2.5 解直角三角形的应用-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（青岛版）

第2章解直角三角形 2.5解直角三角形的应用 第1课时俯角、仰角的应用 N0.1课前自主预习5根红，精机格、落来点满 知识点2俯角的应用 3.如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是 1.当我们测量时，在视线与水平线所成的角 15米的旗杆ED,从办公大楼顶端A测得旗 中，视线在水平线上方的角叫做 杆顶端E的俯角a是45°，旗杆低端D到大 视线在水平线下方的角叫做 ,∠2是 楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡 2.图中∠1是 铅重线 长BC是12米，梯坎坡度=1：√3，则大楼 杌规 AB的高度约为（精确到0.1米，参考数据： 水平线 说线 2≈1.41,3=1.73,6≈2.45)() N02课堂巩回训练基哈、练方法、能力程升 知识点1仰角的应用 1.如图，AB是一条跳台滑雪赛道，在A处测 得起点B的仰角为40°，底端C与顶端B的 A.30.6米 B.32.1米 距离为50米，则赛道AB的长为() C.37.9米 D.39.4米 4.如图，某地修建高速公路，要从B地向C地 修一条隧道(B,C在同一水平线上)，某工程 师乘坐热气球从B地出发，垂直上升100m 到达A处，在A处观察C地的俯角为30°， A.50sin40°米 B.50cos40°米 则B,C两地之间的距离为 m. C.sim D.50 c0s40米 2.湖南路大桥于今年5月1日 竣工，为徒骇河景区增添了 一道亮丽的风景线.某校数n4 N03课后提升训练珠技牙、我等南、冲剂满分 学兴趣小组用测量仪器测量(0米 1.某商场准备提高原有楼梯的安全性能，把坡 该大桥的桥塔高度，在距桥塔AB底部 角由37减至30°，已知原楼梯的长为5米， 50米的C处，测得桥塔顶部A的仰角为 则调整后的楼梯会加长 ( 41.5(如图).已知测量仪器CD的高度为 1米，则桥塔AB的高度约为（参考数据： (参考数据：sin37 5,c0s37≈4 sin41.5°≈0.663，c0s41.5°≈0.749， tan41.5°≈0.885) ) A.34米 B.38米 A.6米 B.3米 C.45米 D.50米 C.2米 D.1米 29 。。,,，￥ 数学九年级全一册 2.南洞庭大桥是南益高速公路上的重要桥梁， 5.如图，在小山的东侧A 北 302 小芳同学在校外实践活动中对此开展测量 处，有一热气球，由于受 活动.如图，在桥外一点A测得大桥主架与 西风的影响，以35m'min 5675 水面的交汇点C的俯角为α，大桥主架的顶 的速度沿着与水平方 端D的仰角为3，已知测量点与大桥主架的 向成75°角的方向飞行，40min时到达C处， 水平距离AB=a,则此时大桥主架顶端离 此时热气球与山顶P点及小山西侧的B点 水面的高CD为 在一条直线上，同时测得B处的俯角为 30°又在A处测得山顶P的仰角为45°，求 A处与B处的距离及山高（参考数据：：2 ≈1.4,3≈1.7，结果精确到1m). B 9 A.asin atasin B B.acos a+acos B C.atan a+atanβ D.at tan a'tan B 3.如图，建筑物BC上有一高为8m的旗杆 AB,从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°， 观测旗杆底部B的仰角为45°，则建筑物 6.在学习完“利用三角函数 BC的高约为 m(结果保留小数点 测高”这节内容之后，某 后一位).（参考数据：sin53°≈0.80，c0s53° 兴趣小组开展了测量学 ≈0.60，tan53°≈1.33) 校旗杆高度的实践活动，4 如图，在测点A处安置测倾器，量出高度 AB=1.5m,测得旗杆顶端D的仰角 ∠DBE=32°，量出测点A到旗杆底部C的 水平距离AC=20m,根据测量数据，求旗 杆CD的高度.（参考数据：sin32°≈0.53， D 4.如图，在P处利用测角仪测得某建筑物AB cos32°≈0.85，tan32°≈0.62) 》 的顶端B点的仰角为60°，点C的仰角为 45°，点P到建筑物的距离为PD=20米，则 BC= 米 60 30 第2章解直角三角形 7.慈氏塔位于岳阳市城西洞庭湖边，是湖南省 (1)求小亮与塔底中心的距离BD:(用含a 保存最好的古塔建筑之一，如图，小亮的目 的式子表示) 高CD为1.7米，他站在D处测得塔顶的 仰角∠ACG为45°，小琴的目高EF为1.5 米，她站在距离塔底中心B点a米远的F 处，测得塔顶的仰角∠AEH为62.3°.（点 D、B、F在同一水平线上，参考数据： sin62.3°≈0.89，c0s62.3°≈0.46， (2)若小亮与小琴相距52米，求慈氏塔的高 tan62.3°≈1.9) 度AB. G145 n62.3e B a F 第2课时 方位角的应用 N0.1课前自主预羽分桃现，特机格，落实点磷 2.如图，海中一小岛上有一个 观测点A,某天上午9：00 指北或指南方向线与目标 观测到某渔船在观测点A 线所成的小于90°的水平 的西南方向上的B处跟踪 角叫做方向角，如图，目标 两 鱼群由南向北匀速航行.当天上午9：30观 方向线OA、OB、OC、OD 测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向 的方向角分别表示北偏东 上的C处，若该渔船的速度为每小时30海 30°、 里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始 N02课堂巩固训练基油、蛛方法、能力提升 航行多少小时，离观测点A的距离最近（计 知识点1同一点的两个方位角问题 算结果用根号表示，不取近似值). 1.如图，一条东西方向的大道上，A、B两景点 相距20km,C景点位于A景点北偏东60 方向上，位于B景点北偏西30°方向上，则 A、C两景点相距 北 北 30r A.10 km B.10√3km C.10√2km D.203 km 3 31 ￥。：，，，。￥ 数学九年级全一册 知识点2不同点的两个方位角问题 2.一艘轮船在A处测得灯塔S在船的南偏东 3.如图，一渔船由西往东航 60°方向，轮船继续向正东航行30海里后到 行，在A点测得海岛C 达B处，这时测得灯塔S在船的南偏西75° 方向，则灯塔S离观测点A,B的距离分别 位于北偏东60°的方向， 是 () 前进40海里到达B点，此时，测得海岛C ↑北 ↑北 位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线 609 75 AB的距离CD是 ( A.20海里 B.40海里 A.(153-15)海里、15海里 B.(15√3-15,2)海里、5海里 C.20√3海里 D.403海里 C.(153-152)海里、152海里 4.如图，为了测量河宽CD,先在A处测得对 D.(153-15)海里、15√2海里 岸C点在其北偏东30°方向，然后沿河岸直 3.如图，某海防哨所O发现在它的西北方向， 行100米到点B,在B点测得对岸C点在其 距离哨所400米的A处有一艘船向正东方 北偏西45°方向，则河宽CD是 米. 向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 (结果保留根号) 60°方向的B处，则此时这艘船与哨所的距 离OB约为 米.（精确到1米，参考 数据：√2≈1.414,3≈1.732) 1北 ”B 30 45 B 450 609 N03课后提升训练练技巧.装着向、冲树满分 1.如图，一艘轮船从位于灯塔C的北偏东60 4.如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在 B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A、B两 方向，距离灯塔60 nmile的小岛A出发，沿 岛的视角∠ACB等于 正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔C 北 的南偏东45°方向上的B处，这时轮船B与 小岛A的距离是 ( 5.如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行 30√2km至B港，然后再沿北偏西40方向 航行至C港，C港在A港北偏东20°方向， 则A,C两港之间的距离为 km. 北 A.30 nmile B.60 nmile 659 C.120 nmile D.(30+30√3)nmile 第2章解直角三角形 6.A港在B地的正南方103千米处，一艘轮 8.如图，为测量一段笔直自西向东的河流的河 船由A港开出向西航行，某人第一次在B 面宽度，小明在南岸B处测得对岸A处一 处望见该船在南偏西30°，半小时后，又望见 棵柳树位于北偏东60°方向，他以每秒 该船在南偏西60°，则该船速度为 1.5米的速度沿着河岸向东步行40秒后到 7.如图，在东西方向 达C处，此时测得柳树位于北偏东30°方向， A: 的海岸上有两个相 试计算此段河面的宽度 距15海里的码头 B、D,某海岛上的 观测塔A距海岸 海光 63海里，在A处 测得码头B位于南偏西30°方向，一艘渔船 从码头D出发，沿正北方向航行至C处，此 东 时在A处测得渔船位于南偏东60°方向，求 此时观测塔A与渔船之间的距离. 第3课时 坡度问题 N0.1课前自主预习巧梳装、精概格、落关点磷 2.一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台 1.建筑学中把斜坡起止两点的高度差h与它 阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如 们的 的比叫做坡度，通常用字母i 图所示，则下列关系说法正确的是() 表示，即= 2,斜坡与水平线的夹角记作α，那么i= 2m 10" A.斜坡AB的坡度是10 NO2课堂现固训练魅基融，炼方法，能力提升 B.斜坡AB的坡度是tan1o 知识点1坡度（坡比） C.AC-1.2tan10°米 1.如图，某游乐场一山顶滑梯 的高为h,滑梯的坡角为a, DAB=心品米 那么滑梯长1为 3.一商场内有一座自动扶梯，小明站在自动扶 A.h B.h 梯上，当他沿着自动扶梯前进了10米时，他 sin a tan a C.h 在铅直方向升高了5米，则自动扶梯的坡度 D.h·sina cos a 为 33 数学九年级全一册 知识点2两个直角三角形有公共直角边的 3.如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边 问题 (OC⊥OB,点A,B,C,D,O在同一平面 4.如图，为测量某物体AB的 内)，已知AB=a,AD=b,∠BCO=x,则点 高度，在D点测得A点的 A到OC的距离等于 () 30 仰角为30°，朝物体AB方方 向前进20米到达点C,再次测得A点的仰 角为60°，则物体的高度为 A.103米 B.10米 C.203米 D.203米 A.asin x+bsin x B.acos x+bcos x 3 C.asin x+bcos x D.acos x十bsin x 5.如图，一山坡的坡度为i= 4.如图，AB是垂直于水平面的建筑物.为测 i-1:3 量AB的高度，小红从建筑物底端B点出 1:3,小辰从山脚A出 发，沿水平方向行走了52米到达点C,然后 发，沿山坡向上走了200米 沿斜坡CD前进，到达坡顶D点处，DC= 到达点B,则小辰上升了 米 BC.在点D处放置测角仪，测角仪支架DE N03课后提升训练y练扶巧、找考向、冲利满分 高度为0.8米，在E点处测得建筑物顶端A 点的仰角∠AEF为27（点A,B,C,D,E在 1.如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻 同一平面内).斜坡CD的坡度（或坡比）= 两树间的水平距离)为4m.如果在坡度为 1:2.4,那么建筑物AB的高度约为() 0.75的山坡上种树，也要求株距为4m,那 (参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89， tan27°≈0.51)》 么相邻两树间的坡面距离为 A.5 m B.6 m A.65.8米 B.71.8米 C.7 m D.8 m C.73.8米 D.119.8米 2.如图，有一斜坡AB,坡顶B 5.如图是大坝的横断面，斜坡AB的坡比 离地面的高度BC为30m, i=1:2,背水坡CD的坡比i=1:1,若 斜坡AB的坡度i=1:2.5,则此斜坡的水 坡面CD的长度为6√2米，则斜坡AB= 米.（用根号表示） 平距离AC为 ( A.75m B.50m i=1:2 C.30m D.12m 第2章解直角三角形 6.一河槽的横断面是如图 8.如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD, 所示的等腰梯形AB AD=3m,坝高AE=DF=6m,坡角a=45°， CD,已知河上口宽16m, 8=30°，求BC的长， 河深4m,坡比为1：1，则河的下口宽 米，坡长为 米，河槽的横断面 积为 米2 7.如图，小明为了测量小河对岸大树BC的高 度，他在点A测得大树顶端B的仰角为 45°，沿斜坡走3,5米到达斜坡上点D,在此 2 处测得树顶端点B的仰角为31°，且斜坡 AF的坡比为1：2. (1)求小明从点A到 点D的过程中，他上 升的高度， 1 4 (2)大树BC的高度约为多少米？ (参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86， tan31°≈0.60) 35 。”，。。:∠A=30°，∠C=45°， .BE=AC=20,CE=AB=1.5 .DC=BD=xm,AD=√3BD=√3.xm, 在R△BED中.ian∠DBE-能 .AC=2(W5+1)m, x+√3.x=2(W3+1), 即tan32°-DE 20 x=2, .DE=20×tan32°≈12.4， 即BD=2m<2.1m. CD=CE+DE≈13.9. 10.解：过点B作BM⊥FD于点M. 答：旗杆CD的高度约为13.9m. 在△ACB中，.∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10, 7.解：(1)由题意得，四边形CDBG、HBFE为 ∴.∠ABC=30°，BC=10·tan60°， 矩形， ,AB∥CF,∴.∠BCM=∠ABC=30°， .GB=CD=1.7,HB=EF=1.5, BM=BC.sin30=105x号-55， .GH=0.2, CM=BC.cos30=105x9-15. 在R△AHE中，a∠AEH=提. 则AH=HE·tan∠AEH≈l.9a, 在△EFD中，，∠F=90°，∠E=45 .AG=AH-GH=1.9a-0.2, ∴.∠EDF=45°，∴.MD=BM=55, 在Rt△ACG中，∠ACG=45°， ∴.CD=CM-MD=15-5√3. .CG=AG=1.9a-0.2, .BD=1.9a-0.2, 2.5解直角三角形的应用 答：小亮与塔底中心的距离BD(1.9a一0.2)米； (2)由题意得，1.9a一0.2+a=52,解得，a=18, 第1课时俯角、仰角的应用 则AG=1.9a-0.2=34, 课前自主预习 AB=AG+GB=35.7(米)， 1.仰角俯角2.仰角俯角 答：慈氏塔的高度AB为35.7米。 课堂巩固训练 1.C2.C3.D 第2课时方位角的应用 4.100√3 课前自主预习 课后提升训练 南偏东45° 南偏西80°北偏西60° 1.D2.C3.24.24.(20√3-20) 课堂巩固训练 5.解：如图，过点A作AD⊥BC,垂足为D. 1.B 2.解：如图，过，点A作AP⊥BC,垂足为P,设AP 30 =x海里. 北 609 B A 在Rt△ACD中，∠ACD=75°-30°=45°， AC=35×40=1400(m),则AD=AC·sin45 在Rt△APC中，.∠APC=90°，∠PAC=30°， -号AC在R△ABD中，：∠B=30 tan∠PAC=CP AP ∴.AB=2AD=√2AC=14002≈1960(m).过 ,点P作PE⊥AB,垂足为E,则AE=PE, CP=AP·an∠PAC=海卫. BE=PE·tan60°=√3PE.,BE+AE=AB, 在Rt△APB中，.∠APB=90°，∠PAB=45°， .(3+1)PE=1400w2,.PE≈726m. .BP=AP=x海里. .A处与B处的距离约是1960m,山高约是 726m. :PC+BP=BC=30X2-15(海里 6.解：，∠A=∠C=∠BEC=90°， .四边形ABEC为矩形 9+=15. 54 解得x=15(3-3) 在Rt△ACD中， 2 AD=AC·sin60°=60X5=30V5(来). PB=15(3。海里， 答：这条河的宽度为30√3米 六航行时间为15(3。B÷30=3-3(小时). 4 第3课时 坡度问题 答：该渔船从B处开始航行3二5小时，离观测 课前自主预习 4 ,点A的距离最近 1.水平距离1 h 2.tan a 3.C4.(150-50√3) 课堂巩固训练 课后提升训练 1.D2.D 1.A 2.B 37 3.5664.90°5.(30+10√3)6.40千米/小时 4.A5.100 7.解：如图，过点A作AE⊥BD于点E,过点C作 课后提升训练 CF⊥AE于点F, 1.A2.A3.D4.B 北 5.656.84√248 7.解：(1)作DH⊥AE于H,如图所示。 海岸 B 分 飞：进 则四边形CDEF是矩形，∴，CF=DE 在R△ADH中，RH-名AH=2DH 1 由题意知，AE=6√3海里，∠BAE=30°， BE=AEan30=68×-6(得里. .AH2+DH2=AD2, (2DH2+DH=(5)DH=号米. ∴.DE=BD-BE=15-6=9(海里) ∴.CF=9海里.在Rt△AFC中， 答：小明从点A到点D的过程中，他上升的高 ,∠CAF=60°， 度为2米 .AC= FC sin60° 9=6√3（海里）. (2)如图，延长BD交AE于点G.设BC=x米. 2 由题意，得∠DGH=31°， ∴.此时观测塔A与渔船之间的距离为6√3海里 3 DH 8.解：如图，作AD⊥于BC于D. .GH= an∠DGH≈0.60=2.5（米）. AH=2DH=3米 北 ∴.GA=GH+AH=2.5+3=5.5(米). 在R△BGC中，an∠DGH-C. 0 ∴.CG= BC D amDGH0=号x米 在Rt△BAC中，：∠BAC=45°， 由题意可知：BC=1.5×40=60米， ∴.AC=BC=x米.，GC-AC=AG, ∠ABD=30°，∠ACD=60°， ∴.∠BAC=∠ACD-∠ABC=30°， 小号一=5，解得x-号 4 ∴.∠ABC=∠BAC, .BC=AC=60米. 答：大树BC的高度约为明米。 55 8.解：由题意可知，四边形AEFD是矩形， 12.证明：如图，作OE⊥CD于点E, 有AE=DF=6,AD=EF=3, ,坡角a=45°，3=30°， ∴.BE=AE=6,CF=3DF=6√3， ∴.BC=BE+EF+CF=6+3+6√3=9+6√3， ∴.BC=(9+6√3)m, OA=OB.∴.AE=EB. 答：BC的长(9+6√3)m. .EC=ED,∴.AC=BD. 第3章 对圆的进一步认识 第2课时 弧、弦、圆心角之间的关系 课前自主预习 3.1圆的对称性 1.圆心2.顶点3.相等 课堂巩固训练 第1课时垂径定理及推论 1.D2.60°3.B4.D5.80 课前自主预习 课后提升训练 1.直径所在的直线2.弦所对的两条弧 1.D2.B3.A4.B 课堂巩固训练 5.6cm 1.B 6.427.誓 2.x 8.证明：：∠AOC=∠BOD,∴.AC=BD 3.B4.125.C6.25 又AC-DE,∴BD-DE,BD=DE. 课后提升训练 9.解：：AC=DF,BD=E,∴AC=FD, 1.C2.D3.A4.C5.B6.C CE=DB,AE=BF,∴AE=FB, 7.2810mg2610.号 ∴.△ACE≌△FDB. 11.解：(1)连接AD. 第3课时 圆心角 ,∠BAC=90°，∠ABC=20°，.∠ACD=70° 课前自主预习 ,AC=AD,∴.∠ACD=∠ADC=70°， ∴.∠CAD=180°-70°-70°=40°， 1.360 2.相等 ∴.∠DAE=90°-40°=50°.又：AD=AE, 课堂巩固训练 ∠DEA=∠ADE=号(180°-50°)=65 1.B2.C3.B4.45°5.38 课后提升训练 1.C2.C3.C 4.1205.8√2 6.解：∠BOD=50°，BD的度数为50°. 7.解：如图，连接CD,∠ACB=90°，∠B=25°， (2)过点A作AF⊥CD,垂足为F, :∠BAC=90°，AC=3,AB=4,∴.BC=5: 又：S△ABC= 2AF·BC-7AC·AB ∴AF=3X4=12 5 cr=32-(g号-号 .∠A=65 ·AF⊥CD,∴.CD=2CF=18 ,CA=CD,∠CDA=65°， ∴.∠DCA=180°-65×2=50°.∴.AD的度数为50°. 56