1.2 怎样判定三角形相似-【提分教练】2024-2025学年九年级数学全一册同步精导优化与设计方案（青岛版）

第1章 图形的相似 1.2怎样判定三角形相似 第1课时 基本事实9及推论 NO,1课前自主顶习写税是，特栀搭，落实发孩 知识点2平行线分线段成比例的基本事实 的推论 1.两条直线被一组平行线所截，所得的对应线 3.如图，在△APM的边AP上任取两点B,C, 段 过B作AM的平行线交PM于N,过N作 2.平行于三角形的一边，并且与其他两边相交 MC的平行线交AP于D.若路号则品 的直线，所截得的三角形的三边与原三角形 的值为 () 的三边 NO2课堂现固训练，装基融，游方法、能力提升 知识点1平行线分线段成比例的基本事实 1.如图，l1,l2,l3,14是一组平行线，13,1与这 3 B. 5 组平行线依次相交于点A,B,C,D和E,F, G.H.AB BC CD=2:3:4.EG= D 10,则EH的长为 4.如图，点A,B都在格点上（网格小正方形的 边长为1)，点C是线段AB与网格线的交 点，则AC的长为 ( A.14 B.16 C.18 D.20 A.13 B.4I3 3 2.如图，已知直线a∥b∥c,该组平行线被直 C.213 D.313 线n,n所截，交点分别为A,BC和D, N03课后提升训练技巧、按著向冲剂满分 : E,F,且AB=3,BC=4,EF=4.8,则DE 1.如图，已知(1∥12∥l2,若AB=1,BC=2, 的长为 DE=1.5,则EF的长为 () A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 数学九年级全一册 2.如图，在△ABC中，DE∥ 6.如图，l∥l2∥4，直线a、b与l1、l2、l3分别 BC,∠ADE=∠EFC,AD 相交于点A、B、C和点D、E、F若AB=3, :BD=5:3,CF=6,则 D DE=2,BC=6,则EF= DE的长为 ( A.6 B.8 C.10 D.12 3.如图，在□ABCD中，EF∥AB,GF∥BC, DE:EA=2:3,则CG:CD等于() 7.如图，在△ABC中，D、E分 别是BC、AC上的点，AD A.2:3 B.3:2 与BE相交于点G,若 C.3:5 D.4:5 AG:GD=3:1,BD:DC 4.如图，AB,CD相交于点 =2:3,则AE:AC的值是 E,且AC∥EF∥DB,点 8.如图，l1∥L2∥L,AD C,F,B在同一条直线 =2,DE=4. 上.已知AC=p,EF-r, (1)若AB=3,求BC DB=q,则p,g,r之间满足的数量关系式是 的长； (2)若EF=7.5,求BE ( 的长 A.1+1=1 B.1+1=2 r g p p r g c。日 D.1+1=2 qr p 5.如图，小郑在一次拼图游戏中，发现了一个 很神奇的现象： 他先用图形①②③④拼出矩形ABCD,接着 拿出图形⑤，通过平移的方法，用①②③① ⑤拼出了矩形ABMN. 已知AE:EO=2:3,图形④的面积为15， 则增加的图形⑤的面积为 ；当CO BH=4时， =31 0+ 第1章 图形的相似 第2课时 相似三角形的判定定理1 ND.1课前自主顶习5械双、特能搭、落实点裤 知识点2用直角三角形判定两三角形相似 1.如果一个三角形的三个角与另一个三角形 4.如图，在△ABC中，BD,CE是高，则与 的三个角分别 ,并且它们的三边 △BOE相似的三角形有 ,那么这两个三角形叫做相似三 角形 2.如果一个三角形的 分别与另一个 三角形的两个角 ,那么这两个三角 形相似。 A.1个 B.2个 NO2课堂现回训练练基融，珠方法、能力提升 C.3个 D.4个 知识点1相似三角形的判定定理1 5.如图，Rt△ABC中， 1.下列各组图形中可能不相似的是 ( A.各有一个角是50°的两个等腰三角形 ∠B=90°，BF⊥AC于 B.各有一个角是60°的两个等腰三角形 F,AD是∠BAC的平分 C.各有一个角是100的两个等腰三角形 线，DGLAD交AC于G,AD与BF交点E D.两个等腰直角三角形 C∽△ 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AC与 △ABE∽△ BD相交于点O,则下列三角形中，与△BOC N03课后提升训练然拉行、装考岛、冲解满分 一定相似的是 1.已知△ABC,D是AC上一点，用尺规在AB 上确定一点E,使△ADEC∽△ABC,则符合 A.△ABD B.△DOA 要求的作图痕迹是 C.△ACD D.△ABO 3.在平行四边形ABCD中，点E是边AD上 一点，且AE=2ED,EC交对角线BD于点 4 F,则E等于 2.在△ABC和△A'B'C'中，∠A=∠A', 若使△ABC∽△A'B'C',可添加的条件 为 A号 B. 2 A.AB=A'B' B.AC=A'C' c号 D.2 C.∠B=∠B D.∠C'=∠A 考有语者重单多司新多重至有多有岁有 数学九年级全一册 3.如图，D、E分别是△ABC边AB,AC上的：7.如图，在△ABC中， 点，∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6, ∠ACB=90°，AC= AC=4,则AE的长是 BC,E、F分别是AC、 BC上的点，∠EDF= D 45°，求证：△ADE△BFD. A.1 B.2 C.3 D.4 4.如图，在☐ABCD中，点E在对角线BD 上，EM∥AD,交AB于点M,EN∥AB,交 AD于点N,则下列式子一定正确的是 8.如图，已知E是矩形 A出滞 B.AM_AN ABCD的CD边上一 AB AD 点，BF⊥AE于F,求证： c n熙 △ABFC△EAD. 5.如图，D、E为△ABC的边AC、AB上的点， 当 时，△ADEO△ABC.其中D、E 分别对应B、C.(填一个条件) 6.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，F是BA 延长线上一点，FD⊥BC于D,交AC于点 E,则图中相似三角形共有 对 6 重国0里g目里。用金 第1章图形的相似 第3课时 相似三角形的判定定理2 N01课前自生预园巧税是，特桃格、落实点海 4.如图，在直角坐标系中有两点A(4,0), 两边成比例，且 相等的两个三角 B(0,2),如果点C在x轴正半轴上（点C与 形相似. 点A不重合)，当点C的坐标为 N02课堂巩固训练然悬路.练方块，能力提升 时，使得由点B、O、C组成的三角形与 知识点1相似三角形的判定定理2 △AOB相似（不包括全等） 1.能判定△ABC和△A'B'C‘相似的条件 yB0,2 的是 ( A.AB A'BAC,且∠B=∠B AC A(4,0)序 B.ABBC ABBC,且∠A=∠C ND3课后提升训练难提巧、获考向、冲将满分 C.ABBC AB=AC,且∠B=∠A 1.如图，AD,BC相交于点O,由下列条件不能 判定△AOB与△DOC相似的是() D.AB=AC BC=AC,且∠A=∠B o 2.已知在△ABC中，∠A=78°，AB=4,AC=6, 下列阴影部分的三角形与△ABC不相似的 是 A.AB∥CD B.∠A=∠D c8册8光 8器" 2.如图，在△ABC中，P为AB上一点，则下 列四个条件中，①∠ACP=∠B, ②∠APC-∠ACB,③AC2=AP·AB, ④AB·CP=AP·CB,其中能满足 △APC和△ACB相似的条件有() 知识点2相似三角形判定定理的应用 : 如图，已知把-福AD-3mAC-6em BC=8cm,则DE的长为 cm. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 数学九年级全一册 3.如图，已知∠1=∠2，那么添加下列一个 7.如图，点D是△ABC的 条件后，仍无法判定△ABC∽△ADE的 边AB上一点，连接 CD,若AD=2,BD=4, 是 ∠ACD=∠B,求AC的长. A.∠C=∠E B.∠B=∠ADE c船 D.AD-DE 4.在△ABC和△A'B'C'中，若∠B=∠B, 8.【问题背景】如图(1)，已知△ABC∽△ADE, 求证：△ABD△ACE: AB=6,BC=8,B'C'=4,则当A'B'= 【尝试应用】如图(2)，在△ABC和△ADE 时，△ABC∽△A'BC' 中，∠BAC=∠DAE=90°，∠ABC= 5.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC= ∠ADE=30°，AC与DE相交于点F,点D BC=3,CD=1,CH⊥BD于点H,点O是 在BC边上品-尽，求85的值： AB中点，连接OH,则OH= 【拓展创新】如图(3)，D是△ABC内一点， ∠BAD=∠CBD=30°，∠BDC=90°， AB=4,AC=23,直接写出AD的长. 6.如图，已知△ABC中，D为边AC上一定 图1) 图(2) 图(3》 点，P为边AB上一动点，AB=12,AC=8, AD=6,当AP的长度为 时， △ADP和△ABC相似. 重e用日。11m重重年0■000.006 第1章 图形的相似 第4课时 相似三角形的判定定理3 NO.1课前自主预习5械是，精桃格、幕实点孩 4.下列4×4的正方形网格中，小正方形的 边长均为1，三角形的顶点都在格点上， 三边 的两个三角形相似。 则与△ABC相似的三角形所在的网格 N02课堂巩固训练华是路，群方法，能力接升 图形是 ( 知识点1相似三角形的判定定理3 1.若△ABC和△A'B'C'满足下列条件，其中 使△ABC与△A'B'C'相似的是 D A.AB=2.5 cm.BC=2 cm,AC=3 cm; A'B'=3 cm,B'C'=4 cm,A'C'=6 cm N03课后提升训练然技污，拉考向，冲利满分 B.AB=2 cm,BC=3 cm,AC=4 cm; ! 1.若△ABC和△DEF满足下列条件，其中使 A'B'=3 cm.B'C'=6 em,A'C'=9 2 cm △ABC与△DEF相似的是 C.AB=10 cm,BC=AC=8 cm; A.AB=3,BC=8.AC=9.DE=16 A'B'=6 cm,B'C'=A'C'=5 cm EF=2.DF=6 D.AB=1 cm,BC=/5 cm,AC=3 cm; B.AB=4.BC=6,AC=8,DE=5. A'B'=/15cm,B'C'=25cm, EF-10,DF=15 A'C=/6 cm C.AB=1,BC=2,AC=2,DE=√6， 2如周，已知是-福器∠CAD=5,则 EF=3.DF=5 ∠BAE= D.AB=1,BC=5,AC=3,DE=√/15， EF=25,DF=6 2.如图，若A、BC、PQ、甲，乙、丙、丁都是方格纸 知识点2网格上的相似三角形的判定 的格点，为使△ABC∽△PQR,则点R应是甲、 3.如图，四个4×4的正方形网格（每个网格中 乙、丙、丁四点中的 ( 的小正方形边长都是1)，每个网格中均有一 个“格点三角形”（三角形顶点在小正方形的 顶点上)，是相似三角形的为 平乙丙厅 B A.①③ B.①② A.甲 B.乙 C.②③ D.②④ C.丙 D.丁 雪里，月，g￥1 数学九年级全一册 3.如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三： 8.如图，方格纸中每个小正方形的边长均 角形（阴影部分）与△ABC相似的是 为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸 的格点上，判断△ABC和△DEF是否相 才鑫 似，并说明理由. 4.下列四个命题：①两角分别相等的两个三角 形相似；②三边成比例的两个三角形相似； ③两直角边成比例的两个直角三角形相似： ④顶角相等的两个等腰三角形相似.其中是 真命题的是 ) A.①②③ B.①②④ C.①②③① D.①② 5.在△ABC中，AB=8,AC=6,在△DEF中， DE=4,DF=3,当 BC 时， △ABCC∽△DEF 6.△ABC的三边长分别为2,2,10， △AB,C,的两边长分别为1和√5，当 9.如图，在△ABC △AB,C1的第三边长为 时， 中，∠B=90°，点 △ABC与△A,B,C1相似， D,E在BC上，且 7.如图，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点， AB=BD=DE=EC, 求证：△ADE∽△CDA. 求证：△ABCD△EFD. 10 1■。。g。0小 第1章 图形的相似 第5课时 相似三角形的应用 ND.1课前自主顶习5械双、特桃搭、落实点裤 4.如图，零件的外径为25mm,现用一个交 叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC 1.相似三角形对应角 ,对应边 OD)量零件的内孔直径AB.若OC:OA =1:2,量得CD=10mm,则零件的厚 2.我们可利用同一时刻物高与影长成 度x= mm, ,测量物体的高. D.10.d 3.用相似三角形的知识解决问题时，应先根据 题意，建立 ,把实际问题转化为 ,从而求解。 25 N02课堂现固训练缘墓哈，琳方法，能力接升 N03课后提升训练丝技巧、我考向、冲剂汤分 知识点1测量物体的高度 L.在同一时刻、物体的高度与它在阳光下的影 1.小虎的身高为1.6米，他的影长为2米，同 长成正比.在某一时刻，有人测得一高为 一时刻他测得电线杆的影长为18米，则此 1.8m的竹竿的影长为3m,某一高楼的影 电线杆的高度为 ( 长为60m,那么这幢高楼的高度是() A.20米 B.14.4米 A.18m B.20m C.16.4米 D.15.4米 C.30m D.36m 2.如图，利用标杆BE测量建筑物的高度.已知 2.如图，铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长 标杆BE高1.2m,测得AB=1.6m,BC= 16m:当短臂端点下降0.5m时，长臂端点 () 12.4m,则建筑物CD的高是 升高 m. A.6 m B.8 m 知识点2测量距离、宽度、内径等 C.10.5m D.12m 3.如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选 3.如图，A、B两点被池塘隔开，在AB外任 定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使 选一点C,连接AC、BC,分别取其三等 得AB⊥BC,CD⊥BC,点E在BC上，并 分点M、N,量得MN=38m,则AB的 且点A,E,D在同一条直线上，若测得 长是 ( BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河 的宽度AB等于 m. A.76m B.104m D C.114m D.152m 数学九年级全一册 4.如图，在-一块斜边长30cm的直角三角形木 AC正好是1m,他沿着影子的方向走了4m 板(Rt△ACB)上截取一个正方形CDEF, 到达点B,又竖起竹竿（线段BF)这时竹竿 点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F 的影长BD正好是2m.请利用上述条件求 在边AC上，若AF:AC=1:3,则这块木 出路灯的高度 板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积 为 D A.100 cm" B.150 cm C.170 cm2 D.200 cm2 5.在某一时刻，测得一根高为1.8m的竹竿的 8.如图，在矩形ABCD中， 影长为3m,同时同地测得一栋楼的影长为 长BC=12cm,宽AB= 90m,则这栋楼的高度为 m. 8cm,P,Q分别是AB, 6.如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离 BC上运动的两点.若点P自点A出发，以 点N18m的点A处放了一块平面镜，小明 1cm/s的速度沿AB方向运动，同时，点Q 沿NA方向后退1.5米到点C,此时他从镜 自点B出发，以2cm‘s的速度沿BC方向 子中恰好看到楼顶的点M,已知小明的眼睛 运动，经过几秒，以P,B,Q为顶点的三角 (点B)到地面的高度BC是1.6m,则高楼 形与△BCD相似？(Q到达C点后，点P,Q MN的高度是 m 同时停止运动) 7.如图，学校操场旁立着一个路灯（线段OP). 小明拿着一根长2m的竹竿去测量路灯的 高度，他走到路灯旁的一个地点A竖起竹 竿（线段AE),这时他量了一下竹竿的影长 ,,,,，小参考答案 课时作业区 第1章 图形的相似 1.2 怎样判定三角形相似 1.1 相似多边形 第1课时 基本事实9及推论 课前自主预习 课前自主预习 1.形状相同 2.对应相等 对应成比例 3.比 1.成比例 2.对应成比例 课堂巩固训练 课堂巩固训练 1.D 2.C 3.D 4.C 5.B 1.C 2.3.6 3.B 课后提升训练 4.B 1.C 2.B 3.C 4.B 5.6 课后提升训练 6.解:'四边形ABCD四边形EFGH,.'a= C-83$*$, F-$B=7 8^$*,EH:AD=$EF$: AB. t:21=24:18,解得x=28.在四边形 EFGH中,8-81*,x-28 7.解::△ADE△ABC. AOA AE 8.解:(1):/12/ . AB_ AD. .BCDE PAD+DBAE+EC' 4 又:AD=EC,..AD-2(cm). 解得BC-6. (cm). 3 ·△ABC的周长为5+6+3-14(cm). .AD-2,DE-4,EF=7.5. 8.解:(1)证明:.*菱形AEFG菱形ABCD BE .. EAG= BAD,AE=AG,AB-AD.$$ ..EAG+ GAB= BAD+ GAB,$$ 第2课时 相似三角形的判定定理 . EAB- GAD. “.AE-AG,AB-AD. 课前自主预习 .△AEB2△AGD. 1.相等 对应成比例 2.两个角 对应相等 .EB-GD. 课堂巩固训练 (2)解:如图,连接BD交AC于点P,则BP AC. 1.A 2.B 3.A 4.C 5.ACD DCG 课后提升训练 1.A 2.C 3.C 4.D 5. ADE-B 6.6 7.证明:'ACB-90{*$AC=BC..'A=B-45^$$ . DAB-60{,. PAB-30{$ ·EDB是△ADE的外角,.EDF十 .菱形AEFG菱形ABCD,相似比是3:2, FDB= A+ AED.'' EDF=45*, :. AED= FDB..'.△ADE△BFD 8.证明:·四边形ABCD为矩形, .AP- AB-BP-3. . BAD= D-90{*. .EP-AE+AP-2③. .DAE+ BAE-90*,.BF AE于点F, *EBEP+BP-12+1-13. '. ABF+ BAE-90,. DAE= ABF$$ ..GD-/13. ..△ABFo△EAD *. BDC+CDM=ADM十CDM,即 第3课时 相似三角形的判定定理2 BDM=CDA...△BDM△CDA. .nMD 课前自主预习 4-3.'AC-23..BM-23 夹角 课堂巩固训练 ③=6,在Rt△ABM中,AM-BM-AB} 1.C 2.B 3.4 4.(1,0) 课后提升训练 1.D 2.C 3.D 第4课时 相似三角形的判定定理3 6.4或9 课前自主预习 7.解:在△ABC和△ACD中, 成比例 ACD= B, A- A 课堂巩固训练 1.B 2.25*3.A ..△ABCo△ACD 4.D .AC-AB即 AC2-AD·AB 课后提升训练 “ADAC 1.A 2.C 3.A 4.C -2×(2+4)-12 5.26./2 故AC-2③ 7.证明:'D、E、F分别是AB、BC、AC的中点, 8.证明【问题背景】:△ABC△ADE. “OO ..△ABCo△EFD. 8.解:△ABC和△DEF相似. 理由:由题意可知AB-2,BC-2/2 ..△ABDo△ACE. 解【尝试应用】如图(1),连接EC..BAC一 AC=25,DE=②,DF-10,EF-2 DAE-90^{*$ ABC= ADE-30*$$$$$ ..△ABC△ADE.同【问题背景】可得 9.证明:设AB-BD-DE=EC-a, -3,ACE- 则AD-2a,AE-5a,AC-10 易证:DACDCA' ABD三ADE. 在 Rt △ADE 中,ADE DEADAE -30. 可得△ADEo△CDA. 第5课时 相似三角形的应用 .ADF-ECF,AFD-EFC 课前自主预习 1.相等 对应成比例 2.比例 3.数学模型 数学问题 课堂巩固训练 1.B 2.10.5 3.40 4.2.5 课后提升训练 图(1) 图(2) 1.D 2.B 3.C 4.A 【拓展创新】AD的长为/5.如图(2),过点A作 5.54 6.19.2 AB的垂线,过点D作AD的垂线,两垂线交于 7.解;在Rt△DFB中,.:BF=DB-2m 点M,连接BM,'' BAD-30{*,.'DAM '. BDF= DFB-45*,.'易得DP=OP$ $6$ 60{*}..' AMD=30{.'. AMD= DBC. 在△CEA与△COP中, 又. ADM= BDC-90* :AE CP,OP CP.:AE/OP 又BDC ..△CEA△COP. #OR. - MDA. 50 设AP=xm,OP-hm,则 (2)证明:.AD/BC,..△AOFC△COB O 又":DP=OP-2+4+x=h,② ·联立①②两式,解得x一4,h-10. .AB//DC...△ABO△CEO. .路灯的高度为10m 8.解:设经过xs,△PBQ与△BCD相似, 则 PB=(8-x)cm,BQ=2xcm,DC=8 cm. 1.4 图形的位似 BC-12cm. 由于 PBQ= BCD-90^{,$$ 第1课时 (1)当/BPQ-/BDC时,^DB. 位似图形 PBBQ 课前自主预习 24 1.互相平行 相似多边形。 2.形状 7 课堂巩固训练 PBBQ 1.D 2.D 3.B 4.B 5.D 6.D 课后提升训练 s或2s,△PBQ与△BCD相似 6.解:(1)如图所示:△ABC,即为所求 (2)如图所示:△A。B。C。,即为所求,A。坐标 1.3 相似三角形的性质 (-2,-2). , 课前自主预习 1.相似比 相似比的平方 2.相似比 课堂巩固训练 -.............. 3.C 4.C 5.C 6.4v5 课后提升训练 7.解:梯形MNOP与梯形PBCQ不位似,理由 1.C 2.B 3.B 4.D 5.C 如下: 6.9:1 7.0.18π ..ANNQ -QC. 3 2 .AN:NQ:QC-3:2:1. .GF=2.'AG-4..'AF-2+4-6. 9.解:(1)·四边形ABCD是平行四边形, .AB-CD. MN_AN3 DE-CA. PQAQ. ·梯形MNOP与梯形PBCQ不位似 ·.四边形ABCD是乎行四边形, 第2课时 位似图形与坐标变换 ..AB//DC...△DEF△ABF 课前自主预习 DE) 位似图形 中心 又.SpEr-2..'.SABF=8. 课堂巩固训练 .四边形ABCD是平行四边形, 1.C 2.C 3.(-3,2) 4.D 5.C ..AD//BC...△DEF△CEB. 课后提升训练 0)()一 1.C 2.A 3.D 4.(4,2)5.(-5,-1)6.(2,1)或(-2,-1) .ScEB-9X2-18. 7.(1)略; $S迹形BCDF=S△CBF-S△DEF=18-2-16. (2)B'(-6,2),C(-4,-2); 平行四边形ABCD的面积为8十16-24. (3)M(-2x,-2y)