专题09 锐角的三角比压轴题（几何综合，20题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 锐角的三角比压轴题（几何综合，20题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，． (1)求的长； (2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值； (2)如图2，如果，点在内，设，求与的函数关系式，并写出定义域： (3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值． 3．（2024·上海·二模）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 4．（2024·上海·三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，点D为射线上一动点，连接，做的中垂线交边于E，作交边于F，设， (1)是否存在使得当点D为中点时点E为中点，若存在，请求出，若不存在，请说明理由 (2)若，当点D与点C重合时，将绕点A顺时针旋转，点E，F的对应点分别为M，N；当点E落在射线上时，连接，求：的长 (3)若，当点D在边上时，求：y关于x的函数解析式及其定义域 6．（2024·上海青浦·二模）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F． (1)如图，当点D在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； (2)如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长． 7．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)连接，如果，求的长． 8．（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 9．（2024九年级下·上海·专题练习）在中，，点为直线上不同于点的一点，，点在边上，，直线交射线于点．    (1)当点在边上时，如图所示． ①求证：； ②如果平分，求的值； (2)如果，，求线段的长． 10．（2024九年级下·上海·专题练习）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，连接．    (1)如图1，当点与点重合时，证明：； (2)如图2，点在的延长线上，当时，求的长； (3)当是以为底的等腰三角形时，求的长． 11．（2024九年级下·上海·专题练习）已知在中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)如果以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且，求边的长． 12．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设．过点作，与直线相交于点． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当与相似时，求的长． 13．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 14．（2024·上海·三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．      (1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； (2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 15．（2024·上海·模拟预测）如图1和图2，已知在四边形中，，，，，，点M在边上，且，将线段绕点M顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点P（不与点A重合），设点P在该折线上运动的路径长为x，连接，连接．    (1)求的度数 (2)当时，请求出x的值 (3)若点P到的距离为2，求的值 (4)当点P在边上运动时，设点到直线距离为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域 16．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 17．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且点在线段的中垂线上． (1)如图1，若，连接，为的中点，连接，求：线段的长； (2)如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接，求：的值； (3)如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，求：的值． 18．（23-24九年级上·上海·阶段练习）数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的静态美和动态美，掌握运动中的不变量和应变量，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 一般情形下，我们常说旋转与翻折是伴随的． (1)其实翻折可以近似看作是旋转的一种，请简要描述理由： _______________________________________________________________________． (2)如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化．当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： 图②中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想从特殊到一般，也是数学几何思考的重要方法： 图③中，，则 ； 当时， ． (3)在的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④)．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，求：的长． 19．（2024·上海·模拟预测）如图，在矩形中，点E为线段上一动点，已知，点F在边上，，点D关于直线对称点为P，射线交线段于G，点C关于直线的对称点为H，作交边BC于M，    (1)当点P与点G重合时，求证：H，F，D三点共线 (2)当点P在上方运动时，连接，设，，求y关于x的函数解析式并写出其定义域，以及当为直角三角形时x的值 (3)当点P在下方运动时，当时，求的长． 20．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 9 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题09 锐角的三角比压轴题（几何综合，20题） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图1，梯形中，，，，，，M在边上，连接，． (1)求的长； (2)如图2，作，交于点E，交于点F，若，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)在（2）的条件下，若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或或8 【分析】（1）过点作于点，证明四边形为矩形，则，，再根据勾股定理定理即可求出； （2）连接，先用等面积法求出，再证明，从而得出，最后证明，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据可得为等腰三角形，根据题意进行分类讨论，当点在线段上时，当点在延长线上时． 【详解】（1）解：过点作于点， ∵，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， ， ， 在中，根据勾股定理得：． （2）解：连接， ，， ， 即， 解得：， 在和中，， ∴， ， ， ， ，， ，， ， ，， ， ， ， 整理得：． （3）解：①当点在线段上时， 由（2）可得， 为等腰三角形， 为等腰三角形， 当时，； 当时，过点作于点， 由（1）可得：， ， ， ， ，， ，不符合题意，舍去； 当时，过点作于点， ，， ， ， ， ， ②当点在延长线上时， ，， ， 当点在延长线上时，只能为等腰三角形的顶角， ， ． 综上：或或8． 【点睛】本题主要考查了四边形和三角形的综合应用，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形，勾股定理等，解题的关键是熟练掌握各个相关知识点并灵活运用，根据题意正确作出辅助线，构造直角三角形和全等三角形求解． 2．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知在中，，（点是边上一点，不与重合，过点作，垂足为点，点是边上一点，连接，以为邻边作平行四边形． (1)如图1，如果，点恰好在边上，求的余切值； (2)如图2，如果，点在内，设，求与的函数关系式，并写出定义域： (3)在第（2）小题的条件下，如果平行四边形是矩形，求的值． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）由锐角三角函数的定义求出，由勾股定理求出，由平行线分线段成比例定理得出，求出，则可得出答案； （2）由平行四边形的性质与解直角三角形求得，，过点E作于H，解直角三角形求得，，，即可由求解；然后当点恰好在上时，解直角三角形求出x的长，则可得定义域； （3）设，则，设矩形的对角线与相交于点，连接，证明，由全等三角形的性质得出，过点作于点，由梯形的中位线定理得出，解方程可得出答案． 【详解】（1）解：在中，， 又， ， ， ， 在中， ， 又，， ， 四边形是平行四边形， ， 点在上， ， ， ， ， 在中，； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 过点E作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即； 当点恰好在上时， ， ， ∵，则， ， 在中，， 又，则， ， ， ， ， 当点在内时，； （3）解：设，则， ， 设矩形的对角线与相交于点，连接， 平行四边形是矩形， ， ，， ， ， 过点作于点， 又， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，解直角三角形，函数关系式等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定与性质，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 3．（2024·上海·二模）如图，在中，，，，分别为，，的中点，连接，． (1)如图1，求：的值 (2)如图2，将绕点D顺时针旋转一定角度，得到，当射线交于点G，射线交于点N时，连接并延长交射线于点M，判断与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，当时，求的长． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）连接，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据中位线定理可得，即可求解； （2）证明，根据（1）的结论即可得； （3）连接，过点作于，证明，可得，勾股定理求得，，根据，，可得，进而求得，根据求得，根据（2）的结论，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， ，，，分别为，，的中点， ，， ， ． （2）解：， 理由如下： 连接，如图2， ，，，分别为，，的中点， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 将绕点顺时针旋转一定角度，得到， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图，连接，过点作于， 中，， ， ， ， ， ， ， ， 中，， 中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，中位线的性质定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 4．（2024·上海·三模）如图1是一种浴室壁挂式圆形镜面折叠镜，，，可在水平面上转动，连接轴分别垂直和，过圆心，点C在的中垂线上，且，， 如图2是折叠镜俯视图，墙面与互相垂直，在折叠镜转动过程中，与墙面始终保持平行， (1)当点E落在上时，，此时A，B，F三点共线，求：的长． (2)将绕点A逆时针旋转至，当时，测得点与E′到的距离之比，则求：的长． 【答案】(1)cm (2)cm 【分析】（1）连接, 过点作于.首先证明利用勾股定理求出，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理可得； （2）设 利用相似三角形的性质以及勾股定理构建方程求出即可. 【详解】（1）连接, 过点作于. 由题意， , ， ， ， ， ， ， ，即 ， ； （2） 设 ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在中, 则有， 解得 ， ． 【点睛】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，正确寻找相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题． 5．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，在中，，，点D为射线上一动点，连接，做的中垂线交边于E，作交边于F，设， (1)是否存在使得当点D为中点时点E为中点，若存在，请求出，若不存在，请说明理由 (2)若，当点D与点C重合时，将绕点A顺时针旋转，点E，F的对应点分别为M，N；当点E落在射线上时，连接，求：的长 (3)若，当点D在边上时，求：y关于x的函数解析式及其定义域 【答案】(1)不存在，两边之和大于第三边（或直角三角形斜边长大于直角边长）； (2)或； (3)． 【分析】（1）假设存在使题意成立，因为分别为中点，得到，又在的中垂线上，得到，从而与假设矛盾，得到结论； （2）分当点在上时，当点在延长线上时，分别求解即可； （3）通过三角函数得到，的值，通过勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：假设存在使题意成立， ∵分别为中点， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴重合， ∵在的中垂线上， ∴， 又∵， ∴， ∵直角三角形中斜边长大于直角边长， ∴不存在使得当点D为中点时点E为中点． （2）解：如图：当点在上时，与交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵点在的中垂线上， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴，， 由旋转可得，，，，， 在中，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ， ∵， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 当在的延长线上时，如图： 由旋转得，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵在的垂直平分线上， ∴， ∴， 即， ∴， 当点与点或点重合时，取最大值， 此时，为中点，即， 当点与点重合时，取最小值， ∵在的垂直平分线上， ∴， 由上可得，，， ∴， ∴，即， 整理得：， 解得：，（舍去）， ∴取值范围为：， 综上，． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角函数，解一元二次方程，垂直平分线的性质，勾股定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． 6．（2024·上海青浦·二模）在中，，以C为圆心、为半径的弧分别与射线、射线相交于点，直线与射线相交于点F． (1)如图，当点D在线段上时． ①设，求；（用含的式子表示） ②当时，求的值； (2)如图，当点D在的延长线上时，点分别为的中点，连接，如果，求的长． 【答案】(1)①  ② (2) 【分析】（1）①根据等边对等角得到，，然后根据四边形的内角和是计算解题； ②先根据得到，然后推导，得到，可以求出长，过点A作于点G，然后求出值即可； （2）设交于点H，设，则，然后证明，得到，然后根据平行线分线段成比例得到，，再根据，就可得到，代入数值即可解题． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即，解得：或（舍）； 过点A作于点G， 则， ∴； （2）解：设交于点H，设， ∵M是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：， ∴， ∵ ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴，即， 解得：或（舍）， ∴． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，平行线分线段成比例，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 7．（23-24九年级上·上海杨浦·期中）如图，已知在中，，，点D、E边上（点E在点D右侧，点D不与点B重合），，过点B作，交的延长线于点F． (1)当时，求线段的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出定义域； (3)连接，如果，求的长． 【答案】(1)线段的长为 (2)， (3)的长为4或8 【分析】（1）根据，得出，在中，求得，在中， 求得，由即可得出答案； （2）证明，得出，求出，再证明，得出，求得，根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合，得出，求出即可； （3）分两种情况，当时或当时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：如图所示： ， ， 在中， ， 在中， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 即， 解得， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， 解得， 根据点D、E边上，点E在点D右侧，点D不与点B重合， ， ， ， ； （3）当时，如图： ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； 当时，如图： ， ， 由（2）可知，， ， ， ， ， ， ， ， 综上所述，当与相似时，的长为4或8． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质，解题的关键是数形结合，作出相应的图形，并注意分类讨论． 8．（2024·上海嘉定·二模）在菱形中，，点在射线上，连接、． (1)如图，当点是边的中点，求的正切值； (2)如图，当点在线段的延长线上，连接与边交于点，如果，的面积等于，求的长； (3)当点在边上，与交于点，连接并延长与的延长线交于点，如果，与以点、、所组成的三角形相似，求的长． 【答案】(1)的正切值是 (2) (3) 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质，结合已知判定是等边三角形，证明 ，后利用正切函数计算即可； （2）取的中点M，连接，结合(1)的解答，利用平行线的性质，三角形面积的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理计算即可； （3）过作点，垂足为，判定相似三角形的对应关系，结合等腰三角形的判定和性质，列出方程解答即可． 【详解】（1）解：连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∵点是边的中点， ∴，， ∴，   又， ∴，   设， ∴，， 在中，， ∴的正切值是． （2）解：取的中点M，连接， 由（1）可知：，， ∵， ∴， ∴ 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵的面积等于 ∴ ∵与是同高的，设这个高为 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 在中，， ∴ ， ∴． （3）过作点，垂足为 由（1）得：是等边三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∵与以点、G、组成的三角形相似 ∴点只能与点G对应， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得：，（舍去， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，三角形相似的判定和性质，正切函数，勾股定理，解方程，熟练掌握正切函数，三角形相似，勾股定理是解题的关键． 9．（2024九年级下·上海·专题练习）在中，，点为直线上不同于点的一点，，点在边上，，直线交射线于点．    (1)当点在边上时，如图所示． ①求证：； ②如果平分，求的值； (2)如果，，求线段的长． 【答案】(1)①证明见解析部分；② (2)或 【分析】（1）①过点A作于点K．证明，设，则，推出，推出，由，推出，可得结论； ②过点E作于点T，过点D作于点J．证明是等边三角形，再证明，推出，可得结论； （2）分两种情形：当点D在线段上和当点D在的延长线上时． 【详解】（1）①证明：如图，过点作于点． ．， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， ， ， 又， ；    ②解：过点作于点，过点作于点． 平分， ， ， ，， ， ， ， ， 是等边三角形， ，，， ， ， ， ， ， ∴， ， ；    （2）解：如上图， ，， ∴， ， 设，则， 由（1）知， ，， ，， ，， ， ， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ， ， ， 当点在的延长线上时，同法可得， 综上所述，满足条件的的长为或． 【点睛】本题等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，解直角三角形解题关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 10．（2024九年级下·上海·专题练习）已知平行四边形中，，，，点是对角线上一动点，作，射线交射线于点，连接．    (1)如图1，当点与点重合时，证明：； (2)如图2，点在的延长线上，当时，求的长； (3)当是以为底的等腰三角形时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由平行线边形的性质得，而，所以，则，即可根据“两角分别相等的两个三角形相似”证明； （2）作交的延长线于点，由，得，则，由勾股定理得，则，，即可由勾股定理求得，因为，且，所以，则； （3）分两种情况，一是点在线段的延长线上，由，得，则；二是点在线段上，由，得，则． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ， 点与点重合， ， ， ，， ， ． （2）解：如图，作交的延长线于点，则，   ， ， ， ，且， ， 解得或（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是． （3）解：是以为底的等腰三角形， ， 如图，点在线段的延长线上，   ， ， ， 解得； 如图，点在线段上，   ， ， ， 解得， 综上所述，的长是或． 【点睛】本题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、勾股定理、锐角三角函数、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性强，难度较大，属于考试压轴题． 11．（2024九年级下·上海·专题练习）已知在中，，是的内角的平分线，过点作，交的延长线于点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，如果，求的值； (3)如果以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点，且，求边的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）延长，相交于点，判断出，得出，再判断出，即可得出结论； （2）设，则，，过点作于，利用面积法判断出，进而求出，，进而求出，再判断出，得出，即可求出答案； （3）设，则，进而求出，进而求出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：如图1，延长，相交于点， 是的平分线， ， ， ， 又， ∴， ， ， 又∵在中，， ． （2）解：如图2，过点作于， 在中，， 设，则，， 是的平分线，， ， ， ， ∴， ∴，， 在中，， ，， ∴， ，即， 解得， ∴． （3）解：如备用图，由题意，是的中线， 设，则， 是的斜边的中线， ， ， ， 以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的斜边中线与边的交点， ， ， ， 解得， ， 如图，在中，，，平分，设，， ， ∵平分， ， ，， ， ， ． 又，， ∴， ，即， 或（舍去）， 过点作于，则， ， ． 则在中，． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等知识，通过作辅助线，构造全等三角形和相似三角形是解题关键． 12．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，在中，，，，动点、分别在边、上，且，设．过点作，与直线相交于点． (1)当时，求的值； (2)当时，求的值； (3)当与相似时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为或 【分析】（1）过作，垂足为点，根据平行线分线段成比例定理得，从而解决问题； （2）过作，交于点，则．则，，可得答案； （3）分点是射线与的交点或点是射线与的交点两种情形，分别利用相似三角形的判定与性质可得答案． 【详解】（1）解：过作，垂足为点， ， ． ， ， ， 又，， ，； （2）解：当时，得，，． ， 点是射线与直线的交点， 过作，交于点， 则． ，． ， ，， ； （3）解：当点是射线与的交点时， 与相似， 又， ，即， 又， ． ， 即． 解得， 过作，垂足为点． 由，得，，． ∵， ． ． ， ． 解得， ， 当点是射线与的交点时， ，， 又与相似， ． ，， ， ．即．解得． ， ， ． ． 解得． 综上所述，当与相似时，的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的判定与性质，动点问题，解直角三角形，用含的代数式表示各线段的长是解题的关键． 13．（2024·上海·中考真题）同学用两幅三角板拼出了如下的平行四边形，且内部留白部分也是平行四边形（直角三角板互不重叠），直角三角形斜边上的高都为． (1)直接写出： 两个直角三角形的直角边（结果用表示）； 小平行四边形的底、高和面积（结果用表示）； (2)请画出同学拼出的另一种符合题意的图，要求： 不与给定的图形状相同； 画出三角形的边． 【答案】(1)等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和；底为，高为，面积为； (2)画图见解析． 【分析】（）①解直角三角形即可求解； 由题意可知四边形是矩形，利用线段的和差可求出矩形的边长，进而可求出面积； （）根据题意画出图形即可； 本题考查了解直角三角形，矩形的判定，矩形的面积，图形设计，正确识图是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图，为等腰直角三角板，， 则； 如图，为含的直角三角形板，，，， 则，； 综上，等腰直角三角板直角边为，含的直角三角形板直角边为和； 由题意可知， ∴四边形是矩形， 由图可得，，， ∴， 故小平行四边形的底为，高为，面积为； （2）解：如图，即为所作图形． 14．（2024·上海·三模）如图1，梯形中，，，．一个动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿线段方向运动，过点作，交折线段于点，以为边向右作正方形，点在射线上，当点到达点时，运动结束．设点的运动时间为秒（）．      (1)在整个运动过程中，设正方形与△的重合部分面积为，请直接写出与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围； (2)如图2，当点在线段上运动时，线段与对角线交于点，将△沿翻折，得到△，连接．是否存在这样的，使△是等腰三角形？若存在，求出对应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或时，是等腰三角形 【分析】（1）如图所示，作于点，于点，设与，交于点，根据梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质可计算出出点运动时，点的位置，可得,结合锐角三角函数的计算方法，，然后进行分类讨论：当时；当时；当时；当；图形结合，根据梯形面积的计算方法，直角三角形面积的计算方法列式求解即可； （2）根据题意可得，由（1）可知，，且，，图形结合，分类讨论：第一种情况，当时；第二种情况，当时；第三种情况，当时；根据等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作于点，于点，设与，交于点，    ∴四边形是矩形， ∴，， ∵梯形中，，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， 在中，， ∴当时，点和点重合， 第一种情况，当时，， 在中， ∵， ∴， 在中， ∵， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴ ； 当正方形的边恰好经过点时，点于点重合，则此时，如图所示，    ∴，， ∴，即秒时点与点重合， 第二种情况，当时，，如图所示，    ∴由上述证明可得，， ∴， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示，    ∵， ∴， 第三种情况，当时，如图所示，，    ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 当点与点重合时，如图所示，    ∴， 第四种情况，当时，如图所示，，    ∴，，， ∴ ； 综上所述，与之间的函数关系式和相应的自变量的取值范围为 ； （2）解：∵， ∴， ∴由（1）可知，，且， ∴， 第一种情况，当时，如图所示，    ∴， 解得，； 第二种情况，当时，如图所示，作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 第三种情况，当时，如图所示，作于点，    ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，； 综上所述，当或或时，是等腰三角形． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，动点问题，等腰梯形的性质，分段函数的运用，等腰三角形的判定和性质的综合，掌握分段函数的计算方法，梯形面积的计算公式，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 15．（2024·上海·模拟预测）如图1和图2，已知在四边形中，，，，，，点M在边上，且，将线段绕点M顺时针旋转到，的平分线所在直线交折线于点P（不与点A重合），设点P在该折线上运动的路径长为x，连接，连接．    (1)求的度数 (2)当时，请求出x的值 (3)若点P到的距离为2，求的值 (4)当点P在边上运动时，设点到直线距离为y，求y关于x的函数解析式并写出定义域 【答案】(1) (2)13 (3)的值为或 (4) 【分析】（1）先在中由勾股定理求得，然后在中根据三边长利用勾股定理逆定理解答即可； （2）当时，，则；设交与点N，先由求得，由线段差可得；再由求得即可解答； （3）分P点在AB上和BC上两种情况；当P点在上时，过点作于点，在和中，利用的正弦值求得，再在中求即可；当P点在上时，过点P作交的延长线于点Q，延长MP交的延长线于点H，先由求得和，再由求得，在求得即可； （4）过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形，证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如下图所示，当时，设交与点N，    ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， ∵当由增加到时，点由点运动到点， ∴； （3）解：如下图所示，当P点在上时，过点作于点，则，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 如下图所示，当P在上时，则，过点P作交的延长线于点Q，延长交的延长线于点H，    ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的值为或； （4）解：∵点在上， ∴， 如图，过点作交于点，过点作于点，则四边形是矩形， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，，设，，即， ，， ， 整理得：， 点到直线的距离． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、矩形的判定与性质、解直角三角形、三角形全等的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 16．（23-24九年级上·上海·期中）如图，在中，，，点是射线上的动点（点不与点重合），在的下方作． (1)求的值； (2)当在线段上时，射线交于点，若与相似时，求的长； (3)在的下方作交于点，连接，若是以为腰的等腰三角形，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）作，，根据等腰三角形三线合一的性质，及勾股定理，得到，，由三角形面积公式，得到，代入正弦函数即可求解， （2）作，，当时，，根据角平分线性质定理，设，根据面积公式，代入解得：，根据锐角三角函数，即可求解， （3）由，得到，结合，得到，，当时，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，在中，根据锐角三角函数及够谷歌定理得到，，，即可求解，当时，由，，得到，，作，根据等腰三角形三线合一的性质得到，，由，可设设，在中，根据勾股定理得到，即，由，解得：，由，得到，代入即可求解， 本题考查了等腰三角形三线合一的性质，相似三角形的性质与判定，锐角三角函数，勾股定理，解题的关键是：分情况讨论，找到相似三角形． 【详解】（1）解：过点作于点，过点作于点， ，， ， ， ， ， ， （2）解：作，， ∵， 当时，，可设， ，即：，解得：， ∴， （3）解：∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， 当时，， 作， ∴， 在中，， ∴， 当时， ∵，， ∴， ∴， 作， ， ∵， ∴设，则， 在中，，即：，解得：， ∴， ∵，即：，解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：或． 17．（24-25九年级上·上海宝山·阶段练习）已知为等边三角形，于点，点为边上一点，点为线段上一点，连接，且点在线段的中垂线上． (1)如图1，若，连接，为的中点，连接，求：线段的长； (2)如图2，将绕点逆时针方向旋转一定的角度得到，连接，点为的中点，连接，求：的值； (3)如图3，在（2）问的条件下，线段与线段交于点，连接，交线段于点，当时，求：的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点过点作垂直于点，利用等边三角形的性质，等腰三角形三线合一的性质，求得和的长度，利用勾股定理和直角三角形斜边上的中线的性质求解； （2）作出如图的辅助线，证明四边形是平行四边形，再证明，即可证明结论； （3）作出如图的辅助线，证明再解直角三角形即可求解． 【详解】（1）三角形是等边三角形，, ， ， 过点作垂直于点， 点在线段的中垂线上， 根据等腰三角形三线合一可知：， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ； （2）取的中点，取的中点，连接， 点是的中点，点是的中点，点是的中点， ， ， , 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）由（2） 可知，， ， ， ， ， 作且，连接， ， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，等腰三角形，直角三角形的性质，斜边上的中线等于斜边的一半，旋转的性质，特殊角的三角函数，熟练掌握等边三角形的性质，活用勾股定理、特殊角的三角函数等是解题的关键． 18．（23-24九年级上·上海·阶段练习）数学是以数量关系和空间形式为主要研究对象的科学．数学实践活动有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中的位置关系和数量关系，让我们在学习与探索中发现数学的静态美和动态美，掌握运动中的不变量和应变量，体会数学实践活动带给我们的乐趣． 一般情形下，我们常说旋转与翻折是伴随的． (1)其实翻折可以近似看作是旋转的一种，请简要描述理由： _______________________________________________________________________． (2)如图①，在矩形中，点E、F、G分别为边、、的中点，连接、，H为的中点，连接．将绕点B旋转，线段、和的位置和长度也随之变化．当绕点B顺时针旋转时，请解决下列问题： 图②中，，此时点E落在的延长线上，点F落在线段上，连接，猜想与之间的数量关系，并证明你的猜想从特殊到一般，也是数学几何思考的重要方法： 图③中，，则 ； 当时， ． (3)在的条件下，连接图③中矩形的对角线，并沿对角线剪开，得（如图④)．点M、N分别在、上，连接，将沿翻折，使点C的对应点P落在的延长线上，若平分，求：的长． 【答案】(1)旋转是图形绕定点旋转，翻折可以认为图形绕定直线旋转 (2) (3) 【分析】（1）根据旋转的全等性，及其特点，结合翻折特点和性质，描述即可． （2） 根据三角形中位线定理，得到,根据四边形是矩形，结合，得到四边形是正方形，结合点E、F、G分别为边、、的中点，得到，证明即可得证． 根据中位线定理，得，证明，列出比例式即可解答； 根据中位线定理，得，证明，列出比例式即可解答． （3）过点M作于点H ，根据折叠的性质，得， 结合平分，得到，继而得到， 利用勾股定理和，列式解答即可． 【详解】（1）解：旋转是图形绕定点旋转，翻折可以认为图形绕定直线旋转， 故答案为：旋转是图形绕定点旋转，翻折可以认为图形绕定直线旋转． （2）∵四边形是矩形，且， ∴四边形是正方形，， ∵点E、F、G分别为边、、的中点， ∴，, ∵， ∴， ∴， ∴． 连接， ∵点E、F、G分别为边、、的中点，H为的中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 连接， ∵点E、F、G分别为边、、的中点，H为的中点， ∴,， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）过点M作于点H ，根据折叠的性质，得 ， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，三角形中位线定理的应用，熟练掌握三角形相似的判定和性质，三角函数的应用，勾股定理是解题的关键． 19．（2024·上海·模拟预测）如图，在矩形中，点E为线段上一动点，已知，点F在边上，，点D关于直线对称点为P，射线交线段于G，点C关于直线的对称点为H，作交边BC于M，    (1)当点P与点G重合时，求证：H，F，D三点共线 (2)当点P在上方运动时，连接，设，，求y关于x的函数解析式并写出其定义域，以及当为直角三角形时x的值 (3)当点P在下方运动时，当时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，定义域，当为直角三角形时 (3) 【分析】（1）连接，，先证明是菱形，然后根据正切得到，然后证明是即可解题； （2）可以得到和为矩形，然后根据菱形的性质和等边三角形的性质，利用三角函数求出和长，表示y即可，然后根据点P在上方运动时，点F在边上，计算出定义域即可解题； （3）过点P作于点Q，然后解直角三角形求出和的值，然后利用勾股定理解题即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是矩形， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴ ∴是菱形， 又∵， ∴， 即 设射线与交于点N， 则， 又∵点C关于直线的对称点为H， ∴， ∴， ∴， ∴H，F，D三点共线；    （2）解：当点P与点G重合时，由（1）可得是菱形，且°， 又∵， ∴和为矩形， ∴，， ∴，， 又∵， ∴，， ∴， ∵点P在上方运动时，点F在边上， ∴， 当为直角三角形时，即，， ∴， ∴， ∴，即； （3）过点P作于点Q， 如图，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴．    【点睛】本题考查矩形的性质，菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形和勾股定理，轴对称的性质，综合性强，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 20．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，是边上的一点（不与点、重合），是边延长线上一点，，延长交边于点． (1)求证：； (2)如果，且，求的余切值； (3)连接，当平分时，求的值． 【答案】(1)见详解 (2) (3) 【分析】（1）根据等边对等角可得，，再根据，，即可证明； （2）先证明，再证明，即有，根据，，可得，进而可得， ，问题随之得解； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，先证明，设，，，即有，证明，可得，则有，，进而可得，，再证明，可得，进而得方程，解方程即可求解． 【详解】（1）∵在中，， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）过点A作于点N，如图， ∵在中，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∵； （3）过点F作，交于点N，与交于点O，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 设，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 整理得：， ， ∵， ∴， 解得：（负值舍去），经检验，是原方程的根， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，余切，全等三角形的判定与性质，一元二次方程的应用等知识，作出合理的辅助线，构造相似三角形，是解答本题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$