期中考前满分冲刺之优质压轴题-2024-2025学年八年级数学上册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（华东师大版）

期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、个位数字 1．的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 2．的个位数字是（    ）． A．8 B．6 C．5 D．4 3．计算，其结果的个位数字为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 4．算式的个位数字为 ． 5．若，则A的个位数字是 ． 6．计算结果的个位数字为 ． 类型二、全等三角形动点求t 1．已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　　秒时．和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 2．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　）    A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或 3．如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 4．如图，中，，，；直线l经过点C 且与边相交．动点P从点A出发沿的路径向终点B运动；动点Q从点B 出发沿 的路径向终点A运动(P，Q到达终点后均保持不动)．点P，Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点 P和点Q作于点E，于点 F（E，F 不重合），设运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 5．如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围； (2)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数； (3)当，且点在边上时，若与全等，求和的值． 6．已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 类型三、阴影面积 1．如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．30 B．48 C．50 D．60 2．如图，是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边、上，将沿直线折叠，使点B落在点处，、分别交边于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 3．如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ． 4．如图，已知，，，，和都是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ． 5．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 6．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 类型四、整数与小数部分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 2．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 3．若的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 4．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 5．已知是的立方根． (1)求a，b，c的值； (2)阅读材料，理解无理数的表示方法． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 在（1）的条件下请解答下列问题： ①的整数部分是____________，小数部分是____________； ②已知，其中x是整数，，求的值． 6．先阅读下面的文字，再解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即 ∴的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的值． 类型五、配方法的应用 1．若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 2．多项式的最小值为（    ） A．18 B．9 C．27 D．30 3．若， ，则 ． 4．若，则 ． 5．阅读材料∶ 若 求m， n的值． 解：   ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知 求2xy的值； (2)已知的三边长a， b， c都是正整数， 且满足 求△ABC的第三边c的最大值． 6．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 类型六、手拉手模型 1．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 2．如图，已知和都是等边三角形，且，，三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的有（     ）个 A． B． C． D． 3．如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 4．如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 5．在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 6．如图，    (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 类型七、乘法公式与因式分解几何中的应用 1．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 2．如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 3．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为16，求的值 ． 4．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和均为正方形．若长方形面积为4，，，，连接，，则阴影部分的面积为 ．         5．【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 6．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 类型八、杨辉三角 1．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 2．杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项的系数直观地体现了出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示： 的展开式 … 根据上述材料，则的展开式中含项的系数为​（    ） A．10 B． C．40 D． 3．我国古代数学的许多发现都曾，位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律直接写出 ． ， ， ， ． 4．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 5．七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 6．阅读下列材料，并完成相应的任务： 杨辉三角 我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律． 如图所示 任务： (1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为______、______、______； (2)请直接写出展开式中的系数______； (3)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为______（用含有n的式子表示）． (4)若，求的值？ 类型九、一线三等角 1．如图，，，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，点B、C、D共线，，则的长是（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 3．如图，中，，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D，则下列结论正确的是 ．（请填写序号） ①若，则；②；③；④；⑤． 4．如图，点E、F都在线段上，分别过点A、B作的垂线，连接交于点G，已知，，，则 ． 5．如图已知，，，直线过C点，分别过A、B向直线作垂线，垂足为D、E． (1)如图（1），请直接写出，，之间的数量关系 ． (2)如图（2），其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系 ． (3)如图（3），其他条件不变，请写出，，之间的数量关系并说明理由． 6．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    类型十、整数乘除中的新定义 1．定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“如意数”． (1)，，，求c； (2)若，，求a、b的“如意数”c； (3)已知，且a、b的“如意数”，则______．（用含x的式子表示） 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 3．阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，则__________； (3)代数式 的对称轴是__________． 4．定义：对于一组关于的多项式（是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数时（不含字母），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式是一组黄金多项式，其列式为，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，求的值． (3)若多项式（为有理数），是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出的值． 5．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）． 6．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似， 例如： ； ； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ______， ______， ______； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中考前满分冲刺之优质压轴题思维导图 【类型覆盖】 类型一、个位数字 1．的个位数字是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，数字类规律探究，先计算式子得，进而找到个位数字的规律，即可求解． 【详解】解： ， ∵，它个位数字是2， ，它个位数字是4， ，它个位数字是8， ，它个位数字是6， ，它个位数字是2， … ∴的个位数字是以2，4，8，6的规律循环出现， ∵， ∴的个位数字是2， 故选：A． 2．的个位数字是（    ）． A．8 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，数字类变化规律，正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键，根据平方差公式将原式可化简为，求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为2,4,8,6，并依次循环出现，从而得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5． 【详解】解： … ∵，，，，，…，即其个位数字依次为2,4,8,6，并依次循环出现， ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为． 故选：C． 3．计算，其结果的个位数字为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式的应用，数字类变化规律．正确利用平方差公式化简，并找出个位数字规律性的出现是解决问题的关键．根据平方差公式将原式可化简为．求出2的乘方的前几项，总结出其个位数字依次为并依次循环出现．从而即得出的个位数字为6，进而得出的个位数字为5． 【详解】解： ． ∵，，，，，…，即其个位数字依次为并依次循环出现． ∵， ∴的个位数字为6， ∴的个位数字为． 故选A． 4．算式的个位数字为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平方差公式，数字类的规律探索，先把原式变形为，再利用平方差公式计算出最终的结果为，再找到规律这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现，据此规律求解即可． 【详解】解： ， 的个位数字是2，的个位数字是4，的个位数字是8，的个位数字是6，的个位数字是2，的个位数字是4，……， ∴这一列数的个位数字是每4个数字为一个循环，2，4，8，6依次出现， ∵， ∴的个位数字是6， ∴的个位数字是5， 故答案为：5． 5．若，则A的个位数字是 ． 【答案】6 【分析】本题考查的是平方差公式，能够将原式乘以凑出平方差公式的形式是解题的关键．将原式乘以凑出平方差公式的形式，按照平方差公式进行计算即可得出答案． 【详解】解： ， ∵，，，，， ∴指数4个数一个循环， ∵ ∴尾数为6， ∴个位数字是6． 故答案为：6． 6．计算结果的个位数字为 ． 【答案】0 【分析】本题考查了平方差公式的应用，解此题的关键是重复运用平方差公式，根据结果得出规律，题目比较好，有一定的难度．先把化为的形式，与式子构成平方差公式，再运用平方差公式对式子进行化简，得出原式，再研究出，得出的个位数呈现：循环，结合，即可作答． 【详解】解： ， ∵ ∴可知的个位数呈现：循环， ∵， ∴的个位数是， ∴的个位数是0， 故答案为：0． 类型二、全等三角形动点求t 1．已知：如图，在长方形中，，．延长到点，使，连接，动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿向终点运动，设点的运动时间为秒，当的值为　　秒时．和全等． A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7 【答案】C 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出和即可求得．本题考查了全等三角形的判定，判定方法有：，，，，． 【详解】解：∵，若，， ∴， 由题意得：， ∴， ∵，若，， ∴， 由题意得：， 解得． ∴，当的值为1或7秒时．和全等． 故选：C． 2．如图，，，点M在线段上以的速度由点C向点B运动，同时，点N在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点M运动结束时，点N运动随之结束）．在射线上取点A，在M、N运动到某处时，有与全等，则此时的长度为（　　）    A．1cm B．2cm或 C．2cm D．1cm或 【答案】D 【分析】本题主要考查了有关动点问题的全等三角形应用，掌握和两种全等情况是解本题的关键． 根据题意分两种全等情况：①，②，然后利用全等的性质求解即可． 【详解】解：①若，则，，可得：，， 解得：，； ②若，则，，可得：，， 解得：， 的长度为1cm或． 故选：D． 3．如图，垂足为C， 射线，垂足为B，动点P从C点出发以的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足 ，随着 P点运动而运动，当点P运动时间t为 秒时，与点P、N、B为顶点的三角形全等（）． 【答案】6或12或18 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，此题要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，， 这时，因此时间为0秒， ，故不合题意舍去； ③当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在上，时，， ， 点P的运动时间为（秒）， ∴点P的运动时间为6或12或18， 故答案为：6或12或18． 4．如图，中，，，；直线l经过点C 且与边相交．动点P从点A出发沿的路径向终点B运动；动点Q从点B 出发沿 的路径向终点A运动(P，Q到达终点后均保持不动)．点P，Q的速度分别为和，两点同时出发并开始计时，当点P到达终点B 时计时结束．在某时刻分别过点 P和点Q作于点E，于点 F（E，F 不重合），设运动时间为t秒，则当 秒时，与全等． 【答案】2或或12 【分析】本题考查的是全等三角形的判定、掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．分三种情况讨论：点Q在上；当点P与点Q重合时；当点与点重合时；根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】解：①如图1，Q在上，点P在上时，作 由题意得，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 当时， 则， 即， 解得：； ②如图2，当点P与点Q重合时， 当与全等， 则， ∴． 解得：； ③如图3，当点与点A重合时， 当， 则， ∴， 解得：， 综上可知，当或或时，与全等 故答案为：2或或12． 5．如图，在中，，，点为边的中点．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿射线运动，同时动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段向终点运动，设点运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长并写出的取值范围； (2)当，且为等腰三角形时，直接写出的度数； (3)当，且点在边上时，若与全等，求和的值． 【答案】(1)； (2)的度数为或或或； (3)，或，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，解题的关键是学会分类讨论的思想思考问题． （1）分两种情况讨论，用的长度减去的长度即可； （2）分点P在线段上和在线段的延长线上两种情况，当P在线段上时有三种情况；再利用等腰三角形的性质、三角形内角和定理即可完成； （3）根据全等三角形对应边相等，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：点在射线上以每秒2个单位长度的速度由点向点运动，， 当点在线段上时， ； 当点在射线上时， ； 综上，； （2）解：若点P在线段上，分三种情况： 当时，则； 当时，则， 则； 当时，则， 则； 点P在线段的延长线上，当时，则， ， ； 综上，的度数为或或或； （3）解：中，，，点为的中点，， ， ，，， 当时，，， ，， 解得：，； 当时，，， ，， 解得：，； 综上所述，，或，． 6．已知正方形中，边长为，点在边上，，如果点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上以的速度由点向点运动，设运动的时间为秒． (1)的长为______（用含的代数式表示）． (2)若以、、为顶点的三角形和以、、为顶点的三角形全等，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，正方形的性质，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据即可得到答案； （2）分情况讨论时对应边的关系，通过不同的对应关系列式求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：若， 则，即， ∴，； 若 则，，则 得：， 解得：． 类型三、阴影面积 1．如图，在中，，，，，E是上一点，交于点F，若，则图中阴影部分的面积为（    ）    A．30 B．48 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的判定和性质； 求出，证明，可得，则，然后利用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 2．如图，是边长为2的等边三角形，点D、E分别在边、上，将沿直线折叠，使点B落在点处，、分别交边于点F、G．则阴影部分图形的周长等于（    ）    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】利用折叠的性质可得，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得， ∴，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为2的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于6， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得是解题的关键． 3．如图，等边的边长为，点、分别在边、上，点落在点处，且点在外部，则阴影部分图形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系． 根据折叠可得，，故阴影部分的周长可以转化为三角形的周长． 【详解】解：将沿直线折叠，点落在点处， 所以，， 则阴影部分图形的周长为： ． 故答案为：． 4．如图，已知，，，，和都是等腰直角三角形，图中阴影部分的面积为 ． 【答案】12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质．过作于，得到，根据直角三角形的性质得到，延长交于，过作于，过作于，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：过作于， ， ，， ， 延长交于， 过作于，过作于， ， ， ， ， ， ， 同理，， ， ， ，， ， 图中阴影部分的面积的面积， 故答案为：12． 5．如图1是一个长为m，宽为n的矩形（）．用7张图1中的小矩形纸片，按图2的方式无空隙不重叠地放在大矩形内，未被覆盖的部分用阴影表示．若大矩形的长是宽的． (1)求m与n的关系； (2)若图2中，大矩形的面积为18，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列代数式、整式的加减、多项式乘多项式、代数式求值，看懂图形，正确列出代数式是解答的关键． （1）先根据图形，用m、n表示出矩形的长、宽，再根据长和宽的关系可得结论； （2）根据图形，用m、n表示出大矩形的面积，进而求得，进而可得阴影面积的值． 【详解】（1）解：由题意，大矩形的长为，宽为， ∵大矩形的长是宽的， ∴， 化简，得； （2）解：∵大矩形的面积为，大矩形的面积为18，， ∴， 解得， ∴阴影部分的面积为． 6．图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． (1)观察图2，阴影部分的正方形的面积可以用不同方法来表示，由此请你写出下列三个代数式,，之间的等量关系为________； (2)运用得到的公式，计算：若m、n为实数，且，求的值． (3)如图3所示，两正方形和正方形边长分别为a、b，且，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)； (2)或； (3)10． 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）先用代数式表示图形中各个部分的面积，然后根据各个部分面积之间的关系即可解答； （2）由求出的值，然后根据平方根的定义求出的值即可； （3）用代数式表示阴影部分的面积，再根据，然后代入相关数据计算即可． 【详解】（1）解：图2中，整体是边长为的正方形,面积为，阴影部分的正方形的边长为，因此面积为，四个长为a，宽为b的长方形的面积为， 因此有． 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∴或． （3）解：阴影部分的面积为： ∵， ∴ ＝10． ∴阴影部分的面积为10． 类型四、整数与小数部分 1．若的整数部分为x，小数部分为y，则y的值是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了估计无理数的大小．根据，可得x和y的值． 【详解】解：∵， ∴，， 故选：C． 2．若 的整数部分是m，小数部分是n，则为（     ） A． B． C． D．8 【答案】B 【分析】此题考查了无理数的估算，实数的绝对值，先根据无理数估算求出，再化简绝对值即可. 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 故选：B 3．若的小数部分为a，的小数部分为b，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了无理数的估算，解题关键是熟练掌握不等式的基本性质． 先估算的大小，再利用不等式的基本性质估算，，从而求出它的整数部分和小数部分，然后代入所求代数式进行计算即可． 【详解】解：，即， ，，，，的整数部分为2，小数部分为， 的整数部分为10，小数部分为， ． 故答案为：1． 4．观察：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请你观察上述规律后解决问题：规定用符号表示实数的整数部分，例如：，．按此规定，那么的值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了求实数的近似值，掌握无理数的估算方法并能熟练运算是解题关键． 的整数部分为3，的整数部分则为4． 【详解】解：∵，即， ∴的整数部分为3，的整数部分则为4． 表示实数的整数部分， ∴． 故答案为：4． 5．已知是的立方根． (1)求a，b，c的值； (2)阅读材料，理解无理数的表示方法． 因为是无理数，而无理数是无限不循环小数，所以的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 在（1）的条件下请解答下列问题： ①的整数部分是____________，小数部分是____________； ②已知，其中x是整数，，求的值． 【答案】(1) (2)①3；；②7 【分析】本题考查估算无理数的大小，非负数的性质，以及立方根的性质， （1）根据非负数的性质，以及立方根的性质，即可求解； （2）①估算出，即可求解；②估算出，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的立方根， ∴， ∴； （2）解：①， ∵， ∴的整数部分是3，小数部分是； 故答案为：3；； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∵x是整数，， ∴， ∴． 6．先阅读下面的文字，再解答问题： 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：∵，即 ∴的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是 ，小数部分是 ． (2)如果的小数部分为a，的整数部分为b，求的值； (3)已知：，其中x是整数，且，求的值． 【答案】(1)4， (2)1 (3) 【分析】本题考查的是无理数的估算，无理数的整数部分与小数部分的理解，熟练的确定无理数的范围是解本题的关键； （1）根据题意求出，得到的整数部分是4，的小数部分是即可； （2）求出，得到的整数部分是2，的小数部分是，的小数部分为a，则，求出，得到的整数部分是3，的小数部分是，的整数部分为b，则，代入即可得到答案； （3）求出，则，由，其中x是整数，得到，，则，即可得到的相反数． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是4，小数部分是． （2）∵ ∴ ∵的小数部分为a ∴ ∵ ∴ ∵的整数部分为b ∴ ∴． （3）∵ ，其中x是整数，且， ∴x是的整数部分，y是的小数部分， ∵ ∴ ∴， ∴； 类型五、配方法的应用 1．若实数a、b分别满足、且，则的值为（    ） A．3 B． C． D．11 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式，以及代数式求值，根据题意结合平方差公式，完全平方公式，推出，，再将变形为，代入，求解，即可解题． 【详解】解：实数a、b分别满足、， ， 整理得， ， ， 解得， ，即有， 又， 整理得， 解得， ． 故选：D． 2．多项式的最小值为（    ） A．18 B．9 C．27 D．30 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式和非负数的性质，解题关键是熟练运用完全平方公式进行变形，利用非负数的性质确定最值．利用完全平方公式进行变形，再根据非负性确定最小值，即可解题． 【详解】解： ， ，， 多项式的最小值为18， 故选：A． 3．若， ，则 ． 【答案】7 【分析】本题考查了因式分解的运用，先关根据， 求出，然后利用完全平方公式把分解成，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 故答案为：7． 4．若，则 ． 【答案】23 【分析】本题考查了等式的性质，完全平方公式的运用，求得是解题的关键．先求出，再用完全平方公式计算即可． 【详解】解∶方程变形得：， 两边平方得：， 则． 故答案为：23． 5．阅读材料∶ 若 求m， n的值． 解：   ． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)已知 求2xy的值； (2)已知的三边长a， b， c都是正整数， 且满足 求△ABC的第三边c的最大值． 【答案】(1)的值是18 (2)的最大边c的值可能是7，8，9，10，11 【分析】本题考查了配方法的应用，三角形的三边关系，偶次方的非负性； （1）先配方，然后由非负数性质求得结果； （2）先配方，然后由非负数性质求得a、，进而由三角形三边关系求解即可． 【详解】（1）解： ∴ ∴ ∴． ∴， 即的值是18． （2）解： ∴，． ∴，． ∵，， ∴． ∴的最大边c的值可能是7，8，9，10，11． 6．利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ∵，∴．因此代数式有最小值； ②． ∵，∴．因此，代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点O，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)1，13 (2) (3)18 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即， ∴的最小值为1， ， ∵， ∴， ∴的最大值为13， 故答案为：1，13； （2）解： ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴四边形面积的最大值为18． 类型六、手拉手模型 1．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 如图，分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到、；再证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 2．如图，已知和都是等边三角形，且，，三点共线．与交于点，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的有（     ）个 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论； 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，①结论正确； ， ， 又， ， 是的外角， ， ，②结论错误； ， ， 在和中， ， ， ，③结论正确； ， ， 又， 是等边三角形，④结论正确； ， ， ，⑤结论正确； 即正确结论的个数是①③④⑤，共个， 故选：B． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 3．如图，分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角，连接，交于点F，连接．下面有四个结论：；平分平分；其中正确的是 （只填写序号） 【答案】①②④ 【分析】根据等腰三角形的性质，证明，即可判断①；根据，得到，即可判断②；过作于，于，得到，推出，即可判断④；题干条件不充分，不足以判断平分，即可判断．本题考查等腰三角形的性质，掌握三角形内角和、全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】解：∵分别以的边为直角边，向外作等腰直角和等腰直角， ，，， ∴， ， ， ，故①正确， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 故②正确， 过作于，于， ， ， 即， ， ， ， 即平分， 故④正确； ， 但不一定相等，无条件支持， ∴不一定全等， 则不一定相等， 故得不出， ∴不一定平分； 故③不正确， 故答案为：①②④． 4．如图，在和中，，将绕点顺时针旋转一定角度，当时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合等腰三角形的性质和平行线的性质分别求解即可． 【详解】解：分两种情况讨论， 当点在点的左侧时，如图①， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴；         图①                图② 当点在点的右侧时，如图②， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 综上所述，当时，的度数为或． 5．在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在的数量关系为； 如图3，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．如图，    (1)问题发现：如图①，和都是等边三角形，点B、D、E在同一条直线上，连接． ①的度数为______； ②线段之间的数量关系为______； (2)拓展探究：如图②，和都是等腰直角三角形，，点B、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接，试求的度数及判断线段之间的数量关系，并说明理由； (3)解决问题：如图③，和都是等腰三角形，，点B、D，E在同一条直线上，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；②相等 (2)；，理由见详解； (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质可得，证明，根据全等三角形的性质即可求解；②根据全等三角形的性质即可解答； （2）证明，根据等腰直角三角形的性质可得，进而得到，，即可得到的度数；由是等腰直角三角形，为中边上的高，可得，即可得到线段、、之间的数量关系； （3）证明，得到，推出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：①和都是等边三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ， ， 故答案为：； ②， ， 故答案为：； （2）解：和都是等腰直角三角形，， ，， ，   在与中，， ， ， ，点B、D、E在同一条直线上， ， ， ， 都是等腰直角三角形，， ， ， ， 的度数为，线段之间的数量关系为：； （3）解：根据（1）（2）中结论可知：，得， 和都是等腰三角形，， ， ， ， ． 类型七、乘法公式与因式分解几何中的应用 1．边长为a的正方形与边长为b的正方形按如图所示的方式摆放，点A，D，G在同一直线上．已知，．则图中阴影部分的面积为（    ） A．28 B．39 C．61 D．68 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提，先根据用代数式表示阴影部分的面积，再利用公式变形后，代入，计算即可． 【详解】解：由图可知：， 正方形边长为a，正方形边长为b， ， ， ， ， ， 将，代入得： ， 故选：B． 2．如图， 两个正方形边长分别为a，b，如果， ，则阴影部分的面积为（   ）    A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】A 【分析】阴影部分面积可以用边长为的正方形面积的一半减去底为，高为的三角形的面积，将与的值代入计算即可求出值． 本题考查了完全平方公式的变形运用及整体法求代数式的值，根据图形正确表示出阴影部分的面积及把完全平方公式变形是关键． 【详解】解：根据题意得： 当，时， ． 故选：A． 3．如图，边长为的正方形纸片剪出一个边长为的正方形之后，剩余部分可剪拼成一个长方形，若拼成的长方形一边长为4，则另一边长为16，求的值 ． 【答案】6 【分析】本题考查了完全平方公式，用两种方法表示图形面积，列出方程求解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， ， ， ， 故答案为：6． 4．如图，正方形和三角形重叠部分是长方形，四边形和均为正方形．若长方形面积为4，，，，连接，，则阴影部分的面积为 ．         【答案】10 【分析】设长方形中，，，根据题意可知，，，可知，进而可得，由阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：设长方形中，，， ∵四边形，四边形和均为正方形， ∴，则， ∵长方形面积为4，，，， ∴，，则， ∴，    连接，则阴影部分的面积 ， 故答案为：10． 【点睛】本题考查完全平方的几何背景，观察图形，求出，及的值是求解本题的关键． 5．【阅读理解】“若满足，求的值”． 解：设，， 则，， 那么． 【解决问题】 (1)若满足，求的值； (2)若满足，求的值； (3)如图，正方形的边长为，，，长方形的面积是，四边形和都是正方形，四边形是长方形，求图中阴影部分的面积结果必须是一个具体的数值． 【答案】(1) (2)； (3)阴影部分的面积为． 【分析】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式，进行转化应用． （1）根据举例进行对已知式子计算解答即可； （2）设，，则可得，，所以，可得，即可解答； （3）根据正方形的边长为，，，所以，，得到，设，，从而得到，，根据举例求出，即可求出阴影部分的面积． 【详解】（1）解：设，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，， ， ， ， ， 即； （3）解：∵正方形的边长为，，， ，， ， 设，， ，， ， 答：阴影部分的面积为． 6．数形结合是解决数学问题的重要思想方法，借助图形可以对很多数学问题进行直观推导和解释．如图1，有足够多的边长为的小正方形，长为、宽为的长方形以及边长为的大正方形． 利用图①中的三种材料各若干可以拼出一些长方形来解释某些等式，例如图2可以解释整式乘法：，也可以解释因式分解：． (1)若用4个类材料围成图3的形状，设外围大正方形的边长为，内部小正方形的边长为，观察图案，指出下列关系式中正确的是（写出所有正确结论的序号）______． ①；②；③；④；⑤． (2)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为，在虚框中画出图形，并根据所画图形，将多项式分解因式为______． (3)若取其中的若干个（三种图形都要取到）拼成一个长方形，使其面积为则的值为______．（直接写出结果） 【答案】(1)①③④⑤ (2)画图见解析， (3)9或21或12 【分析】本题考查整式乘法与图形面积的关系，掌握数形结合思想成为解题关键． （1）根据图形表示出两个正方形边长与a、b的关系、，结合面积加减计算逐个判断即可； （2）根据整式得到两个大正方形、两个小正方形、五个长方形，然后画出图形即可解答； （3）根据因式分解平方项凑长宽展开求解即可解答． 【详解】（1）解：由图形可得，、，故①正确， ∴，即②错误； 由图形可得，，即，即③正确； ∵、， ∴，即，即④正确； ∵，，即故⑤正确． 故答案为：①③④⑤． （2）解：由题意可得，图形如图所示， ∴． 故答案为：． （3）解：由题意可得， ①当，， ②当，， ③当，． 故答案为：9或21或12． 类型八、杨辉三角 1．“杨辉三角”（如图），也叫“贾宪三角”，是中国古代数学无比睿智的成就之一，被后世广泛运用．用“杨辉三角”可以解释（，2，3，4）的展开式（按a的次数由大到小的顺序）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式中各项的系数；第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数，等等．当n是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则下列说法正确的有（    ）个 ①的展开式中的系数是9 ②的展开式为： ③能被28整除 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查数字的变换类规律，解题的关键是读懂题意，找到“杨辉三角”的规律．求出的展开式中的系数即可判定①；由计算规律可判断②正确；将分解为，再将分解成即可判定． 【详解】解：由计算规律可得，的展开式中，字母部分因式依次为，，，…， ∴含的为第二项， 又由“杨辉三角”可知，的展开式中第二项的系数为n， ∴的展开式中含的项为，故①正确； 由计算规律可得， ，故②正确； ∵， 而 ， ∴能被28整除，故③正确； ∴正确的有①②③，共3个； 故选：D． 2．杨辉三角是中国古代数学杰出研究成果之一，它把（其中n为自然数）的展开式中的各项的系数直观地体现了出来，其中的展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第行的每一项，如下所示： 的展开式 … 根据上述材料，则的展开式中含项的系数为​（    ） A．10 B． C．40 D． 【答案】B 【分析】由计算规律可得，的展开式中字母部分因式依次为，，，，，，结合“杨辉三角”得出的各项系数，然后考虑符号计算即可． 【详解】解：结合“杨辉三角”可得的各项系数（不考虑符号）为：1，5，10，10，5，1； 是由可得，符号为负号，系数为第三个系数10， ∴项的系数为； 故选：B． 【点睛】本题考查了整式的乘法运算规律，理解题目中的“杨辉三角”是解题的关键． 3．我国古代数学的许多发现都曾，位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形揭示了（为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，由此规律直接写出 ． ， ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的数字规律，根据题意找出数字规律是解题的关键．根据“杨辉三角”的规律，可得出展开后的系数为1，4，6，4，1，再结合展开后的降幂排列和的升幂排列即可得出答案即可． 【详解】解：根据“杨辉三角”的规律，可得出展开后的系数为1，4，6，4，1， 结合多项式展开后的次数变化规律可知，． 故答案为：． 4．我国南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了（为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律，后人将下图称为“杨辉三角”．这个三角形的构造法则为：两腰上的数都是1，其余每个数均为上方左右两数之和． 请根据上述规律，写出展开式中含项的系数是 ． 【答案】190 【分析】本题考查图形变化的规律，根据是展开式中的第三项，则观察每行数列中第3个数，发现规律即可解决问题． 【详解】由题知， 含的项是展开式中的第三项， 观察每行中的第3个数，如图所示， 该列数中的第19个数为：， 所以展开式中含项的系数是190． 故答案为：190． 5．七年级数学兴趣小组成员在研究我国数学发展的时候查阅到了一位杰出的数学家，他们决定对其的发现展开微项目探索，请你跟随探索脚步，根据素材，完成【任务规划】和【项目成效】． 【驱动问题】探索杨辉三角和多项式乘法计算结果中各项系数间的奥秘 【核心概念】： 素材1：杨辉是我国南宋时期杰出的数学家，在其所著的《详解九章算法》中有记载了如图1，源于北宋时期数学家贾宪的“开方作法本源图”，我们把这个表叫做“杨辉三角”． 素材2：我们知道，．利用多项式的乘法运算，还可以得到：．当时，将计算结果中多项式（以a降次排序）各项的系数排列成表，可得到如图2：      【任务规划】 （1）任务1：请根据素材1和素材2直接写出的计算结果； （2）任务2：将（其中）的计算结果以a降次排序后，请推导出第三项的系数m（用含n的代数式表示）． 【项目成效】 （3）成果展示：请计算中含的项的系数是多少． 【答案】（1）；（2）；（3）系数为80 【分析】本题考查了图形的数字规律： （1）根据每一行两端的系数都为1，中间部分系数分别为上一行相邻两系数的和计算求值即可； （2）求出n取2，3，4，5时计算结果中第三项的系数，由此得出规律，即可求解； （3）由（2）得：中含的项的系数即为计算结果中第三项的系数，即可求解． 【详解】解：（1）； （2），第三项的系数为； ，第三项的系数为； ，第三项的系数为， ，第三项的系数为， ……， ，第三项的系数为； （3）由（2）得：中含的项的系数是． 6．阅读下列材料，并完成相应的任务： 杨辉三角 我国著名数学家华罗庚曾在给青少年撰写的“数学是我国人民所擅长的学科”一文中谈到，我国古代数学的许多创新与发展都曾居世界前列，他说：“实际上我们祖国伟大人民在人类史上，有过无比睿智的成就．”其中“杨辉三角”就是一例．在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，给出了二项式的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）及其系数规律． 如图所示 任务： (1)通过观察，图中的（▲）中可填入的数字依次为______、______、______； (2)请直接写出展开式中的系数______； (3)观察每行数的和，并归纳出第n行数的和为______（用含有n的式子表示）． (4)若，求的值？ 【答案】(1)4，6，4 (2)10 (3) (4)0 【分析】本题考查与完全平方公式相关数字的变化规律，正确得出“杨辉三角”的规律是解题关键． （1）根据“杨辉三角”的规律写出各项系数即可； （2）根据“杨辉三角”的规律得到的展开式，代入即可得答案； （3）计算前几行的系数和的规律，再总结即可； （4）由，，，，从而可得答案． 【详解】（1）∵“杨辉三角”的特征为两条斜的边都是数字1组成，其余的数是等于它“肩”上的两数之和， ∴（▲）中可填入的数字依次为4，6，4， 故答案为：4，6，4； （2）由（1）可知的展开式中各项系数为1、5、10、10、5、1， ∴， ∴ ∴展开式中的系数是10； 故答案为：10； （3）∵第一行系数为， 第二行的系数和为：， 第三行的系数和为：， 第四行的系数和为：， 归纳可得：第n行数的和为； 故答案为：； （4）∵， ∴当时，， 当时， ∴； 类型九、一线三等角 1．如图，，，，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明得出，，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，点B、C、D共线，，则的长是（　　）    A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，利用证明是解题的关键． 先证明可得，然后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，中，，是边上的中线，过C作，垂足为F，过B作交的延长线于D，则下列结论正确的是 ．（请填写序号） ①若，则；②；③；④；⑤． 【答案】①②③⑤ 【分析】此题主要考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的中线平分三角形面积，解题的关键是熟知全等三角形的判定定理. 根据题意证明，再逐一进行判断即可. 【详解】解：∵，， ∴ ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴，，，故②正确；, ∵ ∴ 故④错误， ∵是边上的中线， ∴，故⑤正确；, ∴若，则； 故①正确； ∵，， ∴，又， ∴，故③正确； 故答案为：①②③⑤ 4．如图，点E、F都在线段上，分别过点A、B作的垂线，连接交于点G，已知，，，则 ． 【答案】/度 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质等知识，证明，则，，进一步得到，则是等腰直角三角形，即可得到． 【详解】解：∵分别过点A、B作的垂线， ∴， ∴ ∵， ∴, ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为： 5．如图已知，，，直线过C点，分别过A、B向直线作垂线，垂足为D、E． (1)如图（1），请直接写出，，之间的数量关系 ． (2)如图（2），其他条件不变，请直接写出，，之间的数量关系 ． (3)如图（3），其他条件不变，请写出，，之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)，理由见解析． 【分析】本题考查了线段的和差，全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由直角三角形得到，再进一步得到，证明，即可求解； （2）由直角三角形得到，再进一步得到，证明，即可求解； （3）由直角三角形得到，再进一步得到，证明，即可求解； 【详解】（1）解：∵，，垂足为，， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在与中， ， ∴ ∴， ∴， 即， 故答案为：； （2）解：，理由如下： ∵，，垂足为，， ∴， ∴与都是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在与中， ， ∴， ∴，， ∴， 即：， 故答案为：； （3）解：∵，，垂足为，， ∴， ∴与都是直角三角形 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴在与中， ∴， ∴，， ∴， 即：． 6．（1）如图1，已知：在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为点，．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，，，，三点都在直线上，并且有，其中为任意锐角或钝角．试探索的数量关系，并说明理由． （3）拓展与应用：如图3，，是，，三点所在直线上的两动点，，三点互不重合），点为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，，若，试判断的形状．    【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）等边三角形 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质以及等边三角形的判定与性质； （1）根据垂直的定义得到，根据等角的余角相等得到，根据“”证明，根据全等三角形的性质即可得到； （2）根据，得到，由定理证明，根据全等三角形的性质得到，，得出结论； （3）根据等边三角形的性质得到，证明，得到，证明，得到，，求出，根据等边三角形的判定定理得到答案． 【详解】（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2），理由如下： 如图2，， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 类型十、整数乘除中的新定义 1．定义：任意两个数a、b，按规则运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“如意数”． (1)，，，求c； (2)若，，求a、b的“如意数”c； (3)已知，且a、b的“如意数”，则______．（用含x的式子表示） 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了有理数的运算，整式的运算，掌握是解题的关键． （1）把，代入中求值即可； （2）利用完全平方公式求出，得到的值，进而得到的值； （3）把，的值代入，化简即可得出答案． 【详解】（1）解：当，时， ； （2）解：当，时， ， ， ， 或； （3）解：根据题意得：， ， ， ， ， ． 2．配方法是数学中重要的一种思想方法．这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题．我们定义：一个整数能表示成（a、b是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如，因为，所以5是“完美数”． (1)若29是“完美数”，将它写成（a、b是整数）的形式________； (2)若可配方成（m、n为常数），则＝________； (3)已知（x、y是整数，k是常数），要使S为“完美数”，试求出符合条件的一个k值，并说明理由； (4)已知满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 (4) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的配方法的应用，掌握完全平方公式、偶次方的非负性是解题的关键．． （1）把29分为两个整数的平方即可； （2）原式利用完全平方公式配方后，确定出m与n的值，即可求出的值； （3）根据S为“完美数”，利用完全平方公式配方，确定出k的值即可； （4）由已知等式表示出y，再代入中，然后运用配方后再利用非负数的性质求出最大值即可． 【详解】（1）29是“完美数”，即 故答案为：； （2）解：， ，， ， 故答案为：； （3）解：当时，S为“完美数”，理由如下： ， （4）， ， ， ， ， ， 的最大值． 3．阅读以下材料： 我们给出如下定义：对于关于的多项式，若当取任意一对互为相反数的值时，该多项式的值相等，则称该多项式关于对称，称是它的对称轴．例如，．观察可以发现，当取任意一对互为相反数的值时，多项式的值是相等的，则称关于对称，是它的对称轴． 请根据上述材料解决下列问题： (1)将多项式变形为的形式，并求出它的对称轴； (2)若关于的多项式关于对称，则__________； (3)代数式 的对称轴是__________． 【答案】(1)；对称轴为； (2)6； (3)． 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，熟练利用完全平方公式分解因式是解题的关键． （1）加上，同时再减去，配方，整理，根据定义回答即可； （2）将配成，根据对称轴的定义，对称轴为， 根据对称轴的一致性，求a即可； （3）将代数式配方成，根据定义即可得到答案． 【详解】（1）解： ＝ ＝． ∴该多项式的对称轴为； （2）∵， ∴对称轴为， ∵关于的多项式关于对称， ∴， 即， （3）∵ ， ∴对称轴为． 4．定义：对于一组关于的多项式（是有理数），当其中两个多项式的乘积与另外两个多项式乘积的差是一个有理数时（不含字母），称这样的四个多项式是一组黄金多项式，有理数的绝对值是这组黄金多项式的黄金因子．例如：对于多项式，因为，所以多项式是一组黄金多项式，其黄金因子为． (1)小贤发现多项式是一组黄金多项式，其列式为，请帮小贤求出这组黄金多项式的黄金因子． (2)若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，求的值． (3)若多项式（为有理数），是一组黄金多项式，且黄金因子为4，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)的值为或11或1 (3)的值为 【分析】本题考查定义新概念，整式的四则混合运算，读懂题意，理解“黄金多项式”，“黄金因子”等定义是解题的关键． （1）根据整式的四则混合运算法则计算，根据“黄金因子”的定义即可解答； （2）分三种情况，分别计算①；②；③，根据“黄金多项式”的定义即可解答； （3）分三种情况，分别计算①，②，③，根据这是一组黄金多项式，且黄金因子为4，进行判断即可解答． 【详解】（1）∵ ， ∴这组黄金多项式的黄金因子是． （2）若多项式（是有理数）是一组黄金多项式，有三种情况， ① ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． ② ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． ③ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴． 综上所述，的值为或11或1． （3）①∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴， ∴黄金因子为，不合题意，舍去； ②∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴ ∴黄金因子为，不合题意，舍去； ③∵ ． ∵这是一组黄金多项式， ∴， ∴， ∴黄金因子为，符合题意； 综上所述，的值为． 5．定义：任意两个数，按规则运算得到一个新数，称所得的新数为的“和积数”． (1)若，求的“和积数”； (2)若，求的“和积数”； (3)已知，且的“和积数”，求（用含的式子表示）． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了有理数的混合运算、因式分解的应用、利用完全平方公式进行计算、求代数式的值，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据“和积数”的定义进行计算即可； （2）利用完全平方公式的变形求出或，再由，代入数值进行计算即可； （3）把的右边利用提公因式法分解因式，再根据，对应相等即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：， 的“和积数”为； （2）解：由题意得：， ， ， 或， 当时，， 当时，， 综上所述，的值为或； （3）解：由题意得：， ， ， ， ， ， ． 6．定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位，把形如（为实数）的数叫做复数，其中叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加、减运算与整式的加、减运算类似，复数的乘方运算与有理数的乘方运算类似， 例如： ； ； ； 根据以上信息，完成下列问题： (1)填空： ______， ______， ______； (2)化简：； (3)请你参照这一知识，将分解成两个复数的积． 【答案】(1)，，； (2) (3) 【分析】本题考查因式分解，读懂定义，能利用复数的定义对多项式进行因式分解是解题的关键． （1）利用复数的运算法则运算解题； （2）根据定义可知，且个结果为一组循环，由此求解即可； （3）将原式化为，再因式分解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解：， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$