第二十五章 锐角的三角比 单元测试（提升卷）-【尖子生培优】2024-2025学年九年级数学上学期重难点压轴题突破专练（沪教上海版）

2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第二十五章 锐角的三角比 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 2．已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 5．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的边长为2，，E是边的中点，F是边上的一个动点，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 8．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 9．计算： ． 10．在中，，，，则的余切值为 ． 11．在菱形中，，，，则的值是 ． 12．如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ． 13．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 14．已知在中，，，，那么的面积等于 ． 15．如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为 ． 16．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 17．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ． 18．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 20．根据下列条件解直角三角形． (1)在中，； (2)在中，． 21．小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 22．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点．点A、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得 ； (2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）．使得； (3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上），在上取点，使得 ． 23．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 24．如图，在平面直角坐标系中，，，轴，且与轴交于点，点与点关于轴对称，连接． (1)若令，证明：； (2)如图1，点为线段上的点，为射线上点，且，，请求出点坐标； (3)如图2，点在线段上，其横坐标为，作轴，与交于点，在延长线上有动点，射线上有点，且﹐若，求的值（用含的代数式表示）． 25．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）． (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 6 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 1 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 2024-2025学年一线教师制作精品尖子生培优系列资料，已编校！ 第二十五章 锐角的三角比 单元测试（提升卷） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．比较，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的增减性，熟记锐角三角函数的增减性是解题的关键， 根据三角函数的增减性，以及互余的两个角之间的关系即可作出判断． 【详解】， ， ，， ，， ， 故选：D． 2．已知α为锐角，，则α等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的知识，解题的关键是熟记特殊角的三角函数值． 根据特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵已知α为锐角，， ∴， ∴． 故选：B． 3．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的相关定义，根据正弦，余弦，正切的定义一一判断即可． 【详解】解：．，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ． ，正确，故该选项不符合题意； ．，原表示方法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 4．如图，一艘军舰在处测得小岛位于南偏东方向，向正东航行40海里后到达处，此时测得小岛位于南偏西方向，则小岛离观测点的距离是（    ） A．海里 B．海里 C．海里 D．海里 【答案】B 【分析】本题主要考查了构造直角三角形，解直角三角形，过点B作，交的延长线于H，由题意可知，由含的直角三角形的性质可得出海里 ，再通过角度的计算得出，通过等角对等边可得出海里，根据余弦的定义求出，最后根据线段的和差关系可得出答案． 【详解】解：如图，过点B作，交的延长线于H， 则， 由题意可知：，海里 ∴海里，， ∵， ∴， ∴ ∴海里， ∵， ∴海里， ∴海里， 故选：B． 5．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 【点睛】此题考查了勾股定理、矩形的折叠问题、全等三角形的性质和判定、正切的定义等知识，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 6．如图，菱形的边长为2，，E是边的中点，F是边上的一个动点，将线段绕着点E逆时针旋转得到，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点，连接、、，连接，证明，连接构造，在，证明，求出的长度即可，过点作的延长线于，在中，由菱形的性质可知，由此即可求出的长度，在中即可求出的长，于是就可以求出的最小值． 【详解】解：如图所示，取的中点，连接、、，连接， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点是中点，点是的中点， ，， ∴三角形是等边三角形， ∴， ∵，， ， ， ， ， ， ∵， ， ∴，则， 在中，， 如下图所示，过点作的延长线于， 在中，，由菱形可知， ∴，则，且， ∴， 则， 在中，， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查菱形的性质与全等三角形，勾股定理，直角三角形的性质，等边三角形的性质和判定，解直角三角形的综合运用，将线段的长度的最小是转换到三角形中，根据三角形边长的关系求解是解题的关键． 二、填空题 7．如图，一名滑雪运动员沿着倾斜角为的斜坡，从A滑行至B，已知米，则这名滑雪运动员的高度下降了 米．（参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的实际应用，由，再代入数据可得答案． 【详解】解：在中，， ∴米． ∴这名滑雪运动员的高度下降了米； 故答案为： 8．下列结论（其中是锐角）：①；②；③当时，；④．其中正确的有 ． 【答案】③④ 【分析】本题考查了同角三角函数的关系及锐角三角函数的增减性，掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． 根据同角三角函数关系及锐角三角函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：①∵，， ∴不一定小于等于1，故①错误； ②若，则， ， ∴ ∴，故②错误； ③当时，， ∴越大，对边越大，且越接近斜边， ∴越大， ∴当时，，故③正确； ④∵，，， ∴，故④正确． 故答案为：③④． 9．计算： ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 直接利用特殊角的三角函数值代入进而计算得出答案． 【详解】解： 故答案为：． 10．在中，，，，则的余切值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是锐角三角函数的定义，直接根据锐角三角函数的定义解答即可，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴的余切值． 故答案为：． 11．在菱形中，，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形中三角函数的应用，解题的关键是根据，设出，则，，得出，根据，，求出，再利用勾股定理得出的长，即可求出答案． 【详解】 解：， 设， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 12．如图，在矩形中，，是边的中点，，分别是边，上的点，且，垂足为点．若，，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识．通过证明，可求的长，由勾股定理和锐角三角函数可求，的长，即可求解． 【详解】解：过点作，垂足为， ， 点是边的中点， ， 四边形是矩形， ，， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13．如图，图1是一盏台灯，图2是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂，灯罩，灯臂与底座构成的．可以绕点上下调节一定的角度．使用发现：当与水平线所成的角为时，台灯光线最佳，则此时点与桌面的距离是 ．（结果精确到，取1.732） 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，锐角三角函数的应用，作辅助线，构造直角三角形是解本题的关键．过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E，分别在和中，利用锐角三角函数的知识求出和的长，再由矩形的判定和性质得到，最后根据线段的和差计算出的长，问题得解． 【详解】解：过点作，交延长线于点，过点作于F，过点作于E， 在中，，， ∵ ∴(cm)， 在中，，， ∵， ∴(cm)， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴(cm)． 点与桌面的距离约为， 故答案为：． 14．已知在中，，，，那么的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，三角形的面积，过点A作于D，先在直角中，运用余切函数的定义得出，再结合勾股定理计算出，，再根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点A作于D．    在直角中，， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 15．如图，菱形中，，对角线，E为上一点且，连接交于点F，过点F作于点G，则的长度为 ． 【答案】4 【分析】连接，交于点O，根据菱形的性质及勾股定理得出，再由相似三角形的判定和性质得出，再由正弦函数求解即可． 【详解】解：连接，交于点O， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：4． 【点睛】题目主要考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，正弦函数的定义等，理解题意，作出相应辅助线，综合运用这些知识点是解题关键． 16．如图所示， 已知正方形的边长为2， 以点B为圆心，对角线的长为半径画弧，交的延长线于点E， 连接， 则 ． 【答案】 【分析】本题考查正方形的性质，求正切值，等边对等角，结合题意，由正方形的性质可知，则，，再根据即可求解，熟练理解相关图形的性质是解决问题的关键． 【详解】解：在正方形中，，， ∴， 由题意可知，则， ∴， ∴， 故答案为：． 17．在平面直角坐标系中，已知，，点在轴上，连接，把绕点顺时针旋转得到线段，连接．若是直角三角形，点的横坐标为 ． 【答案】2或或 【分析】分情况讨论：①当点在轴的正半轴上，且时，②当点在轴的正半轴上，且时，③当点在轴的负半轴上，且时，利用全等三角形及直角三角形的性质和正切值求解即可． 【详解】解：，， ，， 设点， 当时，点在直线上（且不与点重合）， 点不能为直角顶点， ①如图，当点在轴的正半轴上，且时， 由旋知，，， ，， ， ， ，， ， ，即点的横坐标为2； ②如图，当点在轴的正半轴上，且时， 过点作于点，则， 由旋转可知，，， ，， ， ， ，， ， ， ，，， ， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； ③如图，当点在轴的负半轴上，且时， 过点作于点，则， 同理可得， ，， ，， 同理可得， ， ，即， 解得：或（不合题意，舍去）， 点的横坐标为； 综上所述，点的横坐标为2或或， 故答案为：2或或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，角的正切，解题的关键是熟练掌握知识点，注意分类讨论思想的运用． 18．如图，矩形中，，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形，若点在上，连接，，则值为 ． 【答案】 【分析】过作于点，交于点，由旋转和矩形的性质可得：，，，设，则，根据勾股定理求出，进而得到，根据同角的余角相等可得，推出，可求出，进而求出、和，证明四边形是矩形，得到，，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，交于点， 由旋转和矩形的性质可得：，，， ， 设，则， 在中，， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的判定与性质，三角函数，勾股定理，解题的关键是灵活运用相关知识． 三、解答题 19．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了实数混合运算的能力，关键是代入并计算特殊角的三角函数值． （1）先代入特殊角的三角函数值，再计算即可； （2）先代入特殊角的三角函数值，再按运算顺序进行计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 20．根据下列条件解直角三角形． (1)在中，； (2)在中，． 【答案】(1)，， (2)，，， 【分析】本题考查的是解直角三角形，掌握解直角三角形的含义是解本题的关键． （1）根据勾股定理求出的长度，再根据特殊三角形的三角函数求出的度数，再由三角形的内角和定理求出的度数即可； （2）根据三角形内角和定理求出的度数， 【详解】（1）解：根据勾股定理可得， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 21．小强学完解直角三角形知识后，给同桌小花出了一道题：“如图所示，把一张长方形卡片放在每格宽度为的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知，求长方形卡片的周长．”作于点，于点．请你帮小强解答这道题．（结果精确到） 【答案】200mm 【分析】本题考查余角的性质，解直角三角形的应用．通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形中解决． 求的周长就是求和的长，可分别过、作垂线垂直于，通过构造直角三角形根据和的四个顶点恰好在横格线且每个横格宽等条件来求出、的长． 【详解】解：，， ． 根据题意，得，． 在中，， ． 在中，， ． 矩形的周长． 22．如图，在每个小正方形的边长均为1的网格中，其顶点称为格点．点A、都在格点上，只用无刻度的直尺，分别在网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．    (1)在图①中，以为斜边画直角（点在格点上），使得 ； (2)在图②中，以为一直角边画等腰直角（点在格点上）．使得； (3)在图③中，以为一直角边画（点在格点上），在上取点，使得 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）找到的格点顶点，即可求解； （2）根据勾股定理与网格的特点找到格点，使得； （3）根据网格的特点取格点，连接交于点，使得，则，点即为所求； 【详解】（1）解：如图所示，点即为所求；   ； （2）解：如图所示，点即为所求；   ； （3）解：如图所示，取格点，连接交于点，使得，则，点即为所求；   ． 【点睛】本题考查了勾股定理与网格，等腰直角三角形的判定，正切函数的定义，相似三角形的性质与判定，熟练掌握三角函数的定义，勾股定理与网格，相似三角形的性质与判定是解题的关键． 23．小明和小玲游览一处景点，如图，两人同时从景区大门出发，小明沿正东方向步行60米到一处小山处，再沿着前往寺庙处，在处测得亭台在北偏东方向上，而寺庙在的北偏东方向上，小玲沿着的东北方向上步行一段时间到达亭台处，再步行至正东方向的寺庙处． (1)求小山与亭台之间的距离；（结果保留根号） (2)若两人步行速度一样，则谁先到达寺庙处．（结果精确到个位，参考数据：，，） 【答案】(1)小山与亭台之间的距离米 (2)小玲先到达寺庙处 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）作于点，在中求出，然后在中即可求解； （2）延长，作于点，作于点，则，在中求出，米，在中求出，，进而求出两人行走的路程可得答案． 【详解】（1）作于点， 由题意知，，，，， 在中， 在中，，， 小山与亭台之间的距离米 （2）延长，作于点，作于点，则， 由题意知，， ∴四边形是矩形， ∴． ∵，， ∴， 在中，，米， 在中，， 米， 米， 且两人速度一致， 小玲先到． 答：小玲先到达寺庙处． 24．如图，在平面直角坐标系中，，，轴，且与轴交于点，点与点关于轴对称，连接． (1)若令，证明：； (2)如图1，点为线段上的点，为射线上点，且，，请求出点坐标； (3)如图2，点在线段上，其横坐标为，作轴，与交于点，在延长线上有动点，射线上有点，且﹐若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】本题是三角形的综合题，涉及平行线的性质、等腰三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、轴对称图形的性质、全等三角形的判定与性质、解直角三角形、坐标与图形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题． （1）如图中，连接，只要证明和即可解决问题； （2）在上取点，且，连接，令，由（1）知，证明，过作的延长线于点，从而求解点的横坐标和纵坐标，即可求解； （3）在的延长线上取点，且，连接，证明，即可解决问题； 【详解】（1）解：如图1中，连接． ，，轴， ，， ， ， ， ， ， 、关于轴对称， ， ， ． （2）解：在上取点，且，连接 令，由（1）知， 轴， ， ， ， ， ， ， ， 而， ， ，， ， 即， 由（1）（2）（3）可得， ，， 在中，，， 则， ，，， 在等腰中，，， 过B作于T，则， ∴， ， 过作的延长线于点， 在中，， 而， ，， 点的横坐标，纵坐标， ． （3）解：在的延长线上取点，且，连接， 已知点在线段上，且横坐标为， 令与轴交于点，过B作轴于N，过E作轴于M， 则，，， ∵， ∴， ∴，，， 在中，， 由，而， ， ， ， ，又， ， 轴， ， 轴， ，， ， 即（4） ，， ， （5） 所以由（4）（5）可得， ． 25．小华家准备购买一套新房，经过考察小华家发现有的房产开发商，为了获取更大利益，缩短楼间距，以增加住宅楼栋数．某市某小区正在兴建的若干幢20层住宅楼，国家规定普通住宅层高宜为2.80米．如果楼间距过小，将影响其他住户的采光（如图所示，窗户高1.3米）． (1)某市的太阳高度角（即正午太阳光线与水平面的夹角）：夏至日为81.4度，冬至日为34.88度．为了不影响各住户的采光，两栋住宅楼的楼间距至少为多少米？（保留到0.1米） (2)小华一家决定在该小区中、两栋楼中选择一套进行购买，现向售楼中心咨询得到如下信息： 1．、两栋楼中各套房子的面积均为． 2．、、三栋楼平行排列，楼在楼正南方且间距68米，楼在楼的正南方且间距76米． 3．楼一层每平方米4万8，随着楼层增高单价也随之增高；楼一层每平方米5万，随着楼层增加单价也随之增高． 若小华家预算有限，但又希望全年光照充足．那你是否能结合计算出的相关数据，给小华家一些选购建议 （本题参考值：，，；，，） 【答案】(1)两栋住宅楼的楼间距至少为米 (2)见解析 【分析】（1）由题意得出为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即，楼高米，窗台米，作于，证明四边形是矩形，得出，米，求出米，在中，解直角三角形即可得解； （2）设每增加一层楼，单价增加万元，分别表示出在、两栋购买房子所花的费用，比较即可得出答案． 【详解】（1）解：如图所示： ，为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 窗台米， 作于，则， ∴四边形是矩形， ∴，米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴两栋住宅楼的楼间距至少为米； （2）解：如图所示：、为太阳光线，太阳高度角选择冬至日的度，即， 楼高米， 由题意得：米，米， 如图，作于，于， ， 则， ∴四边形、是矩形， ∴米，，米，， 在中，米， ∴米， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴米， 设每增加一层楼，单价增加万元， 在栋购买所花的费用为， 在栋购买所花的费用为， 当，解得时，此时在栋购买和栋购买所花的费用相同； 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少， 当，解得时，此时在栋购买所花的费用少； 综上所述，当每增加一层楼，单价增加万元时，在栋购买和栋购买所花的费用相同；当每增加一层楼，单价增加小于万时，在栋购买所花的费用少；当每增加一层楼，单价增加大于万时，在栋购买所花的费用少． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 13 同步新课程，周周有练习，月月有重点！ 学科网（北京）股份有限公司 $$