专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型七 利用直线与圆的位置关系求最值 题型八 直线与圆的位置关系综合 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 1．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 2．已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ． 3．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．在中，，，．若与相离，则半径为r满足（    ） A． B． C． D． 2．中，是的中点，以点为圆心作，若与边有且仅有一个交点，则的半径应满足 ． 3．如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作. （1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）； （2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围. 【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 1．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 2．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒． （1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由． （2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例4】（17-18九年级下·全国·单元测试）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（    ） A．0 B．l C．2 D．法确定 1．（23-24九年级上·全国·期末）已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 3．（2020·广东·一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点； 【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 1．如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，开始时，．如果以/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当的运动时间（秒）满足条件 时，与直线相交．    3．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）判断四边形OCPD的形状并说明理由． （2）求点P的坐标． （3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值． （4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案） 【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例6】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 1．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 2．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 3．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例7】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    1．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 3．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【经典例题八 直线与圆的位置关系综合】 【例8】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（　　）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 1．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 3．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 4．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 6．（23-24九年级上·广东广州·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 8．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 9．（23-24九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 10．（23-24九年级·全国·单元测试）已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是 . 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 13．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知点和直线 ，则点到直线 的距离证明可用公式计算． 例如：求点 到直线 的距离． 解：因为直线 ，其中 所以点到直线 的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点 到直线 的距离； (2)已知的圆心坐标为 ，半径 为2，判断与直线 的位置关系并说明理由． 14．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）已知：如图，在中，，动点从点出发，沿着的方向运动一周，以为圆心，为半径作圆． (1)若分别与相切． ①利用直尺和圆规作（不写作法，保留作图痕迹）； ②求出此时的值； (2)当时，设在运动的过程中与三条边的公共点个数为，那么的最小值是___________，最大值是___________． 15．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 直线与圆的位置关系重难点题型专训（8大题型+15道拓展培优） 题型一 判断直线和圆的位置关系 题型二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围 题型三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离 题型四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数 题型五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离 题型六 求直线平移到与圆相切时运动的距离 题型七 利用直线与圆的位置关系求最值 题型八 直线与圆的位置关系综合 知识点一、直线和圆的位置关系 1. 设的半径为，圆心到直线的距离为，则直线和圆的位置关系如下表： 位置关系 图形 定义 性质及判定 相离 直线与圆没有公共点 直线与相离 相切 直线与圆有唯一公共点，直线叫做 圆的切线，公共点叫做切点 直线与相切 相交 直线与圆有两个公共点，直线叫做 圆的割线 直线与相交 从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示： 直线和圆的位置关系 相交 相切 相离 公共点个数 圆心到直线的距离与半径的关系 公共点名称 交点 切点 — 直线名称 割线 切线 — 【经典例题一 判断直线和圆的位置关系】 【例1】（23-24九年级上·山东聊城·期中）在中，，，，若以C点为圆心、以13为半径画，则直线与的位置关系是（　） A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 【答案】C 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系和勾股定理，先根据题意可求出斜边的长，再过点C作于点，设，则，根据勾股定理列出关于长的等式，求得的长，再根据勾股定理求得的长，与半径相比较，即可得到直线与的位置关系． 【详解】解：，，， ， 如图，过点C作于点，设，则，    此时有，即， 解得：，此时， 半径为13，， 直线与的位置关系是相交， 故选：C． 1．已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线与的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．相切或相交 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解法，直线与圆的位置关系等知识与方法，求出一元一次方程的解并且判断圆心到直线的距离与的半径之间的大小关系是解题的关键． 设的半径为，解一元一次方程得，，则，所以，可知直线与圆相离，于是得到问题的答案． 【详解】解：设的半径为， 解一元一次方程得，， ∵的半径是一元二次方程的一个根， ∴， ∵圆心到直线的距离， ∴， ∴直线与相离， 故选：B． 2．已知直线经过点，将直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相交（点O为坐标原点），则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】解：把点代入直线得， ， ； 由向上平移个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为， 设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，如图所示 当时，；当时，， ，， 即，； 在中，， 过点O作于D， ， ，解得， 由直线与圆的位置关系可知，解得 故答案为： 【点睛】此题主要考查直线与圆的关系，一次函数图象的平移，关键是根据待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识解答． 3．已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 【经典例题二 根据直线和圆的位置关系求半径的取值范围】 【例2】（2024·山东菏泽·一模）在直角三角形中，，，，以点C为圆心作，半径为，已知直线和有交点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，作于D，由勾股定理求出，由三角形的面积求出，可得以C为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，即可得直线和有交点， 的取值范围． 【详解】解：作于D，如图所示： ∵， ∴， ∵的面积， ∴，即圆心C到的距离， ∴以C为圆心的⊙C与直线有交点，则的取值范围是：． 故选：D． 1．在中，，，．若与相离，则半径为r满足（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查直线与圆的位置关系，勾股定理和含30度直角三角形的性质， 根据含30度直角三角形的性质和勾股定理得到和的长度，再根据与相离可知半径小于点C到的距离，即可进行求解． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴， ∵ ∴，解得：， ∴ 设点C到的距离为h，则， ∴， ∴， ∵若与相离， ∴ 故选：C． 2．中，是的中点，以点为圆心作，若与边有且仅有一个交点，则的半径应满足 ． 【答案】或 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，直线和圆的位置关系，掌握直线与圆的位置关系是解题的关键． 过点D作的垂线，垂足为E，过点A作于点F，连接，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半可以得到，，利用勾股定理求出长，分为相切和当B在圆内部，点C在上或在外分类讨论即可解题． 【详解】过点作的垂线，垂足为，过点作于点，连接， ， ， ∵是的中点, ， ，， ∵， ∴， ∴， ， 当，即 时，与边有且仅有一个交点， 当在圆内部，点在上或在外时，即 时, 与边也有且仅有一个交点， ∴当或 ，与边有且仅有一个交点， 故答案为：或 ． 3．如图，在中，，，，的中点为点.以点为圆心，为半径作. （1）当时，点在______，在______（填“上、内、外”）； （2）若与线段只有一个公共点，求的取值范围. 【答案】（1）内，外；（2）2＜r≤4或r=． 【分析】（1）根据勾股定理得，从而得r=,进而即可得到答案； （2）分两种情况：①当与直线相切时，②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，分别求出r的范围，即可． 【详解】（1）∵在中，，，， ∴， ∵的中点为点， ∴r=CM==, ∵2＜＜4， ∴点在内，在外， 故答案是：内，外； （2）①当与直线相切时，与线段只有一个公共点，设切点为D，连接CD，则CD⊥AB， ∵在Rt中，， ∴r=， ②当点A在圆内，点B在圆外或圆上时，与线段只有一个公共点，此时，2＜r≤4． 综上所述：的取值范围：2＜r≤4或r=． 【点睛】本题主要考查点与圆的位置关系，掌握当r=d时，点在圆上，当r＜d时，点在圆外，当r＞d时，点在圆内，是解题的关键． 【经典例题三 根据直线和圆的位置关系求圆心到直线的距离】 【例3】（2024·河南许昌·二模）如图，平面直角坐标系中，经过三点，点D 是上的一动点．当点 D 到弦的距离最大时，点D 的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时 点 D 到弦的距离最大，利用垂径定理，勾股定理计算即可． 本题考查了直线与圆的位置关系，矩形的判定和性质，勾股定理，垂径定理，熟练掌握直线与圆的位置关系，勾股定理，垂径定理是解题的关键． 【详解】解：∵点, ∴, 过点P作于点E，作于点F，延长交于点D，此时点 D 到弦的距离最大， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴点 D 到弦的距离最大为， ∴点D的坐标为， 故选A． ． 1．如图，已知⊙C的半径为3，圆外一点O满足OC＝5，点P为⊙C上一动点，经过点O的直线l上有两点A、B，且OA＝OB，∠APB＝90°，l不经过点C，则AB的最小值（     ） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】连接OP，PC，OC，根据OP+PC≥OC，求出OP的最小值，根据直角三角形的性质得到AB=2OP，计算得到答案． 【详解】解：连接OP，PC，OC， ∵OP≥OC-PC=2， ∴当点O，P，C三点共线时，OP最小，最小值为2， ∵OA=OB，∠APB=90°， ∴AB=2OP， 当O，P，C三点共线时，AB有最小值为2OP=4， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了几何问题的最值，掌握三角形两边和大于第三边，两边差小于第三边，得到点O，P，C三点共线时，OP最短是解题的关键． 2．如图，在直角梯形中，，E是上一定点，．点P是BC上一个动点，以P为圆心，PC为半径作⊙P．若⊙P与以E为圆心，1为半径的⊙E有公共点，且⊙P与线段AD只有一个交点，则PC长度的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】根据题意可得的最小值为圆P与相切，切点为M；最大值为圆与圆E内切，切点为Q，由直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系即可解决问题． 【详解】解：根据题意可知：的最小值为圆P与相切，切点为M，如图所示： ∴， 在直角梯形中， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 最大值为圆与圆E内切，切点为Q， ∴， 当时，此时圆P与线段开始有2个交点，不符合题意， 设，则， ∴， ∴， 则长度的取值范围是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，直角梯形，解决本题的关键是掌握直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系． 3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10cm，P为BC的中点，动点Q从点P出发，沿射线PC方向以cm/s的速度运动，以P为圆心，PQ长为半径作圆．设点Q运动的时间为t秒． （1）当t=2.5s时，判断直线AB与⊙P的位置关系，并说明理由． （2）已知⊙O为Rt△ABC的外接圆，若⊙P与⊙O相切，求t的值． 【答案】（1）相切，证明见解析；（2）t为s或s 【分析】（1）直线AB与⊙P关系，要考虑圆心到直线AB的距离与⊙P的半径的大小关系，作PH⊥AB于H点，PH为圆心P到AB的距离，在Rt△PHB中，由勾股定理PH，当t=2.5s时，求出PQ的长，比较PH、PQ 大小即可， （2）OP为两圆的连心线，圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP即可． 【详解】（1）直线AB与⊙P相切．理由：作PH⊥AB于H点， ∵∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=10， ∴AB=2AC=20，BC=， ∵P为BC的中点 ∴BP= ∴PH=BP=， 当t=2.5s时，PQ= ， ∴PH=PQ=  ∴直线AB与⊙P相切 ， （2）连结OP， ∵O为AB的中点，P为BC的中点， ∴OP=AC=5， ∵⊙O为Rt△ABC的外接圆， ∴AB为⊙O的直径， ∴⊙O的半径OB=10 ， ∵⊙P与⊙O相切 ， ∴ PQ-OB=OP或OB-PQ=OP  即t-10=5或10-t =5， ∴ t=或t= ， 故当t为s或s时，⊙P与⊙O相切． 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，圆与圆相切时求运动时间t问题，关键点到直线的距离与半径是否相等，会求点到直线的距离，会用t表示半径与点到直线的距离，抓住两圆相切分清情况，由圆心在圆O内，没有外切，只有内切，要会分类讨论，掌握圆P与圆O内切rO-rP=OP, 圆O与圆P内切，rP-rO=OP． 【经典例题四 根据直线与圆的位置关系确定交点个数】 【例4】（17-18九年级下·全国·单元测试）已知⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，则直线l与⊙O的交点个数为（    ） A．0 B．l C．2 D．法确定 【答案】C 【分析】先根据题意判断出直线与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵⊙O的半径为6cm，圆心O到直线l的距离为5cm，6cm＞5cm， ∴直线l与⊙O相交， ∴直线l与⊙O有两个交点． 故选：C． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，熟知设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，当d＜r时，直线与圆相交是解答此题的关键． 1．（23-24九年级上·全国·期末）已知，中，，斜边上的高为，以点为圆心，为半径的圆与该直线的交点个数为（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系进行判断．若d＜r，则直线与圆相交；若d=r，则直线于圆相切；若d＞r，则直线与圆相离． 【详解】解：∵5cm＞4.8cm， ∴d> r. ∴圆与该直线AB的位置关系是相离，交点个数为0， 故选A． 【点睛】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系，关键是掌握d与r的大小关系所决定的直线与圆的位置关系． 2．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离为4，则直线l与有 个交点． 【答案】0 【分析】本题考查了解一元二次方程，直线与圆的位置关系，解出方程根据圆的半径大于0舍去方程得负数根，根据“圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆无交点；圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切，有一个交点；圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆有两个交点”得到结果，是解题的关键． 【详解】解：解，可得， 的半径是一元二次方程的一个根， 圆的半径为3， 圆心O到直线l的距离为4， 直线l与有0个交点， 故答案为：0． 3．（2020·广东·一模）在平面直角坐标系中，圆心O的坐标为（-3，4），以半径r在坐标平面内作圆， （1）当r 时，圆O与坐标轴有1个交点； （2）当r 时，圆O与坐标轴有2个交点； （3）当r 时，圆O与坐标轴有3个交点； （4）当r 时，圆O与坐标轴有4个交点； 【答案】（1）；（2）；（3）或5；（6）且 【分析】分别根据直线与圆相切、相交的关系进行逐一解答即可． 【详解】解：（1）圆心的坐标为， 当时，圆与坐标轴有1个交点； （2）圆心的坐标为， 当时，圆与坐标轴有2个交点； （3）圆心的坐标为， 当或5时，圆与坐标轴有3个交点； （4）圆心的坐标为， 当且时，圆与坐标轴有4个交点． 故答案为：（1）；（2）；（3）或5；（6）且． 【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系，解答此题时要考虑到圆过原点的情况，这是此题易遗漏的地方． 【经典例题五 求圆平移到与直线相切时圆心经过的距离】 【例5】（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 1．如图，中，，，，半径为的与，相切，当沿边平移至与相切时，则平移的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接OA，OB，OC，设此时点O到AC的距离为h，根据S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB，求出 S△AOC，即可求出h，即可得到答案． 【详解】当与AB，BC相切时，如图，连结OA，OB，OC，    设此时点O到AC的距离为h， ∵AC=6，BC=8，∠ACB=90°， ∴AB==10， ∴S△ABC=S△AOC+S△BOC+S△AOB， ∴AC·BC=S△AOC+（AB+BC）×1， ∴×6×8=S△AOC+×（8+10）×1， ∴S△AOC=24-9=15=AC·h=×6×h， ∴h=5， ∴的平移距离为5-1=4， 故选：B． 【点睛】本题考查了切线的性质，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题关键． 2．如图，直线相交于点O，，半径为的的圆心在射线上，开始时，．如果以/秒的速度沿由A向B的方向移动，那么当的运动时间（秒）满足条件 时，与直线相交．    【答案】/ 【分析】首先分析相切时的数量关系，则点到的距离应是1，根据所对的直角边是斜边的一半，得；分两种情况：当点在上时，需要运动秒；当点在上时，需要运动秒，因为在这两个切点之间的都是相交，继而得出答案． 【详解】解：， 当点P在上与相切时，需要运动秒； 当点P在上与相切时，需要运动秒； 在这两个点之间的都是相交， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是直线和圆的位置关系，解决时注意考虑相交的临界条件，掌握直线和圆的位置关系是解题关键． 3．如图甲，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于点A、B，⊙O的半径为个单位长度，点P为直线y＝﹣x+6上的动点，过点P作⊙O的切线PC、PD，切点分别为C、D，且PC⊥PD． （1）判断四边形OCPD的形状并说明理由． （2）求点P的坐标． （3）若直线y＝﹣x+6沿x轴向左平移得到一条新的直线y1＝﹣x+b，此直线将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3，请直接写出b的值． （4）若将⊙O沿x轴向右平移（圆心O始终保持在x轴上），试写出当⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围．（直接写出答案） 【答案】（1）四边形OCPD为正方形，见解析；（2）P点坐标为(2，4)或(4，2)；（3）b的值为或；（4） 【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥PC，PD⊥PD，加上PC⊥PD，则可判断四边形OCPD为矩形，然后利用OC＝OD可判断四边形OCPD为正方形； （2）利用正方形的性质得，利用勾股定理建立方程，解方程即可得出结论； （3）利用直线y1＝﹣x+b将⊙O的圆周分得两段弧长之比为1：3可得到直线y1＝kx+b与坐标的交点A和点B为⊙O与坐标的交点，然后讨论：当点A和点B都在坐标轴的正半轴上或当点A和点B都在坐标轴的负半轴上时，易得b的值为±； （4）先确定A点和B点坐标，再判断△OAB为等腰直角三角形，则∠ABO＝45°，然后讨论：当圆移动到点O1时与直线AB相切，作O1M⊥AB，如图丙，根据切线的性质得O1M＝，利用等腰直角三角形的性质得求出O1与O'2的坐标，于是根据直线与圆的位置关系可得到⊙O与直线y＝﹣x+6有交点时圆心O的横坐标m的取值范围． 【详解】解：（1）四边形OCPD为正方形． 理由如下：连接OC、OD，易知OC⊥PC，OD⊥PD， 又PC⊥PD， ∴四边形OCPD为矩形， 又OC＝OD， ∴四边形OCPD为正方形． （2）连接OP， 为正方形， ， 在直线上， 设， 由得：， 解得：或． 点坐标为或． （3）平移后的新直线A′B′交圆于A′B′，分得的两段弧长之比为1：3， 分得的劣弧是圆周的， 直线AB与x轴夹角为，， ， 当为圆周时，直线与坐标轴的交点恰好是与坐标轴的交点， 当AB平移到位置时，； 当AB平移到位置时，， 的值为或． （4）如图，⊙O沿x轴向右平移过程中分别在⊙O1处，⊙O2处与直线y＝﹣x+6相切， 则圆在O落在O1，O2之间均满足题意， 在处相切时，为等腰直角三角形， ，． ，同理，在处相切时，， ， 当与直线有交点时，圆心O的横坐标m的取值范围为． 【点睛】此题是圆的综合题：涉及了正方形的判定、切线的性质和圆心角、弧、弦的关系；理解坐标与图形的性质，理解一次函数图象上点的坐标特征；会运用分类讨论的思想解决数学问题． 【经典例题六 求直线平移到与圆相切时运动的距离】 【例6】（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 1．如图，在平面直角坐标系中，与x轴分别交于A、B两点，点的坐标为，．将沿着与y轴平行的方向平移，使得与x轴相切，则平移的距离为（　　） A．1 B．1或2 C．3 D．1或3 【答案】D 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系，通过垂径定理把求线段的长的问题转化为解直角三角形的问题是关键．作于点，由垂径定理即可求得的长，根据勾股定理即可求得的长，再分点向上平移与向下平移两种情况进行讨论即可． 【详解】解：连接，作于点，由垂径定理得： ， 在直角中，由勾股定理得：， 即， ， 的半径是2． 将向上平移，当与轴相切时，平移的距离； 将向下平移，当与轴相切时，平移的距离． 故选：D 2．如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在直线上，且与点的距离为．如果以的速度，沿由A向B的方向移动，那么 秒种后与直线相切． 【答案】4或8 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系：直线与有三种位置关系（相切、相交、相离）．也考查了切线的性质和直角三角形的性质． 分类讨论：当点在当点在射线时与相切，过作与，根据切线的性质得到，再利用含的直角三角形三边的关系得到，则的圆心在直线上向右移动了后与相切，即可得到移动所用的时间；当点在射线时与相切，过作与，同前面一样易得到此时移动所用的时间． 【详解】解：当点在射线时与相切，如图， 过作于， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒； 当点在射线时与相切，如图， 过作与， ， ， ， 的圆心在直线上向右移动了后与相切， 移动所用的时间（秒． 故答案为4或8． 3．已知：直线经过点. （1）求的值； （2）将该直线向上平移个单位，若平移后得到的直线与半径为6的相离（点为坐标原点），试求的取值范围. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）利用待定系数法解答； （2）得出平移后得到的直线，求出A、B点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答． 【详解】（1）因为直线经过点， 所以， 即， 故答案为 （2）由（1）及题意知，平移后得到的直线所对应的函数关系式为，设直线与轴、轴分别交于点、（如图所示）， 当时，；当时，. 所以，，即，. 在中，. 过点作于， 因为， 所以， 因为，解得. 依题意得：， 解得， 即的取值范围为. 【点睛】此题主要考查待定系数法、勾股定理、直线与圆的位置关系等知识． 【经典例题七 利用直线与圆的位置关系求最值】 【例7】（2023·湖北随州·统考中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 1．如图，矩形中，，，点是矩形内一动点，且，连接，，则面积的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得出点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动，则点到的最短距离为，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：∵，点是矩形内一动点， ∴点在为直径的圆，在矩形内的半圆上运动， ∵矩形中，，， ∴， 如图所示，取的中点，则    ∴点到的最短距离为， ∴面积的最小值为， 故选：C． 2．如图，的半径为，直线与相离，过点作于点，垂足为，且，点是上一动点，过点作于点，垂足为，则的最大值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，二次根式的非负性，勾股定理，矩形的性质；分和两种情况讨论，设，得出关于的函数关系式，进而即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∴ ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， 在中， ∴ ∴ ∵， ∴当时，最大，最大值为； 当时，如图所示， 同理可得，则 ∴当最大时，最大 ∵ ∴当时，即时，最大 最大值为， 综上所述，的最大值为， 故答案为：． 3．如图，的半径是5，点在上．是所在平面内一点，且，过点作直线，使． （1）点到直线距离的最大值为　　　　； （2）若，是直线与的公共点，则当线段的长度最大时，的长为　　　　． 【答案】（1）7；（2）． 【分析】（1）当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大，由此即可得； （2）先确定线段是的直径，画出图形，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：（1）如图1，， 当点在圆外且三点共线时，点到直线距离的最大， 此时最大值为， 故答案为：7； （2）如图2，是直线与的公共点，当线段的长度最大时，线段是的直径， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系、勾股定理，正确的作出图形是解题的关键． 【经典例题八 直线与圆的位置关系综合】 【例8】（23-24九年级上·江苏南通·开学考试）如图，已知直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一动点，连结、．则面积的最大值是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴A点的坐标为，B点的坐标为，， 即，， 由勾股定理得：，    过C作于M，连接， 则由三角形面积公式得：， ∴， ∴， ∴圆C上点到直线的最大距离是：， ∴面积的最大值是， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的面积，直线与圆的位置关系，点到直线的距离的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最大距离，属于中档题目． 1．（23-24九年级上·河北石家庄·期末）如图，已知直线的解析式是，并且与轴、轴分别交于，两点．一个半径为3的，圆心从点开始以每秒2个单位长度的速度沿着轴向下运动，当与直线相切时，则该圆运动的时间为（　　） A．3秒或8秒 B．8秒 C．3秒 D．6秒或16秒 【答案】A 【分析】由直线的解析式可确定和，由此可得以及；由题可知，当在直线上方与直线相切时，圆心到直线的距离为，则由即可求解此时的长度，进而求解运动时间；在直线下方与直线相切时的求解方法同上． 【详解】解：如图，共有两种相切方式， 由直线的解析式，可得和，则，， 当在直线上方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 当在直线下方与直线相切时，，则，即C点的运动距离为，则运动时间为； 故选择：A． 【点睛】本题首先要注意分类讨论，考查了运用切线的性质和三角函数等知识解决问题． 2．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，以OA为直径在x轴上方作半圆，直线l的解析式为，若直线l与半圆只有一个公共点，则t的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查圆的切线，一次函数的图象和性质，直线l与x轴的夹角为，与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，画出示意图，求出直线l与x轴的交点坐标，即可求解． 【详解】解：如图，当直线l：与半圆相切时，与半圆只有一个公共点，设圆心为B，切点为C，直线l与x轴的交点为D，连接， 点A的坐标为， 点B的坐标为， ， 直线l与半圆相切， ， 直线l：与x轴的夹角为， 是等腰直角三角形， ， ， 点D在x轴的负半轴， 点D的坐标为， 将代入，得， 解得． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图，在矩形中，，，P是边上一点，过点A、B、P、作 (1)圆心O在上吗？为什么？ (2)当时，判断与的位置关系； (3)当与相切时，求被截得的弦长． 【答案】(1)圆心O在上，理由见详解 (2)与相离，理由见详解 (3) 【分析】此题主要考查切线的判定与性质及矩形的性质等知识点的综合运用． （1）根据是圆周角，则是圆的直径； （2）与相离，可以说明到圆心的距离大于半径． （3）因为与相切，则是梯形的中位线．在直角中根据勾股定理就可以得到． 【详解】（1）解：圆心O在上，理由如下： 在矩形中， 根据的圆周角所对的弦是直径，则圆心O在上； （2）过圆心作交、于点、； ， ,, ,, 四边形是矩形， ， ， ， 与相离； （3）连接，交于点， 是直径， ， 又， ， 是的中点， 是的中点， ， 又 ， 与相切，为切点，设，则， 在直角中，， ， 解得：． ，即被截得的弦长为． 1．（2024·湖北·模拟预测）的三边，，的长度分别是3，4，5，以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是（     ） A．相交 B．相离 C．相切 D．以上都不是 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、三角形面积公式、直线与圆的位置关系，先由勾股定理逆定理判断出为直角三角形，且，设斜边上的高为，根据等面积法求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴为直角三角形，且， 设斜边上的高为，则， ∴， ∴以顶点A为圆心，为半径作圆，则该圆与直线的位置关系是相切， 故选：C． 2．（23-24九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段练习）已知的半径是一元二次方程的一个根，圆心O到直线l的距离，则直线l与的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元二次方程以及直线与圆的位置关系．掌握“时直线与圆相交，时直线与圆相切，时直线与圆相离”是解题的关键，先求出一元二次方程的解，然后分两种情况讨论即可得解． 【详解】解：由得， ， 解得，， ∴或． ∵圆心O到直线l的距离， ∴当时，，则直线l与相切， 当时，，则直线l与相交， ∴直线l与的位置关系是相交或相切． 故选：D． 3．（23-24九年级上·陕西安康·期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，的半径为2，点P的坐标为，若将沿y轴向下平移，使得与x轴相切，则向下平移的距离为（    ） A．1 B．5 C．3 D．1或5 【答案】D 【分析】分圆P在轴的上方与轴相切和圆P在轴的下方与轴相切两种情况分别求解即可． 【详解】解：当圆P在轴的上方与轴相切时，平移的距离为， 当圆P在轴的下方与轴相切时，平移的距离为， 综上所述，向下平移的距离为1或5． 故选：D． 【点睛】本题考查了相切的定义、平移变换等知识点，注意分类讨论是解答本题的关键． 4．（2024·上海·模拟预测）如图，在梯形中，，，，，如果以为直径的圆与梯形各边共有3个公共点（C，D两点除外），那么长的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】考查了直线和圆的位置关系与数量之间的联系．此题首先能够根据公共点的个数得到直线和圆的位置关系；再进一步计算出相切时圆心到直线的距离，从而根据直线和圆的位置关系与数量之间的联系，得到答案． 【详解】解：根据题意，得圆必须和直线相交，设直线和圆相切于点E， 连接，则，， 又∵， ∴此时． 根据梯形的中位线定理，得 ， ∴， ∴， ∴直线要和圆相交，则． 故选D． 5．（2023·上海虹口·二模）如图，在矩形中，对角线与相交于点，，．分别以点、为圆心画圆，如果与直线相交、与直线相离，且与内切，那么的半径长的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，勾股定理求得，进而根据平行线分线段成比例得出，根据题意，画出相应的图形，即可求解． 【详解】解：如图所示，当圆O与相切时，过点作， ∵矩形中，对角线与相交于点，，． ∴，，，， ∴ ∴， 则；    当圆O与相切时，过点作于点，如图所示，    则 则 ∴与直线相交、与直线相离，且与内切时，， 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，根据题意画出图形是解题的关键． 6．（23-24九年级上·广东广州·期中）在中，，，，若以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点，则的范围是 ． 【答案】或 【分析】本题需要分两种情况进行讨论：圆与斜边相切时， 点在圆内部、点在圆上或圆外时．首先根据勾股定理求出斜边的长，再根据圆与斜边的位置关系与公共点数量之间的联系进行分类讨论．其中，圆与斜边相切时的半径的长可利用三角形的面积公式求出． 【详解】解：如图，在中， 根据勾股定理，， 分两种情况： 圆与斜边相切时， 连接圆心与切点， 根据切线的性质可知：， ， ， 即； 点在圆内部、点在圆上或圆外时， 此时， 即， ， 此时以点为圆心，为半径所作的圆与斜边只有一个公共点； 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，切线的性质，三角形的面积公式，直线与圆的位置关系等知识点，运用分类讨论思想解决问题是解题的关键． 7．（23-24九年级上·江苏淮安·阶段练习）在中，，，．以点为圆心，为半径的圆作⊙C，若边与⊙C只有一个公共点，则半径r的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了直线与圆的位置关系，若，则直线与圆相交；若，则直线与圆相切；若，则直线与圆相离． 此题注意考虑两种情况，因为要使圆与斜边只有一个公共点，所以该圆和斜边相切或和斜边相交，但只有一个交点在斜边上. 【详解】解：过点作于点， ∵在中，，，， ， ， 如图，当与和相切时，则的半径为； 当和相交，且只有一个交点在斜边上时，则 ． 故半径r的取值范围是或． 故答案为或． 8．（2024·浙江杭州·一模）在直角坐标系中，对于直线：，给出如下定义：若直线与某个圆相交，点的坐标为，若的半径为，直线关于的“圆截距”的最小值为，则的值为 ． 【答案】 【分析】如图所示，设直线与交于，过点作于，连接，先证明当点与点重合时，最小，即此时最小，再由求出，可得，解得． 【详解】解：如图所示，设直线与交于，过点作于，连接， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴当最小时，最大. ∵， ∴当点与点重合时，最大， ∵直线关于的“圆截距”的最小值为，即， ∴， ∴. ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了直线与圆的位置关系，垂径定理，一次函数与几何综合，勾股定理等等，正确理解题意利用数形结合的思想求解是解题的关键． 9．（23-24九年级上·新疆塔城·期末）如图，直线l与x轴、y轴分别相交于点A、B，已知B（0，），，点P的坐标为，与y轴相切于点O，若将沿x轴向左移动，当与该直线相交时，横坐标为整数的点P的坐标 ． 【答案】（-2,0）（-3,0）（-4,0） 【分析】先分别求得与直线l相切时点P的坐标，然后再判断与直线l相交时点P的横坐标x的取值范围，即可求得坐标为整数的点P的坐标． 【详解】如图，与分别切AB于D、E． 由，，易得，则A点坐标为． 连接、，则、，则在中，， 同理可得，，则的横坐标为，的横坐标为， 当与直线l相交时，点P的横坐标x的取值范围为， 横坐标为整数的点P的坐标为、、． 故答案为：(-2，0)、(-3，0)、(-4，0)． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，分别求得与直线l相切时点P的坐标是解题的关键． 10．（23-24九年级·全国·单元测试）已知是以坐标原点为圆心，半径为1，函数与交于点、，点在轴上运动，过点且与平行的直线与有公共点，则的范围是 . 【答案】，且x≠0 【分析】由题意得有两个极值点，过点P与⊙O相切时，取得极值，作出切线求解即可. 【详解】将OA平移至P1D的位置，使P1D与圆相切，连接OD如下图所示： 由题意得， 故可得，即的极大值为， 同理当点P在y轴左边时也有一个极值点P2，此时取得极小值 综上可得的范围为：，且x≠0 故填：，且x≠0 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，找出两个极值是关键. 11．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，四边形内接于，是的直径，平分，于点E．    (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求直径的长． 【答案】(1)直线与相切，理由见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据角平分线的定义得到，根据等腰三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，得到，根据垂径定理得到，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）设，交于，根据矩形的性质得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）解：直线与相切， 理由：连接，，   平分， ， ， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ， ， ， 是的半径， 与相切； （2）解：设，交于，   ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 故直径的长为． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，全等三角形的判定和性质，圆周角定理，勾股定理，矩形的判定及性质，正确作出辅助线是解题的关键． 12．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知：中，，以点C为圆心，作半径为的圆.问： (1)当R为何值时，和直线相离？ (2)当R为何值时，和直线相切？ (3)当R为何值时，和直线相交？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是直线与圆的位置关系．根据题意画出图形，过点C作于点D，由勾股定理求出的长，再求出的长，根据直线与圆的三种位置关系进行解答即可． 【详解】（1）解：过点C作于点D，    ∵中，， ∴， ∴， ∴当，和直线相离； （2）解：当时，和直线相切； （3）解：当时，和直线相交． 13．（23-24九年级上·山东济宁·阶段练习）已知点和直线 ，则点到直线 的距离证明可用公式计算． 例如：求点 到直线 的距离． 解：因为直线 ，其中 所以点到直线 的距离为：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)求点 到直线 的距离； (2)已知的圆心坐标为 ，半径 为2，判断与直线 的位置关系并说明理由． 【答案】(1) (2)与直线的位置关系为相切，理由见解析 【分析】 本题考查了一次函数的综合题：熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征、切线的判定方法；提高阅读理解能力． （1）根据点到直线的距离公式直接计算即可； （2）先利用点到直线的距离公式计算出圆心到直线，然后根据切线的判定方法可判断与直线相切． 【详解】（1）解：直线，其中，， 点到直线的距离为：； （2）解：与直线的位置关系为相切．理由如下： 圆心到直线的距离为：， 的半径为2，即， 与直线相切． 14．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）已知：如图，在中，，动点从点出发，沿着的方向运动一周，以为圆心，为半径作圆． (1)若分别与相切． ①利用直尺和圆规作（不写作法，保留作图痕迹）； ②求出此时的值； (2)当时，设在运动的过程中与三条边的公共点个数为，那么的最小值是___________，最大值是___________． 【答案】(1)①见解析，② (2) 【分析】（1）①根据角平分线的判定定理及切线的判定，作的角平分线交于，所作即满足条件； ②利用面积法，即，即可求得半径； （2）根据各边与圆的位置关系即可得到结果． 【详解】（1）①如图：作的角平分线交于，则即为所求； ②因为， 所以， 即：， 所以 （2） 如图，当点O在上时，最多4个公共点，最少2个公共点；当点O在上时，最多4个公共点，最少2个公共点；当点O在上时，最多3个公共点，最少2个公共点；则m的最小值是2，最大值是4． 故答案为：． 【点睛】本题考查了作角平分线，切线的判定，角平分线珠判定定理，勾股定理，直线与圆的位置关系等知识，正确作图是关键． 15．（23-24九年级下·北京·阶段练习）在平面直角坐标系中，A、B为平面内不重合的两个点，若Q到A、B两点的距离相等，则称点Q是线段的“似中点”． (1)已知，，在点、、、中，线段的“似中点”是点___________： (2)直线与x轴交于点M，与y轴交于点N． ①求在坐标轴上的线段的“似中点”； ②若的半径为2，圆心P为，上存在线段的“似中点”，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1)E，G (2)①或 ② 【分析】（1）分别求出各点到点A，B的距离，根据定义判断即可； （2）①先求出点，，再根据勾股定理求出，可求出，可确定“似中点”的位置，分两种情况求出坐标即可；②作出图形，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，，再求出线段长，然后根据直角三角形的性质求出，，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点，，， ∴，， ∴， ∴点D不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点E是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点F不是线段的“似中点”； ∵点， ∴，， ∴， ∴点G是线段的“似中点”． 故答案为：E，G； （2）解：①直线，当时，；当时，， ∴点，， ∴，， ∴，， 所求的点H是的垂直平分线l与坐标轴的交点，如图所示． ∴，． 当“似中点”在x轴上时，，则； 当“似中点”在y轴上时，，则． 所以，； ②如图所示，G，K分别是，与垂直平分线相切的切点，连接，，则，，则，． ∵，，的半径为2，， ∴，， ∴，， ∴当时，上存在线段的“似中点”． 【点睛】本题主要考查了新定义的理解，两点之间的距离公式，圆的切线的性质，勾股定理，含直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质定理，理解“到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上”是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$