专题训练8：利用空间向量求点面距、线面距、面面距及异面直线间的距离精练40题-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题训练8：利用空间向量求点面距、线面距、面面距及异面直线间的距离精练40题 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面与平面的距离为 7．（23-24高二上·四川眉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 9．（17-18高二上·河北石家庄·期末）四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 11．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 12．（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 13．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 14．（22-23高二上·湖北·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 15．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（    ） A．平面 B． C．到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 16．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 17．（22-23高二上·江苏淮安·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 18．（23-24高二上·宁夏固原·期末）如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 19．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 20．（23-24高一下·河南周口·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 三、填空题 21．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 22．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点.点到平面的距离是 . 23．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 24．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 25．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    26．（23-24高二下·上海·期中）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为 .    四、解答题 27．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 28．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 29．（23-24高一下·天津东丽·期末）三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求面与面夹角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 30．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）． (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 31．（23-24高一下·河北廊坊·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 32．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 33．（22-23高二下·江苏连云港·期末）如图，在三棱锥中，，平面平面.    (1)求异面直线与间的距离； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 34．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 35．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 36．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 37．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 38．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 39．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为 . 40．（23-24高二下·江苏常州·期中）图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练8：利用空间向量求点面距、线面距、面面距及异面直线间的距离精练40题 一、单选题 1．（23-24高二下·江苏泰州·期末）在空间直角坐标系中，已知点，若点到平面的距离为，则点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到平面距离的向量求法逐项检验可得答案. 【详解】对于A，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故A错误； 对于B，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故B错误；     对于C，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故C错误；     对于D，当时，设为平面的一个法向量， ，， 所以，即，令，则， 则点到平面的距离为，故D正确. 故选：D. 2．（22-23高二上·河北沧州·阶段练习）两平行平面分别经过坐标原点O和点，且两平面的一个法向量，则两平面间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量求解 【详解】∵两平行平面分别经过坐标原点O和点， 且两平面的一个法向量， ∴两平面间的距离． 故选：A 3．（23-24高二上·山东枣庄·阶段练习）如图，在正方体中，，M，N分别是棱AB，的中点，E是BD的中点，则异面直线，EN间的距离为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量即可根据公式求解. 【详解】以为原点，的方向为轴建立空间直角坐标系，易知， ，设同时垂直于， 由，令，得， 又，则异面直线间的距离为. 故选：A． 4．（23-24高二上·河北石家庄·期中）如图，正四棱柱中，，点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，由条件可得间最小距离即为异面直线与间的距离，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可得到结果. 【详解】 因为点E和F分别是线段与上的动点，则间最小距离即为 异面直线与间的距离， 建立如图所示空间直角坐标系，则， 则，， 设与异面直线与都垂直的向量， 则，解得，取，则， 所以，则异面直线间的距离为. 即间最小距离为. 故选：C 5．（23-24高二下·江苏泰州·期中）在四棱锥中，底面是边长为3的正方形，底面，点在侧棱上，且满足，则异面直线和的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以点为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】如图，以点为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系， 则. 所以， 设为直线和的公垂线的方向向量， 则有，可取， 所以异面直线和的距离为. 故选：A. 6．（22-23高二下·安徽阜阳·阶段练习）在棱长为2的正方体中，下列说法不正确的是（    ） A．直线与平面所成的角为 B． C．三棱锥外接球的表面积为 D．平面与平面的距离为 【答案】A 【分析】根据线面角的定义即可判断A，建立空间直角坐标系，通过空间向量的坐标运算即可判断BD，由三棱锥外接球与正方体的外接球相同即可判断C. 【详解】 连接，与相交于点，因为平面，且平面， 所以，又因为，，所以平面， 即直线与平面所成的角为，且，故A错误； 连接，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则，解得，取，则 所以，则，所以平面， 且平面，则，故B正确； 因为三棱锥外接球就是正方体的外接球， 设其外接球的半径为，则，即， 所以，故C正确； 因为平面平面所以平面 同理平面 又平面, 所以平面平面， 由B选项可知，平面的法向量为，且， 则两平面间的距离，故D正确. 故选:A 7．（23-24高二上·四川眉山·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点．则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建系，求平面的法向量，利用空间向量求点到面的距离. 【详解】如图，以A为坐标原点，为轴所在直线，建立空间直角坐标系， 则， 因为点分别为的中点．则， 可得， 设平面的法向量，则， 令，则，可得， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 8．（23-24高二上·河北石家庄·期末）在如图所示的直四棱柱中，底面是正方形，是的中点，点N是棱上的一个动点，则点到平面的距离的最小值为（    ）    A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】建立空间直角坐标系，将则点到平面的距离表示出来即可求得最值. 【详解】由题意知，该几何体为长方体，建立空间直角坐标系如下图所示， 则，设．    设平面的一个法向量为，则， 设，则，则， 所以点到平面的距离为， 又，所以当时， 点到平面的距离取得最小值为． 故选：D． 9．（17-18高二上·河北石家庄·期末）四棱锥中，，，，则顶点到底面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先求出平面的法向量，再根据点到面的距离的向量公式求解即可. 【详解】设平面的法向量为， 则有，令，则， 所以， 所以顶点到底面的距离为. 故选：A. 10．（23-24高二下·江西鹰潭·期末）在正四棱柱中，已知，O为棱的中点，则线段在平面上的射影的长度为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后求出平面的法向量，利用空间向量求解即可. 【详解】如图，以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 所以点平面的距离为， 所以线段在平面上的射影的长度为 . 故选：C 11．（23-24高二上·四川绵阳·阶段练习）已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，求出一个与都垂直的向量的坐标，根据空间距离的向量求法即可求得答案. 【详解】以A为坐标原点，以为轴建立空间直角坐标系，    则， 故， 设， 则； 设为与都垂直的向量， 则，令，则， 因为由题意点P到直线的距离的最小值可认为是异面直线和的之间的长度， 故点P到直线的距离的最小值为， 故选：A 12．（23-24高二下·福建厦门·期末）在棱长为2的正方体中，E，F，G分别是棱，，的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量求出点到平面的距离. 【详解】在正方体中，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量， 由，，得，则，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：D 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离可以利用几何法，作出点到平面的垂线段求解；也可以用向量法，求出平面的法向量，再求出这一点与平面内任意一点确定的向量在法向量的投影即可. 13．（23-24高二上·广东茂名·期末）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中，直线AC与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为，设，，根据垂直关系可得，根据题意结合数量积运算求解；解法2：建系，利用坐标法结合向量投影运算求解. 【详解】解法1：设是上任意一点，过作，垂足为， 设，， 则 ， ， 由题意可知：， 因为，则， 可得，则， 所以 ， 当且仅当时，等号成立， 所以直线与之间距离是； 解法2：以DA，DC，为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 可得，， 设，且，，则， 取，则，，可得， 则在上的投影就是两异面直线间的距离. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解法2解决的关键是将两异面直线间的距离转化为在上的投影，从而得解. 二、多选题 14．（22-23高二上·湖北·阶段练习）已知正方体的棱长为1，点分别是的中点，满足，则下列说法正确的是（    ） A．点到直线的距离是 B．点到平面的距离为 C．平面与平面间的距离为 D．点到直线的距离为 【答案】AB 【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积求得各个选项的距离，得出结论. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则， ， 所以. 设，则， . 故到直线的距离，故A对. 易知， 平面的一个法向量， 则点到平面的距离，故B对. . 设平面的法向量为， 则，所以 令，得， 所以. 所以点到平面的距离. 因为平面平面， 所以平面与平面间的距离等于点到平面的距离， 所以平面与平面间的距离为，故C错. 因为， 所以 又，则， 所以点到的距离，故D错. 故选：AB. 15．（23-24高二下·四川攀枝花·期末）如图，棱长均为2的正三棱柱中，分别是的中点，则（    ） A．平面 B． C．到平面的距离为 D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BCD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量判断个选项的准确性. 【详解】如图：以中点为原点，建立空间直角坐标系. 则：，，，，，，，. 所以，，，，. 设平面的法向量为：，则： ，取. 对A：因为，所以平面不成立，故A错误； 对B：因为，所以成立，故B正确； 对C：点到平面的距离为：，故C正确； 对D：设直线与所成的角为，则，故D正确. 故选：BCD 16．（23-24高二下·陕西咸阳·期末）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，平面，，，则（    ） A． B． C．异面直线与夹角的余弦值为 D．点到平面的距离为 【答案】ACD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，直接由向量线性运算的坐标表示即可验算；对于B，由向量模的计算公式即可验算；对于C，由向量夹角公式即可求解；对于D，由公式验算即可. 【详解】因为平面，平面，所以， 在正方形中，有，所以两两互相垂直， 所以以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 而，从而， 对于A，，故A正确； 对于B，，，故B错误； 对于C，，所以异面直线与夹角的余弦值为，故C正确； 对于D，，设平面的法向量为，则， 令，解得，所以，又， 所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD. 17．（22-23高二上·江苏淮安·开学考试）如图，在棱长为1的正方体中（    ） A．与的夹角为 B．平面与平面夹角的正切值为 C．与平面所成角的正切值 D．点到平面的距离为 【答案】BCD 【分析】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量逐个求解判断即可. 【详解】如图，以为原点，所在有直线分别为轴建立空间直角坐标系，则 ， 对于A，设与的夹角为，因为，， 所以， 因为，所以，所以A错误， 对于B，设平面的法向量为， 因为，, 所以，令，则， 因为平面， 平面的一个法向量为， 所以， 设平面与平面夹角为（为锐角），则， 所以，所以， 所以平面与平面夹角的正切值为，所以B正确， 对于C，，平面的法向量为， 设与平面所成角为，则 因为为锐角，所以， 所以， 所以与平面所成角的正切值，所以C正确， 对于D，因为，平面的法向量为， 所以点到平面的距离为 ，所以D正确， 故选：BCD 18．（23-24高二上·宁夏固原·期末）如图，在长方体中，为的中点，分别是直线上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．三棱锥的体积为4 B． C．直线所成角的余弦值为 D．的最小值为 【答案】ABD 【分析】以为底面可得三棱锥的体积为4，可判断A正确；由体对角线长度计算可得，可得B正确；建立空间直角坐标系由空间向量可得直线所成角的余弦值为，即C错误；利用向量垂直可得当与，都垂直时，取得最小值，求出的坐标可知D正确. 【详解】对于A，由等体积法可得三棱锥的体积为，可知A正确； 对于B，利用长方体性质可得，即B正确； 对于C，建立以为坐标原点的空间直角坐标系，如下图所示： 易知，则； 则 所以直线所成角的余弦值为，即C错误； 对于D，易知，则，， 设，即， 设，则 当与，都垂直时，取得最小值； 即，解得； 可，此时的最小值为，即D正确； 故选：ABD 【点睛】方法点睛：在求解异面直线上两点距离最小问题时，可利用公垂线性质求得当两点连线为异面直线的公垂线时距离最短，即可求得结果. 19．（22-23高二下·河南周口·阶段练习）如图，在几何体中，四边形是矩形，，且平面平面，，，则下列结论正确的是（    ） A． B．异面直线、所成的角为 C．几何体的体积为 D．平面与平面间的距离为 【答案】ABD 【分析】过点作使得，过点作，分析可知几何体为正方体，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断BD选项；证明出四边形为平行四边形，可判断A选项；计算出几何体的体积，可判断C选项. 【详解】过点作使得，过点作，如图所示： 因为四边形为矩形，则， 又因为，则， 所以，四边形为平行四边形，则，， 因为平面平面，则与、共面， 即与、共面，所以，、、、四点共面， 同理可知，、、、四点共面， 故几何体为四棱柱， 因为四边形为矩形，则， 又因为，，、平面， 所以，平面， 因为，则，， 所以，在底面中，，，故四边形为平行四边形， 因为，则，所以，，即， 所以，平行四边形为正方形， 又因为，故几何体为正方体， 对于A选项，在正方体中，且， 故四边形为平行四边形，所以，，A对； 对于B选项，以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    则、、、、、， ，， ， 所以，异面直线、所成的角为，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，因为，平面，平面，所以，平面， 因为，平面，平面，所以，平面， 又因为，、平面，所以，平面平面， 设平面的法向量为，，， 则，取，可得， 又因为，所以，平面与平面间的距离为，D对. 故选：ABD. 20．（23-24高一下·河南周口·期末）在棱长为2的正方体中，分别是棱的中点，点满足，下列结论正确的是（    ） A．若，则平面 B．若，则过点的截面面积是 C．若，则点到平面的距离是 D．若，则与平面所成角的正切值为 【答案】BD 【分析】延长相交于点，若平面，根据线面平行的性质定理可得与重合可判断A；连接，得四边形即为过点的截面，利用四边形是等腰梯形，求出面积可判断B；以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，利用点到平面的向量求法可判断C；利用线面角的向量求法可判断D. 【详解】对于A，若，则，即点与点重合， 延长相交于点，连接，则平面平面， 若平面，平面，所以， 因为，所以，即与重合，显然不可能，故A错误；    对于B，若，则，即点与点重合， 连接，因为，所以， 即四边形即为过点的截面，且， ， 所以四边形是等腰梯形，其高为， 所以四边形的面积为，故B正确；    对于C，若，即点是的中点，以为原点，所在 的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， ，， 设为平面的一个法向量，则 ，所以，令，则， 所以，所以点到平面的距离为 ，故C错误，    对于D，若，由C，，所以， 为平面的一个法向量， 设与平面所成角为， 则， 所以， 可得，故D正确. 故选：BD. 【点睛】关键点点睛：CD选项的解题的关键点是建立空间直角坐标系求解. 三、填空题 21．（23-24高二下·江苏南通·期中）已知正方体的棱长为1，是异面直线AC与的公垂线段，点在AC上且点在上，则 . 【答案】 【分析】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用，可求出两点的坐标，从而可求出答案. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 因为点M在上，点N在上，所以设，， 所以,， 因为MN是异面直线AC与的公垂线段， 所以，即，解得， 所以，， 所以点M是线段上靠近点的一个三等分点， 点N是线段上靠近点的一个三等分点， 且异面直线与间的距离为.    故答案为：. 22．（22-23高二上·新疆伊犁·期末）如图，直三棱柱中，，，、分别是棱、的中点.点到平面的距离是 . 【答案】 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得点到平面的距离. 【详解】解：直三棱柱中，，， 以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 设平面的法向量为，则，， 则，取，可得， 又因为，故点到平面的距离为. 故答案为：. 23．（23-24高二下·山东烟台·阶段练习）如图，在边长为1的正方体中，点在上，点在平面内，设直线与直线所成角为.若直线到平面的距离为，则的最小值为 . 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法表示出到面的距离，进而求出点坐标，过作平面的平行平面，得到点的轨迹，再利用向量法求线线角，进而求其最值即可. 【详解】因为直线到平面的距离为， 所以必有面，即点到平面的距离为， 如图建立空间直角坐标系，设，又， 则， 设面的法向量为， 则，取得， 则，解得，即， 过作平面的平行平面，与正方体的截面为， 分别为线段和线段的中点，则 所以在直线上， 设， 又，则， 当时，， 当时，， 又，所以， 则的最小值为. 故答案为： 24．（23-24高二下·江苏扬州·期中）在正三棱锥中，，且该三棱锥的各个顶点均在以为球心的球面上，设点到平面的距离为，到平面的距离为，则 ． 【答案】 【分析】根据，得到两两垂直，从而把该三棱锥补成一个正方体，再建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】在正三棱锥中，，又，， 所以，所以， 同理可得，，即两两垂直， 把该三棱锥补成一个正方体，则三棱锥的外接球就是正方体的外接球，如图所示， 正方体的体对角线就是外接球的直径，则， 如图，以点为原点建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，所以， 则点到平面的距离， 所以． 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求点到平面的距离，方法如下： （1）等体积法：先计算出四面体的体积，然后计算出的面积，利用锥体的体积公式可计算出点到平面的距离； （2）空间向量法：先计算出平面的一个法向量的坐标，进而可得出点到平面的距离为. 25．（23-24高二下·江苏宿迁·期中）直四棱柱的所有棱长都为，，点在四边形及其内部运动，且满足，则点到平面的距离的最小值为 ．    【答案】/ 【分析】取交点于点，以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立空间直角坐标系，设，，，可得，则，由求出平面的一个法向量，由点到平面的距离公式可得，再由，可得点到平面的距离的最小值. 【详解】   取交点于点， 因为直四棱柱的所有棱长都为， 所以， 以所在直线为轴，过点竖直向上所直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 所以，，，， ，， 设平面的法向量为， 则有，令，则，，所以， 因为点在四边形及其内部运动，所以设，， 又因为，所以， 即，则， 设点到平面的距离为，则有， 又因为，所以时，， 即点到平面的距离的最小值为 . 故答案为：. 26．（23-24高二下·上海·期中）如图，某正方体的顶点在平面内，三条棱都在平面的同侧，若顶点到平面的距离分别为，2，3，则该正方体外接球的表面积为 .    【答案】 【分析】取作为空间向量的一组基底，设为平面向上的一个单位向量，再设正方体的棱长为，由题意，在上的投影长度分别为，用表示出，由可求出，进而可得正方体外接球的半径，再用球的表面积公式求解. 【详解】设正方体的棱长为，取作为空间向量的一组基底，设单位向量是平面的一个方向向上的法向量，根据空间向量基本定理，存在唯一的有序是数组，使得. 由题意：在上的投影长度为， 所以 同理：，. 所以，又，所以. 所以正方体外接球半径为：. 所以外接球表面积为：. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：用空间向量解决问题，关键要选择一组合适的向量做基底.这个题目，因为涉及正方体，所以可以选择从正方体的一个顶点出发的三个向量做基底. 四、解答题 27．（22-23高二下·江苏常州·阶段练习）如图，正方体的棱长为2，点为的中点． (1)求点到平面的距离为； (2)求到平面的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求点到平面的距离为即可； （2）利用法向量的来证明线面平行，将到平面的距离进行转化为点到面的距离即可. 【详解】（1）以为原点，所在的直线分别为轴如图建立空间直角坐标系， 则， 所以，                     设平面的一个法向量为， 则， 令， 所以平面所的法向量为，又 所以点到平面的距离. （2）由（1）可得平面的法向量为， ∵，∴， ， ， ∴平面，                  所以到平面的距离可以转化为点到平面的距离， 由， 所以到平面的距离为. 28．（22-23高二上·北京·期中）如图，在四棱锥中，，底面为正方形，分别为的中点． (1)求证：∥平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）利用中位线定理证明，然后由线面平行的判定定理证明即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数法求出平面的法向量，由向量的夹角公式求解即可； （3）求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量公式求解即可． 【详解】（1）证明：因为，分别为，的中点， 所以， 又平面，平面， 故平面； （2）由于平面， 所以平面， 以点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示， 则，，，，， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为； （3）因为， 又平面的法向量为， 所以点到平面的距离为． 29．（23-24高一下·天津东丽·期末）三棱台中，若平面，，，，M，N分别是，中点. (1)求证：平面； (2)求面与面夹角的正弦值； (3)求点C到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得，根据线面平行判定定理即可证明； （2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，利用平面法向量即可求解； （3）根据公式直接计算即可求解. 【详解】（1）三棱台中，面分别是中点， ， 四边形是平行四边形，， 平面平面， 平面； （2） 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则． ， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设平面的法向量为， 则，取，得， 设面与面夹角为， 则， 面与面夹角的正弦值； （3）由（2）可知平面的法向量为，而， 所以， 即点到平面的距离是． 30．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，在三棱柱中，棱的中点分别为在平面内的射影为D，是边长为2的等边三角形，且，点F在棱上运动（包括端点）． (1)若点为棱的中点，求点到平面的距离； (2)求锐二面角的余弦值的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用空间向量法求点到面的距离即可； （2）用动点引入变量表示动向量，再用空间向量法求二面角的余弦值，最后利用关于变量的函数求取值范围即可. 【详解】（1）连接，依题意可知平面，由于平面， 所以， 由于三角形是等边三角形，所以，， 又， 以为原点，建立如图所示空间直角坐标系， 则，， 又，故，， 则，， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故，又， 所以点到平面的距离为. （2）设，， 则， 设平面的法向量为， 则，令，则，， 故， 设锐二面角为， 则， 令， 所以，设， 则， 二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，该二次函数单调递增， 所以当时，该二次函数有最小值， 当时，该二次函数有最大值， 所以，即. 即锐二面角的余弦值的取值范围为. 31．（23-24高一下·河北廊坊·期末）如图，在四棱锥中，四边形是边长为2的菱形，，，，点E，F分别为棱，的中点. (1)求证：平面； (2)若直线与平面所成角的大小为. ①求二面角的余弦值； ②求点F到平面的距离. 【答案】(1)证明见详解 (2)①；② 【分析】（1）取中点，连接，通过证明，再证平面. （2）先证平面，以的交点为原点，建立空间直角坐标系，用空间向量的方法求二面角和点到面的距离. 【详解】（1）如图： 取中点，连接，. 因为为中点，所以且， 又四边形为菱形，且为中点，所以且， 所以且. 所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面. （2）如图： 连接，，交于点， 因为四边形为菱形，所以，且为，的中点， 又因为，所以，，平面，且， 所以平面，易得为直线与平面所成的角的平面角， 则，又，，， 所以，，，， 以为原点，建立如图空间直角坐标系，则，，， ，，，. 所以，，，. ①设平面的法向量为 则，取. 设平面的法向量为， 则，取. 所以二面角的余弦值为：. ②点平面的距离为：. 32．（23-24高二下·上海·期末）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，为线段的中点，，为线段上的动点.    (1)证明：； (2)当为线段的中点时，求点到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证出平面和平面，进而可得； （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出平面的法向量，利用空间向量法求出点到平面的距离． 【详解】（1）平面，平面， ， 又平面， 平面，又平面， ， 中，为的中点，， 平面，平面， 平面，. （2）以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设为平面的法向量，    则，令，则，故， 则点与平面的距离. 33．（22-23高二下·江苏连云港·期末）如图，在三棱锥中，，平面平面.    (1)求异面直线与间的距离； (2)若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）法一：根据等腰三角形性质得PO垂直AC，，根据线面垂直的判定定理得面，在面中，作，知为异面直线与间的距离可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，设，且可得，由异面直线与间的距离向量求法可得答案； （2）方法一：在平面内作，则平面，在平面内作，则，得为二面角的平面角，法一：设点到平面的距离为，利用得可得答案；法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建空间直角坐标系，求出平面的法向量，由线面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）法一：取中点，连接，由知， 又平面平面，平面平面，故平面， 连接，则， 又因为为中点，故， 面，故面， 在面中，作，则由知为异面直线与间的距离， 由，知， 即异面直线与间的距离为；    法二：取中点，连接，由知， 又平面平面，平面平面，故平面 以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 则， 设，且， 则，令，则， 又，则异面直线与间的距离为；    （2）由（1）知平面，可得平面平面， 如图，在平面内作，垂足为，则平面， 在平面内作，垂足为，联结， 平面，所以，且，平面， 所以平面，平面，所以    故为二面角的平面角，即， 设，则，在Rt中，， 在Rt中，由知，得， 法一：设点到平面的距离为，由，得，即， 又， 解得，则与平面所成角的正弦值为； 法二：以为坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴， 建立空间直角坐标系如图， 则， ， 设平面的法向量为，则由， 知，令，则， 则与所成角的余弦值为， 则与平面所成角的正弦值.    34．（23-24高二上·辽宁大连·期末）三棱台中，，平面平面ABC，，与交于D．    (1)证明：平面； (2)求异面直线与DE的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由题意和三棱台的结构特征可得，进而证得，结合线面平行的判定定理即可证明； （2）根据面面垂直的性质和线面垂直的判定定理与性质证得、，建立如图空间直角坐标系，利用空间向量法求解线线距，即可求解. 【详解】（1）三棱台中，，则， 有，得，所以， 又，所以在平面内，，有， 平面平面，所以平面． （2）已知平面平面ABC，平面平面，， 平面，所以平面，由平面，得， 又平面ABC，平面ABC， 所以平面ABC，由平面ABC，得. 以B为坐标原点的方向分别为x轴，y轴，z轴正方向，建立如图空间直角坐标系． 则有， ， 因为，所以， 设向量，且满足：， 则有，令， 在的投影数量为， 异面直线与DE的距离.    35．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，已知四棱台的上、下底面分别是边长为2和4的正方形，，且底面，点满足，点是棱上的一个点(包括端点)． (1)求证：； (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题意可建立适当空间直角坐标系，得到、后借助空间向量共线定理即可得证； （2）求出平面与平面的法向量后，借助空间向量夹角公式计算即可得点具体位置，再借助点到平面距离公式求解即可得. 【详解】（1）因为底面，且底面为正方形，且、底面， 所以，，两两互相垂直， 以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 则，，有，故； （2），因为点满足，点是棱上的一个点（包括端点）， 所以，设，， 所以，， 设平面的法向量为， 则，令，得，，则， 由题可得轴平面，则平面的一个法向量为， 因为二面角角的余弦值为， 所以， 解得或（舍去），所以， 因为，所以点到平面的距离为． 因为，故到平面的距离为. 36．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【详解】（1）令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 37．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）如图，在四棱锥中，平面平面，，，，为棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，. （ⅰ）求平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）在线段上是否存在点，使得点到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii）存在， 【分析】（1）取中点，可证四边形是平行四边形，可得，从而得证； （2）（i）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，（ii）假设存在点到平面的距离为，利用点到面的距离公式法求解即可. 【详解】（1）取PD的中点N，连接AN，MN，如图所示：∵M为棱PC的中点， ∴，∵，∴， ∴四边形ABMN是平行四边形，∴， 又平面PAD，平面PAD，∴平面PAD． （2）∵，∴，∴， ∵平面平面ABCD，平面平面，平面PDC， ∴平面ABCD， 又AD，平面ABCD，∴，而，， ∴以点D为坐标原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图：则， ∵M为棱PC的中点， ∴ （i）， 设平面BDM的一个法向量为， 则，令，则，∴， 平面PDM的一个法向量为， ∴， 所以平面面夹角的余弦值为. （ii）假设在线段PA上存在点Q，使得点Q到平面BDM的距离是， 设， 则， 由（2）知平面BDM的一个法向量为，， ∴点Q到平面BDM的距离是， ∴，∴． 38．（23-24高二下·江苏连云港·期中）如图，长方体的顶点A在平面内，其余顶点均在平面的同侧，，，，若顶点B到平面的距离为2，顶点D到平面的距离为2，则顶点到平面的距离为 . 【答案】/ 【分析】建立空间直角坐标系，设平面的一个法向量，利用距离公式即可求解. 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的一个法向量为， 由题意可得，解得， 所以顶点到平面的距离为. 故答案为：. 39．（23-24高二上·四川绵阳·期末）如图①是直角梯形，，，是边长为2的菱形，且，以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大，是线段上的动点，则面积的最小值为 . 【答案】/ 【分析】由题意得面面，结合菱形性质，得两两互相垂直，建立适当的空间直角坐标系，只需点到直线的距离最小即可，由空间向量法求点到直线的距离即可得解. 【详解】    折起前，连接菱形的对角线，交于点， 所以，所以折起后有， 因为菱形的边长为2， 所以， 又因为，，且 所以在中，有， 所以， 所以折起前后四边形的面积固定， 若以为折痕将折起，当点到达的位置时，四棱锥的体积最大， 则此时点到平面的距离最大， 则此时有面面， 又面面，，面， 所以面， 又面， 所以， 又， 所以两两互相垂直， 所以以为原点，所在直线分别为所在直线建立如图所示的空间直角坐标系：    若要面积最小，则只需点到直线的距离最小即可， 由题意， 过点作于点，则， 又因为， 所以，即， 所以， 因为三点共线， 所以不妨设 ， 所以点到直线的距离为 ， 所以当时，， 又， 所以面积的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点睛：解题关键是得到面面，结合菱形性质，建立适当的空间直角坐标系，由此即可顺利得解. 40．（23-24高二下·江苏常州·期中）图①展现的是一种被称为“正四角反棱柱”的多面体，其上下底面平行且均为正方形，它的俯视图是一个正八边形（图②）.已知此多面体上下底面的边长为2，高为. (1)判断直线与直线是否垂直，并说明理由； (2)求二面角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)不垂直，理由见解析 (2) (3) 【分析】连接，交于点，连接，交于点，以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系；(1)利用向量数量积判断直线与直线是否垂直； (2)求出平面的一个法向量及平面的一个法向量，再由两平面法向量所成角的余弦值可得二面角的大小； (3)求出的坐标，再由点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）连接，交于点，由为正方形知， 连接，交于点，由“俯视图为正八边形”知平面， 以为坐标原点，以为正交基底，建立空间直角坐标系. 则. ， . 所以不垂直于，所以直线与直线不垂直. （2）， 设平面的一个法向量为， 则， 取，得. 平面的一个法向量为. 设二面角平面角为， 则. 由图知，所以二面角的大小为. （3），由（2）平面的一个法向量为， 所以，点到平面的距离. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$