专题训练6：利用空间向量求面面角（二面角）精练40题-2024-2025学年高二数学单元速记•巧练（人教B版2019选择性必修第一册）

专题训练6：利用空间向量求面面角（二面角）精练40题 一、单选题 1．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（    ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．2 3．（22-23高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 6．（2024·江西宜春·模拟预测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高二下·浙江·期末）已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 10．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 二、多选题 12．（23-24高二下·江苏常州·期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 13．（21-22高三上·湖北·开学考试）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 14．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 15．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 16．（23-24高二下·福建福州·期末）如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的取值范围是 D．二面角的正弦值为 三、填空题 17．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，为上一点．若二面角的大小为，则的长为 ．    18．（22-23高二上·浙江温州·期中）如图，平行六面体中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，则线段D1E的长度为 ． 19．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 20．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    21．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 22．（2024·河北沧州·一模）已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 23．（23-24高二下·江苏常州·期中）等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 24．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 25．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 四、解答题 26．（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 27．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．    (1)证明：； (2)设是边长为3的等边三角形，是线段上（不与重合）的点，若二面角的大小为，求的值．    28．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 29．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，． (1)证明：平面； (2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角． 30．（22-23高三上·山东滨州·期末）如图，在四棱锥中，，，，O为的中点，，.    (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值.    31．（23-24高二下·湖南·期末）如图，是半圆的直径，依次是半圆弧上的两个三等分点，将沿翻折到，使得，得到四棱锥.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 32．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 33．（24-25高二上·河南漯河·期中）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 34．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 35．（23-24高二下·云南临沧·期末）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面. (1)求； (2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 36．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． (1)求证：平面平面PBC； (2)设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 37．（23-24高一下·吉林·期末）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 38．（23-24高二下·贵州黔南·期末）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平总书记对“三农”工作作出重要指示．某地区为响应习近平总书记的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形是正方形，，且都垂直于平面．，平面平面． (1)求证：平面BCF； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 39．（23-24高二上·广东汕尾·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .    40．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. (1)求二面角的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练6：利用空间向量求面面角（二面角）精练40题 一、单选题 1．（23-24高二上·云南丽江·期中）已知平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，则两平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先利用向量的夹角公式求两个向量夹角的余弦值，再利用二面角的余弦值与两法向量夹角余弦值的关系即可得. 【详解】设两平面的夹角为，又平面的一个法向量为，平面的一个法向量为， 所以． 故选：D． 2．（23-24高二下·甘肃酒泉·期末）设，分别为两平面的法向量，若两平面所成的角为60°，则t等于（    ） A．1 B．－1 C．－1或1 D．2 【答案】C 【分析】借助向量夹角公式求解即可. 【详解】因为法向量，所成的角与两平面所成的角相等或互补， 所以，得t＝±1． 故选：C． 3．（22-23高二上·北京·期中）如图，点，，分别在空间直角坐标系的三条坐标轴上，已知，，垂足，为两个不同的点，且，设直线与所成的角为，二面角的大小为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由直线与直线夹角和二面角的范围求解即可. 【详解】由题意可知，， . 且由图可知二面角为锐角，. 故选：A 4．（2024·内蒙古包头·一模）如图，底面是边长为2的正方形，半圆面底面，点为圆弧上的动点．当三棱锥的体积最大时，二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置.此时建立适当的空间直角坐标系，求出平面，平面的法向量，由法向量夹角余弦的坐标公式即可求解. 【详解】三棱锥的体积与到平面的距离成正比， 故当三棱锥的体积最大时,此时点处于半圆弧的正中间位置. 点处于半圆弧的正中间位置时，记的中点为，以其为原点，分别作为轴正方向，建立空间直角坐标系. 平面显然有法向量， ， 设为平面的法向量， 则该向量与和均垂直， 所以，从而. 令，解得， 故符合条件， 显然二面角为锐角， 因此所求余弦值为. 故选：D. 5．（23-24高二上·河南焦作·阶段练习）如图，过二面角内一点作于于，若，则二面角的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，根据向量的模长关系可得，进而可求，即可得二面角. 【详解】设，则且， 因为，解得， 可得， 且，所以， 所以二面角的大小为． 故选：C. 6．（2024·江西宜春·模拟预测）在正方体中，平面经过点，平面经过点，当平面分别截正方体所得截面面积最大时，平面与平面的夹角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】因为正方体中过体对角线的截面面积最大，所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值，建立空间直角坐标系，求得即可. 【详解】 如图：因为正方体中过体对角线的截面面积最大， 所以题目转化为求平面与平面夹角的余弦值， 以点为坐标原点，以的方向分别为轴正方向， 建立空间直角坐标系， 由为正方体，设棱长为，，所以四边形为正方形， 所以，又因为平面，平面， 所以，又因为，平面，所以平面， 即为平面的一个法向量， 同理为平面的一个法向量， 由，知， 设平面与平面的夹角为，， 则. 故选：A. 7．（23-24高二下·福建龙岩·阶段练习）如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，平面，为侧棱上的点，则二面角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，结合向量即可求解. 【详解】连接，设交于点，则平面， 以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系， 设底面边长为，则， 显然是平面的一个法向量， 因为平面，所以是平面的一个法向量， 设二面角为，所以. 故选：B. 8．（23-24高二下·浙江·期末）已知正方体，点在上运动（不含端点），点在上运动（不含端点），直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，则下列关于的取值可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量，然后求出直线与平面所成的角，平面与平面所成的角，结合最小角定理和最大角定理分析判断. 【详解】如图，以为原点，所以在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1，则， 所以， 设平面的法向量为，则 ，令，则， 对于AB，设直线与平面所成的角为，则 ， 因为，所以， 由最小角定理得， 当时，，所以A错误， 当时，，所以B错误， 对于CD，设平面的法向量为， 则，令，则， 设平面与平面所成的角为，则 ， 由最大角定理得， 当时，，所以C正确， 当时，，所以D错误， 故选：C． 9．（2024·山东临沂·二模）已知正方体中，M，N分别为，的中点，则（    ） A．直线MN与所成角的余弦值为 B．平面与平面夹角的余弦值为 C．在上存在点Q，使得 D．在上存在点P，使得平面 【答案】C 【分析】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1，由空间向量计算异面直线所成角，二面角和线线垂直可判断ABC；由四点共面，而平面可判断D. 【详解】以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为1， 所以，， ， 对于A，，， 直线MN与所成角的余弦值为，故A错误； 对于B，，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， ，， 设平面的法向量为，则， 取，可得，所以， 平面与平面夹角的余弦值为： ，故B错误； 对于C，因为Q在上，设，所以，， 则，所以， 所以，， 所以，解得：. 故上存在点，使得，故C正确； 对于D，因为，所以四点共面， 而平面，所以上不存在点P，使得平面，故D错误. 故选：C. . 10．（23-24高二上·北京顺义·期末）如图，在正方体中，E是棱上的动点，则下列结论正确的是（    ） A．直线与所成角的范围是 B．直线与平面所成角的最大值为 C．二面角的大小不确定 D．直线与平面不垂直 【答案】D 【分析】建立适当的空间直角坐标系，对于A，由直线方向向量夹角余弦的范围即可判断；对于B，由线面角正弦值的公式即可判断；对于C，由两平面的法向量夹角余弦即可判断；对于D，由即可判断. 【详解】以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系： 不妨设正方体棱长为1， ， 对于A，， 不妨设直线与所成角为， 所以， 当增大时，分别减小，增大，所以关于单调递减， 所以，所以，故A错误； 对于B，由题意，且显然平面的法向量为， 不妨设直线与平面所成角为， 则单调递增，， 所以，所以，故B错误； 对于C，， 所以， 不妨设平面与平面的法向量分别为， 所以有和，令，解得， 即取平面与平面的法向量分别为， 二面角为锐角，不妨设为， 则， 所以二面角的大小为，故C错误； 对于D，， 所以， 所以与不垂直，所以直线与平面不垂直. 故选：D. 【点睛】关键点睛：C选项的关键是看两平面法向量夹角是否固定不变，由此即可顺利得解. 11．（23-24高二上·浙江杭州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P为线段上的动点，则下列结论错误的是（    ） A．直线与所成的角不可能是 B．当时，点到平面的距离为 C．当时， D．若,则二面角的平面角的正弦值为 【答案】D 【分析】建立如图的空间直角坐标系，利用反证法可判断A的正误，利用空间中的距离公式计算BC后可判断它们的正误，利用向量法可求面面角的余弦值后结合同角的三角函数基本关系式计算后可判断D的正误. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则， ， 对于A，设，故， 故，而， 设直线与所成的角为，则， 若直线与所成的角是，则， 整理得到：，此方程在上无实数解， 故直线与所成的角不可能是，故A正确. 对于B，当时，结合A中分析可得，故， 故，而，设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，故到平面的距离为， 故B正确. 对于C，当时，又B的分析可得，故， 故，故C正确. 对于D，当时，结合的分析可得，此时， 故，而，设此时平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 又，， 设平面的法向量为， 则即，取，则，， 故， 故，故二面角的平面角的正弦值为， 故D错误. 故选：D. 【点睛】方法点睛：立体几何中，与角、距离等有关的计算，可以利用综合法构造几何对象并利用解三角形的方法进行相关的计算，也可以利用几何体的特征构建空间直角坐标系，把角、距离的计算问题归结向量的坐标运算. 二、多选题 12．（23-24高二下·江苏常州·期中）直线的方向向量为，两个平面的法向量分别为，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，则直线平面 B．若，则平面平面 C．若，则平面所成锐二面角的大小为 D．若，则直线与平面所成角的大小为 【答案】BCD 【分析】由，则直线平面或，可判断不正确；根据平面法向量的概念及空间角的求解方法，可判断正确. 【详解】由，则直线平面或，故错误； 由，则平面平面，故正确； 若，设平面和平面所成角为，且， 则， 所以平面所成锐二面角的大小为，故正确； 设直线与平面所成角为， 则，且， 所以直线与平面所成角的大小为，故正确. 故选：. 13．（21-22高三上·湖北·开学考试）如图，平面，，，，，，，则（    ） A． B．平面 C．平面与平面的夹角的余弦值为 D．直线与平面所成角的正弦值为 【答案】BC 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一计算可得. 【详解】因为平面，， 由题意，以为坐标原点，分别以，，的方向为轴、轴、轴正方向建立空间直角坐标系， 可得，，，，，， 则，， 所以，所以，不垂直，故A错误； 依题意，是平面的法向量， 又，可得，则， 又因为直线平面，所以平面，故B正确； 设为平面的一个法向量，则， 即，令，可得， 依题意，，， 设为平面的法向量， 则，即，不妨令，可得， 所以， 故平面与平面的夹角的余弦值为，故C正确； 设直线与平面所成角为，， 则，故D错误. 故选：BC. 14．（23-24高二下·福建漳州·期末）如图，六面体的一个面是边长为2的正方形，，，均垂直于平面，且，，则下列正确的有（    ） A． B．直线与直线所成角的余弦值为 C．平面与平面所成角的余弦值为 D．当时，动点到平面的距离的最小值为1 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直证明线线垂直判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法求线线角判断B，求二面角判断C，利用点面距离判断D. 【详解】对A，由平面，平面，得，又由正方形可得，又平面，所以平面， 由平面，可得，故A正确； 如图，建立空间直角坐标系， 则， 设是平面的法向量，， 由，令，可得， ， ，解得，即， 对B，，，故B错误； 对C，平面的法向量，平面的法向量， 则，故C正确； 对D，由知，在以为球心，半径为1的球面上，， 球心到平面的距离， 到平面的距离的最小值为，故D正确. 故选：ACD 15．（23-24高一下·浙江衢州·期末）如图所示，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，点为侧棱上的动点，为线段中点.则下列说法正确的是（    ） A．存在点，使得平面 B．周长的最小值为 C．三棱锥的外接球的体积为 D．平面与平面的夹角正弦值的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据线面垂直的判定定理与性质即可判断A；如图，确定三点共线时取得最小值，进而判断B；如图，确定球心和半径即可判断C；利用空间向量法求解面面角即可判断D. 【详解】A：由题意知，，又平面， 所以平面，由平面，得； 当为的中点时，又四边形为正方形，为的中点， 所以，由平面，所以平面，故A正确； B：将平面和平面沿铺成一个平面，如图，连接，交于， 此时三点共线，取得最小值，即的周长取得最小值， 又， 所以的周长的最小值为，故B错误； C：易知中，，取的中点，过作平面，如图 ， 则三棱锥的外接球的球心必在上，且， 所以球的半径为，其体积为，故C正确； D：易知两两垂直，建立如图空间直角坐标系， 则，设， 所以， 易知为平面的一个法向量，设平面的一个法向量为， 则，令，得，所以， 所以， 当且仅当时等号成立，设平面与平面所成角为， 则，所以，故D正确. 故选：ACD 【点睛】方法点睛：解决与球相关的切、接问题，其通法是作出截面，将空间几何问题转化为平面几何问题求解，其解题思维流程如下： （1）定球心：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为球的半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径； （2）作截面：选准最佳角度做出截面（要使这个截面尽可能多的包含球、几何体的各种元素以及体现这些元素的关系），达到空间问题平面化的目的； （3）求半径下结论：根据作出截面中的几何元素，建立关于球的半径的方程，并求解. 16．（23-24高二下·福建福州·期末）如图，在正方体中，M是线段上的一点，则下列说法正确的是（    ） A． B．平面 C．异面直线与所成的角的取值范围是 D．二面角的正弦值为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，利用线线角的向量求法判断C，利用二面角的向量求法判断D即可. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴， 为轴，建立空间直角坐标系，且设正方体边长为2， 故,,，，， 所以，， 对于A，，，故， ，因为，共线， 所以，故， 故，而， 所以，故A正确， 对于B，而，化简得， 故，， 而，， 设面的法向量为，可得， 所以，令，解得， 故，则， 可得平面，故B正确， 对于C，，， 设异面直线与所成的角为，， 所以， 当时，， 而时，令， 因为，可得， 故，得到，故C错误， 对于D，已知面的法向量为， 设面的法向量，所以， 故，令，解得， 故，设二面角为， ，故，而， 而，解得，故D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后表示出关键点的坐标，由线线角的向量求法表示出线线角． 三、填空题 17．（2023高二上·全国·专题练习）如图，在直三棱柱中，，，为上一点．若二面角的大小为，则的长为 ．    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求得点D坐标，即得AD长. 【详解】如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则．设，则点D的坐标为，，. 设平面的法向量为，    则，令，则，即， 又平面的一个法向量为，记为，则由，得，即，故. 故答案为：. 18．（22-23高二上·浙江温州·期中）如图，平行六面体中，底面ABCD和侧面BCC1B1都是矩形，E是CD的中点，D1E⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC1B1与平面D1EB的夹角的余弦值为，则线段D1E的长度为 ． 【答案】 【分析】先证明平面ABCD，以E为坐标原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由平面与平面夹角的余弦值为，列式求得线段的长度． 【详解】底面ABCD和侧面是矩形，，， 又，平面， 平面，平面， 平面，； 又，且，平面ABCD,平面ABCD． 平面ABCD． 以E为坐标原点，过E作 交于，以 分别为轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，    则0,，1,，1,，0,． 设，则0,，2,． 设平面的一个法向量为y,， 1,，0,， 由， 令，得； 设平面的一个法向量为， 0,，1,， 由， 令，得． 由平面与平面所成的夹角的余弦值为， 得，解得(负值舍去)． ． 故答案为： 19．（23-24高二上·安徽亳州·期末）在正方体中，设，若二面角的平面角的正弦值为，则实数的值为 ． 【答案】或 【分析】 建立空间直角坐标系，利用法向量方法用表示二面角的平面角的余弦值，建立方程求解即可. 【详解】 建立空间直角坐标系如图所示， 设棱长为1，, 则， ， 设平面，平面的一个法向量分别为， 所以，，即，， 分别令，则， 故， 设二面角的平面角为， 由，则， 故由， 解得或. 20．（23-24高二下·江苏徐州·期中）如图，在三棱柱中中，两两互相垂直，是线段上的点，平面与平面所成锐二面角为，当最小时， .    【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，设出的长，求出平面与平面的法向量，借助面面角的向量求法求出关系，再判断当取最小时的长，进而求得的大小. 【详解】在三棱柱中，两两垂直，建立空间直角坐标系，如图：    依题意，设，则， 则，， 设平面的法向量为，则，令，得， 平面的法向量， 由平面与平面所成（锐）二面角为，得， 化简得，当取得最大值时，最小，此时，， 且，所以. 故答案为: 【点睛】易错点睛：空间向量求二面角时，一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． 21．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知矩形中，将矩形沿着对角线对折，形成一个空间四边形，当时，二面角的余弦值为 . 【答案】/0.75 【分析】在和中，分别过点作，根据平方，将向量关系转化为数量关系，代入求解即可得到二面角余弦值. 【详解】在和中，分别过点作， 由，代入, 得，所以， 同理，，，所以， 设二面角大小为， 则与夹角为， 由， 平方得，， 所以，解得， 所以二面角的余弦值为 【点睛】方法点睛：本题考查立体几何的综合应用.解决立体几何问题的常见方法有： （1）定义法，通过相关的判定定理和性质定理直接求解； （2）空间向量法，运用空间向量进行基底转化或者运用坐标法结合公式求解； （3）转化法，通过转化与化归，将所求长度或角度转化求解. 22．（2024·河北沧州·一模）已知正四棱柱的底面边长与侧棱长之比为，则平面与平面夹角的余弦值为 ． 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，利用面面角的向量法求解. 【详解】如图，以点为原点，以为轴，建立空间直角坐标系， 正四棱柱的底面边长为，则， 所以 则， 设平面与平面的法向量分别为， 则，令，则， ，令，则， 设向量的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 故答案为： 23．（23-24高二下·江苏常州·期中）等腰梯形中，，现沿直线把折起，使二面角为直二面角，则二面角的余弦值为 . 【答案】 【分析】取中点，中点，则平面，推导出，，以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求解. 【详解】取中点，中点，则平面，, 所以，，， ，， 以为坐标原点，分别以，，所在直线为 轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 设平面的法向量为，则，取， 得， 平面的法向量为，设二面角的平面角为， 所以， 故答案为： 24．（22-23高二上·安徽马鞍山·期末）二面角中，，且，若，，则此二面角的大小为 ． 【答案】 【分析】利用二面角定义先确定其平面角为，利用空间向量的数量积公式及模长计算夹角即可. 【详解】   如图所示，根据题意知：，， ，， 易知二面角的平面角即， 所以， 即， 由空间向量夹角的范围知，所以， 即此二面角的大小为. 故答案为： 25．（23-24高二上·福建泉州·期末）如图，在三棱锥中，，，，平面平面，则三棱锥的体积的最大值为 ；二面角的正弦值的最小值为 . 【答案】 / 【分析】第一空：根据已知条件，得出垂直于平面，三棱锥中为高，为底面，根据三棱锥体积公式，确定，进而将问题转化为求的最大值，根据角的取值范围，确定最值即可求出三棱锥体积的最大值； 第二空 解法一：根据已知条件确定二面角的平面角为，先根据已知条件确定的最小值，进而确定的最小值；解法二：令二面角的平面角为，根据已知条件，建立空间直角坐标系，利用空间向量求出，换元令，结合 求出，由此确定取得最大值，进而确定取得最小值为. 【详解】 第一空：取的中点，连接， 因为，所以； 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为，，，所以，， 所以三棱锥的体积为 因为，所以，， 当且仅当，即时，等号成立， 故三棱锥的体积的最大值为. 第二空：解法一： 由平面，又平面，所以，过作于， 连接，因为平面，，所以平面， 又平面，所以，所以为二面角的平面角， 在中，， 因为在以为圆心，为半径的圆上，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为2， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 解法二： 由（1）可知平面， 以为坐标原点，向量，分别为轴，轴正方向， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 设，则， 设平面的法向量为，则， 取，则，又取平面的法向量为， 设二面角的大小为，，所以， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上，所以， 令，则，整理可得， 所以，解得， 所以当，即，时，取得最大值， 此时取得最小值，故二面角的正弦值的最小值为. 故答案为：；. 四、解答题 26．（23-24高三上·四川雅安·期中）如图，在三棱锥中，平面，，且，为的中点，在上，且． (1)求证：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）不妨设，结合余弦定理和相似三角形，即可以点为原点建立空间直角坐标系，根据即可得证. （2）由（1）可得相应点的坐标，平面的法向量可直接取，然后求出平面的法向量，即可利用向量进行求解. 【详解】（1）不妨设，又， 在中，， ，则， 所以，又， ，且也为等腰三角形． ，则， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 可得，，，， ， 则，所以． （2）由（1）可知，， 平面的法向量可取为， 且，， 设平面的法向量为， 则，可取， ， 故平面与平面的夹角的余弦值为． 27．（23-24高一下·陕西咸阳·期末）如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．    (1)证明：； (2)设是边长为3的等边三角形，是线段上（不与重合）的点，若二面角的大小为，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）根据三线合一得到，由面面垂直得到线面垂直，进而得到线线垂直； （2）作出辅助线，得到线面垂直，线线垂直，故为二面角的平面角，故．设，表达出，并求出，，由三角形形似得到，从而得到方程，求出. 【详解】（1）为的中点， ， 又平面平面，平面平面平面， 平面， 又平面， ． （2）如图，过作于点，过作于点，连结， 由题意可知，，    又， ， 又，平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， ． 设， 则且， ． 又， ，则， 故， ． 其中， ，即，故， ，解得． ． 28．（23-24高三上·天津·期中）如图，垂直于梯形所在平面，为的中点，，四边形为矩形． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的夹角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）设，由三角形中位线性质可得，由线面平行判定推理即可. （2）以为坐标原点可建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法可得结果. （3）利用点到平面距离的向量求法可求得结果. 【详解】（1）令，连接， 由四边形为矩形，得为中点，又为中点，则， 又平面，平面，所以平面. （2）由垂直于梯形所在平面，，得直线两两垂直， 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量，则，令，得， 由轴平面，得平面的法向量， 则，所以平面与平面的夹角的余弦值为. （3）由（2）知：，则，而平面的法向量， 所以点到平面的距离. 29．（2024·河南郑州·模拟预测）如图，在三棱锥中，，，． (1)证明：平面； (2)若，E是棱上一点且，求平面与平面的夹角． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）连接，通过证明得出结合等腰三角形的性质得出线线垂直来证明线面垂直即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面夹角即可. 【详解】（1）连接，因为，，所以， 因为，，所以，     因为，所以，则，所以，     因为，平面， 所以平面． （2）易知，O为的中点，所以， 由（1）可知，两两垂直，以O为坐标原点，所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，因为，所以为正三角形， 所以，，， 因为，所以，所以，， 设平面的法向量为，则， 令，则， 又平面的一个法向量为，     所以，即平面PAE与平面PAC的夹角为． 30．（22-23高三上·山东滨州·期末）如图，在四棱锥中，，，，O为的中点，，.    (1)证明：平面; (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，，再由线面垂直的判定定理得证； （2）法1，建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面及平面的法向量代入公式计算得解；法2，证明，进而证明，由二面角平面角定义可判断就是二面角的平面角求解． 【详解】（1）如图，因为为中点， 所以， 在中，， 连接，在中，， 所以在中，，故， 又平面， 所以平面．    （2）解法1：由（1）可知，两两互相垂直， 以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间坐标系．    则， 所以，则， 所以． 设平面的法向量， 则所以 令，得平面的一个法向量． 又平面的法向量为， 所以， 故二面角的余弦值为． 解法2：因为， 所以， 所以，即， 所以在中，， 所以． 由（1）知，平面， 又平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 所以， 所以就是二面角的平面角． 在中，， 故二面角的余弦值为． 31．（23-24高二下·湖南·期末）如图，是半圆的直径，依次是半圆弧上的两个三等分点，将沿翻折到，使得，得到四棱锥.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）由题意证出，再证出，依据线面垂直的判定定理证明即可； （2）方法一：找出即为的平面角，设出所求角为，所以；方法二：用空间直角坐标系的方法，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，找点的坐标，求出两个面的法向量，则.设二面角的大小为，则. 【详解】（1）    如图1，连接，设，连接， 由是依次是半圆弧上的两个三等分点， 所以， 又是全等的等边三边形， 四边形及均为菱形，由， 得， 在中，是的中点， 且，所以， 在中，是的中点， 且，所以， 又平面，所以平面. （2）    法一：如图2，由为半圆的直径，在半圆弧上，所以， 由（1）得平面，又平面， 所以，又平面，所以平面， 所以二面角的大小等于二面角的大小与的和， 由平面，所以平面， 作于，由，得为的中点，连， 因为平面，所以，又平面， 则平面，又平面，所以， 故即为的平面角， 在中，， 在中，分别为的中点， 所以，则， 设二面角的大小为， 所以. 法二：由，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，    则，， ， 设平面的法向量， 由， 即，取，则， 则， 由（1）平面， 所以可取平面的法向量， ， 设二面角的大小为，则. 32．（23-24高二下·浙江温州·期末）在三棱锥中，平面平面，，，分别为的中点.    (1)证明：平面； (2)求二面角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). 【分析】（1）结合中点，利用面面垂直的性质定理证明平面，从而利用线面垂直的性质定理得，最后利用线面垂直的判定定理证明即可； （2）过作交于点，设，建立空间直角坐标系，然后利用向量法求解二面角的正弦值即可. 【详解】（1），为中点， . 又平面平面，平面平面，平面， 平面，而平面， . 又为的中点， ，又， . 又平面， 平面. （2）过作交于点，设， 以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，    则，，，， 故，，，. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设为平面的法向量，则，即， ，取，则， 是平面的一个法向量. 设二面角的大小为，则， ， 二面角的正弦值为. 33．（24-25高二上·河南漯河·期中）在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点， (1)证明：平面； (2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取中点，连接，，通过证明四边形为平行四边形，即可证明结论； （2）由直线与平面所成的角为，可得，建立以为原点的空间直角坐标系，利用向量方法可得答案. 【详解】（1）取中点，连接，， 为的中点，，， 又，，，， 四边形为平行四边形，， 平面，平面， 平面； （2）平面平面，平面平面平面， 平面， 取中点，连接，则平面， ， ，又， 如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ， ，设平面的一个法向量，， 则，取，则， 平面的一个法向量可取， 设平面与平面所成锐二面角为， ， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 34．（23-24高二下·甘肃兰州·期末）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，，点为的中点. (1)求证：平面； (2)在线段上是否存在点，使二面角的平面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）由面面垂直的性质得平面，以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、，利用可得答案； （2）假设在线段上存在点，设，求出平面、平面的一个法向量，由二面角的向量求法可得答案. 【详解】（1）平面平面， 平面平面， 平面平面， 则以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 . ， 设平面的法向量为，则， 令，解得：， 又，即， 又平面平面； （2）假设在线段上存在点，使二面角的大小为. 设，则. 设平面的一个法向量为， 则， 令，解得：， 又平面的一个法向量为， ， 即，解得：或（舍去）， 此时， 在线段上存在点，使二面角的平面角的大小为， 此时. 35．（23-24高二下·云南临沧·期末）如图，在三棱锥中，，，点O是的中点，平面. (1)求； (2)点M在直线上，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积. 【答案】(1). (2)或 【分析】（1）分别利用勾股定理得出，结合在直角中，，即可求解； （2）以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出三棱锥的体积. 【详解】（1）因为，点O是的中点， 所以， 在直角中，， 又平面，平面，所以， 在直角中，， 又因为，所以， 在直角中，，所以，解得，所以. （2）如图： 以O为坐标原点，分别以，，所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，， 由题意平面的一个法向量为，设，则， 设为平面的一个法向量，则，即， 令，则， 因为二面角的正弦值为， 所以，化简得， 解得或， 当时，则，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为； 当时，则，所以， 所以， 所以三棱锥的体积为； 所以三棱锥的体积为或. 36．（23-24高二上·安徽阜阳·期末）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，且，平面平面ABCD，，点E为线段PC的中点，点F是线段AB上的一个动点． (1)求证：平面平面PBC； (2)设二面角的平面角为θ，当时，求的值． 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）利用面面垂直的性质，线面垂直的性质判定、面面垂直的判定推理即得. （2）以D为原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用面面角的向量求法列式计算即得. 【详解】（1）由四边形ABCD是正方形，得，而平面平面ABCD， 平面平面平面ABCD，则平面PCD， 又平面PCD，于是， 由，点为线段PC的中点，得， 又平面PBC，因此平面PBC，而平面DEF， 所以平面平面PBC. （2）由（1）知平面PCD，而，则平面PCD， 在平面PCD内过D作交PC于点G，显然直线DA，DC，DG两两垂直， 以D为原点，直线DA，DC，DG分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 由，，得，， 设，则，设平面DEF的法向量为， 则，令，得， 而平面PCD的法向量为，则， 而，解得，此时． 37．（23-24高一下·吉林·期末）在中，，，，分别是上的点，满足且经过的重心，将沿折起到的位置，使，是的中点，如图所示. (1)求证：平面； (2)求与平面所成角的大小； (3)在线段上是否存在点，使平面与平面成角余弦值为？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)存在，或 【分析】（1）应用线面垂直的判定定理证明线面垂直关系，再由性质定理得到线线垂直关系，进而再利用判定定理证明所求证的线面垂直关系； （2）以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系.用向量法求与平面所成角的大小； （3）假设存在点，使平面与平面成角余弦值为，设，分别求解两平面的法向量，用表示余弦值解方程可得. 【详解】（1）因为在中，，，且， 所以，，则折叠后，， 又平面， 所以平面，平面，所以， 又已知，且都在面内，所以平面； （2）由（1），以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系. 因为，故， 由几何关系可知，，，， 故，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则，即， 不妨令，则，，. 设与平面所成角的大小为， 则有， 设为与平面所成角，故， 即与平面所成角的大小为； （3）假设在线段上存在点，使平面与平面成角余弦值为. 在空间直角坐标系中，，，， 设，则，， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 设平面的法向量为，则有，即， 不妨令，则，，所以， 若平面与平面成角余弦值为. 则满足， 化简得，解得或，即或， 故在线段上存在这样的点，使平面与平面成角余弦值为. 此时的长度为或. 38．（23-24高二下·贵州黔南·期末）2023年12月19日至20日，中央农村工作会议在北京召开，习近平总书记对“三农”工作作出重要指示．某地区为响应习近平总书记的号召，积极发展特色农业，建设蔬菜大棚．如图所示的七面体是一个放置在地面上的蔬菜大棚钢架，四边形是正方形，，且都垂直于平面．，平面平面． (1)求证：平面BCF； (2)求平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）由已知可得，进而可证结论； （2）取的中点，连接，由题意可得平面，点为坐标原点，所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，分别求得平面和平面的法向量，结合向量的夹角公式即可求解. 【详解】（1）平面平面，∴． 又平面平面，∴平面BCF． （2）取的中点，连接． ∵，∴． 又∵平面平面，且平面平面平面， ∴平面，同理可得平面． 在中，由勾股定理，可得， 在直角梯形中，过作于，可得四边形为矩形， ∴，在中，由勾股定理，可得， ∴． 由题，平面．如图所示， 以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， 可得． 设平面的法向量为， 则，令，则，则平面的法向量为， 设平面的法向量为， 则，令，可得，则平面的法向量为， ， 则平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 39．（23-24高二上·广东汕尾·期末）如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为 .    【答案】 【分析】设二面角的平面角为，得到，结合，利用向量的运算法则，即可求解. 【详解】在棱上有两个点 ，线段与在这个二面角的两个面内，且， 因为，可得， 设二面角的平面角为， 则，且， 则， 即，解得. 故答案为：. 40．（22-23高二下·甘肃庆阳·期中）如图，已知平面平面，为等腰直角三角形，，四边形为直角梯形，，. (1)求二面角的余弦值； (2)线段QB上是否存在点M，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用面面垂直的性质定理证平面，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解； （2）利用共线关系表示点的坐标，利用列式求解即可求解. 【详解】（1）取的中点为. 平面平面平面，平面平面，平面. 以点为坐标原点，分别以直线为轴，轴，过且平行的直线为轴， 建立如图的空间直角坐标系， ， ，，， 设平面的法向量为 即 令，则. 又平面的法向量为，则， 设二面角的平面角为，由图形知为锐角， ，即二面角的余弦值为. （2）设，， . 又平面的法向量为平面，∴， ∴，，即. ∴，故在线段上存在点，使平面，且的值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$