分门别类 搞定导数：导数专题之易错题集锦

一、切线问题中忽视切点的位置致错 例1：已知曲线 ，过点 作曲线 的切线，求切线方程。 分析：本题常会这样解：由导数的几何意义知 ，所以曲线的切线方程为 。这是错误的，原因是点 根本不在曲线上。 注意：导数的几何意义是过曲线上该点的切线的斜率，应注意此点是否在曲线上。 二、忽视单调性的条件致错 例2、已知函数 （ 为常数），在 内为增函数，求实数 的取值范围。 分析：课本上给出的有关单调性的结论是：若 在 上有 ＞0，则有 在 上为单调递增函数；若 在 上有 ＜0，则有 在 上为单调递减函数。注意这一条件只是单调的充分条件并不是充要条件，这一充分条件也可扩大为 在 上有 ≥0（或 ≤0）且 在任一子区间上不恒为零，则有 在 上为单调递增（减）函数。 解：由已知得 = ，由题意可得 = ≥0在 上恒成立，即 ， 而当 时， =0恒成立，所以当 时， 不是单调递增函数，所以a＞1。 三、忽视极值的存在条件致错 例3、已知函数 在 处有极值10，求 。 分析：抓住条件“在 处有极值10”所包含的两个信息，列出两个方程，解得 ， 有两组值，是否都合题意需检验。 解： ，由题意得 ，即 ，解得 或 ，[来源:Zxxk.Com] 当 时， ， 易得此时， 在x=1两侧附近符号相同，不合题意。当 时， ，此时， 在 两侧附近符号相异，符合题意。 所以 。 注意：极值存在的条件是在极值点处附近两侧的导数值应异号。 四、混淆极值与最值是两个不同的概念致错 例4、求函数 在[－3，3]上的最值。 分析：需注意在闭区间上的最值应是区间内的极值点的值与闭区间端点的值进行比较而得，而不能简单地把极值等同于最值。 五、忽视“导数为零的点”与“极值点”的区别致错 例5、函数 的极值点是（ ） A、 B、 或 或 C、 D、 或 [误解]： ，即 ，由 得 ， [来源:学科网ZXXK] ∴x=0或x=±1 故选（B）. [正解]：由 有x=0或x=±1。 ， 随x的变化情况如下表: x (–∞,0) –1 (–1,0) 0 (0,1) 1 (1,∞) – 0 –[来源:学科网] 0 + 0 + ↘ 无极值 ↘ 极值 ↗ 无极值 ↗ 故选（C） 1．已知y＝x3＋bx2＋(b＋2)x＋3是R上的单调增函数