝10cm2，S△BQC＝15cm2， ∴S四边形EPFQ＝25cm2， 故答案为：25． 18．如图，在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，EF：AF＝2：5，若△DEF的面积是4，则四边形BCEF的面积是 　31　． 【答案】31． 【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴CD∥AB． ∴△DEF∽△BAF． ∴＝＝． ∴＝＝，＝＝． 设S△DEF＝S，则S△ABF＝S，S△ADF＝S． ∴S△ABD＝S△ADF+S△ABF＝S+＝S＝S． ∵四边形ABCD为平行四边形， ∴S△ABD＝S△DBC＝S． ∴S四边形EFBC＝S△BDC﹣S△DEF＝S﹣S＝S． 又S＝4， ∴S四边形EFBC＝×4＝31． 故答案为：31． 19．如图，由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D为格点（即小正方形的顶点），AB与CD相交于点O，则AO的长为 　　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： 在△BDF和△ECF中， ， ∴△BDF≌△ECF（AAS）， ∴BF＝EF＝， 又∵BF∥DA， ∴△BFO∽△ADO， ∴， 又∵AD＝4， ∴， 在Rt△ABD中，由勾股定理得， ， 又∵AB＝AO+BO， ∴AO＝， 故答案为． 20．如图在平行四边形ABCD中，点E在AD边上，AE＝DE，连接AC与BE交于点P，若点Q为CD的中点，则S△APE：S四边形PQDE　2：13　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：由题意可得，△APE∽△CPB 则AP：PC＝AE：BC＝1：3 连接PD， 则S△APD＝S△ACD＝S▱ABCD，S△PCD＝S△ACD＝S▱ABCD 又AE＝DE，Q为CD的中点 则S△APE＝S△APD＝S▱ABCD，S△PED＝23S△APD＝S▱ABCD，S△PDQ＝S△PCD＝S▱ABCD， 则S四边形PQDE＝S△PED+S△PDQ＝S▱ABCD 则S△APE：S四边形PQDE＝S▱ABCD：S▱ABCD＝2：13． 21．如图，∠BAD＝∠CAE，AC＝2AE，AB＝2AD，若BC＝3cm，则DE＝　1.5　cm． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAC＝∠DAE， ∵AC＝2AE，AB＝2AD， ∴AB：AD＝AC：AE， ∴△ABC∽△ADE， ∴AB：AD＝BC：DE， ∵AB＝2AD，BC＝3cm， ∴DE＝1.5cm． 故答案为：1.5． 22．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是 　135°　． 【答案】135° 【解答】解：由题意得：∠BPA＝90°+45°＝135°，AB＝＝，BP＝1，BC＝5， ∴＝，＝＝， ∴＝， ∵∠ABC＝∠ABP， ∴△BPA∽△BAC， ∴∠BPA＝∠BAC＝135°， 故答案为：135°． 23．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，∠AED＝∠B，AG分别交线段DE、BC于点F、G，且AD：AC＝DF：CG．求证： （1）AG平分∠BAC； （2）EF•CG＝DF•BG． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示： （1）∵∠DAE+∠AED+∠ADE＝180°， ∠BAC+∠B+∠C＝180°， ∠AED＝∠B， ∴∠ADE＝∠C， 在△ADF和△ACG中， ∴△ADF∽△ACG， ∴∠DAF＝∠CAG， ∴AG平分∠BAC； （2）在△AEF和△ABG中， ， ∴△AEF∽△ABG， ∴， 在△ADF和△AGC中， ， ∴△ADF∽△AGC， ∴， ∴， ∴EF•CG＝DF•BG． 24．已知：如图，△ABC中，AD⊥BC，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，连接EF， （1）若AD2＝BD•DC， ①求证：∠BAC＝90°． ②AB＝4，DC＝6，求EF． （2）如图2，若AD＝4，BD＝2，DC＝4，求EF． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠CDA＝90°， 又∵AD2＝BD•DC， ∴＝， ∴△ABD∽△CAD， ∴∠BAD＝∠C， 又∵∠B+∠BAD＝90°， ∴∠B+∠C＝90°， ∴∠BAC＝90°； ②∵DE⊥AB，DF⊥AC，∠BAC＝90°， ∴∠EAF＝∠AED＝∠AFD＝90°， ∴四边形AEDF是矩形， ∴EF＝AD， ∵∠BAC＝90°，AD⊥BC， ∴AB2＝BD×BC，即42＝BD×（BD+6）， 解得BD＝2， ∴Rt△ABD中，AD＝＝2， ∴EF＝2； （2）∵AD＝4，DC＝4，DF⊥AC，BD＝2， ∴AC＝4，AB＝2， ∴AF＝AC＝2， ∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD⊥BC， ∴AD2＝AE×AB，AD2＝AF×AC， ∴AE×AB＝AF×AC，即， 又∵∠EAF＝∠CAB， ∴△AEF∽△ACB， ∴＝， ∴＝， 解得EF＝． 25．（定理证明）小明在课外数学书中看到一条有意思的结论：三角形一个内角的平分线与其对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即如图，△ABC的角平分线BP交AC于点P，则． （1）若AB＝8，BC＝12，AC＝10，请利用上述结论直接写出AP的长＝　4　； （2）请帮助小明证明这一结论； （3）若∠BAC＝120°，AD平分∠BAC，AB＝2，AC＝1，求AD的长． 【答案】（1）4； （2）证明过程见解答部分； （3）． 【解答】解：（1）由图可知，CP＝AC﹣AP＝10﹣AP， ∵△ABC的角平分线BP交AC于点P，AB＝8，BC＝12， ∴，即＝， 解得AP＝4． 故答案为：4； （2）法一、过点B作BD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AB于点M，PN⊥BC于点N， ∵BP平分∠ABC， ∴PM＝PN， ∵S△ABP＝AP•BD，S△ACP＝CP•BD， S△ABP＝AB•PM，S△ACP＝BC•PN， ∴S△ABP：S△ACP＝（AP•BD）：（CP•BD）＝（AB•PM）：（BC•PN）， 整理可得＝，即＝； 法二、如图，过点C作CF∥AB交BP延长线于点F． ∴∠F＝∠ABP， ∵BP平分∠ABC， ∴∠ABP＝∠CBP， ∴∠CBP＝∠F， ∴BC＝CF， ∵CF∥AB， ∴△ABP∽△CFP， ∴＝， ∴＝； （3）法一、如图，过点D作DE⊥AC于点E，过点C作CF⊥BA交BA的延长线于点F， ∵∠BAC＝120°， ∴∠CAF＝60°， ∴∠ACF＝30°， ∴AF＝，CF＝， 在△BCF中，由勾股定理可得BC＝； 由角平分线的性质可得，BD：CD＝AB：AC＝2：1， ∴CD＝； ∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝60°， ∴∠ADE＝30°， 设AE＝m，则AD＝2m，DE＝m， ∴CE＝1﹣m， 在Rt△CDE中，由勾股定理可得，（m）2+（1﹣m）2＝（）2， 解得m＝或m＝； ∴AD＝或． ∵BC上的高＝＝＞，故舍去； ∴AD＝． 法二、如图，过点D作DE∥AB交AC于E． 则∠ADE＝∠BAD＝∠DAC＝60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AD＝DE＝AE． 设AD＝x， ∵△ABC∽△EDC， ∴＝，即＝， ∴x＝； ∴AD的长为． 26．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且BE＝BD． （1）求证：△ABE∽△ACD； （2）若BD＝1，BC＝3，求的值． 【答案】（1）证明见解答过程； （2）． 【解答】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD． ∵BE＝BD， ∴∠BED＝∠BDE． ∴∠AEB＝∠ADC． ∴△ABE∽△ACD． （2）解：∵△ABE∽△ACD， ∴＝， ∵BE＝BD＝1，BC＝3， ∴CD＝2， ∴＝． 27．如图．在△ABC中．AB＝4，D是AB上的一点（不与点A，B重合），过点D作DE∥BC，交AC于点E．连接DC，设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′． （1）当D是AB的中点时，直接写出＝　　． （2）若AD＝x，＝y，求y关于x的函数关系式以及自变量x的取值范围． 【答案】（1），（2）y＝﹣x2+x，自变量x的取值范围是0＜x＜4． 【解答】解：（1）∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∵D是AB的中点， ∴DE是△ABC的中位线， ∴＝，AE＝EC ∴＝， ∵△ADE与△CED等底同高， ∴S△ADE＝S△CED， ∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′， ∴＝． 故答案为：． （2）∵AB＝4，AD＝x，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴＝＝①， ＝， ∴＝， ∵△ADE与△CED，AE、EC边同高， ∴＝②， ∴①÷②得， ∵设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′，＝y， ∴y＝﹣x2+x， ∵AB＝4， ∴自变量x的取值范围是0＜x＜4． 28．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在△ABC中，∠A＝90°，将线段BC绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，作DE⊥AB交AB的延长线于点E． （1）如图2，通过观察，线段AB与DE的数量关系是　AB＝DE　； （2）如图3，连接CD并延长交AB的延长线于点F，若AB＝2，AC＝6，求△BDF的面积． 【答案】（1）AB＝DE；（2）10． 【解答】解：（1）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC， ∵∠A＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△EBD（AAS）， ∴AB＝DE； 故答案为：AB＝DE． （2）∵线段BC绕点B逆时针旋转90°得到线段BD， ∴BC＝BD，∠CBD＝90°， ∴∠BCA＝∠DBE＝90°﹣∠ABC， ∵∠A＝∠E＝90°， ∴△ABC≌△EBD（AAS）， ∴DE＝AB，BE＝AC， ∵AB＝2，AC＝6， ∴DE＝2，BE＝6， ∴AE＝AB+BE＝8， ∵∠DEB+∠A＝180°， ∴DE∥AC， ∴△DEF∽△CAF， ∴＝，即＝， ∴EF＝4， ∴BF＝BE+EF＝10， ∴S△BDF＝BF•DE＝10． 七．相似三角形的应用（共4小题） 29．如图，不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为60cm；当AB的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为90cm，则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是（　　） A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm 【答案】A 【解答】解：如图：过点B作BC⊥AH，垂足为C， ∵OH⊥AC，BC⊥AC， ∴∠AHO＝∠ACB＝90°， ∵∠BAC＝∠OAH， ∴△AOH∽△ABC， ∴＝， ∴＝， 如图：过点A作AD⊥BH，垂足为D， ∵OH⊥BD，AD⊥BD， ∴∠OHB＝∠ADB＝90°， ∵∠ABD＝∠OBH， ∴△ABD∽△OBH， ∴＝， ∴＝， ∴+＝+， ∴+＝， ∴+＝1， 解得：OH＝36， ∴跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是36cm， 故选：A． 30．大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成倒像的实验．并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端，与景长，说在端”．如图所示的小孔成像实验中，若物距为10cm，像距为15cm，蜡烛火焰倒立的像的高度是8cm，则蜡烛火焰的高度是（　　）cm． A． B．6 C． D．8 【答案】C 【解答】解：如图：过点O作OE⊥CD，垂足为E，延长EO交AB于点F， 由题意得： OE＝15cm，CD＝8cm，AB∥CD， ∴OF⊥AB， ∴OF＝10cm， ∵AB∥CD， ∴∠A＝∠C，∠B＝∠D， ∴△ABO∽△CDO， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝， ∴蜡烛火焰的高度是cm， 故选：C． 31．为了测量物体AB的高度，小小带着工具进行测量，方案如下：如图，小小在C处放置一平面镜，她从点C沿BC后退，当退行2米到D处时，恰好在镜子中看到物体顶点A的像，此时测得小小眼睛到地面的距离ED为1.5米；然后，小小在F处竖立了一根高1.8米的标杆FG，发现地面上的点H、标杆顶点G和物体顶点A在一条直线上，此时测得FH为2.6米，DF为3.5米，已知AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH，点B、C、D、F、H在一条直线上．请根据以上所测数据，计算AB的高度． 【答案】AB的高度为72.9米． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝∠ECD， ∵AB⊥BH，ED⊥BH，GF⊥BH， ∴∠B＝∠EDC＝∠GFH＝90°， ∴△ABC∽△EDC， ∴＝， ∴＝， 解得：BC＝AB， ∵∠H＝∠H， ∴△GFH∽△ABH， ∴＝， ∴＝， 解得：AB＝72.9， ∴AB的高度为72.9米． 32．某社区两条平行的小道之间有一块三角形空地．如图，这两条小道m、n之间的距离为9米，△ABC表示这块空地，BC＝36米．现要在空地内划出一个矩形DGHE区域建造花坛，使它的一边在BC上，其余两个顶点分别在边AB、AC上． （1）如果矩形花坛的边DG：DE＝1：2，求出这时矩形花坛的两条邻边的长； （2）矩形花坛的面积能否占空地面积的？请作出判断并说明理由． 【答案】（1）这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12； （2）矩形花坛的面积不能占空地面积的，理由见解答． 【解答】解：（1）过点A作AM⊥DE，垂足为M，延长AM交BC于点N， 由题意得：AN＝9米，DG＝MN，AN⊥BC， ∵四边形DGHE是矩形， ∴DE∥BC， ∵DG：DE＝1：2， ∴DE＝2DG， ∵DE∥BC， ∴∠ADE＝∠ABC，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝， ∴＝， 解得：DG＝6， ∴DE＝2DG＝12， ∴这时矩形花坛的两条邻边的长分别为6和12； （2）矩形花坛的面积不能占空地面积的， 理由：设DG＝x米， 由（1）可得：△ADE∽△ABC， ∴＝， ∴＝， ∴DE＝36﹣4DG＝（36﹣4x）米， ∴矩形花坛的面积＝DE•DG＝x（36﹣4x）＝（36x﹣4x2）平方米， 由题意得：36x﹣4x2＝×BC•AN， 36x﹣4x2＝××36×9， 整理得：2x2﹣18x+45＝0， ∵Δ＝（﹣18）2﹣4×2×45＝324﹣360＝﹣36＜0， ∴此方程没有实数根， ∴矩形花坛的面积不能占空地面积的． 八．位似变换（共3小题） 33．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，4），B（4，1），以原点O为位似中心，将△OAB缩小为原来的，则点A的对应点A′的坐标是（　　） A．（2，） B．（1，2） C．（4，8）或（﹣4，﹣8） D．（1，2）或（﹣1，﹣2） 【答案】D 【解答】解：以O为位似中心，把△OAB缩小为原来的， 则点A的对应点A′的坐标为（2×，4×）或[2×（﹣），4×（﹣）]， 即（1，2）或（﹣1，﹣2）， 故选：D． 34．如图，线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1），以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，若CD＝2，则端点C的坐标为　（2，2）　． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵线段AB的两个端点坐标分别为A（1，1），B（2，1）， ∴AB＝1， ∵以原点O为位似中心，将线段AB放大后得到线段CD，CD＝2， ∴两图形位似比为：1：2， ∴点C的坐标为：（2，2）． 故答案为：（2，2）． 35．如图，在平面直角坐标系中，将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OA'B'，若A（﹣1，3），B（﹣2，1），A′（﹣3，9），则B′的坐标为 　（﹣6，3）　． 【答案】（﹣6，3）． 【解答】解：∵将△OAB以原点O为位似中心放大后得到△OA'B'，A（﹣1，3），A′（﹣3，9）， ∴△OAB与△OA'B'的位似比为1：3， ∵点B的坐标为（﹣2，1）， ∴点B′的坐标为（﹣6，3）， 故答案为：（﹣6，3）． $$