精品解析：内蒙古自治区兴安盟乌兰浩特第二中学2025届高三上学期开学摸底考试数学试卷

内蒙古兴安盟乌兰浩特二中2025届新高三开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 3. 已知向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 4. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是 A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则一定为直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 10. 在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点N，使得 B. 三棱锥M—的体积等于 C. 有且仅有两个点N，使得MN∥平面 D. 有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为 11. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A. 与共轭的双曲线是 B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同 C. 互为共轭的双曲线的离心率为、则 D. 互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为___________ 13. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 14. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，已知，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 17. 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 18. 已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2024项和. 19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． （1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； （2）若函数与存在“好点”，求实数的值； （3）已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内蒙古兴安盟乌兰浩特二中2025届新高三开学摸底考试卷 数学 （考试时间：120分钟试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题共58分） 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由不等式解出集合，再求交集即可； 【详解】由， 又因为，所以， 得. 故选：D. 2. 若复数z满足，则复数z的虚部是（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据复数相等可得方程组，求解即可. 【详解】设，根据题意，可得， 化简为， 根据复数相等，得，解得， 所以，即复数z的虚部是3. 故选：C 3. 已知向量，且，则的值是（ ） A. B. C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据可得，进而利用向量的数量积的坐标表示可得结果． 【详解】因为，即， 化简，整理得， 则，解得. 故选：D 4. 已知命题，，则为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】全称命题的否定为特称命题，否定形式为：将改为，再将结论否定. 【详解】由命题，可知， 为，，故D正确；ABC错误； 故选：D 5. 若，，则（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用同角公式求出即可求解作答. 【详解】由，，得， 而，即，解得， 因此，所以. 故选：B 6. 高二年级进行消防知识竞赛，统计所有参赛同学的成绩，成绩都在内，估计所有参赛同学成绩的第75百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由长方形的面积和为1求出，再由第75百分位数的定义求解； 【详解】因为，所以. 参赛成绩位于内的频率为， 第75百分位数在内， 设为，则， 解得5，即第75百分位数为85， 故选：C. 7. 已知椭圆的右焦点与抛物线的焦点重合，过点的直线交于两点，若的中点坐标为，则椭圆方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合中点坐标用点差法求得. 【详解】∵，故右焦点，则， 设，则， 且， 两式相减得， 故, 故，故, 故椭圆方程为， 故选：A. 8. 已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 求导得到，计算，讨论，两种情况，得到函数单调区间，得到且，计算得到答案. 【详解】，， 当时，函数单调递增，不成立； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 有且只有两个整数使得,且，故且 即； 故选：. 【点睛】本题考查了利用函数单调性求参数范围，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则一定为等腰三角形 C. 若，则一定为直角三角形 D. 若，则一定是锐角三角形 【答案】AC 【解析】 【分析】由大角对大边，结合正弦定理，可判定A正确；由正弦定理得到，得到或，可判定B错误；由正弦定理和两角和正弦公式，化简得到，可判定C正确；由余弦定理得到，但不一定是锐角，可判定D错误. 【详解】对于A中，由，可得，根据正弦定理得，所以A正确； 对于B中，因为，由正弦定理得， 即，所以或，则是等腰三角形或直角三角形， 所以B错误； 对于C中，因为，由正弦定理可得，又由，可得， 因为，所以，所以， 又因为，所以，所以C正确； 对于D中，由，可得，所以C为锐角， 但不一定是锐角，所以D错误. 故选：AC. 10. 在棱长为3的正方体中，M是的中点，N在该正方体的棱上运动，则下列说法正确的是（　　） A. 存在点N，使得 B. 三棱锥M—的体积等于 C. 有且仅有两个点N，使得MN∥平面 D. 有且仅有三个点N，使得N到平面的距离为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据点的位置容易判断A，由求解可判断B；当分别为中点时，可判断C；易证平面，平面，且，可判断D． 【详解】对于A，显然无法找到点N，使得，故A错； 对于B，，故正确； 对于C，如图所示分别为中点，有平面，平面，故正确； 对于D，易证平面，平面，且， 所以有点四点到平面的距离为，故D错． 故选：BC 11. 定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线．以下关于共轭双曲线的结论正确的是（ ） A. 与共轭的双曲线是 B. 互为共轭的双曲线渐近线不相同 C. 互为共轭的双曲线的离心率为、则 D. 互为共轭的双曲线的个焦点在同一圆上 【答案】CD 【解析】 【分析】由共轭双曲线的定义可判断A选项的正误；利用双曲线的渐近线方程可判断B选项的正误；利用双曲线的离心率公式以及基本不等式可判断C选项的正误；求出两双曲线的焦点坐标以及圆的方程，可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，由共轭双曲线的定义可知，与共轭的双曲线是，A错； 对于B选项，双曲线的渐近线方程为， 双曲线的渐近线方程为，B错； 对于C选项，设，双曲线的离心率为， 双曲线的离心率为， 所以，，当且仅当时，等号成立，C对； 对于D选项，设，双曲线的焦点坐标为， 双曲线的焦点坐标为，这四个焦点都在圆上，D对. 故选：CD. 第二部分（非选择题共92分） 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中项的系数为___________ 【答案】 【解析】 【分析】分析项的构成，利用二项展开式的通项公式即可求出项的系数. 【详解】因为的展开式的通项公式为. 要求的展开式中项， 只需. 故答案为：25. 13. 从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为___________． 【答案】 【解析】 【详解】从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张， 基本事件总数n=5×5=25， 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有： （2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4）， 共有m=10个基本事件， ∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p= 故答案为. 14. 设钝角三个内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理表示出，再利用同角三角函数的平方关系，得到，建立方程，求出b的值，然后利用钝角三角形，排除一个答案. 【详解】由余弦定理得，， 而由，得， 因为是钝角三角形，且，故A为锐角，所以， 所以，解得或， 当时，即，，由大边对大角得：最大角为C， ，故C为锐角，不符合题意； 当时，即，，由大边对大角得：最大角为B， ，故B是钝角，符合题意， 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 某地5家超市春节期间的广告支出x（万元）与销售额y（万元）的数据如下： 超市 A B C D E 广告支出x 2 4 5 6 8 销售额y 30 40 60 60 70 （1）从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市个数为X，求随机变量X的分布列及期望； （2）利用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测广告支出为10万元时的销售额． 附：线性回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，． 【答案】（1）的分布列为： 1 2 3 ，期望 （2）；预测广告费支出10万元时的销售额为87万元． 【解析】 【分析】（1）根据超几何分布的概率公式求解分布列，进而可求解期望， （2）利用最小二乘法求解线性回归方程即可. 【小问1详解】 从A，B，C，D，E这5家超市中随机抽取3家，记销售额不少于60万元的超市有C，D，E这3家超市， 则随机变量的可能取值为1，2，3 ，，， 的分布列为： 1 2 3 数学期望． 【小问2详解】 ，， ， ． 关于的线性回归方程为； 在中，取，得． 预测广告费支出10万元时的销售额为87万元． 16. 如图，在直三棱柱中，分别是的中点，已知，. （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，连接，结合题意可得到，即可证明； （2）建立如图所示坐标系，求出平面的法向量，代入空间线面角的正弦公式即可求解； 【小问1详解】 证明：连接，，连接， 在直三棱柱中为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 平面，平面. 平面. 【小问2详解】 ，，， ，. 由直三棱柱中，底面，底面， ，. 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，，所以， 设与平面所成的角为，则， 所以与平面所成角的正弦值为； 17. 已知双曲线与椭圆有共同的焦点，点在双曲线C上． （1）求双曲线C的方程及渐近线方程； （2）以为中点作双曲线C的一条弦AB，求弦AB所在直线的方程． 【答案】（1），；（2）. 【解析】 【分析】 （1）先求解出椭圆的焦点坐标，则双曲线的焦点坐标可求，再结合点在双曲线上求解出双曲线的方程，并求解出渐近线方程； （2）利用点差法求解出直线的斜率，再结合直线过点，则可求直线的方程. 【详解】（1）因为椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的焦点坐标为， 又因为在双曲线上，所以 ，所以， 所以双曲线的方程为：，渐近线方程为； （2）设，所以，所以， 所以，又因为， 所以，所以弦所在直线的方程为：，即. 【点睛】本题考查双曲线方程求解、双曲线的渐近线方程求解以及中点弦问题，难度一般.设为双曲线的一条弦的中点（不平行于坐标轴），则. 18. 已知，数列的前项和为，点均在函数的图象上. （1）求数列的通项公式； （2）若，令，求数列的前2024项和. 【答案】（1） （2）1012 【解析】 【分析】（1）由题意得，再利用可求出， （2）先求得，，然后利用倒序相加法可求得结果. 【小问1详解】 因为点均在函数的图象上， 所以， 当时，，即， 当时， ， 因为满足上式， 所以； 【小问2详解】 因为， 所以， 因为，所以， 所以 ①， 又 ②， ①+②，得， 所以. 19. 记，分别为函数，的导函数．若存在，满足且，则称为函数与的一个“好点”． （1）判断函数与是否存在“好点”，若存在，求出“好点”；若不存在，请说明珵由； （2）若函数与存在“好点”，求实数的值； （3）已知函数，，若存在实数，使函数与在区间内存在“好点”，求实数的取值范围． 【答案】（1）存在， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）假设存在“好点”，解方程组可得； （2）设“好点”为，解方程组得结论． （3）设“好点”为，由，用表示出，由求得的范围，利用导数求得的范围， 【小问1详解】 ，， 假设存在满足，代入得，解得； 所以存在存在“好点”，且“好点”为1； 【小问2详解】 ，， 设“好点”为，满足，代入得，； 【小问3详解】 由已知，， 依题意可得：存在满足，代入得， 解得， 由，又，故解得， 令，则，在上增函数， ，时，，且当时，，所以， 所以． 【点睛】思路点睛：本题考查导数的定义，解题关键是掌握新定义“好点”的含义，对函数的“好点”，实质就是解方程组，因此凡是出现“好点”，解题时就是由此方程组求解．这样就把新定义转化一般的函数及其导数问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $