6.3.1离散型随机变量的均值练习-2024-2025学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

§3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 一、选择题 1.抛掷一枚均匀的硬币,规定正面向上得1分,反面向上得-1分,则得分X的均值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0 B. C.1 D.-1 2.若随机变量X的分布列如下表所示, X 1 2 3 P 0.6 0.3 0.1 则EX= (　 ) A.1.5 B.2.5 C.2 D.3 3.[2024·吉林白城毓才高级中学高二月考] 已知随机变量X的分布列如下表,则X的均值EX等于 (　 ) X 0 1 2 3 P m A. B. C.1 D.2 4.已知随机变量X的分布列为 X -1 0 1 P a 设Y=2X+1,则EY= (　 ) A.- B. C.1 D. 5.在某次竞赛中共有40道选择题,每道选择题都有四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.评分标准规定:每题只选一个选项,答对得5分,不答或答错倒扣2分.某学生每道题答对的概率都为,则该学生在本次竞赛中得分的均值为(　 ) A.36 B.32 C.172 D.144 6.某公司参加两个项目的招标,A项目招标成功的概率为0.6,B项目招标成功的概率为0.4,且两个项目招标成功与否互不影响,每个项目招标成功可获利20万元,招标不成功将损失2万元,则该公司在这两个项目的招标中获利的均值为 (　 ) A.17.5万元 B.18万元 C.18.5万元 D.19万元 7.(多选题)已知随机变量X的分布列如下表, X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 EX=7.5,则下列结论正确的有 (　 ) A.a=5 B.a=7 C.b=0.4 D.b=0.3 8.(多选题)已知<p<1,随机变量X的分布列如下表, X 0 1 2 P p-p2 1-p p2 则下列结论正确的有 (　 ) A.P(X=2)是P(X=i)(i=0,1,2)的最大值 B.P(X=0)<P(X=1) C.EX随着p的增大而减小 D.EX随着p的增大而增大 二、填空题 9.已知某位运动员投篮一次命中的概率是未命中概率的4倍,设随机变量X为他投篮一次命中的次数,则X的均值是　　　　.  10.已知随机变量X的分布列为 X 2 3 4 5 P m n 且X的均值为,则P(X≤4)=　　　　.  11.现从3名女生和2名男生中随机选出2名志愿者,用随机变量X表示所选2名志愿者中男生的人数,则EX=　　　　.  12.甲、乙两人对同一目标各射击一次,甲命中的概率为,乙命中的概率为,且他们的射击结果互不影响,若命中目标的人数为ξ,则Eξ=　　　　.  三、解答题 13.某厂家向用户提供的一箱产品共10件,其中有2件次品,用户先对产品进行抽检以决定是否接收.抽检规则是:一次取1件产品检查(取出的产品不放回箱子),若前三次没有抽查到次品,则用户接收这箱产品;若前三次中任何一次抽查到次品,则立即停止抽检,并且用户拒绝接收这箱产品. (1)求这箱产品被用户接收的概率; (2)记抽检的产品件数为ξ,求ξ的分布列和数学期望. 14.[2024·吉林通化博文中学高二期末] 一个口袋中有除颜色外完全相同的4个白球,2个黑球,每次从袋中取出一个球. (1)若不放回地取2次球,求在第一次取出白球的条件下,第二次取出的是黑球的概率; (2)若不放回地取3次球,求取出的白球个数X的分布列及EX. 15.某车间打算购买2台设备,该设备有一个易损零件,在购买设备时额外购买这种易损零件价格为每个120元,在设备使用期间,零件损坏,备件不足再临时购买该零件时,价格为每个280元.在使用期间,每台设备需更换的零件个数X的分布列为 X 6 7 8 P 0.4 0.5 0.1 若购买2台设备的同时购买13个易损零件,则在使用期间,这2台设备另需购买易损零件所需费用的均值为 (　 ) A.1716.8元 B.206.5元 C.168.6元 D.156.8元 16.有120粒试验种子需要播种,现有两种方案:方案一:将120粒种子分种在40个坑内,每坑3粒;方案二:将120粒种子分种在60个坑内,每坑2粒.每粒种子发芽的概率均为,若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种(每个坑至多补种一次,且补种的种子数同坑内种子数).假定每个坑第一次播种需要2元,补种1次需要1元,每个成活的坑可收获100粒试验种子,每粒试验种子收益1元. (1)用ξ1,ξ2分别表示方案一、方案二的播种费用,求ξ1,ξ2的均值; (2)用η1,η2分别表示方案一、方案二的收益,求η1,η2的均值; (3)以(1)(2)中求得的结果为依据,如果在某块试验田对该种子进行试验,你认为应该选择哪种方案? §3　离散型随机变量的均值与方差 3.1　离散型随机变量的均值 1.A　[解析] 因为P(X=1)=,P(X=-1)=,所以由均值的定义得EX=1×+(-1)×=0.故选A. 2.A　[解析] 依题意得EX=1×0.6+2×0.3+3×0.1=1.5.故选A. 3.C　[解析] 由++m+=1,得m=,则EX=0×+1×+2×+3×=1.故选C. 4.B　[解析] 根据分布列的性质可得++a=1,解得a=,所以EX=-1×+0×+1×=-.又Y=2X+1,所以EY=2EX+1=2×+1=.故选B. 5.C　[解析] 设该学生回答1道选择题的得分为X,则EX=5×+(-2)×=,所以该学生回答40道选择题的得分的均值为40EX=40×=172,即该学生在本次竞赛中得分的均值为172.故选C. 6.B　[解析] 设该公司在这两个项目的招标中获利为X万元,则随机变量X的可能取值为40,18,-4,P(X=40)=0.6×0.4=0.24,P(X=18)=0.62+0.42=0.52,P(X=-4)=0.4×0.6=0.24,可得EX=40×0.24+18×0.52-4×0.24=18,所以该公司在这两个项目的招标中获利的均值为18万元.故选B. 7.BC　[解析] 由题意得0.3+0.1+b+0.2=1,解得b=0.4,则EX=4×0.3+0.1a+9×0.4+10×0.2=7.5,解得a=7,故选BC. 8.BD　[解析] 当p=时,P(X=2)=,P(X=1)=1-=>,A错误;因为<p<1,所以p-p2=p(1-p)<1-p,即P(X=0)<P(X=1),B正确;EX=(1-p)+2p2=2+,因为<p<1,所以EX随着p的增大而增大,C错误,D正确.故选BD. 9.0.8　[解析] 由题易知P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以EX=0.8×1+0.2×0=0.8. 10.　[解析] 由EX=2×+3×+4m+5n=,且++m+n=1,解得m=,n=,则P(X≤4)=++=. 11.　[解析] 由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则EX=0×+1×+2×=. 12.　[解析] 由题意知,ξ的所有可能取值为0,1,2,P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×==,P(ξ=2)=×=,故Eξ=0×+1×+2×=. 13.解:(1)设事件A表示“这箱产品被用户接收”,则P(A)==,即这箱产品被用户接收的概率为. (2)ξ的所有可能取值为1,2,3,P(ξ=1)==, P(ξ=2)=×=, P(ξ=3)=×=, ∴ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P ∴Eξ=×1+×2+×3=. 14.解:(1)设事件A表示“第一次取出白球”,事件B表示“第二次取出黑球”,则事件AB表示“第一次取出白球,第二次取出黑球”,则P(A)==,P(AB)==, 所以所求概率为P(B|A)==. (2)由题知,X的所有可能取值为1,2,3,则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,则X的分布列为 X 1 2 3 P 故EX=1×+2×+3×=2. 15.D　[解析] 记Y表示“2台设备使用期间需更换的零件个数”,则Y的所有可能取值为12,13,14,15,16,且P(Y=12)=0.42=0.16,P(Y=13)=2×0.4×0.5=0.4,P(Y=14)=0.52+2×0.4×0.1=0.33,P(Y=15)=2×0.5×0.1=0.1,P(Y=16)=0.12=0.01.若购买2台设备的同时购买13个易损零件,在使用期间,记这2台设备另需购买易损零件所需费用为Z元,则Z的所有可能取值为0,280,560,840,且P(Z=0)=P(Y≤13)=0.16+0.4=0.56,P(Z=280)=P(Y=14)=0.33,P(Z=560)=P(Y=15)=0.1,P(Z=840)=P(Y=16)=0.01,故EZ=280×0.33+560×0.1+840×0.01=156.8(元).故选D. 16.解:(1)用X1表示方案一中一个坑播种的费用,则X1的所有可能取值为2,3,易知X1的分布列为 X1 2 3 P ∴EX1=2×+3×=,∴Eξ1=40×EX1=85(元).用X2表示方案二中一个坑播种的费用,则X2的所有可能取值为2,3,易知X2的分布列为 X2 2 3 P ∴EX2=2×+3×=,∴Eξ2=60×EX2=135(元). (2)用Y1表示方案一中一个坑的收益,则Y1的所有可能取值为0,100,易知Y1的分布列为 Y1 0 100 P ∴EY1=100×=,∴Eη1=40×EY1=3937.5(元). 用Y2表示方案二中一个坑的收益,则Y2的所有可能取值为0,100,易知Y2的分布列为 Y2 0 100 P ∴EY2=100×=,∴Eη2=60×EY2=5625(元). (3)易知方案二所需的播种费用比方案一多50元,但是收益比方案一多1687.5元,故应选择方案二. 学科网（北京）股份有限公司 $$