专题训练5：一元二次方程的解集及其根与系数的关系小题精练36题-2024-2025学年高一数学单元速记•巧练（人教B版2019必修第一册）

专题训练5 一元二次方程的解集及其根与系数的关系小题 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（     ）. A． B． C． D． 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）若方程两根为c，d，则方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 4．（20-21高一上·陕西榆林·阶段练习）若关于的方程的两根分别为，则（    ） A．－1 B．1 C．－3 D．3 5．（23-24高一上·广东佛山·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一上·重庆·开学考试）设是方程的两根，那么的值是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．7 9．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知是方程的两个根，，则的值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）设，，为方程的两个解，则的最小值为（    ） A． B． C．16 D．32 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 12．（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 13．（23-24高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 14．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 15．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对组成的集合的真子集的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 16．（2022·广东茂名·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 17．（23-24高一上·北京西城·期中）已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 二、多选题 18．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 19．（21-22高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有两个互为相反数的实数根，则 B．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 C．若二次三项式是完全平方式，则 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 20．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数有两个零点，，且，则（    ） A． B． C． D． 21．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）已知，是关于x的方程的两个实根，则（    ） A．或 B． C． D． 22．（22-23高一上·湖南永州·期中）已知方程有且只有一个实数根，则（   ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 23．（19-20高一上·山东威海·期末）已知函数有且只有一个零点，则（     ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 三、填空题 24．（23-24高一上·上海普陀·期中）以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 25．（23-24高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则 26．（24-25高一上·全国·假期作业）已知是方程的两个实数根，则的值是 . 27．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 28．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 29．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是 ． 30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知方程的两个根为和，则 . 31．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）关于的方程的两根为，，则 32．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则的值等于 33．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 34．（25-26高一上·全国·课后作业）设方程的两根是，则方程的根是 ． 35．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 36．（24-25高一上·上海·开学考试）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练5 一元二次方程的解集及其根与系数的关系小题 一、单选题 1．（23-24高一上·辽宁阜新·阶段练习）关于的一元二次方程：有实数根，若其中一个根为，则另一个根为（     ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理求出方程的另一个根，再检验即可. 【详解】因为为关于的一元二次方程的根， 显然，且，不妨令，则， 此时，方程可化为，经检验符合题意， 即方程另一个根为. 故选：D 2．（23-24高一下·辽宁抚顺·阶段练习）若方程两根为c，d，则方程的根是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意，整理两个方程，结合韦达定理即可求解. 【详解】， 又c、d为该方程的两根，由韦达定理得， ， 有， 即，解得. 故选：A 3．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，是方程的两个根，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】利用韦达定理求出，，再将通分代入计算可得. 【详解】因为，是方程的两个根，显然， 则，， 所以. 故选：D 4．（20-21高一上·陕西榆林·阶段练习）若关于的方程的两根分别为，则（    ） A．－1 B．1 C．－3 D．3 【答案】D 【分析】由根与系数关系确定方程中的参数，即可求结果. 【详解】由根与系数关系知：，则. 故选：D 5．（23-24高一上·广东佛山·开学考试）已知一元二次方程的两个根分别为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理可直接得到结果. 【详解】由韦达定理知：. 故选：B. 6．（23-24高一上·重庆·开学考试）设是方程的两根，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程根判别式、根与系数关系进行求解即可. 【详解】因为方程的判别式为， 所以， 因此， 故选：C. 7．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）若，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于变形后，结合已知可得和是方程的两个根，再利用根与系数的关系可得答案 【详解】由，得，则， 所以，即， 因为，， 所以和是方程的两个根， 所以，即， 故选：B 8．（23-24高一上·北京海淀·阶段练习）已知，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（    ） A． B．2 C．3 D．7 【答案】C 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】由于，是一元二次方程的两个不相等的实数根， 所以，故， 故选：C 9．（23-24高一上·湖南株洲·阶段练习）已知是方程的两个根，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，利用韦达定理得到，结合，即可求解. 【详解】因为是方程的两个根，可得， 则. 故选：A. 10．（23-24高二上·河北张家口·阶段练习）设，，为方程的两个解，则的最小值为（    ） A． B． C．16 D．32 【答案】D 【分析】根据韦达定理，即可结合不等式求解最值. 【详解】由，为方程的两个解，所以， 故， 当且仅当时等号取得到， 故最小值为32， 故选：D 11．（24-25高一上·上海·随堂练习）若关于x的一元二次方程中m为实数，则（    ）． A．没有实根 B．有两相等实根 C．有两不相等实根 D．可能有实根 【答案】C 【分析】利用根的判别式进行判断即可． 【详解】 ， 故方程有两不相等实根 故选：C． 12．（23-24高一上·上海·期中）已知，则关于的方程    ） A．一定有不相等的两个实数根 B．一定有两个相等的实数根 C．可能有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】C 【分析】根据已知条件及判别式即可求解. 【详解】由，得，且， 所以 ， 所以关于的方程有实数根，但不能确定是否一定相等. 故选：C. 13．（23-24高一上·北京·阶段练习）方程的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】原方程等价于，求解即可. 【详解】解：因为， 解得或(舍)， 由，解得或， 所以原方程的解集为. 故选：C. 14．（23-24高一上·江苏宿迁·阶段练习）关于的方程有实数根的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程有实根，应用判别式求参数范围，结合充分、必要性定义判断充要条件. 【详解】由方程有实根，则，可得. 所以是题设方程有实根的充要条件. 故选：C 15．（23-24高一上·江西南昌·阶段练习）设的两实根为，，而以，为根的一元二次方程仍是，则数对组成的集合的真子集的个数是（    ） A．7 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】利用根与系数关系列方程，通过解方程求得的所有可能取值，由此得出正确选项. 【详解】根据题意得，①，②，③，④， 由②、④可得，解得或，即或. 由①、②、③可得，即. 当时，，解得或， 即或把它们代入原方程的判别式中可知符合题意； 当时，，解得或，即或 把它们代入原方程的判别式中可知不合题意，舍去. 所以数对组成的集合的元素个数是3， 所以数对组成的集合的真子集的个数是. 故选：A. 16．（2022·广东茂名·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先化简集合，再由交集运算可得. 【详解】由，， 则. 故选：B. 17．（23-24高一上·北京西城·期中）已知方程组的解集为，且，则（    ） A．1或 B．或 C．或 D．2或 【答案】B 【分析】由方程组可得，应用韦达定理有，，再由列方程求参数值即可. 【详解】由题设，则，且， 所以，， 而，即， 整理得，可得. 故选：B 二、多选题 18．（22-23高一上·吉林白城·阶段练习）等腰三角形三边长分别为，且是关于的一元二次方程的两根，则的值为（　　） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】BC 【分析】分3为底边或腰长两种情况求解，若3为底边时，由，，即可求出的值，再利用三角形的三边关系确定此种情况存在，再利用根与系数的关系可求出的值，若3为腰时，则中有一个是3，结合即可求出的值，再利用根与系数的关系可求出的值. 【详解】①当3为底时，则， 因为是关于的一元二次方程的两根， 所以，解得， 此时三角形的三边为3，4，4，这样的三角形存在， 所以，得， ②若3为腰长时，则中有一个为3，不妨设， 因为是关于的一元二次方程的两根， 所以，得， 此时三角形三边为3，3，5，这样的三角形存在， 所以，得， 综上，或， 故选：BC 19．（21-22高一上·全国·课后作业）已知关于x的方程，下列说法正确的是（   ） A．若方程有两个互为相反数的实数根，则 B．若方程没有实数根，则方程必有两个不相等的实数根 C．若二次三项式是完全平方式，则 D．若，则方程必有两个不相等的实数根 【答案】ABC 【分析】对A，根据韦达定理判断即可；对B，根据判别式正负分析即可；对C，令再展开根据系数关系判断即可；对D，举反例判断即可. 【详解】对A，若方程有两个互为相反数的实数根，则由韦达定理可得，即，故A正确； 对B，若方程没有实数根，则，故. 又，故，则方程判别式，故方程必有两个不相等的实数根，故B正确； 对C，若二次三项式是完全平方式，则令有，故，则成立，故C正确； 对D，若，则，解得仅有，故D错误. 故选：ABC 20．（23-24高一上·安徽铜陵·阶段练习）已知二次函数有两个零点，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据韦达定理即可判断ABC,根据二次函数的图象特征，结合二次函数的零点分布即可判断D. 【详解】的两个零点，，且， 因此，由于，所以恒成立 故， 对于A，，故A正确， 对于B，，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，由于二次函数的开口向下，且对称轴为， ，且因此两个根，，故D错误， 故选：ABC 21．（22-23高一上·重庆璧山·阶段练习）已知，是关于x的方程的两个实根，则（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】A.根据判别式即可求得k的取值范围；B，C，D选项，先用韦达定理求出以及的值，变形化简可以推出. 【详解】由已知得，，解得或，A正确； 由韦达定理可得，，则 ∵ ∴，B正确； 当时，，此时无意义； 当时， 当k=0时，，C错误； 当时，，此时无意义； 当时，，D正确. 故选：ABD. 22．（22-23高一上·湖南永州·期中）已知方程有且只有一个实数根，则（   ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，则 【答案】ABD 【分析】由判别式等于0得，代入选项A中式子后由二次函数知识判断，代入B中式子后由基本不等式判断，再根据二次不等式的解集与二次方程的根的关系，结合韦达定理判断CD． 【详解】由题意，， ，时取等号．A正确； ，当且仅当，即时等号成立，B正确； 不等式的解集为，则是方程的解，所以，D正确，C错误． 故选：ABD． 23．（19-20高一上·山东威海·期末）已知函数有且只有一个零点，则（     ） A． B． C．若不等式的解集为，则 D．若不等式的解集为，且，则 【答案】ABD 【分析】 由函数的零点的定义和二次方程有两个相等的实数解的条件可得的关系式，由二次函数的最值求法，可判断A；由基本不等式可判断B；由二次方程的韦达定理可判断C，D 【详解】 解：根据题意，函数有且只有一个零点，必有，即，， 依次分析选项： 对于A，, 当且仅当时，等号成立，即有，故A正确； 对于B，，当且仅当时，取得等号，故B正确； 对于C，由为方程的两根，可得，故C错误； 对于D，由为方程的两根，可得，， 则，解得，故D正确． 故选：ABD． 三、填空题 24．（23-24高一上·上海普陀·期中）以和为根且二次项系数为1的一元二次方程是 ． 【答案】 【分析】根据根与系数的关系即可求解. 【详解】设一元二次方程方程为， 则由根与系数的关系可得，解的， 所以方程为， 故答案为： 25．（23-24高一上·上海松江·期末）已知方程 的两个根为 ，则 【答案】6 【分析】直接解方程求解答案即可. 【详解】由，得， 所以. 故答案为：6 26．（24-25高一上·全国·假期作业）已知是方程的两个实数根，则的值是 . 【答案】 【分析】由题意可得，，利用可求值. 【详解】∵是方程的两个实数根， ∴，， ∴. 故答案为：． 27．（24-25高一上·上海·随堂练习）关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的判别式与根的关系解得答案； 【详解】由已知条件可知， 一元二次方程有实数根的判别式， 解之得， 故答案为：. 28．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、是一元二次方程的两个根，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，可得和，再进行化简整理即可. 【详解】由题意：、为一元二次方程的两根， 所以，. 所以. 故答案为： 29．（24-25高一上·全国·课后作业）已知二次函数（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，则关于x的一元二次方程的两实数根是 ． 【答案】， 【分析】根据交点求解，即可求解方程的根. 【详解】由于（m为常数）的图象与x轴的一个交点为，所以，所以， 故，解得，， 故答案为：， 30．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知方程的两个根为和，则 . 【答案】14 【分析】根据给定条件，利用韦达定理列式计算即得. 【详解】方程有实根，则， 所以. 故答案为：14 31．（22-23高一上·贵州贵阳·阶段练习）关于的方程的两根为，，则 【答案】 【分析】根据一元二次方程的韦达定理求解即可. 【详解】由韦达定理，得：，， . 故答案为：. 32．（23-24高一上·广东汕头·阶段练习）对于方程，如果方程实根的个数恰为3个，则的值等于 【答案】2 【分析】根据题设可得且有一个值为0，即可求参数值. 【详解】由题设恰有3个实根，则， 其中有一个值为0，另一个不为0，显然， 所以，故，则， 此时或，即满足题设， 所以. 故答案为：2 33．（23-24高二下·辽宁·期末）已知关于x的方程的两个实数根同号，则实数m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】运用解题即可. 【详解】根据题意得到，即，解得. 故答案为：. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）设方程的两根是，则方程的根是 ． 【答案】 【分析】展开，得到.运用根与系数关系，得到，.将结论代入因式分解求解即可. 【详解】， ， 而该方程的两根为， ①，②． 又方程可以变形为③， 把①②代入③中得，即． 故答案为：. 35．（25-26高一上·全国·课后作业）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，且，则实数的值为 ． 【答案】1 【分析】根据韦达定理即可求解. 【详解】为方程的两个实数根， ,，故 则， ，解得． 符合题意． 故答案为：1 36．（24-25高一上·上海·开学考试）若关于方程的两实根的平方和为14，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据韦达定理求解． 【详解】设已知方程两根为，则， 所以，解得或， 又，即或，所以， 故答案为： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$