分门别类 搞定导数：导数专题之有关方程根的问题

利用导数研究方程根的方法：研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现． (1) 判断根的个数问题，常常转化为函数图象的交点个数问题，通过构造函数来求解， 例1.已知函数 求方程的根的个数. 解： 令 当时，，当时， 故的根的情况为：当时，即时，原方程有2个根； 当时，原方程有3个根；当时，即时，原方程有4个根[来源:学,科,网Z,X,X,K] （2）已知方程在给定的区间上解的情况，去求参数的取值范围，另外有关方程零点的个数问题其实质也是方程根的问题。 例2.已知 是不同时为零的常数），其导函数为 ， （1）求证：函数 在 内至少存在一个零点； （2）若函数 为奇函数，且在 处的切线垂直于直线 ，关于的方程 在 上有且只有一个实数根，求实数的取值范围. 1）当时，， 在 内有零点； 2）当时，， 在 内有零点. ∴当时， 在 内至少有一个零点. 综上可知，函数在 内至少有一个零点 （2）因为 为奇函数， 所以，所以，. 又在处的切线垂直于直线， 所以，即. 在 上是增函数， 在 上是减函数， 由解得，， 由 解之得 作 与 的图知交点横坐标为 当 时，过 图象上任意一点向左作平行于轴的直线与都只有唯一交点，当取其它任何值时都有两个或没有交点。 所以当 时，方程 在 上有且只有一个实数根. 1、设函数 当 ， ，方程 有唯一实数解，求正数 的值． [来源:Z,xx,k.Com] 所以 （舍去）， ， 当 时， ， 在（0， ）上单调递减， 当 时， ， 在（ ，+∞）单调递增[来源:学科网] 当 时， =0， 取最小值 ． 则 既 所以 ，因为 ，所以 （*） 设函数 ，因为当 时， 是增函数，所以 至多有一解． 因为 ，所以方程（*）的解为 ， 即 ，解得 。 [来源:Zxxk.Com] 2.设函数 ，且 为 的极值点． (Ⅰ) 若 为 的极大值点，求 的单调区间（用表示）； (Ⅱ)若 恰有两解，求实数的取值范围． 解： ，又 ，所以 且， （I）因为为 的极大值点，所以，当时， ；当时， ；当时， ，所以 的递增区间为，