专题13 平面直角坐标系中的面积问题（8大题型+过关训练）-2024-2025学年八年级数学上册章节同步实验班培优题型变式训练（北师大版）

专题13 平面直角坐标系中的面积问题 目录 【题型一 与坐标轴围成的图形面积】 1 【题型二 一边在坐标轴上的图形的面积】 2 【题型三 平行于坐标轴的图形的面积】 3 【题型四 各边都不在坐标轴上的图形的面积】 4 【题型五 由面积之间的关系求坐标】 5 【题型六 直线分面积求值】 6 【题型七 新定义问题中的面积】 7 【题型八 面积中的规律问题】 8 【题型一 与坐标轴围成的图形面积】 例题：（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 2．（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【题型二 一边在坐标轴上的图形的面积】 例题：（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【变式训练】 1．（21-22七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，求的面积． 【题型三 平行于坐标轴的图形的面积】 例题：（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，的坐标分别为，求长方形的面积． ‍ 【题型四 各边都不在坐标轴上的图形的面积】 例题：（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 1．（20-21七年级下·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（    ） A．12 B． C．13 D． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【题型五 由面积之间的关系求坐标】 例题：（23-24八年级下·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（    ） A． B． C．或 D． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ． 【题型六 直线分面积求值】 例题：（24-25九年级上·北京·开学考试）七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山西临汾·期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为 ．    2．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为、、，连接交于点D，则三角形的面积= ． 【题型七 新定义问题中的面积】 例题：（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（    ）． A．或 B． C．或 D． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”．例如：，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为 ． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a；任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h；任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”． 例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”． 根据所给定义解决下列问题： (1)若三点、、，则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______． (2)若三点、、的“矩面积”为18，求点E的坐标． (3)若三点、，，其中．若三点B、C、F的“矩面积”为15，求m的取值范围． 【题型八 面积中的规律问题】 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右→向上→向右→向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，…第次移动到．则的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．    2．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 一、单选题 1．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 3．（20-21八年级上·江苏·单元测试）如图，直角坐标系中，正方形的面积是（  ） A．1 B．2 C．4 D． 4．（23-24七年级下·河南信阳·期末）数学中有许多优美、寓意美好的曲线．在平面直角坐标系中，绘制如图所示的曲线，给出下列四个结论：①曲线经过的整点即横、纵坐标均为整数的点中，横纵坐标互为相反数的点有2个；②曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离都大于1；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为 ． 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，，则的面积是 ． 8．（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 9．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 10．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图，A，B两点的坐标分别为，点C在x轴上，的面积是10，则点C的坐标是 ． 三、解答题 11．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴，且 (1)求点C的坐标； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 12．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 13．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 14．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 15．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在图中画出，并画出与关于y轴对称的图形． (2)求的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题13 平面直角坐标系中的面积问题 目录 【题型一 与坐标轴围成的图形面积】 1 【题型二 一边在坐标轴上的图形的面积】 4 【题型三 平行于坐标轴的图形的面积】 6 【题型四 各边都不在坐标轴上的图形的面积】 8 【题型五 由面积之间的关系求坐标】 12 【题型六 直线分面积求值】 14 【题型七 新定义问题中的面积】 17 【题型八 面积中的规律问题】 21 【题型一 与坐标轴围成的图形面积】 例题：（23-24七年级下·江苏南通·阶段练习）已知点和点，且直线与两坐标轴围成的三角形的面积等于10，则a的值是（   ） A．4 B．4或 C． D．2 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质，需注意坐标轴上到一个点的距离为定值的点有2个． 根据三角形的面积公式和已知条件求解，注意取正负数都符合题意． 【详解】解：直线与坐标轴围成的三角形的面积等于10，， 那么， 解得：， 所以或． 故选：B． 【变式训练】 1．（22-23八年级上·河南信阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，点，分别在轴，轴负半轴上，若，且，则的面积是（    ） A． B．12 C．15 D．24 【答案】B 【分析】过点作轴，垂足为，由可证可得，，可得，进而求出结果． 【详解】过点作轴，垂足为， 轴，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形，全等三角形的判定与性质，构建合适的全等三角形是解本题的关键． 2．（23-24七年级上·河北邢台·期末）已知点和点两点，且直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12，则点A的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形．先求出、的长度，再利用三角形的面积列方程求出的值，然后写出点的坐标即可． 【详解】解：点和点两点， ，， 直线与坐标轴围成的三角形的面积等于12， ， 解得， 所以，点的坐标为或． 故答案为：或． 【题型二 一边在坐标轴上的图形的面积】 例题：（21-22七年级下·江西南昌·期中）如图是一块不规则的四边形地皮，各顶点坐标分别为，，，（图上一个单位长度表示10米），则这块地皮的面积是（    ）． A．25 B．250 C．2500 D．2200 【答案】C 【分析】根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，，，， ∵图上一个单位长度表示10米， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，已知：，，，求△AOE的面积（    ） A．3.5 B．2.5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】根据点的坐标，求得，根据进行计算即可求解． 【详解】解：，，， ，， 则 故选A 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 2．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，求的面积． 【答案】32 【分析】本题考查坐标与图形，根据所给点的坐标，结合坐标与图形性质得到，，，然后利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过C作轴于D， ∵的顶点坐标分别为，，， ∴，， ∴． 【题型三 平行于坐标轴的图形的面积】 例题：（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的四个顶点A，B，C，D是整点（横、纵坐标都是整数），则四边形的面积是（   ）个平方单位． A． B．15 C．10 D．无法计算 【答案】B 【分析】根据平行四边形在坐标系中的位置得到轴，，高为，利用面积公式直接计算可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴轴，，高为， ∴平行四边形的面积， 故选：B． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，坐标与图形，正确理解平行四边形的性质是解题的关键． 【变式训练】 1．（23-24七年级下·福建厦门·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，．则四边形的面积 （用含有k的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查了坐标与图形，延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G，根据，，，，得出，，，，利用割补法求出四边形的面积即可． 【详解】解：延长交轴于点E，过点C作轴于点F，延长交于点H，过点C作于点G， ∵，，，， ∴轴，轴， ∴，， ∴，， ， ， ∴四边形的面积为： ． 故答案为：． 2．（23-24七年级下·全国·单元测试）长方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点，，的坐标分别为，求长方形的面积． ‍ 【答案】6 【分析】本题主要考查了坐标与图形，正确确定的长度是解题关键．结合点，，的坐标确定的长度，然后根据长方形面积公式求解即可． 【详解】解：∵点，，的坐标分别为， ∴， ∴长方形的面积． 【题型四 各边都不在坐标轴上的图形的面积】 例题：（22-23七年级下·湖北武汉·期中）如图在平而直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据坐标系，利用梯形的面积减去多余三角形的面积即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴，过点分别作垂直于，垂足为点， ∵，，， ∴，，则 ∴三角形的面积是 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形，数形结合是解题的关键． 【变式训练】 1．（20-21七年级下·上海静安·周测）如图，三角形ABC的面积等于（    ） A．12 B． C．13 D． 【答案】D 【分析】过点A作轴于D，利用，求出，和进而进行求解即可． 【详解】过点A作轴于D，如图所示： 由题意可得，，， ，， ∴， ∴， ， 即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了利用和差法转化求三角形的面积，正确读懂题意是解题的关键． 2．（24-25八年级上·四川绵阳·开学考试）已知平面直角坐标系中x轴与y轴交于点O，坐标系内两点、如图所示，连接，求三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形，平面直角坐标系的特点，图形结合分析，是解题的关键． 如图所示，作轴，作轴，由此可得的值，根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴的面积为． 【题型五 由面积之间的关系求坐标】 例题：（23-24八年级下·湖南娄底·期中）已知点A的坐标为，点B的坐标为，点C在y轴上，的面积是10，则点C的坐标是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了坐标与图形．设点C的坐标是，则，根据，即可求解． 【详解】解：设点C的坐标是，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴在x轴上，且， ∵的面积是10，， ∴， ∴， ∴点C的坐标是或． 故选：C 【变式训练】 1．（23-24七年级下·江西南昌·期中）已知点，，点在坐标轴上，且三角形的面积是2，则满足条件的点的坐标为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了坐标与图形性质及三角形的面积，根据点C位于不同的数轴分类讨论是解题的关键．分点C在x轴上和y轴上两种情况求解． 【详解】解：若点C在x轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 若点C在y轴上，则， 解得， 所以，点C的坐标为或， 综上所述，点C的坐标为或或， 故答案为：或或． 2．（23-24七年级下·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形各个顶点的坐标分别为，，，，P是y轴正半轴上一点，连接，若三角形的面积等于四边形面积的，则点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用网格求三角形的面积，先利用网格求出四边形面积，再根据三角形的面积等于四边形面积的，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∵三角形的面积等于四边形面积的，P是y轴正半轴上一点， ∴，解得：， 则点P的坐标为， 故答案为：． 【题型六 直线分面积求值】 例题：（24-25九年级上·北京·开学考试）七个边长为2的正方形按如图所示的方式放置在平面直角坐标系中，直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分，则直线l与x轴的交点B的横坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形的性质，根据直线l经过点且将这七个正方形的面积分成相等的两部分列方程求解是解本题的关键．作轴于D，轴于E， 设，则，根据题意有，代入相关数据即可求解． 【详解】解：作轴于D，轴于E ∵， ∴， 设，则， 则根据题意有： ∴， ∴， 解得： ∴直线l与x轴的交点B的横坐标为． 故答案为：． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·山西临汾·期中）如图，，，，，点P在x轴上，直线平分四边形的面积，则的长为 ．    【答案】3 【分析】作轴，根据四边形的面积求得四边形的面积，设点，则，由直线平分四边形的面积列出方程求解可得． 【详解】解：过点C作轴于点E， ∵，，，， ∴，    ∴四边形的面积 ， 设点， 则， ∵直线平分四边形的面积， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查坐标与图形的性质，熟练掌握割补法求四边形的面积及由分割的面积间的关系列出方程是解题的关键． 2．（21-22七年级下·湖北武汉·期中）已知平面直角坐标系中，三角形的三个顶点坐标为、、，连接交于点D，则三角形的面积= ． 【答案】 【分析】利用等高三角形面积之比等于对应底的比计算即可． 【详解】解：过作轴于点， ， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的三角形的面积问题，解题的关键是熟练掌握等高三角形面积之比等于对应的底的比． 【题型七 新定义问题中的面积】 例题：（23-24七年级下·福建福州·期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．例如：三点坐标分别为、、，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若、、三点的矩面积不小于21，则t的取值范围为（    ）． A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】本题考查了坐标的距离，一元一次不等式的应用，正确理解“矩面积”的定义是解题关键．由题意可知，、、三点坐标的“水平底”，再分三种情况讨论，分别求出“铅垂高”，再根据“矩面积”列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，、、三点坐标的“水平底”， 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”，不符合题意； 当时，、、三点坐标的“铅垂高”， “矩面积”， 解得：， 即、、三点矩面积不小于21时，t的取值范围为或， 故选：C． 【变式训练】 1．（21-22七年级下·湖北武汉·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于任意三个不重合的点，，的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”指任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”指任意两点纵坐标差的最大值，“矩面积”．例如：，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”．若，，三点的“矩面积”为，则的值为 ． 【答案】或 【分析】先求出“水平底”为3，再根据“矩面积”的定义求出“铅垂直”为6，再讨论当点在点下方时，当点在点上方时，建立方程求解即可． 【详解】解：由题意知，D、、三点的“矩面积”的“水平底”， 、、三点的“矩面积”， 、、三点的“铅垂直”， 当点在点下方时，， 解得． 当点在点上方时， 解得：， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，正确理解题意是解题的关键． 2．（23-24七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a；任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h；任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”． 例如：三点坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”． 根据所给定义解决下列问题： (1)若三点、、，则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______． (2)若三点、、的“矩面积”为18，求点E的坐标． (3)若三点、，，其中．若三点B、C、F的“矩面积”为15，求m的取值范围． 【答案】(1)4；5； (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了新定义，坐标与图形： （1）根据新定义进行求解即可； （2）先求出，进而求出，然后分当时，当两种情况求解即可； （3）分当时，当时， 当时，分别求出a、h，再根据 “矩面积”为15讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴， 故答案为：4；5；； （2）解：由题意知：； ∵“矩面积”为18， ∴； 当时，则， ∴； 当，则， ∴ 综上所述：或； （3）解：当时， ∵、，， ∴，， ∴三点B、C、F的“矩面积”为15，满足题意； 当时，则，， ∴，解得（舍去）； 当时，则，， ∴， ∴此时； 综上所述，． 【题型八 面积中的规律问题】 例题：（24-25八年级上·重庆·开学考试）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右→向上→向右→向下的方向依次不断移动，每次移动．其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到，…第次移动到．则的面积是（    ）m2． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查坐标与图形的规律，三角形的面积，由题意得，由得出，从而求出的长，再根据三角形面积公式计算即可．确定的长是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴， ∴的面积是． 故选：A． 【变式训练】 1．（22-23七年级下·辽宁抚顺·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点按照图中箭头所示的方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，第5次运动到点，…，按照这样的规律运动下去，则三角形的面积是 ．    【答案】1012 【分析】根据图形可得，当点A的下标为奇数时，该点在x轴上，再依次计算出，，的面积，总结出一般规律，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： ，，，……， ∵， ∴， ， ， ， …… ， 当时，解得：， ∴， 故答案为：1012． 【点睛】本题主要主要考查了点的坐标变化规律，解题的关键是根据图形和题意，总结出各个三角形面积变化的一半规律． 2．（22-23九年级上·四川达州·期末）如图，在反比例函数的图象上，有点，它们的横坐标依次为1，2，3，…，2023．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，则 ． 【答案】 【详解】求出…的纵坐标，从而可计算出…的高，进而求出…，从而得出的值． 【解答】当时，的纵坐标为2， 当时，的纵坐标为1， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， 当时，的纵坐标为， … 则； ； ； ； … ； ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了规律问题，解题的关键是求出． 一、单选题 1．（22-23七年级下·福建龙岩·期末）在平面直角坐标系中，由点组成的三角形的面积是（      ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】根据A和B两点的纵坐标相等，可得线段的长，再根据点C的纵坐标，可得以为底的的高，从而的面积可求． 【详解】解析：由点得， 点C在直线上，与直线平行，且平行线间的距离为4， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的面积计算，明确平面直角坐标系中的点的坐标特点及如何求相应线段的长，是解题的关键． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图在平面直角坐标系中，点，点，点，则三角形的面积是（    ） A．19 B．20 C．21 D．21.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的面积，坐标与图形的性质．过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴，根据题意可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴，过点B作轴，过点C作轴，过点C作轴， ∵点，点，点， ∴， ∴三角形的面积是：． 故选：B 3．（20-21八年级上·江苏·单元测试）如图，直角坐标系中，正方形的面积是（  ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形，勾股定理，勾股定理求出的长，利用正方形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴正方形的面积是； 故选B． 4．（23-24七年级下·河南信阳·期末）数学中有许多优美、寓意美好的曲线．在平面直角坐标系中，绘制如图所示的曲线，给出下列四个结论：①曲线经过的整点即横、纵坐标均为整数的点中，横纵坐标互为相反数的点有2个；②曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离都大于1；③曲线所围成的“心形”区域的面积大于3，其中正确的有（    ） A．①② B．①②③ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了坐标系中图形的面积，图形的对称性，点与象限的关系，点与圆的关系，熟练掌握图形的对称性，点与象限的关系，点与圆的关系，是解题的关键．根据曲线的对称性，正方形的性质，面积求法，结合坐标系可以判定． 【详解】解：如图，连接，， ∵曲线经过点，，，，，， ∴①错误； ∵曲线在第一、二象限中的任意一点都在以O为圆心，以1为半径的圆外， ∴曲线在第一、二象限中的任意一点到原点的距离大于1， ∴②正确； ∵的面积为， ∵四边形是长方形且，， ∴长方形面积为2， ∴长方形面积与的面积和为3， ∵曲线所围成的“心形”区域的面积大于矩形的面积与的面积和， ∴曲线所围成的“心形”区域的面积大于3， ∴③正确； 故选∶D． 5．（23-24七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点出发，按向右、向上、向右、向下的方向依次不断移动，每次移动，其行走路线如图所示，第次移动到，第次移动到第次移动到，则三角形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系内的规律问题，掌握坐标变化的特点是解题的关键．由行走路线可知移动四次为一组，求出，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，，， ∴． ∵即点与点在同一水平直线上，且线段 故选 B． 二、填空题 6．（23-24七年级上·广东江门·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，，的坐标分别为，，．若在内中存在一点，使得的面积是的面积的9倍，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，解题的关键是根据题意列出关于a的方程并解出a的值．根据点的坐标先表示两个三角形面积，列方程求出求出a的值，即可得出结论． 【详解】解：，，， ， ， 的面积是的面积的9倍， ， 解得：， ． 故答案为： 7．（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）已知点，，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查坐标与图形，根据的面积等于，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为：4． 8．（23-24七年级下·陕西安康·期末）已知，，点在轴上，且三角形的面积是2，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，设点P的坐标为，则，根据三角形的面积是2，得到，解之即可得到答案． 【详解】解：设点P的坐标为，则， ∵三角形的面积是2， ∴， ∴， ∴或， ∴点P的坐标为或， 故答案为：或． 9．（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，点，，，连接，，．若点D在y轴上，三角形与三角形的面积相等，则点D的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，中点坐标公式的应用，先求解的中点，设，求解，结合三角形与三角形的面积相等，再建立方程求解即可； 【详解】解：如图，点，， ∴的中点， ∴； 设，而三角形与三角形的面积相等， ∴， ∴， 解得：或， ∴或； 故答案为：或 10．（22-23七年级下·河南商丘·期中）如图，A，B两点的坐标分别为，点C在x轴上，的面积是10，则点C的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，根据题意列出绝对值方程成为解题的关键． 设，则，由题意可得边上的高为4，然后再列绝对值方程即可解答． 【详解】解：设，则， ∵， ∴边上的高为4， ∵的面积是10， ∴，即，解得：或． ∴点C的坐标是或． 故答案为或． 三、解答题 11．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知三角形，点A的坐标是，点B的坐标为，点C在x轴的负半轴，且 (1)求点C的坐标； (2)在y轴上是否存在点P，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查平面直角坐标中图形的与坐标，掌握平面直角坐标系的特点，点坐标与线段的关系是解题的关键． （1）根据点A的坐标，线段AC的长即可求解； （2）根据题意可求出，，结合几何图形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）∵点A的坐标是 ∴， ∵，， ∴. ∴点C的坐标是. （2）存在，如图所示 ∵，， ∴. ∴ 设，则， ∴， ∴，解得：， ∴或. 12．（23-24七年级下·河南驻马店·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形各顶点的坐标分别是，且与x轴的交点E的坐标为，求这个四边形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点，根据进行求解即可． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，过点，点分别作轴的垂线，分别与直线交于点， ∵， ∴， ∴， ， ∴． 13．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图，在直角坐标平面内，已知，，，线段经过原点O． (1)求的面积； (2)在x轴上是否存在一点D，使，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在说明理由． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了求平面直角坐标系中三角形的面积； （1）由，即可求解； （2）设，由三角形面积得，即可求解； 能根据点的坐标表示出三角形面积是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：设， ， 解得：或， 的坐标为或． 14．（23-24八年级上·陕西咸阳·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：______，_______； (2)如果在第三象限内有一点，请用含m的式子表示的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴上有一点P，使得的面积是的面积的2倍，请求出点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质、坐标与图形性质、一元一次方程的应用； （1）根据非负数的性质求解即可； （2）首先求出，然后利用三角形的面积公式列式即可； （3）设点，则，然后根据的面积是的面积的2倍，列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，， 故答案为：，； （2）解：由（1）知，， ， 又点在第三象限， ∴， ∴； （3）解：设点，则， 当时，， 由题意得：， 解得：， ∴点P的坐标为或． 15．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)在图中画出，并画出与关于y轴对称的图形． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了坐标与图形、作图—轴对称变换、利用网格求三角形面积，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据点、、的坐标画出，再根据关于y轴对称的性质画出对称图形即可； （2）利用割补法求出三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图：以及关于y轴对称的图形即为所求， ； （2）解：的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$