专题06 锐角的三角比（九大题型，50题）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 锐角的三角比（九大题型，50题） 目录 题型一：锐角的三角比的意义 1 题型二：求角的正弦值 3 题型三：已知正弦值求边长 4 题型四：求角的余弦值 5 题型五：已知余弦值求边长 6 题型六：求角的正切值 7 题型七：已知正切值求边长 8 题型八：特殊三角形的三角函数 9 题型九：特殊角三角函数值的混合运算 9 一、题型一：锐角的三角比的意义 1．（22-23九年级上·上海青浦·期中）在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（21-22九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 6．（2022·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 7．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 8．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 9．（2024九年级下·上海·专题练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 10．（2024·上海虹口·二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 二、题型二：求角的正弦值 11．（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ． 12．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么 ． 13．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为 ． 14．（2024·上海·三模）用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 15．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 三、题型三：已知正弦值求边长 16．（2023·上海松江·一模）如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 17．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ． 18．（2023·上海普陀·二模）如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿直线翻折后，点的对应点为点E，如果，那么点E到直线的距离为 ． 19．（2024·上海·模拟预测）设等腰直角三角形的边长为n，则面积与周长之比为 ． 20．（2024·上海·模拟预测）在矩形中，，点O在对角线上，圆O半径为2，若圆O与矩形各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 四、题型四：求角的余弦值 21．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 22．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 23．（23-24九年级下·上海金山·阶段练习）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中的余弦值是 ．    24．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ． 25．（2024·上海静安·三模）已知：中，，平分，，，的余弦值为 ． 五、题型五：已知余弦值求边长 26．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 27．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    28．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点P为正方形对角线上的动点，点E在边上，连接，且，平分交边于F． (1)求证： (2)若，求的值 29．（2024·上海徐汇·三模）已知：如图，在中，，，，，与相交于点G．         求： (1)的长； (2)的长． 30．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 六、题型六：求角的正切值 31．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度，当边与的某一边平行时，相应的旋转角的正切值为 ． 32．（2024·上海·模拟预测）在中有一点P，满足，则点P被称为的“布卡洛点”，在中，，，点P是的一个“布卡洛点”，则 33．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ． 34．（2024·上海·模拟预测）在正方形中，E是边中点，将沿直线翻折，点A落在点F处，连接，则 ． 35．（2024·上海·模拟预测） 七、题型七：已知正切值求边长 36．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，垂足为点，，，点、分别在边和上，将分割成两个小三角形，将分割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ． 37．（2024·上海金山·二模）如图，在中，，D是的中点，把沿所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么 ． 38．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为 ． 39．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 40．（2024·上海·模拟预测）已知 ，求的值． 八、题型八：特殊三角形的三角函数 41．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 42．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 43．（22-23九年级·上海·假期作业）已知中，，，，求的长． 44．（2023·上海普陀·二模）计算：． 45．（22-23九年级上·上海静安·期中）计算：． 九、题型九：特殊角三角函数值的混合运算 46．（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：． 47．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 48．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：． 49．（2024·上海金山·三模）计算：． 50．（2024九年级下·上海·专题练习）计算：． 10 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 专题06 锐角的三角比（九大题型，50题） 目录 题型一：锐角的三角比的意义 1 题型二：求角的正弦值 10 题型三：已知正弦值求边长 16 题型四：求角的余弦值 22 题型五：已知余弦值求边长 28 题型六：求角的正切值 38 题型七：已知正切值求边长 45 题型八：特殊三角形的三角函数 54 题型九：特殊角三角函数值的混合运算 57 一、题型一：锐角的三角比的意义 1．（22-23九年级上·上海青浦·期中）在中，，那么边的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，将代入即可求得． 【详解】如图所示：在中，， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，明确锐角三角函数的定义求得是解题的关键． 2．（22-23九年级上·上海浦东新·阶段练习）在中，，，那么等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出图形，根据锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】解：如图，   ， 在中，，， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了解直角三角形，掌握锐角三角函数的定义是关键． 3．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）在中，，，，那么下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，先根据勾股定理求出，再根据锐角三角函数的定义即可解答；理解三角函数的相关定义是解题的关键． 【详解】解：如图:∵，， ∴， ∴． 故选：A． 4．（21-22九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，下列结论不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，的余角相等即可判断A，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即，可得，则，即可判断B选项，根据A选项可得，即，即可判断C，根据，可得,，即可判断D选项． 【详解】解：，， 故A选项正确，不符合题意； CD、CE分别是斜边AB上的高和中线， ， 故B选项不正确，符合题意； ，即， 故C选项正确，不符合题意； ，即, 又 故D选项正确，不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了三角形中线，高线，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，锐角三角函数，找出图中相等的角是解题的关键． 5．（23-24九年级上·上海普陀·阶段练习）已知是锐角，化简： ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了锐角三角函数，化简二次根式，根据锐角的余弦值小于1化简二次根式，然后合并即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：1． 6．（2022·上海青浦·二模）小明要测量公园里一棵古树的高，被一条小溪挡住去路，采用计算方法，在点测得古树顶的仰角为，向前走了100米到点，测得古树顶的仰角为，则古树的高度为 米． 【答案】 【分析】由正切的定义分别确定的表达式，进而联立成方程组，求解方程组即可得到答案． 【详解】解：如图，CD为树高，点C为树顶，则，BD=AD-100 ∴依题意，有 由①得 将③代入②，解得 故答案为：． 【点睛】本题考查正切的定义，二元一次方程组得应用，能依题意根据正切的定义列出方程组是解题的关键． 7．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，已知在中，，分别是边上的高，连接，那么和的周长比为 ． 【答案】/ 【分析】根据三角形的高得出，证明，继而证明，根据周长比等比相似比，结合，即可求解． 【详解】∵分别是边上的高， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∵， ∴， ∴与的周长比， ∵， ∴与的周长比， 故答案为：． 【点睛】本题考查了余弦的定义，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 8．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）若定义等腰三角形顶角的值为等腰三角形底边和底边上高的比值，即顶角，若等腰，，且，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理以及锐角三角函数的定义，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．过点A作于，设，，根据等腰三角形的性质及勾股定理得，即可求得答案． 【详解】解：如图，过点A作于，过点作于， ， 设，则， ，， ， 根据勾股定理得，， ． 故答案为：． 9．（2024九年级下·上海·专题练习）已知在平面直角坐标系中，为坐标原点，A、两点的坐标分别为和，如果将绕着原点旋转后，点A落在轴上，点落在点处，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化、旋转的性质、锐角三角函数的定义等知识点，熟记相关性质是解题的关键． 根据点A的坐标判断出与轴的夹角为，再根据旋转的性质可得，根据等边对等角可得，如图：过点作轴于，然后求出、，再分两种情况求出，最后根据余切的定义列式计算即可解答． 【详解】解：， 与轴的夹角为， 旋转后与轴的夹角为且， ， 如图：过点作轴于， 则， 如图，若顺时针旋转，则， ， 若逆时针旋转，则， ， 综上所述，的值为或． 故答案为：或． 10．（2024·上海虹口·二模）如图，在中，，延长至点，使得，过点、分别作，，与相交于点，连接． (1)求证：； (2)连接交于点，连接交于点．如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理等，解题的关键是掌握平行四边形和矩形的判定方法． （1）先证四边形是平行四边形，得出从而证出四边形是矩形，即可证明结论； （2）设，算出，证明，求出 ，进而证出结论； 【详解】（1）证明：，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 又，点D在的延长线上， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ； （2）解：如图，   四边形是平行四边形， ， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 在中， ， ， ． 二、题型二：求角的正弦值 11．（2024·上海青浦·模拟预测）如图是一张矩形纸片，点M是对角线的中点，点E在边上，把沿直线折叠，使点C落在对角线上的点F处，连接．若，则的正弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形与折叠问题，相似三角形的判定与性质，以及锐角三角函数的知识，证明是解答本题的关键．由折叠的性质可知，，，证明得，设，，则，，代入比例式求出，则，然后根据正弦定义求解即可． 【详解】解：如图，设与交于点G，    由折叠的性质可知，，． ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 设，，则， ∴， ∴， ∴或（舍去） ∴， ∴． 故答案为：． 12．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知矩形，为对角线，点、分别是与的重心，连接、，如果，那么 ． 【答案】/ 【分析】延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、，根据重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形的性质可推出，，，，得到，判定，推出，再证明，推出，得到，再用勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：延长交于M，连接并延长交于，连接并延长交于，连接并延长交于，连接、、， ∵点、分别是与的重心， ∴、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点； 、分别是、边上的中线，即点、分别是、边上的中点， ∴，； ，，，， ∴，；，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， 设，则， 在中，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，三角形的重心，三角形中位线定理，勾股定理，解直角三角形等知识点，解题的关键是由三角形重心的定义、三角形中位线定理及相似三角形判定和性质推出． 13．（23-24九年级上·上海青浦·期末）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，相交于点O，那么的值为 ． 【答案】 【分析】如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，，设正方形的边长为，由勾股定理得，，，由，可知是直角三角形，，则，由，可得，计算求解即可． 【详解】解：如图，向下2个格点，向右2个格点为，连接，， 设正方形的边长为， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理，正弦，平行线的性质是解题的关键． 14．（2024·上海·三模）用如图的方法可以较简便地计算出的值，请你仿照这种方法，求：的值． 【答案】 【分析】此题考查的知识点是解直角三角形，解答本题的关键是根据阅读材料构造含的直角三角形，再作辅助线得角的直角三角形．构造，其中，延长到，使，连接，根据构造的直角三角形，设，用表示出，即可求出的值． 【详解】解：构造，其中，，延长到，使，连接， 则， ， 设则，， ， ， ． 15．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、题型三：已知正弦值求边长 16．（2023·上海松江·一模）如图，已知中，，，将绕点旋转至，如果直线，垂足记为点，那么的值为 ． 【答案】或 【分析】设，则，，分两种情况讨论，画出图形，利用相似三角形的判定和性质，列式计算即可求解． 【详解】解：∵中，，， ∴， 设，则，， ∵将绕点旋转至， ∴，则，，，， 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 如图，，，， ∴， ∴，则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，正弦函数，相似三角形的判定和性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 17．（22-23九年级上·上海黄浦·阶段练习）如图，四边形中，，平分，交于点，，那么 ． 【答案】1 【分析】延长交于点，根据平分，，得出，，设，根据，求得，进而求得，证明，得出，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵平分，， ∴，， 设 ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正弦，等腰三角形的性质与判定，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 18．（2023·上海普陀·二模）如图，在中，，，，点在边上，联结，将沿直线翻折后，点的对应点为点E，如果，那么点E到直线的距离为 ． 【答案】 【分析】过点作于点证明，求出利用余弦、正弦，等腰三角形的判定与性质求，，进而可得的长． 【详解】解：过点作于点． ， ， 由翻折变换的性质可知，， ∴， ∴， ， ， ， ，， ，， 又， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查翻折变换，等腰三角形的判定与性质，正弦、余弦．解题的关键在于添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 19．（2024·上海·模拟预测）设等腰直角三角形的边长为n，则面积与周长之比为 ． 【答案】或 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，解直角三角形及分母有理化．分两种情况：n为直角边和斜边，分别求出面积与周长再化简即可． 【详解】解：①当n为直角边时，斜边为， 此时面积为：，周长为：， 面积与周长之比为：； ②当n为斜边时，直角边为， 此时面积为：，周长为：，面积与周长之比为：； 综上所述，等腰直角三角形的边长为n时，面积与周长之比为或． 故答案为：或． 20．（2024·上海·模拟预测）在矩形中，，点O在对角线上，圆O半径为2，若圆O与矩形各边都没有公共点，那么线段长的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理、切线的性质、正弦函数等知识点，确定临界点成为解题的关键． 根据勾股定理得到，如图1，设与边相切于E，连接，如图2，设与边相切于F，连接，分别运用正弦的定义求得临界点时的取值，进而确定取值范围． 【详解】解： ∵在矩形中，， ∴，， ∴， 如图1，设与边相切于E，连接，则， ∵， ∴，解的：； 如图2，设与边相切于F，连接，则， 同上可得：， ∴， ∴如果圆O与矩形的各边都没有公共点，那么线段AO长的取值范围是． 故答案为：． 四、题型四：求角的余弦值 21．（2024·上海普陀·二模）如图，在中，，是的重心，点在边上，，如果，，那么的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形重心的性质，相似三角形的性质与判定，余弦的定义； 根据题意得出，设，则，进而根据得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点，连接交于点， ∵是的重心，点在边上， ∴， ∴ ∴ ∴ 设，则， ∵， ∴， ∴，即 ∴ 解得：（负值舍去） ∴ ∴， 故选：D． 22．（24-25九年级上·上海·期中）如图，中，，将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的翻折变换，设，，根据折叠的性质得，再利用勾股定理求出，最后根据余弦的定义即可得解．解题的关键是掌握折叠的性质：折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应边、角相等． 【详解】解：设，， ∴， ∵将沿图中的虚线翻折，使点落在边上的点处， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 23．（23-24九年级下·上海金山·阶段练习）为庆祝中国共产党建党100周年，某校用红色灯带制作了一个如图所示的正五角星（A，B，C，D，E是正五边形的五个顶点），则图中的余弦值是 ．    【答案】 【分析】先利用正多边形内角和求出，从而求出的三内角度数，在中，作的角平分线交于点P，过点P作，垂足为，利用等腰三角形性质，三角形外角性质求出，，设为1，，则，证明，得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：如图，    ∵正五角星中，五边形是正五边形， ， ， ， 则如图，在中，作的角平分线交于点P，过点P作，垂足为，   ， ， ， ，， 设为1，，则， ，, ， ，即， 解得：或（舍去）， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角函数的求解，正多边形内角和定理，三角形内角和定理，三角形外角性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，准确求出三角形边长是解题关键． 24．（2024·上海·中考真题）在平行四边形中，是锐角，将沿直线翻折至所在直线，对应点分别为，，若，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了平行四边形的翻折，求余弦值，等腰三角形的判定及性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行求解． 【详解】解：当在之间时，作下图， 根据，不妨设， 由翻折的性质知：， 沿直线翻折至所在直线， ， 。 ， 过作的垂线交于， ， ， 当在的延长线上时，作下图， 根据，不妨设， 同理知：， 过作的垂线交于， ， ， 故答案为：或． 25．（2024·上海静安·三模）已知：中，，平分，，，的余弦值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、相似三角形的判定与性质，求一个角的余弦，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 过点D作，根据角平分线可得，然后得到，证明出，得到，即可求得，然后设，则，利用代入求出，然后根据余弦的概念求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作， 平分， ， 又， ， ，， ， 即， 又 ， ， ∴，负值舍去， 设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴． 故答案为：． 五、题型五：已知余弦值求边长 26．（23-24九年级下·上海宝山·期中）如图，菱形ABCD的边长为5，，E是边CD上一点（不与点C、D重合），把△ADE沿着直线AE翻折，如果点D落在菱形一条边的延长线上，那么CE的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，由折叠得，过点A作于点H，过点作于点G，得由菱形的性质得，可得，设则由勾股定理得由折叠得而，在中由勾股定理得，解方程求出的值即可解决问题 【详解】解：过点A作于点H，过点作于点G，点D与点F重合，如图， 由折叠得， ∴， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵四边形是菱形， ∴ ∴ ∴ 设则， 由折叠得， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴ 解得，， ∴ 故答案为： 27．（23-24九年级上·上海静安·期末）如图，中，，，.点、分别在边、上，，那么的长为 .（用含的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，余弦的定义，过点作于点，设，则， ，，过点作交的延长线于点，根据平行线分线段成比例得出，得出，证明，得出，则，进而求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，    ∵ ∴， ∵， ∴，设，则，， ∵， ∴， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵ ∴，即 ∴ 解得： 又∵ ∴ ∴ ∴ 解得： ∴ ∵，，， ∴，则 故答案为：． 28．（2024·上海·模拟预测）如图，已知点P为正方形对角线上的动点，点E在边上，连接，且，平分交边于F． (1)求证： (2)若，求的值 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，即； （2）过作于，延长交于点H，连接，，证明，得出，证明，得出，证明，可得，证明，则，设，则，，由勾股定理得，则，，， ，由（1）可知，，即，解得，由，可得，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：由正方形的性质可得， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：过作于，延长交于点H，连接，，如图所示：    由正方形的性质可得，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 设，则，， 由勾股定理得， ∴，，， ， 由（1）可知，， 即， 解得， ∵， ∴， 则， 即， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质，角平分线，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，余弦等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 29．（2024·上海徐汇·三模）已知：如图，在中，，，，，与相交于点G．         求： (1)的长； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点A作于E，交于F．则，由勾股定理得，．由，，可得，，则，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，计算求解即可； （2）由题意知，，证明，则，由，可求． 【详解】（1）解：过点A作于E，交于F． ∵，， ∴， 由勾股定理得，． ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴； （2）解：由题意知，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，余弦，全等三角形的判定与性质是解题的关键． 30．（23-24九年级上·上海宝山·期中）如图，中，，，D是边的中点，连结．    (1)已知，求的长； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解直角三角形，掌握三角函数的定义是解题的关键． （1）根据题意设，则，利用勾股定理列式计算求得，据此求解即可； （2）作于，求得，利用余弦函数求得，再利用勾股定理和余切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴设，则， ∵，即， 解得， ∴； （2）解：作于，    由（1）得， ∵D是边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 六、题型六：求角的正切值 31．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，一副三角板的三个内角分别是，，和，，，如图，若固定，将绕着公共顶点顺时针旋转度，当边与的某一边平行时，相应的旋转角的正切值为 ． 【答案】1或 【分析】分三种情况：当时；当时；当时，作；分别利用平行线的性质求出旋转角，再由正切的定义，求出正切值即可． 【详解】解：如图，当时， 此时，即旋转角， ∴相应的旋转角的正切值为； 如图，当时， 此时， ∴，即旋转角， 作交于，交于，作于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、为等腰直角三角形， 设，则，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图，当时，作， 则， ∴，， ∴，即旋转角， ∵， ∴不符合题意，舍去； 综上所述，相应的旋转角的正切值为1或， 故答案为：1或． 【点睛】本题考查了平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 32．（2024·上海·模拟预测）在中有一点P，满足，则点P被称为的“布卡洛点”，在中，，，点P是的一个“布卡洛点”，则 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、相似三角形的判定与性质，证明，推出，从而得到，，即可得解． 【详解】解：如图： ， ∵，， ∴，， ∵点P是的一个“布卡洛点”， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 33．（2024·上海·模拟预测）在梯形中，，的平分线交于，连接，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，作出图形，先由三角形全等的判定与性质得到，即是直角三角形，过点作交于，如图所示，由矩形的判定与性质得到，在中及在中，有勾股定理得到的长，在中，由正切定义代值求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 是的角平分线， ， 在和中， ， ，即是直角三角形， 过点作交于，如图所示： ， ， ，即四边形是矩形， ， 在中，，，则由勾股定理可得，则， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得， 在中，， 故答案为：． 【点睛】本题考查求三角函数值，涉及角平分线定义、三角形全等的判定与性质、直角三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理及正切函数值定义等知识，熟练掌握相关几何性质及判定是解决问题的关键． 34．（2024·上海·模拟预测）在正方形中，E是边中点，将沿直线翻折，点A落在点F处，连接，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了折叠问题、正方形的性质、勾股定理、正切的定义等知识点，正确作出辅助线成为解题的关键． 如图：由折叠可得，由折叠的性质以及三角形外角性质可得，进而得；如图：过作,则四边形是矩形，设，,则,,运用勾股定理求得，即、,再运用勾股定理求得；过B作于M,利用等腰三角形的性质及勾股定理可得、，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图：由折叠可得， ∵正方形中，E是的中点， ∴, ∴， ∴， 又∵是的外角， ∴， ∴， ∴， ∴, 如图：过作,则四边形是矩形， 设，,则,, ∴,即，解得：， ∴,即, ∴,, ∴, 过B作于M, ∵， ∴, ∴, ∴． 故答案为：3． 35．（2024·上海·模拟预测） 【答案】 【分析】本题主要考查了含直角三角形的性质、等腰三角形的性质、正切的定义等知识点，正确作出符合题意的直角三角形成为解题的关键． 如图，作，使，延长到A，使，连接．根据直角三角形和等腰三角形的性质可得；设，易得，最后根据正切的定义即可解答． 【详解】解：如图，作，使，延长到A，使，连接． ∵， ∴． ∵， ∴． 设， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 七、题型七：已知正切值求边长 36．（2024·上海杨浦·三模）如图，已知在中，，垂足为点，，，点、分别在边和上，将分割成两个小三角形，将分割成两个小三角形，如果分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似，那么的值是 ． 【答案】或 【分析】设，根据题意可得，，，继而确定平分，即， 设，则，分两种情况：①当时；②当时，分别求解即可． 【详解】解：设， ∵在中，，，， ∴，，， ∴， ∴， ， ∵将分割成两个小三角形，将分割成两个小三角形，分割成的两个小三角形与分割成的两个小三角形分别相似， ∴分割成的两个小三角形都有一个角为， ∴平分，即， 设，则， ①当时， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴， ∴； 综上所述，的值是或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理，等边对等角，平行四边形的判定和性质等知识点．掌握锐角三角函数的意义及相似三角形的判定和性质是解题的关键． 37．（2024·上海金山·二模）如图，在中，，D是的中点，把沿所在的直线翻折，点B落在点E处，如果，那么 ． 【答案】 【分析】由D为中点，，则得，则；由，得；由折叠的性质得，则，最后得，由此三角的和为直角，从而得每个角为，则，是等边三角形，由正切三角函数即可求得结果． 【详解】解：∵D为的中点，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴； 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 在中，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角三角函数． 38．（23-24九年级上·上海·阶段练习）已知平面直角坐标系中点和，满足（为原点），那么的值为 ． 【答案】或10/10或 【分析】本题考查的是坐标与图形，锐角三角函数的应用，分当点B在y轴的正半轴上和负半轴上两种情况，分别画出图形、根据正切的定义列方程求解即可；清晰的分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：①如图：当点B在y轴的正半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：；   ②如图：当点B在y轴的负半轴上时，则， ∵， ∴，即，解得：． 故答案为或10． 39．（23-24九年级上·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知分别是 与 轴，轴的交点． (1)在线段 上， ，求的坐标； (2)在第一问的条件下，求 的值； (3)若 在直线 上，，求的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的综合；熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线分线段成比例定理，正切函数的定义是关键． （1）过点C作轴于H，根据平行线分线段成比例定理可得出的长，即可得C的坐标； （2）连接，过点O作，在中，根据正切函数的定义即可求解； （3）设，进而求出，求出x的值即可得D的坐标． 【详解】（1）解：过点C作轴于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵B，A分别是与x轴，y轴的交点． 当时，；当时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：连接，过点O作 ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 在中，； （3）解：如图，过点D作轴于E， 设， ∴， 解得或6． ∴或， 综上所述：D的坐标为或． 40．（2024·上海·模拟预测）已知 ，求的值． 【答案】 【分析】在中，，取的中点D，连接，过点C作于点E，设，则，根据勾股定理得出，根据等积法求出，根据，求出，得出，求出， ，根据，得出即可． 【详解】解：如图，在中，，取的中点D，连接，过点C作于点E， ∵， ∴设，则， 根据勾股定理得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D点是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义． 八、题型八：特殊三角形的三角函数 41．（23-24九年级下·上海杨浦·阶段练习） （选填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数大小比较，数字规律探索，根据特殊角的三角函数的正弦与余弦值可得到互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小，从而得出，再进行比较即可． 【详解】解：，，，，，， ，，，， 由此可得，互余的两角余弦值与正弦值相等，正弦值随着角度的增大而增大，余弦值随着角度的增大而减小， ， ， ， 故答案为：． 42．（23-24九年级上·上海松江·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，先将特殊角的三角函数值代入，然后进行计算即可；牢记特殊角的三角函数值是解题的关键． 【详解】解： ． 43．（22-23九年级·上海·假期作业）已知中，，，，求的长． 【答案】或cm 【分析】过C作，垂足为D．根据为锐角和钝角分情况画出图形，利用锐角三角函数和勾股定理分别求解即可． 【详解】解：过C作，垂足为D． 在中，，， ∵， ∴． 在中，     ∵， ∴． 在图1中，； 在图2中，． 综上所述：的长为或．    【点睛】本题考查勾股定理、特殊锐角的三角函数值，在三角形中，已知一个角的度数，以及这个角的对边和一条邻边的长时，要注意分类讨论． 44．（2023·上海普陀·二模）计算：． 【答案】 【分析】根据绝对值的代数意义得，利用特殊角的三角函数可得，则，根据负整数幂的运算法则得，再将分母有理化得，再计算加减法即可求解． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算、负整数指数幂、分母有理化、特殊角的三角函数值，灵活运用相关知识解决问题是解题关键． 45．（22-23九年级上·上海静安·期中）计算：． 【答案】 【分析】先将特殊角的三角函数值代入化简，再进行二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】原式 【点睛】本题考查了锐角三角函数值，实数的乘方、乘除、减法法则，熟记特殊角的锐角三角函数值是解题关键． 九、题型九：特殊角三角函数值的混合运算 46．（24-25九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算，代入特殊角的三角函数值，计算即可得解． 【详解】解： ． 47．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，将特殊角三角函数值代入求解即可． 【详解】解： 48．（23-24九年级上·上海·阶段练习）计算：． 【答案】0 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂，根据分母有理化，特殊三角函数值，零指数幂，负整数指数幂的运算法则计算各项，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 49．（2024·上海金山·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、特殊角的三角形函数值、二次根式的性质等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 先运用乘方、绝对值、负整数次幂、二次根式、特殊角的三角函数值化简，然后再计算即可． 【详解】解： ． 50．（2024九年级下·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】此题主要考查了特殊角三角函数混合运算，二次根式的混合运算；正确化简各数是解题关键．直接利用特殊角的三角函数值以及二次根式的混合运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解： ． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$