精品解析：福建省宁德市福鼎第四中学2025届高三上学期10月月考数学试题

福鼎四中2024-2025学年第一学期第一次月考 高三数学试题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解对数不等式和一元二次不等式，再由集合的交集运算即可得出结果. 【详解】， 所以 故选：D 2. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，解对数不等式即可求得定义域. 【详解】由得：，的定义域为. 故选：A. 3. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出不等式恒成立时，，根据必要不充分条件的含义，一一代入选项比较即可. 【详解】当不等式在R上恒成立时，可得，解得． 选项A中，是不等式成立的充分不必要条件； 选项B中，是不等式成立的既不充分也不必要条件； 选项C中，是不等式成立的必要不充分条件； 选项D中，是不等式恒成立的充要条件． 故选：C． 4. 已知，则可用表示为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换底公式直接求解. 【详解】 故选:B. 5. 已知是定义在上的偶函数且，若当时，，则（　 　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据周期性可得，再根据奇偶性即可求解出的值，即可求得即的值. 【详解】因为，所以， 所以是周期为的函数，所以， 又因为是偶函数，所以， 又因为，所以，所以. 故选：B. 【点睛】本题考查根据函数的奇偶性和周期性求函数值，难度一般.已知，则是周期为的函数. 6. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数有四个不同的零点，转化为函数与图象由四个交点，再数形结合即可解答. 【详解】 依题意，函数有四个不同的零点，即有四个解， 转化为函数与图象由四个交点， 由函数函数可知， 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 当时，函数为单调递减函数，； 当时，函数为单调递增函数，； 结合图象，可知实数的取值范围为. 故选：A 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件中的三个数，构成函数，利用导数判断函数的单调性，再根据函数的单调性，比较函数值的大小，即可判断选项. 【详解】构造函数，， 当时，，单调递增， 所以，即． 故选：B． 8. 设函数,则使成立的的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：，定义域为，∵，∴函数为偶函数，当时，函数单调递增，根据偶函数性质可知：得成立，∴，∴，∴的范围为故答案为A. 考点：抽象函数的不等式. 【思路点晴】本题考查了偶函数的性质和利用偶函数图象的特点解决实际问题，属于基础题型，应牢记．根据函数的表达式可知函数为偶函数，根据初等函数的性质判断函数在大于零的单调性为递增，根据偶函数关于原点对称可知，距离原点越远的点，函数值越大，把可转化为，解绝对值不等式即可． 二、多选题 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用不等式的性质及作差法即可求解. 【详解】对于A选项，若，则，则，A正确； 对于B选项，若，则，B错误； 对于C选项，若且，则， 则，故，C正确； 对于D 选项，， 当且仅当时，等号成立，故，D正确. 故选：ACD. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 的零点为，； B. “，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件； C. 已知正实数，满足，则的最小值为； D. 的最小值为． 【答案】ACD 【解析】 【分析】A 选项通过零点的概念判断，不正确；B充分性和必要性的定义判断；C选项运用基本不等式“1”的代换求最小值，不正确； D选项没有注意不满足取到最小值的条件，不正确. 【详解】A选项，函数的零点指使函数值为0的自变量的取值，而不是点，A不正确； B选项，若，则不是4的倍数，若，是4的倍数，则不都是偶数， 即“，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件，B正确； C选项，因为所以，可得即得， ， 当且仅当，即时，等号成立， 则的最小值为，C不正确； D选项，， 而无解，即等号不成立， 因此，的最小值不为，故D错误 故选：ACD. 11. 设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（ ） A. 区间是的一个“和谐区间” B. 函数的所有“和谐区间为，， C. 若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D. 函数存在“和谐区间” 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用“和谐区间”的定义逐项计算即可. 【详解】对于A项，因为在上单调递减，值域为，不符合题意，故A项错误； 对于B项，在上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又，，， 所以的所有“和谐区间”为、、，故B项正确； 对于C项，因为存在“和谐区间”， 在上单调递增， 所以， 所以，是的两个不等的实根， 令，（），则在上有两个不等的实根， 令，对称轴为， 则，解得，故C项正确； 对于D项，因为在，上单调递增，则， 所以，是的两个不等的实根， 又或， 所以，， 又， 所以存在“和谐区间”为，故D项正确. 故选：BCD. 三、填空题 12. 已知关于的不等式的解集为，则_______________. 【答案】16 【解析】 【分析】根据给定的条件，利用一元二次方程根与系数的关系计算作答. 【详解】因关于x的不等式的解集为，则是方程的二根， 则有，解得，所以. 故答案为：16. 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】函数在区间上单调递增，转化为在上恒成立，即恒成立，利用基本不等式求最值可得答案. 【详解】因为， 所以， 因为函数在区间上单调递增， 所以在上恒成立， 即时，恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 即，所以， 故答案为：. 14. 设a、b分别是方程与的根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数与互为反函数，图象关于对称，联立与，即可根据对称求解. 【详解】由可得，由可得， 所以是与的交点横坐标， 是与的交点横坐标， 由于函数与互为反函数，图象关于对称， 联立与可得， 故， 故答案为： 四、解答题 15. 设函数的定义域为，集合 （1）求集合； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由定义域的定义即可求解; （2）由是的必要不充分条件可判断集合是集合的真子集,分类讨论的情况即可求解. 【小问1详解】 要使得函数有意义，只需要 解得，所以集合 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以， 当时，，解得： 当时，解得：， 综上可知，实数的取值范围是 16. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2） 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为； 时，解集为. 【解析】 【分析】（1）由题设对一切实数x恒成立，讨论参数m，结合一元二次不等式在实数集上恒成立列不等式组求范围即可. （2）讨论、，结合一元二次不等式的解法求解集. 【小问1详解】 由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. 【小问2详解】 当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 17. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元． （1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）； （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出； ②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 【答案】（1）第3年开始赢利； （2）方案②合算．理由如下： 方案①赢利总额， 时，赢利总额达到最大值为万元． 年后卖出客车，可获利润总额为万元． 方案②年平均赢利总额 （当且仅当时取等号）． 时年平均赢利总额达到最大值万元． 年后卖出客车，可获利润总额为万元． 两种方案的利润总额一样，但方案②的时间短， 方案②合算． 【解析】 【分析】（1）设该车年开始盈利，可构造不等关系，结合可求得解集，由此得到结果； （2）由二次函数最值和基本不等式求最值分别求得两种方案的盈利总额，通过比较盈利总额和所需时长，得到方案②合算． 【详解】（1）客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元，若该车年开始赢利，则， 即，，， 该车营运第年开始赢利． （2）略 【点睛】关键点点睛：本题考查建立拟合函数模型求解实际问题，解题关键是能够根据已知条件构造出合适的函数模型，结合二次函数性质和基本不等式求得函数的最值. 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合导数的几何意义求切线方程； （2）解法一：求导，分析和两种情况，利用导数判断单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可；解法二：求导，可知有零点，可得，进而利用导数求的单调性和极值，分析可得，构建函数解不等式即可. 【小问1详解】 当时，则，， 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 解法一：因为的定义域为，且， 若，则对任意恒成立， 可知在上单调递增，无极值，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值， 由题意可得：，即， 构建，则， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为； 解法二：因为的定义域为，且， 若有极小值，则有零点， 令，可得， 可知与有交点，则， 若，令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，无极大值，符合题意， 由题意可得：，即， 构建， 因为则在内单调递增， 可知在内单调递增，且， 不等式等价于，解得， 所以a的取值范围为. 19. 对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点． （1）当，时，求关于参数1的不动点； （2）当，时，函数在上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围； （3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数m（其中）的两个相异的不动点，试求m的取值范围． 【答案】（1）-1和3 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由不动点的定义解方程即可. （2）将在上有两个不同解转化为在上有两个不同的零点，结合二次函数零点分布即可求得结果. （3）由已知可得有两个不等的实根，即，将问题转化为对于任意的，总存在，使成立，进而转化为存在，，整理得存在，，令，进而转化为求在上的最大值，进而解即可. 【小问1详解】 当，时，， 令，可得即， 解得或， 所以当，时，关于参数1的不动点为和. 【小问2详解】 由已知得在上有两个不同解， 即在上有两个不同解， 令，则在上有两个不同的零点， 所以，解得：． 【小问3详解】 由题意知，函数有关于参数m的两个相异的不动点， 所以方程，即恒有两个不等实根， 则， 所以对于任意的，总存在，使成立， 即存在，，， 所以存在，， 即：存在，， 即：，， 令，， 对称轴为， ①当即时，， 所以，解得或，故不符合题意； ②当即时，， 所以，解得或， 所以. 综述：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福鼎四中2024-2025学年第一学期第一次月考 高三数学试题 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数的定义域为，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式在R上恒成立的必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则可用表示为 A. B. C. D. 5. 已知是定义在上的偶函数且，若当时，，则（　 　） A. B. C. D. 6. 已知函数若函数有四个不同的零点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 设函数,则使成立的的取值范围是 A. B. C. D. 二、多选题 9. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若且，则 D. 10. 下列说法错误的是（ ） A. 的零点为，； B. “，都是偶数”是“是4的倍数”的既不充分也不必要条件； C. 已知正实数，满足，则的最小值为； D. 的最小值为． 11. 设对于定义域为D的函数，若存在区间，使得同时满足： ①在上单调 ②当的定义域为时，的值域也为，则区间为该函数的一个“和谐区间”． 下列说法正确的是（ ） A. 区间是的一个“和谐区间” B. 函数的所有“和谐区间为，， C. 若函数存在“和谐区间”，则实数k的取值范围是 D. 函数存在“和谐区间” 三、填空题 12. 已知关于的不等式的解集为，则_______________. 13. 若函数在区间上单调递增，则的取值范围为______． 14. 设a、b分别是方程与的根，则__________． 四、解答题 15. 设函数的定义域为，集合 （1）求集合； （2）若，且是的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. 设． （1）若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； （2）解关于x的不等式． 17. 某公司为改善营运环境，年初以万元的价格购进一辆豪华客车．已知该客车每年的营运总收入为万元，使用年所需的各种费用总计为万元． （1）该车营运第几年开始赢利（总收入超过总支出，今年为第一年）； （2）该车若干年后有两种处理方案： ①当赢利总额达到最大值时，以万元价格卖出； ②当年平均赢利总额达到最大值时，以万元的价格卖出． 问：哪一种方案较为合算？并说明理由． 18. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 19. 对于函数，存在实数，使成立，则称为关于参数m的不动点． （1）当，时，求关于参数1的不动点； （2）当，时，函数在上存在两个关于参数m的相异的不动点，试求参数m的取值范围； （3）对于任意的，总存在，使得函数有关于参数m（其中）的两个相异的不动点，试求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $