专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优）-2024-2025学年九年级数学上册重难点专题提升精讲精练（人教版）

专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 确定圆的条件 题型八 圆中角度的计算 题型九 圆中线段长度的计算 题型十 求一点到圆上点距离的最值 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 2．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 3．（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 1．（2022·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由． 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（    ）    A． B． C． D． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 ． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 1．（2023·广东汕尾·二模）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）点M的坐标为 　 　；⊙M的半径为 　 　； （3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M　 　； （4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 　 　个格点． 【经典例题七 确定圆的条件】 【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 1．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【经典例题八 圆中角度的计算】 【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（    ）      A．15° B．30° C．45° D．60° 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，且．则 ． 3．（23-24九年级下·海南海口·阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 【经典例题九 圆中线段长度的计算】 【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 2．（2024·山东泰安·三模）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求： (1)圆心O到的距离． (2)求的长． 【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】 【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（    ） A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 7．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 9．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则度数为 ． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆． （1）当点在内时，的取值范围是 ； （2）若，则点在 ，点在 ； （3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ． 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的半径，是弦，是上一点，且，．求的度数． 12．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 13．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）问题探究 （1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程； 拓展应用 （2）如图（2），是正方形内一定点，是对角线、的交点．连接并延长，分别交、于、．过作直线，分别交、于、．求证：、将正方形的面积四等分．    15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 圆的基本概念重难点题型专训（10大题型+15道拓展培优） 题型一 圆的基本概念辨析 题型二 求圆中弦的条数 题型三 求过圆内一点的最长弦 题型四 圆的周长和面积问题 题型五 点与圆的位置关系 题型六 三角形的外接圆 题型七 确定圆的条件 题型八 圆中角度的计算 题型九 圆中线段长度的计算 题型十 求一点到圆上点距离的最值 知识点一、圆的相关概念 （1）圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 点拨：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆 的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 （2）点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 点拨：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重 合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧， 小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 名称 概念 注意 图示 弦 连接圆上任意两点的线段叫作弦，如右图中“弦” 直径是圆中最长的弦不一定是直径 直径 经过圆心的弦叫作直径，如右图中“直径” 但弦不一定是直径 弧、 半圆、 劣孤、 优弧 圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫作半圆；大于半圆的弧叫作优弧，用三个字母表示，如右图中的；小于半圆的弧叫作劣弧，用两个字母表示，如右图中 半圆是弧，但弧不一定 是半圆 等圆 能够重合的两个圆叫作等圆，容易看出：半径相等的两个圆是等圆；反过来，等圆的半径相等 等圆只和半径的大小有关，和圆心有位置有关 等弧 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等孤 长度相等的孤不一定是等孤 知识点二、确定圆的条件 1．过已知点作圆 条件 类别 过一点作圆 过两点作圆 过不在同一条直 线上的三点作圆 理论 依据 经过平面内一个点作圆时，只要以点以外任意一点为圆心，以这点到点的距离为半径就能作出一个圆，这样的圆能作出无数多个 经过平面内的两个点，作圆，由于圆心到这两个点的距离相等，所以圆心在线段的垂直平分线上，这样的圆心有无数多个，这样的圆能作无数多个 经过不在同一条直线上的三点，，作圆，圆心到这三个点的距离相等。因此，圆心是线段，的垂直平分线的交点，以点为圆心，以（或，）为半径可作出经过，，三点的圆，这样的圆只有一个 圆形 结论 不在同一条直线上的三个点确定一个圆 2．定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 3．三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接 圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【经典例题一 圆的基本概念辨析】 【例1】（2023秋·河北保定·九年级统考期末）下列说法：（1）长度相等的弧是等弧；（2）相等的圆周角所对的弧相等；（3）劣弧一定比优弧短；（4）直径是圆中最长的弦．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】利用等弧的定义、圆周角定理、弧的定义及弦的定义分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）长度相等的弧不一定是等弧，弧的度数必须相同，故错误； （2）同圆或等圆中相等的圆心角所对的弧相等，故错误； （3）同圆或等圆中劣弧一定比优弧短，故错误； （4）直径是圆中最长的弦，正确， 综上所述，四个说法中正确的只有1个， 故选：A． 【点睛】本题考查圆中有关定义，能够熟练掌握圆的有关知识是解答本题的关键． 1．（24-25九年级上·江苏徐州·阶段练习）下列说法中，正确的个数为（   ） ①面积相等的圆是等圆；②过圆心的线段是直径；③长度相等的弧是等弧；④半径是弦；⑤直径是最长的弦；⑥等弧所在的圆一定是等圆或同圆 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了等圆、等弧、弦的相关定义，利用等圆及弧、弦的概念对说法进行判断即可得到答案． 【详解】解：①面积相等的圆是等圆，故原说法正确； ②连接圆周上两点并通过圆心的线段是圆的直径，故原说法错误； ③等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，故原说法错误； ④连接圆上任意两点的线段叫作弦，半径不是弦，故原说法错误； ⑤连接圆上任意两点的线段叫做弦，直径是最长的弦，故原说法正确； ⑥等弧，是在同圆或等圆中，能够互相重合的弧，即等弧所在的圆一定是等圆或同圆，故原说法正确 ∴正确的说法有①⑤⑥，共3个． 故选：C． 2．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在 中， （1）半径有： ． （2）直径有： ． （3）弦有： ． （4）劣弧 对应的优弧是 ，它们刚好拼成一个完整的圆． 【答案】 ， ，， 【分析】本题考查圆的基本概念，根据半径，直径，弦，弧的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：（1）半径有，； （2）直径有； （3）弦有，，； （4）劣弧 对应的优弧是； 故答案为：，；；，，； 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图所示，，是的高，求证：，，，四点在同一个圆上． 【答案】见解析 【分析】本题考查了四点共圆，直角三角形斜边中线的性质．求证，，，四点在同一个圆上，是直角三角形，则三个顶点在斜边中点为圆心的圆上，因而只要再证明到得中点的距离等于的一半就可以． 【详解】证明：如图所示，取的中点，连接，． ，是的高， 和都是直角三角形． ，分别为和斜边上的中线， ． ，，，四点在以点为圆心，为半径的圆上． 【经典例题二 求圆中弦的条数】 【例2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，点，，，点 ，， 以及点 ，， 分别在一条直线上，则圆中弦的条数为 （      ）    A． 条 B． 条 C． 条 D． 条 【答案】A 【分析】根据弦的定义进行分析，从而得到答案． 【详解】解：图中的弦有，共2条． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了弦的定义，理解弦的定义是解决本题的关键． 1．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 2．（23-24九年级下·河南·课后作业）如图，圆中有 条直径， 条弦，圆中以A为一个端点的优弧有 条，劣弧有 条． 【答案】 1 3 4 4 【详解】圆中有AB一条直径，AB、CD、EF三条弦，圆中以A为一个端点的优弧有四条，劣弧有四条， 故答案为1，3，4，4． 3．（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，是内接三角形，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图． （1）在图1中，画山一条与相等的弦； （2）在图2中，画出一个与全等的三角形． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【分析】（1）连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED，再证△BOC≌△DOE（SAS），可得BC=DE； （2）连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′，利用边角边判定方法先证△BOC≌△B′OC′（SAS），可得BC=B′C′；同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS），可得AB=A′B′，同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS），可得AC=A′C′，利用三边对应相等判定方法可证△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【详解】解：（1）如图1，DE为所作； 连结CO并延长交于E，连接BO并延长交于D，连结ED， ∵OB=OD=OE=OC， 在△BOC和△DOE中， ， ∴△BOC≌△DOE（SAS）， ∴BC=DE； （2）如图2，△A′B′C′为所作． 连结AO并延长交于A′，OA=OA′，连结BO并延长交于B′，OB=OB′，连结CO并延长交于C′，OC=OC′， 在△BOC和△B′OC′中， ， ∴△BOC≌△B′OC′（SAS）， ∴BC=B′C′； 同理可证△BOA≌△B′OA′（SAS）， ∴AB=A′B′， 同理可证△AOC≌△A′OC′（SAS）， ∴AC=A′C′， 在△ABC和△A′B′C′中， ， ∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）． 【点睛】本题考查仅用无刻度的直尺画线段，画三角形，三角形全等判定与性质，圆的性质，掌握圆的性质与三角形全等判定与性质是解题关键． 【经典例题三 求过圆内一点的最长弦】 【例3】（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，点A，B的坐标分别是A（4，0），B（0，4），点C为坐标平面内一动点，BC＝2，点M为线段AC的中点，连接OM，则OM的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为2的⊙B上，通过画图可知，C在BD与圆B的交点时，OM最小，在DB的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得结论． 【详解】解：如图， ∵点C为坐标平面内一点，BC＝2， ∴C在⊙B上，且半径为2， 取OD＝OA＝4，连接CD， ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线， ∴OM＝CD， 当OM最大时，即CD最大，而D，B，C三点共线时，当C在DB的延长线上时，OM最大， ∵OB＝OD＝4，∠BOD＝90°， ∴BD＝4， ∴CD＝4+2， ∴OM＝CD＝2+1，即OM的最大值为2+1； 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定OM为最大值时点C的位置是关键，也是难点． 1．（23-24九年级上·福建厦门·期中）已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径， ∴． 观察选项，的长不可能是8，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 2．（23-24九年级上·全国·课后作业）若的半径为3，则的弦的长度的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用直径是圆内最长的弦即可求解． 【详解】解：的半径为3， 的弦的长度的取值范围为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的相关知识，明确圆中最长的弦是直径是解题的关键． 3．（23-24九年级·全国·专题练习）如图所示，为的一条弦，点为上一动点，且，点，分别是，的中点，直线与交于，两点，若的半径为7，求的最大值. 【答案】的最大值为. 【分析】由和组成的弦，在中，弦最长为直径14，而可求，所以的最大值可求. 【详解】连结，， ∵    ∴ ∴为等边三角形， ∵点，分别是，的中点 ∴，∵ 为的一条弦 ∴最大值为直径14    ∴的最大值为. 【点睛】利用直径是圆中最长的弦，可以解决圆中一些最值问题. 【经典例题四 圆的周长和面积问题】 【例4】（2023春·山东泰安·九年级校考期中）如图两个半径都是的圆外切于点C，一只蚂蚁由点A开始依A、B、C、D、E、F、C、G、A的顺序沿着圆周上的8段长度相等的路径绕行，蚂蚁在这8段路径上不断爬行，直到行走后才停下来，则蚂蚁停的那一个点为（    ）    A．D点 B．E点 C．F点 D．G点 【答案】A 【分析】先求出蚂蚁爬行一圈所走的路程，再根据停下来时重复的圈数和余数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意，每段长度为四分之一的圆周长，即，又知绕行8段为一循环，则爬行一圈的路程为， ∵，， ∴行走后才停下来，那一个点为D点， 故选：A． 【点睛】本题考查圆的周长，图形类规律探究，解答的关键是理解题意，能根据爬行一圈的路程得出重复的圈数，再由余数确定最终的位置． 1．（2022·山西临汾·二模）山西著名工艺品平遥推光漆器外观古朴雅致、闪光发亮，绘饰金碧辉煌，以手掌推出光泽而得名．图1是平遥推光漆器的一种图案，图2是选取其某部分并且放大后的示意图．四边形ABCD是边长为2的正方形，分别以正方形的四个顶点为圆心，对角线的长为半径画弧，四条弧相交于点O，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意得半径为，阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积，代入计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是边长为2的正方形 ∴正方形的对角线的长为2 ∴半径为 ∵阴影部分面积=圆的面积-正方形的面积 ∴阴影部分面积=π（）2-22= 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质和圆，组合图形阴影部分面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形面积之间的关系． 2．（23-24八年级下·山东潍坊·期末）如图，两个同心圆组成的圆环面积是16，则以圆心O为一个顶点，分别以两圆半径为边长作正方形和正方形，点D在OA上，点F在OC上，则图中阴影部分的面积是 ．（结果保留） 【答案】 【分析】本题考查了求出阴影部分面积，设大圆的半径为，小圆半径为，利用圆环面积等于即可求出． 【详解】解： 因为两个同心圆组成的圆环面积是16， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积=， 故答案为：． 3．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，长方形ABCD的面积为225，长和宽的比为5∶3，在此长方形内沿着边的方向能否并排裁出两个面积均为的圆（取3），请通过计算说明理由． 【答案】不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆，理由见解析 【分析】根据长方形的长宽比设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm，结合长方形ABCD的面积为225，即可得出关于x的一元二次方程，解方程即可求出x的值，从而得出AB的长，再根据圆的面积公式以及圆的面积为，即可求出圆的半径，从而可得出两个圆的直径的长度，将其与AB的长进行比较即可得出结论． 【详解】解：设长方形的长AB为5x cm，宽AD为3x cm， 根据题意得， 解得（负值舍弃）， ∴， ∴，， ∵圆的面积为75，设圆的半径为rcm， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴不能并排裁出两个面积均为75cm2的圆． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、圆的面积以及实数大小的比较，解题关键是求出圆的半径以及长方形的长． 【经典例题五 点与圆的位置关系】 【例5】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）如图，在中，，，，点在边上，，的半径长为，与相交，且点在外，那么的半径长可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接交于，根据勾股定理求出的长，从而求出的长，再根据相交两圆的位置关系得出的范围即可． 【详解】解：连接交于，如图，    在中，由勾股定理得：， 则， ， ， 与相交，且点在外，必须， 即只有选项B符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了相交两圆的性质，点与圆的位置关系，勾股定理等知识点，能熟记相交两圆的性质和点与圆的位置关系的内容是解题的关键． 1．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，，，，点D在边上，，以点D为圆心作，其半径长为r，要使点A恰在外，点B在内，则r的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据勾股定理求出的长，进而得出的长，由点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：在中，，，， 则，， 点A恰在外，点B在内， 故选：A． 【点睛】本题考查的是点与圆的位置关系、勾股定理，解题的关键是掌握点与圆的三种位置关系，如设的半径为，点到圆心的距离，则有：①点在圆外；②点在圆上；③点在圆内． 2．（23-24九年级·全国·单元测试）已知圆外点到圆上各点的距离中，最大值是6，最小值是1，则这个圆的半径是 ． 【答案】2.5 【分析】画出图形，根据点在圆外时，点到圆周上点的最大距离最小距离转化为点到圆心的距离表示即可得到结论． 【详解】解：如图所示： 当点M在圆外时，外点到圆上各点的距离中，最大值可表示为半径，最小值可表示为半径， 点到圆上的最小距离MB＝1，最大距离MA＝6， ∴2半径＝6﹣1＝5， ∴半径r＝2.5， 故答案为：2.5． 【点睛】本题主要考查了点与圆的位置关系，根据题意画出图形是解决本题的关键． 3．（23-24九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，M为AB的中点． （1）以C为圆心，3为半径作⊙C，则点A、B、M与⊙C的位置关系如何? （2）若以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙A内且B点在⊙C外，求⊙C的半径r的取值范围． 【答案】（1）A在圆上，M在圆内，B在圆外；（2）3＜r＜4 【分析】（1）根据点与圆的位置关系判定方法，比较AC，CM，BC与AC的大小关系即可得出答案； （2）根据半径大于AC，且小于BC即可得到结果． 【详解】解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB的中点为点M， ∴AB=，CM=AB=， ∵以点C为圆心，3为半径作⊙C， ∴AC=3，则A在圆上，CM=＜3，则M在圆内，BC=4＞3，则B在圆外； （2）以C为圆心，作⊙C，使A、M两点在⊙内且B点在⊙C外， 3＜r＜4， 故⊙C的半径r的取值范围为：3＜r＜4． 【点睛】此题主要考查了点与圆的位置关系，正确根据点到圆心距离d与半径r的关系，d＞r，在圆外，d=r，在圆上，d＜r，在圆内判断是解题关键． 【经典例题六 三角形的外接圆】 【例6】（2023秋·江苏·九年级专题练习）如图所示，的三个顶点的坐标分别为、、，则外接圆半径的长为（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】三角形的外心是三边垂直平分线的交点，设的外心为M，由B，C的坐标可知M必在直线上，由图可知线段的垂直平分线经过点，由此可得，过点M作于点D，连接，由勾股定理求出的长即可． 【详解】解：设的外心为M， 、， M必在直线上， 由图可知，线段的垂直平分线经过点， ， 如图，过点M作于点D，连接， 中，，， 由勾股定理得：， 即外接圆半径的长为． 故选D． 【点睛】本题考查求三角形外接圆的半径，能够根据网格和三角形顶点坐标判断出外心的位置是解题的关键． 1．（2023·广东汕尾·二模）如图，在的正方形网格中（小正方形的连长为1），有6个点A、B、C、D、E、F，若过A、B、C三点作圆O，则点D、E、F三点中在圆O外的有（    ）个 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由图可知，故过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点，然后根据网格的特点用勾股定理计算半径和点D、E、F三点到圆心的距离即可判定． 【详解】解：如图， ∵， ∴过A、B、C三点作圆O，直径为，圆心在的中点， ∴， ， ， ∴点F在圆O外，点D、E在圆O上， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的外接圆圆心在斜边的中点上，以及点与圆的位置关系，解题关键是关键网格的特点找到圆心的位置． 2．（2024九年级上·江苏·专题练习）若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题．分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ． ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或． 3．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）． （1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置； （2）点M的坐标为 　 　；⊙M的半径为 　 　； （3）点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系是点D在⊙M　 　； （4）若画出该圆弧所在圆，则在整个平面直角坐标系网格中该圆共经过 　 　个格点． 【答案】（1）见解析；（2）（2，0），2；（3）内部；（4）8 【分析】（1）作线段AB，BC的垂直平分线交于点M，点M即为所求． （2）根据点M的位置写出坐标即可，利用勾股定理求出半径． （3）根据点与圆的位置关系判断即可． （4）利用图像法，判断即可． 【详解】解：（1）如图，点M即为所求． （2）M（2，0），MA＝＝． 故答案为：（2，0），2． （3）点D（5﹣2）在⊙M内部． 故答案为：内部． （4）如图，满足条件的点有8个． 故答案为：8． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，坐标与图形的性质，垂径定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质． 【经典例题七 确定圆的条件】 【例7】（2023秋·九年级课前预习）下列说法中，真命题的个数是（    ） ①任何三角形有且只有一个外接圆；②任何圆有且只有一个内接三角形；③三角形的外心不一定在三角形内；④三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑤经过三点确定一个圆； A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】①根据圆的确定，进行判断即可；②根据三角形的定义进行判断即可；③直角三角形的外心在斜边上，锐角三角形的外心在三角形内部，钝角三角形的外心在三角形的外部，进行判断；④根据三角形的外心是三条边的中垂线的交点，进行判断即可；⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆． 【详解】解：①任何三角形有且只有一个外接圆，是真命题； ②任何圆有无数个内接三角形，原说法错误，是假命题； ③三角形的外心不一定在三角形内，是真命题； ④三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，原说法错误，是假命题； ⑤不在同一条直线上的三个点确定一个圆，原说法错误，是假命题； 综上，真命题的个数为2个； 故选B． 【点睛】本题考查三角形的外接圆和圆的确定．熟练掌握不在同一条直线上的三个点确定一个圆，三角形的外心是三角形三边的中垂线的交点，是解题的关键． 1．（2024·江苏徐州·一模）如图，，，，点在上运动，当最大时，则的长度是（    ） A．15 B．20 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三点共圆，切线的判定，含的直角三角形，勾股定理，解题的关键是正确的作图，理解当P运动到圆上时，最大；过的中点Q作于P，由含的直角三角形的性质，可推出三点共圆，可证与圆Q相切于P，进而推出此时最大，再由勾股定理求解即可； 【详解】过的中点Q作于P，则， Q是的中点，， ， ， ，， ， ， 三点在以Q为圆心的圆上， ， 与圆Q相切与P， 此时最大， 在中，， 故选：． 2．（23-24九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知直线l：y=x+4，点A（0，2），点B（2，0），设点P为直线l上一动点，当P的坐标为 时，过P，A，B三点不能作出一个圆． 【答案】(−1, 3) 【分析】由而在同一直线上的三个点不能画一个圆可知，当P，A，B三点共线时，过P，A，B三点不能作出一个圆．为此，先利用待定系数法求出直线AB的解析式，再与y=x-4联立，两直线的交点坐标即为所求． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b， ∵A(0,2)，点B(2,0)， ∴， 解得， ∴y=−x+2. 解方程组，得， ∴当P的坐标为(−1, 3)时，过P，A，B三点不能作出一个圆. 故答案为(−1, 3). 【点睛】本题考查确定圆的条件和一次函数的性质，解题的关键是掌握确定圆的条件和一次函数的性质. 3．（23-24九年级上·北京海淀·期中）如图，在平面直角坐标系中，． (1)将点B向上平移4个单位长度，得到点C，则点C的坐标是___________． (2)将绕点B顺时针旋转得到，其中点A与点D对应，点D在线段上，请在图中画出； (3)经过A，B，E三点___________确定一个圆．（填写“能”或“不能”） 【答案】(1)； (2)见解析； (3)不能． 【分析】（1）根据平移的性质可得答案； （2）先作出，由旋转后点D在线段上可知绕点B顺时针旋转，根据旋转的性质确定点D、E的位置，然后顺次连接即可； （3）根据A、B、E三点共线可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴点B向上平移4个单位长度，得到点C，点C的坐标是， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求； （3）解：由图可得，A、B、E三点共线， ∴经过A，B，E三点不能确定一个圆， 故答案为：不能． 【点睛】本题考查了平移的性质，画旋转图形，旋转的性质，确定圆的条件等知识，熟练掌握旋转的性质，作出旋转后的图形，得出A、B、E三点共线是解答本题的关键． 【经典例题八 圆中角度的计算】 【例8】1（2023·甘肃白银·校考三模）如图，A、B、C是圆O上的三点，且四边形是平行四边形，交圆O于点F，则等于（    ）      A．15° B．30° C．45° D．60° 【答案】B 【分析】根据平行四边形的性质和圆的半径相等得到为等边三角形，根据等腰三角形的三线合一得到答案． 【详解】解：    连接，如图所示， ∵四边形是平行四边形， ∴，又， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查的是圆内半径相等，平行四边形的性质定理、等边三角形的性质的综合运用，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键． 1．（23-24九年级上·山东聊城·期中）如图，是的弦，延长相交于点E，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等边对等角，三角形内角和定理，圆心角等知识．明确角度之间的数量关系是解题的关键． 如图，连接，由三角形内角和求，，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，点在的延长线上，交于点，且．则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等腰三角形的性质，根据圆的基本性质，可得，，从而得到，进而根据三角形的外角的性质，即可求解． 【详解】解：连接， 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为： 3．（23-24九年级下·海南海口·阶段练习）如图所示，为的直径，是的弦，的延长线交于点，已知．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识：掌握与圆有关的概念，等腰三角形的性质，连接，由 ，得到，根据等腰三角形的性质得，再利用三角形外角性质得到，即可求解，掌握圆的有关概念是解题的关键． 【详解】解：连接，   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【经典例题九 圆中线段长度的计算】 【例9】（2023·全国·九年级专题练习）如图的方格纸中，每个方格的边长为1，A、O两点皆在格线的交点上，今在此方格纸格线的交点上另外找两点B、C，使得的外心为O，求的长度为何（　　） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】三角形外心的性质：三角形的外心到三角形三顶点的距离相等，由此得到，从而确定B、C的位置，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵的外心为O， ， ， ， 、是方格纸格线的交点， 、的位置如图所示， ． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形的外接圆与外心，勾股定理，关键是掌握三角形的外心的性质． 1．（2024·浙江杭州·一模）如图，在中，，，，以点B为圆心，为半径画弧交边于点P，则的长为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，圆的基本性质，由勾股定理得到，由题意得到，即可求解，掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵以点B为圆心，为半径画弧交边于点P， ∴， ∴， 故选：D． 2．（2024·山东泰安·三模）如图，在中，，O是边上一点，以O为圆心，为半径的圆与相交于点D，连接，且．若，则圆O半径的长为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，等边对等角，连接，由等腰三角形的性质得，，由可证 ，则，设半径为x，则，在直角三角形中，，利用勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∵，， ∴， 设半径为x，则， 在直角三角形中，由勾股定理得，即， ∴． ∴半径的长为3， 故答案为：3． 3．（23-24九年级上·广东广州·期中）如图，，在射线上顺次截取，，以为直径作交射线于、两点．求： (1)圆心O到的距离． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点作于，如图，根据含度的直角三角形三边的关系求出即可； （2）连接，如图，利用勾股定理计算出 和即可得答案． 【详解】（1）解：过点作于，如图， ， ， ， 在中，， ， 即圆心到的距离为； （2）解：连接，如图， ， ∴在中，， 在中，， ． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形、勾股定理及圆的概念，解本题的关键在熟练掌握度角所对的直角边等于斜边的一半的性质． 【经典例题十 求一点到圆上点距离的最值】 【例10】（2023秋·江苏·九年级专题练习）在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（    ） A．2 B．5 C．6 D．8 【答案】B 【分析】过点作于点，连接，判断出当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，由此即可得． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， ，， 当点为的延长线与的交点时，点到直线的距离最大，最大距离为， 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的性质，正确判断出点到直线的距离最大时，点的位置是解题关键． 1．（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在平行四边形中，，，，是边的中点，是线段上的动点，将沿所在直线折叠得到，连接，则的最小值是（    ）    A． B．6 C．4 D． 【答案】D 【分析】如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．过点D作交延长线于G，解,得，，进一步求得，从而解得． 【详解】解：如图，的运动轨迹是以E为圆心，以的长为半径的圆．所以，当点落在DE上时，取得最小值．    过点D作交延长线于G， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵E是的中点，， ∴， ∴ ∴ 由折叠的性质可知 ∴． 故选D． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、平行四边形的性质、两点之间线段最短的综合运用，确定点在何位置时，的值最小，是解决问题的关键． 2．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在矩形中， ，动点P在矩形的边上沿运动．当点P不与点A、B重合时，将沿对折，得到，连接，则在点P的运动过程中，线段的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】根据折叠的性质得出在A为圆心，2为半径的弧上运动，进而分类讨论当点P在上时，当点P在上时，当P在上时，即可求解． 【详解】解：在矩形中， ， ∴， ， 如图所示，当点P在上时，    ∵， ．∴在A为圆心，2为半径的弧上运动， 当A，，C三点共线时，最短， 此时， 当点P在上时，如图所示，    此时， 当P在上时，如图所示，此时，    综上所述，的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，圆外一点到圆上的距离的最值问题，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 3．（2023·河北衡水·统考二模）如图，和均为边长为的等边三角形，点在边上，是的中点，作点关于的对称点，连接和． (1)求证：四边形是菱形； (2)求的最小值； (3)若与垂直，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等边三角形的性质，得出，即可得证； （2）根据题意得出点在以为圆心，为半径的圆上，进而勾股定理求得的长，当在线段上时，取得最小值，即可求解； （3）根据题意作出图形，延长交于点，得出，，勾股定理求得，进而根据含30度角的直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为边长为的等边三角形， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：∵，是的中点， ∴， ∵点关于的对称点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， 连接，如图所示， ∵是的中点，是等边三角形 ∴， ∴， 当在线段上时，取得最小值， ∴的最小值为 （3）解：如图所示，延长交于点， ∵， ∴，， ∴， 在中，，则， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆外一点到圆上的距离，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，菱形的判定，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知矩形中，，以点B为圆心r为半径作圆，且与边有唯一公共点，则r的取值范围为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了点与圆的位置关系以及矩形的性质，勾股定理，由于根据点与圆的位置关系得到注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外； 当时，点在圆上，当时，点在圆内． 【详解】解：如图：连接,    ∵矩形中， ∵以点B为圆心作圆，与边有唯一公共点， ∴的半径r的取值范围是：， 故选：D． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（    ） A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理．先求出，根据大角对大边画出示意图，结合点与圆的位置关系即可解答． 【详解】解：中，， ， ， 如图，以为圆心，长为半径作圆、圆， ，， 点A在圆外部，在圆内部， 故选：A． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）已知如图正方形的边长为4，点为边上一动点，于，将绕着点顺时针旋转得到，连接，当点从点运动到点时，点的运动路径长为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方形的综合，涉及中位线，直角三角形斜边的中线，全等三角形的判定与性质，轨迹圆，熟练根据图形画出辅助线、找出动点运动的轨迹是解题的关键．连接，设的中点分别为，连接，利用中点的性质确定点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动，且点从点运动到点，通过， 得出，推出点的运动路径长与点的运动路径长相等即可． 【详解】解：如图，连接，设的中点分别为，连接， 则， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 点从点运动到点， 点从点运动到点， 的长， ，， ， ， ， ， ， 点在以为圆心，2为半径的圆弧上运动， 和对应， 点的运动路径长与点的运动路径长相等， 点的运动路径长为， 故选：C． 4．（2024·辽宁·模拟预测）如图，在中，，E是直角边的中点，F是直角边上的一个动点，将沿所在直线折叠，得到，D是斜边的中点，若，，则的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、三角形的中位线定理、圆的定义，确定动点的运动轨迹是解题的关键．根据折叠的性质可得，，结合E是直角边的中点，得到，由此可判断点在以为圆心，为半径的圆上运动，当、、共线时，此时的值最小，根据三角形中位线定理求出，即可求出此时的最小值． 【详解】解： 将沿所在直线折叠，得到， ， ， E是直角边的中点， ， 点在以为圆心，为半径的圆上运动，如图所示， ， 当、、共线时，即与重合时，取得最小值， 又， 此时的值最小， D是斜边的中点， 是的中位线， ， 此时，， 的最小值为4． 故选：C． 5．（2024·山东日照·二模）直线与x，y轴分别交于A，B两点，P是以为圆心，1为半径的圆上一点，连接，则面积的最大值为（　　） A．27 B．10 C．23 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与几何的综合应用，三角形的面积，点和圆的位置关系，解此题的关键是求出圆上的点到直线的最大距离． 求出A、B的坐标，根据勾股定理求出，求出点C到的距离，即可求出圆C上点到的最大距离，根据面积公式求出即可． 【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 当时，，当时，， ∴， ∴， ∵点P是以为圆心，1为半径的圆上一点， 过C作于M，连接， ∴， ∴， 当P，C，M在一条直线时，最大，即的面积最大， 即， ∴面积的最大值， 故选：D． 6．（24-25九年级上·全国·课后作业）下列结论中正确的是 ．（填写所有正确结论的序号） ①直径是圆中最长的弦； ②长度相等的两条弧是等弧；③面积相等的两个圆是等圆； ④等弧所对的圆心角相等； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的弧相等； ⑥顶点在圆上的角是圆周角； ⑦将圆绕一点旋转一个角度可以和自身重合； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径都是它的对称轴； ⑨半圆是弧； ⑩过圆心的线段是直径． 【答案】①③④⑨ 【分析】本题主要考查圆的有关性质．根据弦、直径、等圆、等弧的概念判断即可． 【详解】解：①直径是圆中最长的弦，说法正确； ②在同圆或等圆中，长度相等的两条弧是等弧，原说法错误； ③面积相等的两个圆是等圆，说法正确； ④等弧所对的圆心角相等，说法正确； ⑤同圆中，两条相等的弦所对的优弧相等，劣弧相等，原说法错误； ⑥圆周角的定义包括两个基本特征：一是顶点位于圆周上，二是角的两边都与圆相交，原说法错误； ⑦将圆绕圆心旋转一个角度可以和自身重合，原说法错误； ⑧圆是轴对称图形，每一条直径所在直线都是它的对称轴，原说法错误； ⑨半圆是弧，说法正确； ⑩过圆心且两端都在圆上的线段是直径，原说法错误； 故答案为：①③④⑨． 7．（23-24九年级上·江苏泰州·阶段练习）已知P是内一点点P不与圆心O重合，点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的半径为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点与圆上各点的距离的最值，明确最小距离与最大距离的和等于圆的直径是解题关键．由根与系数的关系求出两根之和，则最小距离与最大距离的和等于圆的直径． 【详解】解：设最小距离为m，最大距离为n， 由根与系数的关系得， 是内一点， 点P到圆上各点的距离中，最小距离与最大距离的和等于圆的直径， 即圆的直径是12，圆的半径是 故答案为：6 8．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接，，交半圆O于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆O于点， ， 在中，，， ∴， 当点P与点重合时，取得最小值． 故答案为： 9．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是的直径，是延长线上一点，点在上，且，的延长线交于点．若，则度数为 ． 【答案】50 【分析】本题主要考查了圆的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质，解题关键是熟练掌握圆的基本性质．首先证明的等腰三角形，易得，结合三角形外角的性质可得，再根据圆的性质可得也为等腰三角形，由即可获得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：50． 10．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在中，．以点为圆心，为半径作圆． （1）当点在内时，的取值范围是 ； （2）若，则点在 ，点在 ； （3）当点中只有两点在内时，的取值范围是 ． 【答案】 / 上 外 / 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了勾股定理．利用勾股定理求出． （1）根据点与圆的位置关系即可解答即可； （2）根据点与圆的位置关系即可解答即可； （3）根据点与圆的位置关系即可解答即可． 【详解】解：中，， ． （1）当点在内时，则，即， 故答案为：； （2），， 则， 点在上，点在外， 故答案为：上，外； （3）点中只有两点在内，， 点两点在内，点B在外， 的取值范围是：． 故答案为： 11．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，的半径，是弦，是上一点，且，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查圆的基本性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理与外角的性质． 连接，由得到，由得到，从而，由得到，进而即可求解． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 12．（24-25九年级上·江苏常州·阶段练习）已知：如图，在中，，，，以点为圆心，为半径的圆与交于点． (1)求的长； (2)若，求的度数； (3)若点是线段上的动点，则线段的长度取值范围是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、勾股定理、等腰三角形的性质、垂线段最短等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题关键． （1）过点作交于点，首先根据勾股定理解得的长度，再利用面积法解得的长度，进而可得的值，然后根据等腰三角形“三线合一”的性质求得的长即可； （2）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质可知，然后根据三角形内角和定理解得的度数，即可获得答案； （3）根据“垂线段最短”即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作交于点，如下图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （3）解：∵点是线段上的动点，，，， ∴当点与点重合时，取最小值， 此时， 当点与点重合时，取最大值， 此时， ∴线段的长度取值范围是． 故答案为：． 13．（23-24九年级上·云南文山·阶段练习）如图，是的直径，，交于点 B ，且，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质以及三角形外角的性质．首先设，由，可得，然后利用等腰三角形的性质与三角形外角的性质，求得，继而求得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14．（23-24九年级上·全国·单元测试）问题探究 （1）请在图（1）中作出两条直线，使它们将圆面积四等分，并写出作图过程； 拓展应用 （2）如图（2），是正方形内一定点，是对角线、的交点．连接并延长，分别交、于、．过作直线，分别交、于、．求证：、将正方形的面积四等分．    【答案】（1）过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；（2）详见解析； 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形性质等知识，得出全等三角形是解题关键． （1）利用直径所在直线平分圆的面积，进而得出答案； （2）利用全等三角形的判定与性质以及正方形性质分析得出全等三角形，进而得出答案． 【详解】解：（1）过点首先作一条直线，进而过点作直线的垂线，即可将圆面积四等分；    （2）证明：∵正方形， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， 同理可得出：， ， ， ∴， ∴、将正方形的面积四等分． 15．（24-25九年级上·全国·假期作业）如图，已知矩形的边，． (1)以点A为圆心，为半径作，则点B，C，D与的位置关系如何？ (2)若以点A为圆心作，使B，C，D三点中至少有一点在圆内且至少有一点在圆外，则的半径r的取值范围是什么？ 【答案】(1)点在内，点在上，点在外 (2) 【分析】此题考查的知识点是点与圆的位置关系，勾股定理，矩形的性质，解题关键是要注意点与圆的位置关系，要熟悉勾股定理，及点与圆的位置关系． （1）根据勾股定理求出的长，进而得出点B，C，D与的位置关系； （2）利用（1）中所求，即可得出半径r的取值范围． 【详解】（1）解：连接， ∵在矩形中，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴点在内， ∵， ∴点在上， ∵， ∴点在外； （2）解：∵以点A为圆心作，使，，三点中至少有一个点在圆内，且至少有一点在圆外， ∴的半径的取值范围是：． 学科网（北京）股份有限公司 $$