23.4 中位线-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（华东师大版）

第23章 图形的相似 第10课时 中位线 N0.1课前自主顶习5械显，精能格、落头点液 4.如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂 1.连结三角形两边 的线段叫做三角 足为O,E、F,G、H分别为边AD、AB、BC、 形的中位线，三角形有 条中位线 CD的中点.若AC=8,BD=6,则四边形 2.三角形的中位线 于第三边，并且等 EFGH的面积为 于第三边的 5.若△ABC的重心为点O,OA=4cm,则BC 3.三角形三条边上的中线 ,这个点就 是三角形的重心，重心与一边中点的连线的 边上的中线的长为 cm 长是对应中线长的 6.如图，点D,E,F分别为△ABC三边的中 N02/课堂巩固训练然基格，森方决能力凝升 点.若△ABC的周长为10，则△DEF的周 1.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC 长为 的中点.若DE=2,则BC的长为() A.2 B.3 C.4 D.5 N03课后提升训练年枝巧，找考有、冲利汤分 第1题图 第2题图 7.如果三角形的两条边分别长4和6，那么连 2.如图，A、B两地被池塘隔开，小明通过下面 结该三角形三边中点所得三角形的周长可 的方法测出了A、B之间的距离：先要在AB 能是 外选一点C,然后测出AC,BC的中点M, N,并测量出MN的长为12m,由此他就知 A.6 B.8 道了A、B之间的距离.有关他的这次探究 C.10 D.12 活动的描述错误的是 () 8.如图，把一张三角形纸片ABC沿中位线 A.AB=24 m B.MN∥AB DE剪开后，在平面上将△ADE绕着点E C.△CMNc∽△CABD.CM:MA=1:2 3.如图，在四边形ABCD中，P是对角线BD的 顺时针旋转180°，点D到了点F的位置，则 中点，E、F分别是AB,CD的中点，AD=BC S△ADE:SxFD是 ∠PEF=30°，则∠PFE的度数是( A.15 B.20° C.25° D.30 A.1:4 B.1:3 第3题图 第4题图 C.1:2 D.1:1 45 事书事南重第。，重g海￥ 数学九年级全一册 9.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于点 12.如图，在四边形ABCD O,E是AD的中点，△BCD的周长为8cm, 中，AD=BC,P是对角 则△DEO的周长为 cm. 线BD的中点，M是DC 的中点，N是AB的中 点.延长线段AD交NM 的延长线于点E,延长线段BC交NM的 延长线于点F 第9题图 第10题图 10.如图，在△ABC中，M是BC边上的中点， (1)求证：∠AEN=∠F; (2)若∠A+∠ABC=122°，求∠F的 AN平分∠BAC,BN⊥AN.若AB=14, 大小 AC=19,则MN的长为 11.如图(1)，△ABC中，AB=AC,∠A=48°， 点D,E分别在边AB,AC上，AD=AE,连 结DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的 中点 图(1) 图(2) (1)[观察猜想]在图(1)中，线段PM与 PN的数量关系是 ,∠MPN= (2)[探究证明]把△ADE绕点A逆时针 方向旋转到图(2)的位置，连结MN,BD, MP,PN,上述猜想的结论是否成立，请说 明理由. 珍 46 重国言。量ggg。g。数学九年级全一册 6.解：在△ADE和△ABC中，：∠DAE=∠BAC, ∴.∠BAE=∠DCE=90°， ∠ADE=∠B,.△ADE∽△ABC ∴.△BAE∽△DCE. (1):△ADEn△ABC,AF、AG分别为△ADE和 AE=21 m.CE=2.5 m,DC= △ABC对应造上的高一架-船-音（湘级三角 1.6m.AB=AECD_21X1.6=1a.44m. 形的对应边上的高的比等于相似比) CE 2.5 (2):△ADE∽△ABC,:会ADE的周长=AD_3 ∴.教学楼AB的高度为1344m △ABC的周长AB 5 5.证明：CD∥AB,∠D=∠A.,CE=BE.AF (相似三角形的对应边上的高的比等于相似比) BF,∴.∠OCB=∠B,∠A=∠B.∴∠OCB=∠A 3)AADE△ABCS=(B )2= =∠D.又：∠COF为△OCF和△ODC的公共角， AB (停-是（相叙三角彩的面教比等于相似比的平 i△0c△oDc÷8%-8哭 ∴.OC2=OD·(OF 方).SoAB 4 9,解得5△c=00 9 课后提升训练 课后提升训练 6.C7.B 7.B8.C9.C 8.36 10.33:1 9.30cm2 11.128 1O.证明：：∠BAE=∠BDC,∠ABE=∠DBC, 12.解：设这个正方形木料的边长为xcm,则△PAN △AB△DBC÷部能，中能肥又 的边PN上的高为(8一x)cm.由题意可知， :∠ABE=∠DBC,∴.∠ABE+∠DBE=∠DBC △APN△ABC-8品中5-8g.解 +∠DBE,即∠ABD=∠CBE, 得r=4.8.∴，这个正方形木科的边长为4.8cm △ABDO△EBC,0-0即AB,CE= 1解：AB-BD·BC部S BE·AD 又∠ABD=∠CBA,.△ABD∽△CBA. 11.解：由题意得DH=100,DK=100,AH=15,AH :△ABD和△ABC的面积比为1：4， ∥DK,∠CKD=∠AHD, .△ABD和△ABC的相似比为1：2，△ABD和 .∠CDK=∠A, △ADC的面积比为1t3, ∴.△CDK∽△DAH, .BD:DC=13,.4DC=13, 器-曾 .DC=12 cm.BC=BD+DC=16 cm, .AB2=BD·BC=4X16=64. CK=2000,故出南门2000步格好看到位于A 3 3 ..AB=8 cm, 处的树木。 .△ABD的周长为AB+AD+BD=8+5+4= 17(cm), 第10课时 中位线 ,.△ABC的周长为2×17=34(cm). 课前自主预习 第9课时 相似三角形的应用 1中点三 2.平行 一半 课前自主预习 1.成比例相似比 品交于-点司 :.: 2.相似成比例 课堂巩固训练 课堂巩固训练 1.C2.D3.D 1.B2.2.73.9 4.125.66.5 4.解：由题意可知，∠BEF=∠DEF,∠AEF 课后提升训练 ∠CEF,∴.∠AEF-∠BEF=∠CEF-∠DEF,即 7.B8.A ∠BEA=∠DEC.·AB⊥AC,CD⊥AC, 9.4 10g1,g4 参考答案 10.2.5 .∠PNM=∠AEN, 11.解：(1)，M,P分别为DE,CD的中点， .AD=BC, ∴MP∥CE且MP=CE ∴.PM=PN, .∠PMN=∠PNM, :P,N分别为CD,BC的中点， .∠AEN=∠F ∴PN/BD且PN=2BD, (2)PN∥AD, ,.∠PNB=∠A. AB=AC.AD=AE. :∠DPN是△PNB的一个外角， :.BD=CE,.PN=PM. ·∠DPN=∠PNB+∠ABD=∠A+∠ABD, :∠A=48°，.∠BDC-∠DCE=48 ,PM∥BC. :MP∥CE,PN∥DB, ∴.∠F=∠PMN,∠MPD=∠DBC, .∠DPN=180°-∠BDC,∠MPD=∠ECD, ∴.∠MPN=∠DPN+∠MPD=∠A+∠ABD+ .∠MPN=∠MPD+∠DPN=∠ECD+(180 ∠DBC=∠A+∠ABC=122°， -∠BDC)=180°-（∠BDC-∠ECD)=132. PM-PN. 故答案为PM=PN,132. (2)成立.理由如下：连结CE, ÷∠PMN=∠PNM=2×180-12)=29. :∠BAC=∠DAE=48°，且∠DAE=∠DAC+ .∠F=∠PMN=29 ∠CAE·∠BAC=∠BAD+∠DAC, 第11课时 .∠BAD=∠CAE. 位似图形 .AD=AE.AB=AC. 课前自主预习 .△BAD≌△CAE(S.A.S.), 1.相等位似中心 .CE=BD,∠ECA=∠ABD. 2.放大缩小 M,P,N分别为DE,DC,BC的中点， 课堂巩固训练 MP-CE.PN-IBD. 1.D2.D 3.3：2 .CE=BD.'.MP=PN. 4.400cm2 ∠BAC=48°，AB=AC, 5.(1)解：：AB∥CD∥EF,△DFE与△DBA, ÷∠ABC=∠ACB=18048=66 △BFE与△BDC,△AEB与△DEC是位似图形， 2 一共有3对 :∠DBC+∠BCD+∠BDC=180°，且∠DBC (2)证明：，AB∥CD,△AEB△DEC,且对应 ∠ABC-∠ABD=66°-∠ABD,∠BCD= 边都交于一点，.△AEB与△DEC是位似图形. ∠ACB-∠ACD=66°-∠ACD. 课后提升训练 ∴.∠BDC=180°-66°-66°+∠ABD+∠ACD= 6.A7.A8.B 48°+∠ABD+∠ACD=48°+∠ACE+∠ACD 9.18 =48°+∠DCE. 10.略 :MP∥CE.PN∥DB. 11.(1)如图①，线段AD即为所求作.，BC=6, ∴.∠MPD=∠ECD,∠NPD=180°-∠PDB, ∴.BD=CD=3,连结AD即可. ∴.∠MPN=∠MPD+∠NPD=180°-∠PDB +∠ECD=180°-(48°+∠DCE)+∠ECD= 180°-48°=132°. NC BA .猜想成立. 12.(1)证明：：P是BD的中点，M是DC的中点， ① 图② 图③ :.PM//BC.PM-BC. (2)如图②，点E即为所求作.取AP= 4,:AP∥BQ, .∠PMN=∠F. 月理PN/AD.PN=号AD, △APE QE,∴能-6-告-2，即AE =2BE. 135