专题07 解直角三角形（七大题型，35题））-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 解直角三角形（七大题型，35题） 目录 题型一：解直角三角形的相关计算 1 题型二：解非直角三角形 2 题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 3 题型四：仰角俯角问题 4 题型五：方位角问题 6 题型六：坡度坡比问题 7 题型七：其他问题 9 一、题型一：解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ． 2．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，，，，，将绕点A顺时针旋转后，与重合，点C与点E重合，若点F在边上，，连接，则的余切值为 3．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图1，和都是等腰三角形，，，与、分别交于点、，和交于点，连接，．    (1)若，求； (2)如图2，延长，交于点，求证：、、三点在同一条直线上． 5．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，平分交边于点D，在边上取点E，使得，连接． (1)如图1，当时，求：的正切值 (2)如图2，过点C作于点F，当时，请：的值 (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等，求：的值 二、题型二：解非直角三角形 6．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 7．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 8．（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 9．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 10．（2021·上海虹口·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 三、题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 12．（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 13．（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 14．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 15．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 四、题型四：仰角俯角问题 16．（22-23九年级下·上海·阶段练习）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．小顾同学利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，那么此时无人机距离地面的高度为 米．（，保留3位有效数字） 17．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，某人在一个建筑物（）的顶部A观察另一个建筑物（）的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即），那么建筑物的高度为 米．    18．（23-24九年级上·上海·阶段练习）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为 ． 19．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 20．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 五、题型五：方位角问题 21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点、点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离点正东方向的处有一海岸瞭望塔，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向． (1)试求出小岛码头点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离；（注：，两题结果都精确到） 23．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 24．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 25．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知货船B在观测站A的北偏西的方向上，灯塔C在观测站A的北偏西方向上，且与观测站A的距离为20海里，在货船B上测得灯塔C在它的南偏西方向上，求观测站A与货船B之间的距离（精确到0.1海里，参考数据，）． 六、题型六：坡度坡比问题 26．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 27．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 28．（2024·上海徐汇·二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是 米． 29．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 30．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 七、题型七：其他问题 31．（2024九年级上·上海·专题练习）一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）． (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 33．（2023·上海黄浦·三模）我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且与桌沿的交点记为点C．（参考数据：，，，，） (1)若，求A到的距离及C、D两点间的距离（结果精确到）； (2)老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在的垂直平分线上，且，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．（结果精确到） 34．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 35．（2024·上海杨浦·三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 2 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 11 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题07 解直角三角形（七大题型，35题） 目录 题型一：解直角三角形的相关计算 1 题型二：解非直角三角形 10 题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 18 题型四：仰角俯角问题 23 题型五：方位角问题 29 题型六：坡度坡比问题 35 题型七：其他问题 41 一、题型一：解直角三角形的相关计算 1．（24-25九年级上·上海·阶段练习）已知等边三角形的边长为，该三角形的重心到一个顶点的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，解直角三角形，熟练掌握等边三角形的性质是解题的关键． 延长交于，根据等边三角形内心、外心、重心重合，根据它们的的性质得出，根据等边三角形的性质，得出，然后利用含30度角的直角三角形即可解决问题． 【详解】解：如图，设点是等边三角形的重心，连接并延长交于， ∵是等边的重心， ∴也是等边的外心和内心， ∴在三条边的垂直平分线上， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵是等边的内心， ∴平分， ∴， 在中，， ， 解得，， ∴它的重心到一个顶点的距离为， 故答案为：． 2．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，，，，，将绕点A顺时针旋转后，与重合，点C与点E重合，若点F在边上，，连接，则的余切值为 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作于，于，令交于，则，证明四边形为矩形，得出，由旋转的性质可得：，，证明得出，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图：作于，于，令交于， 则， ∵， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的余切值为， 故答案为：． 3．（2024·上海·模拟预测）在中，，，，的垂直平分线交于E，则 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理、平行线分线段成比例定理、线段垂直平分线的性质，作于，作的垂直平分线交于E，交于，解直角三角形得出，由勾股定理得出，解直角三角形得出，由线段垂直平分线的性质得出，从而得出，再由平行线分线段成比例定理计算即可得出答案． 【详解】解：如图：作于，作的垂直平分线交于E，交于， ， 在中，，， ∴， ∴， 由勾股定理可得：， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图1，和都是等腰三角形，，，与、分别交于点、，和交于点，连接，．    (1)若，求； (2)如图2，延长，交于点，求证：、、三点在同一条直线上． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解即可； （2）连接，根据等腰三角形的判定与性质，结合全等三角形的判定与性质分别证明、、、得到，，根据线段垂直平分线的判定即可证的结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接，    在和中， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴，又， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴在线段的垂直平分线上， ∴在同一条直线上； 【点睛】本题考查了求角的正弦值、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，涉及知识点较多，综合性强，熟练掌握相关知识的联系与运用，是解答的关键． 5．（24-25九年级上·上海杨浦·阶段练习）如图，在中，平分交边于点D，在边上取点E，使得，连接． (1)如图1，当时，求：的正切值 (2)如图2，过点C作于点F，当时，请：的值 (3)如图3，在（2）问的条件下，连接，当时，若四边形内部的点Q到四边形四条边的距离相等，求：的值 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）设，则，，根据，即可求解，再根据60度角的正切值为即可得到答案； （2）取中点，连接；由三线合一得为中位线，根据，即可证明； （3）根据，平分可得，设，则，，，根据可得，进而得是三个内角分别为，，的“黄金三角形”，作的平分线交于点，证明得出，证明得出平分，再证明即可求解； 【详解】（1）解： 设，则， ∴， 又，， ∴； （2）解：如图所示，取中点，连接； ∵， ∴， ∵， ∴点F为的中点，， 为中位线， ，且 ， ， ， ， ∴； （3）解：存在点，使得点到四边形四条边的距离相等，且，理由如下： ，平分， ， 设，则，， ， ， ， ， 是三个内角分别为，， 如图，作的平分线交于点， 设，则， ， ， ， ， ，平分 ， 平分 当点为角平分线与交点时，点到四边形四条边的距离相等， ，， ，， 平分 平分 在中， 在中，， ， 由对称性可知， ， ． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形中位线定理，全等三角形的性质与判定等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 二、题型二：解非直角三角形 6．（2024·上海徐汇·三模）如图，在中，，，是中线，将沿直线翻折后，点落在点，那么的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的翻折综合计算，涉及三角函数，等腰三角形，平行四边形及勾股定理，能正确进行线段的转换及作辅助线解非直角三角形是解题关键．本题先过点作于点，计算得出，再证明四边形是平行四边形，得，再在中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是中线， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， 由翻折知， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024九年级下·上海·专题练习）如图，已知在中，，，将翻折，使点与点重合，折痕交边于点，交边于点，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、解直角三角形、勾股定理，过点作于点，连接．由翻折可知，，，设，在中，，可求得，再利用勾股定理求出，在中，，即可求得，结合勾股定理可得，则，进而可得出答案． 【详解】解：过点作于点，连接． 由翻折可知，，， ， ，． 设， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， 则， ． 故答案为：． 8．（21-22九年级下·上海静安·期中）如图，在菱形纸片ABCD中，AB=2，∠A=60°，将菱形纸片翻折，使得点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F．G分别在边AB．AD上，则sin∠EFG= ． 【答案】 【分析】作于，作交AD延长线于，连接，．在，，，中，根据勾股定理可求，，，的长，即可求的长，即可得值． 【详解】解：如图：作于，作于，连接， 四边形是菱形， ， 是中点 ， ，且 ，， 折叠， ，， 在中，， ， ， 在中，，， ， ， ，， 是等边三角形， 点是中点， ，，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ． 【点睛】本题考查了折叠问题，解非直角三角形，菱形的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，添加恰当的辅助线构造直角三角形是本题的关键． 9．（22-23九年级上·上海·期中）如图，已知在中，，，． (1)求； (2)求． 【答案】(1)1 (2) 【分析】（1）过点作于点，利用，求出，利用勾股定理求出，再利用求出，进而求出； （2）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：过点作于点， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，在中， ． 【点睛】本题考查解直角三角形．通过作高，构造直角三角形是解题的关键． 10．（2021·上海虹口·二模）如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，cotB＝，BC＝10． （1）求AB的长； （2）如果CD为边AB上的中线，求∠DCB的正切值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）过点A作AE⊥BC，构造两个直角三角形，分别用特殊角和三角函数求解． （2）过D作DF⊥BC，分别在两个直角三角形中求解． 【详解】解：（1）过A作AE⊥BC于E，作DF⊥BC于F， ∵∠BCA＝45°， 在Rt△AEC中，AE＝EC， ∵cotB＝， 在Rt△BEA中，＝， 设BE＝3x，AE＝2x， ∴BC＝BE+EC＝BE+AE＝10， ∴x＝2， ∴BE＝6，EA＝EC＝4， 由勾股定理得：AB2+BE2＝AE2． 即AB2＝36+16＝52． ∴AB＝． （2）由（1）知AB＝2， 又∵D为AB的中点， ∴BD＝AD＝， ∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴ ∵BD＝AD， ∴BF＝FE＝BE＝3． ∴DF＝AE＝2， ∴FC＝FE+EC＝3+4＝7 ∴tan∠DCB=． 【点睛】本题考查了特殊角度、余切和正切的定义，以及三角形中位线的知识，是常见题型． 三、题型三：构造直角三角形求不规则图形的边长或面积 11．（2022·四川绵阳·三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过B、D两点分别作AC的垂线，利用∠AOD=60°，可推出DG=DO，BH=BO，再利用四边形ABCD的面积等于△ACD的面积加上△ABC的面积，即可求出； 【详解】如图，过点D作DG⊥AC于点G，过点B作BH⊥AC于点H， ∵∠AOD=60°， ∴∠AOD=∠BOC=60°， ∴DG=DO， 同理可得：BH=BO， S四边形ABCD=×AC×DG+×AC×BH =×AC××（DO+BO） =， 故选：C． 【点睛】本题考查含30°的直角三角形的性质和四边形面积的计算，熟练掌握含30°直角三角形的性质和不规则四边形面积的计算是解决本题的关键． 12．（21-22九年级上·山东淄博·期末）如图，，，底边BC上的高为，底边QR上的高为，则有（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】由已知可知高所对的斜边都为5，由正弦的定义可得到高关于正弦的表达式，比较正弦值即可得到答案． 【详解】解：如图，分别作出两三角形的高 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查解直角三角形，依题意作高构造直角三角形是解题的关键． 13．（2024·上海静安·二模）如图，矩形ABCD中，，将该矩形绕着点A旋转，得到四边形，使点D在直线上，那么线段的长度是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了旋转的性质和解三角形，注意分类讨论，正确画出图形是解题关键． 根据旋转的性质可得，，再由解三角形求出，，进而在中求出线段的长度． 【详解】解：由旋转性质可知：，，当点D在线段上时，如图1， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， 当点D在线段延长线上时，如图2， 同理可得：， ∴， 故答案为：或． 14．（22-23九年级上·四川成都·阶段练习）已知在中，、是锐角，且，，，则的面积等于 ． 【答案】220 【分析】过点作的垂线，得到两个直角三角形，根据题意求出两直角三角形中，和的长，用三角形的面积公式求出三角形的面积． 【详解】解：如图： 过点作的垂线，垂足为点． ， 设，， ， 可设，， ， ， ， 由，得， 则 故． 故答案是：220 【点睛】本题主要考查了解直角三角形与勾股定理结合求面积，如何解直角三角形是解题的关键． 15．（23-24九年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在中，． (1)求的值． (2)求的面积（结果保留根号） 【答案】(1) (2)的面积为 【分析】本题考查了解三角形，解题关键是构造出直角三角形． （1）过点作于点，构造出两个直角三角形，再根据所给条件直接求解即可； （2）利用勾股定理及三角形面积求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点作于点． 在中，，， ， ， 在中， ， ； （2）解：由（1）知：在中，，， ， ． 四、题型四：仰角俯角问题 16．（22-23九年级下·上海·阶段练习）七宝琉璃玲珑塔（简称七宝塔），位于上海市七宝古镇的七宝教寺内，塔高47米，共7层．小顾同学利用无人机实地勘测，如果无人机在飞行的某一高度时传回数据，测得塔顶的仰角为，塔底的俯角为，那么此时无人机距离地面的高度为 米．（，保留3位有效数字） 【答案】 【分析】本题主要考查解直角三角形，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 先根据题意画出图形，然后设，通过特殊角的三角函数值表示出，然后利用，解出x的值即可得到答案． 【详解】解：如图，A点为塔顶 ，B点为塔底，C点为无人机的位置，过点C作交于点D，则的长度即为所求． 设 ， ， ． 在中， ， ， 解得， ∴， 即此时无人机距离地面的高度为米， 故答案为：． 17．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，某人在一个建筑物（）的顶部A观察另一个建筑物（）的顶部的仰角为，底部的俯角为，两建筑物间的间距为60米（即），那么建筑物的高度为 米．    【答案】81 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，正确作出辅助线、构造直角三角形并正确解直角三角形成为解题的关键．如图：过点A作，垂足为C，可知四边形是矩形，即；然后再解直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：如图：过点A作，垂足为，可知四边形是矩形， ∴, ∵， ∴， ∴, ∴米．    故答案为：81． 18．（23-24九年级上·上海·阶段练习）某人在高为15米的建筑物顶部测得地面一观察点的俯角为，那么这个观察点到建筑物的距离为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的知识及俯角的定义，根据题意画出示意图，然后根据俯角的定义可得，然后可得出的度数，进而根据的正切值可得出的长度，即得出了这个观察点到建筑物的距离． 【详解】解：如图， 由题意得：，米， ， ， 米， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·上海·期中）如图，甲乙两幢楼之间的距离等于45米，现在要测乙楼的高，（），所选观察点A在甲楼一窗口处，．从A处测得乙楼顶端B的仰角为45°，底部C的俯角为30°，求乙楼的高度 （取，结果精确到1米）． 【答案】约为71米 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解． 【详解】解：从观察点A作，交于点E，依题意，可知（米），． ∵, ∴为等腰直角三角形． ∴（米）． 在中，，得 （米） ∴ （米）．   答：乙楼的高度约为71米． 20．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）小杰在学习了“仰角、俯角、坡比”后，他在自己居住的小区设计了如下测量方案：小杰利用小区中的一个斜坡，首先在斜坡的底端测得高楼顶端的仰角是，然后沿斜坡向上走到处，再测得高楼顶端的仰角是，已知斜坡的坡比是，斜坡的底端到高楼底端的距离是米，且三点在一直线上(如图所示)．假设测角仪器的高度忽略不计，请根据小杰的方案，完成下列问题： (1)求高楼的高度； (2)求点离地面的距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，，） 【答案】(1)高楼的高度为米 (2)点离地面的距离为米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）在中，解直角三角形即可得出答案； （2）作于，于，则四边形是矩形，得出，，设米，则米，米，在中，解直角三角形即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得：在中，米，， ∴（米）， ∴高楼的高度为米； （2）解：如图，作于，于， ， 则， ∴四边形是矩形， ∴，， 设米， ∴米， ∵斜坡的坡比是， ∴米， ∴米， 在中，， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴点离地面的距离为米． 五、题型五：方位角问题 21．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，l为一条东西方向的笔直公路，一辆小汽车在这段限速为80千米/小时公路上由西向东匀速行驶，依次经过点．是一个观测点，米，，，测得该车从点点行驶到点所用时间为1秒．    (1)求两点间的距离； (2)试说明该车是否超过限速． 【答案】(1)20米 (2)该车没有超过限速，理由见解析 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，根据题意求出的长是解题的关键． （1）首先利用列方程求出米，然后求出米，进而求解即可； （2）首先求出该车的速度，进而比较求解即可． 【详解】（1）∵米， ∴，即 ∴米， ∵ ∴ ∴米， ∴米； （2）∵米千米，该车从点点行驶到点所用时间为1秒小时 ∴该车的速度为千米/小时， ∵ ∴该车没有超过限速． 22．（23-24九年级上·上海·阶段练习）如图，点、点分别表示小岛码头、海岸码头的位置，离点正东方向的处有一海岸瞭望塔，又用经纬仪测出：点分别在点的北偏东处、在点的东北方向． (1)试求出小岛码头点到海岸线的距离； (2)有一观光客轮从至方向沿直线航行，某瞭望员在处发现，客轮刚好在正北方向的处，当客轮航行至处时，发现点在的北偏东处，请求出点到点的距离；（注：，两题结果都精确到） 【答案】(1)小岛码头点到海岸线的距离约为 (2)点到点的距离约为 【分析】此题主要考查了解直角三角形的应用； （1）根据题意可得，，，然后由列式计算即可； （2）过C作于N，先求出，再解直角三角形求出，然后根据含直角三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：过A作于M， 由题意得：，，， ∴，， ∴， 解得：， 答：小岛码头点到海岸线的距离约为； （2）过C作于N， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：点到点的距离约为． 23．（2024·上海·三模）在城市A地气象台测得台风中心在该地正西方向300千米的B处正以每小时26千米的速度沿射线（北偏东方向）移动，如果距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域．假如这次台风从点B位置沿北偏东方向移动3小时后，方向转为北偏东方向继续行进．请问：城市A是否受到台风的影响？如果受到影响，请计算影响的时间：如果不影响，请说明理由？（结果保留一位小数，参考数据：） 【答案】地不受台风影响； 【分析】如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，，求解，此时地不受台风影响；再求解，，，，此时地不受台风影响；从而可得答案． 【详解】解：如图，过作于，过作于，交于，过作于， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 在中，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴此时地不受台风影响； 综上：地不受台风影响． 【点睛】本题考查的是与方位角相关的解直角三角形的应用，等腰三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理的应用，熟练的画出图形是解本题的关键． 24．（2024·上海嘉定·二模）某东西方向的海岸线上有、两个码头，这两个码头相距千米（），有一艘船在这两个码头附近航行．    (1)当船航行了某一刻时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，如图，求码头与船的距离（的长），其结果保留位有效数字； （参考数据∶，，，） (2)当船继续航行了一段时间时，由码头测得船在北偏东，由码头测得船在北偏西，船到海岸线的距离是（即），如图，求的长，其结果保留根号． 【答案】(1)码头与船的距离为千米 (2)船到海岸线的距离为千米 【分析】本题考查了三角函数的应用，解题的关键是掌握三角形函数的定义． （1）根据题意可得，，进而得到，根据三角函数即可求解； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，，进而得到，根据，求出，推出，从而求出，最后根据，即可求解． 【详解】（1）解：， ， ， ， 又， ， 在中， 又，千米， （千米）， 千米 答：码头与船的距离为千米； （2）， ， ， ， 又， ∴， 过点作，垂足为， 在中，，， （千米），（千米）， 在中， （千米）， （千米）， 在中，， （千米）， 答：船到海岸线的距离为千米． 25．（23-24九年级下·上海·阶段练习）已知货船B在观测站A的北偏西的方向上，灯塔C在观测站A的北偏西方向上，且与观测站A的距离为20海里，在货船B上测得灯塔C在它的南偏西方向上，求观测站A与货船B之间的距离（精确到0.1海里，参考数据，）． 【答案】观测站A与货船B之间的距离为27.3海里 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用-方位角的应用，作，垂足为点H．在中，求出，在中，求出，即可得出结果． 【详解】解：作，垂足为点H． 由题意，得海里． 在中， ∵海里， ∴海里，海里． 在中， ∵， ∴． ∴（海里）． 答：观测站A与货船B之间的距离为27.3海里． 六、题型六：坡度坡比问题 26．（24-25九年级上·上海·期中）如图，传送带和地面所成斜坡的坡度为，它把物体从地面点A处送到离地面2米高的B处，则物体从A到B所经过的路程为（   ）    A．4米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】本题主要考查解直角三角形的实际应用，勾股定理，解决问题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形． 【详解】解：过点B作于点C， ∵传送带和地面所成斜坡的坡度为，米 ∴ ， ∴米， 在中，， 由勾股定理得米 ， 故选：D．    27．（2024·上海·模拟预测）如果在高为2米，坡度为的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（   ） A．2米 B．6米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了用平移的性质解决实际问题及坡比的应用，根据题意画出对应的几何图，注意地毯长度为，而不是，即可求解． 【详解】解：如图所示：    由题意得：在中，， ∴， ∴， 故选：B． 28．（2024·上海徐汇·二模）小杰沿着坡比的斜坡，从坡底向上步行了米，那么他上升的高度是 米． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是掌握坡比的定义．设坡度的高为米，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设坡度的高为米，则水平距离为米， ， 解得：， 故答案为：． 29．（2024·上海虹口·二模）根据以下素材，完成探索任务． 探究斜坡上两车之间距离 素材1 图①是某高架入口的横断面示意图．高架路面用表示，地面用表示，斜坡用表示．已知，高架路面离地面的距离为25米，斜坡长为65米． 素材2 如图②，矩形为一辆大巴车的侧面示意图，长为10米，长为米．如图③，该大巴车遇堵车后停在素材1中的斜坡上，矩形的顶点与点重合，点与指示路牌底端点之间的距离为米，且．小张驾驶一辆小轿车跟随大巴车行驶，小张的眼睛到斜坡的距离为1米． 问题解决 任务一 如图①，求斜坡的坡比． 任务二 如图③，当小张正好可以看到整个指示路牌（即、、在同一条直线上）时，试求小张距大巴车尾的距离． 【答案】任务一：斜坡的坡比；任务二：米 【分析】本题考查的是解直角三角形坡度坡角问题及相似三角形判定与性质，矩形判定与性质，任务一：根据勾股定理求出第三边进而求出坡度；任务二：作交延长线于点O，作于点Q，交于点R，通过解直角三角形结合矩形判定与性质求出相关线段长度，再证明，根据性质求出结论即可． 【详解】解：任务一：如图①， 由题意得：在中，为25米，斜坡长为65米， （米）， 斜坡的坡比； 任务二：如图③，作交延长线于点O，作于点Q，交于点R， 则四边形为矩形，四边形为矩形， 米， 米， ，为米， ， 解得：米， 米， 米，米， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 米． 30．（23-24九年级上·上海崇明·期末）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面D处有一棵树（假设树垂直水平线），在坡底B处测得树梢A的仰角为，沿坡面方向前行30米到达C处，测得树梢A的仰角为．（点B、C、D在一直线上）    (1)求A、C两点的距离； (2)求树的高度（结果精确到米）．（参考数据：） 【答案】(1) (2)树的高度约为 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，三角形外角的性质，等角对等边等等： （1）如图所示，延长交于G，过点C作于H，先得到，进而推出，再求出，则可推出，得到； （2）先解得到，再解得到，则． 【详解】（1）解：如图所示，延长交于G，过点C作于H， ∵， ∴， ∵小山的斜坡的坡度， ∴在中，， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴；    （2）解：中，， 在中，， ∴， ∴树的高度约为． 七、题型七：其他问题 31．（2024九年级上·上海·专题练习）一款闭门器按如图1所示安装，支点，分别固定在门框和门板上，门宽，摇臂，连杆，闭门器工作时，摇臂、连杆和长度均固定不变．如图2，当门闭合时，，则的长为 cm．如图3，门板绕点旋转，当时，点到门框的距离，则的长为 cm． 【答案】 18 8 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，构建直角三角形，熟练利用勾股定理及三角函数是解题的关键．过作，为垂足，利用三角函数和勾股定理求出、即可求解；连接，作，为垂足，为的对应点，设，分别表示出、、、，用勾股定理即可求解． 【详解】解：过作，为垂足， ， ， ， ， ， ， ． 故答案：． 解：如图，连接，作，为垂足，为的对应点， ， ∴， ， ， ， 设，则， ， 由题空1得：，， ， 又 ， ， 即：， 整理得：， 解得：，（舍去）， ． 故答案：． 32．（24-25九年级上·上海·阶段练习）小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）． (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 【答案】(1)两栋住宅楼的楼间距至少为米 (2)见解析 【分析】（1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即，楼高米，窗台米，作于，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）设每增加一层楼，单价增加万元，分别表示出在、两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 窗台米， 作于，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于，于， ， 则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 设每增加一层楼，单价增加万元， 在栋购买所花的费用为， 在栋购买所花的费用为， 当，解得时，此时在栋购买和栋购买所花的费用相同； 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少， 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少； 综上所述，当每增加一层楼，单价增加万元时，在栋购买和栋购买所花的费用相同；当每增加一层楼，单价增加小于万时，在栋购买所花的费用少；当每增加一层楼，单价增加大于万时，在栋购买所花的费用少． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 33．（2023·上海黄浦·三模）我们知道良好的坐姿有利于青少年骨骼生长，有利于身体健康，那么首先要有正确的写字坐姿，身子上半部坐直，头部端正、目视前方，两手放在桌面上，两腿平放，胸膛挺起，理想状态下，如图1所示，将图1中的眼睛记为点A，腹记为点B，笔尖记为点D，且与桌沿的交点记为点C．（参考数据：，，，，） (1)若，求A到的距离及C、D两点间的距离（结果精确到）； (2)老师发现小红同学写字姿势不正确，眼睛倾斜至图2的点E，点E正好在的垂直平分线上，且，于是要求其纠正为正确的姿势．求眼睛所在的位置应上升的距离．（结果精确到） 【答案】(1)A到的距离为，C，D间的距离为 (2)眼睛所在的位置应上升 【分析】本题考查解直角三角形的应用、线段的垂直平分线的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． （1）过作于，则，解直角三角形即可得到结论； （2）过作，过作交的延长线于，得到四边形是矩形，求得，根据线段垂直平分线的性质得到，解直角三角形即可得到结论． 【详解】（1）解：过作于， 则， ，， ，， ， ， ， ， ， 答：到的距离为，、两点间的距离为； （2）过作，过作交的延长线于，连接， 则四边形是矩形， ， 点正好在的垂直平分线上， ， ， ， ， 答：眼睛所在的位置应上升的距离为． 34．（2024·上海青浦·模拟预测）图是某折叠式靠背椅实物图，图是椅子打开时的侧面示意图，椅面与地面平行，支撑杆，可绕连接点转动，且，椅面底部有一根可以绕点转动的连杆，点是的中点，，均与地面垂直，测得，，． (1)求椅面的长度为 ； (2)如图，椅子折叠时，连杆绕着支点带动支撑杆，转动合拢，椅面和连杆夹角的度数达到最小值时，求，两点间的距离（结果精确到）．（参考数据：） 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）延长交于点，则，根据相似三角形的性质求出长度，则； （）根据图可得，对应图中求出长度，列比例求即可； 本题主要考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识点，找到对应相似三角形并正确列出比例是解题的关键． 【详解】（1）如图，延长交于点， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （2）在图中， ∵，椅面与地面平行， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵椅面与地面平行， ∴， ∴， 图中，过点作的垂线，垂足为， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 答：，两点间的距离为． 35．（2024·上海杨浦·三模）如图1是光的反射规律示意图，是入射光线，是反射光线，法线平面镜，入射角等于反射角． 如图2，水平桌面上从左至右分别竖直放置了挡板、挡板、平面镜，在挡板的正上方有一可上下移动的挡板（挡板的厚度都忽略不计），已知厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，测得入射角为.（参考数据：，，） (1)点到平面镜的距离是______厘米． (2)移动挡板，使空隙的长度是厘米，当从点发出的光线经平面镜反射后恰好经过点时，求入射角的度数． (3)在（2）的条件下，如果从点发出的光线经平面镜反射后通过空隙落到挡板上的最高点为，最低点为，那么的长度是_____厘米． 【答案】(1) (2)入射角的度数为 (3) 【分析】（1）作于点，且，得出，则，根据三线合一可得，进而解直角三角形，即可求解； （2）作于，使得，得出是等腰直角三角形，进而即可求解； （3）作关于的对称点，连接，并延长交分别为，得出，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，作于点，且， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：40； （2）解：如图所示，作于，使得， 同理可得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 则入射角为； （3）解：如图所示，作关于的对称点，连接，并延长交分别为， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：35． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$