第12章 因式分解 章节整合练习（5个知识点+35题练习）-2024-2025学年七年级上学期数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第12章 因式分解 章节整合练习（5个知识点+35题练习） 章节知识清单练习 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点2．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点3．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点5．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 章节题型整合练习 一．因式分解的意义（共5小题） 1．（2023秋•奉贤区月考）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是　　 A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算 2．（2023秋•南汇校级期中）下列各等式从左到右属于因式分解变形的是　　 A． B． C． D． 3．（2023秋•黄浦区校级月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 4．（闸北区校级期中）若多项式，则　　，　　． 5．（长宁区校级期中）已知：是多项式的一个因式，求它的其他因式． 二．因式分解-提公因式法（共7小题） 6．（2022秋•嘉定区期中）分解因式： ． 7．（松江区期中）计算的结果是　　 A． B．2 C． D． 8．（徐汇区校级月考）下列分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 9．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：　　． 10．（2022秋•长宁区校级期中）如图，边长分别为，的长方形，它的周长为15，面积为10，则　　． 11．（2023秋•金山区期末）因式分解：． 12．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：． 三．因式分解-运用公式法（共8小题） 13．（2023•市中区校级三模）因式分解：　　． 14．（2021秋•黄浦区期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 15．（2021秋•嘉定区期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是　　 A． B． C． D． 16．（2021秋•徐汇区校级月考）分解因式：　　． 17．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 18．（长宁区校级期中）已知关于的多项式在整数范围内可以因式分解，那么整数的所有可能的值是　　． 19．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：． 20．（2022秋•嘉定区校级期中）分解因式： （1）； （2）． 四．因式分解-分组分解法（共6小题） 21．（浦东新区校级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为　　 ① ② ③ ④ ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 22．（2023秋•闵行区校级期中）在有理数范围内因式分解：　　． 23．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式　　． 24．（2023秋•黄浦区校级月考）分解因式：． 25．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 26．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：． 五．因式分解-十字相乘法等（共9小题） 27．（2020秋•黄浦区期末）若，则的值为　　 A． B． C．2 D．8 28．（2022秋•青浦区期末）因式分解：　　． 29．（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 30．（2023秋•闵行区校级期中）在有理数范围内因式分解：　　． 31．（2023秋•杨浦区期末）分解因式：　　． 32．（2020秋•上海期末）已知甲、乙、丙均为的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是　　 A． B． C． D． 33．（2022秋•松江区校级期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为　　 A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 34．（2023秋•闵行区校级期中）（1）因式分解：． （2）因式分解：． 35．（2023秋•奉贤区月考）因式分解：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第12章 因式分解 章节整合练习（5个知识点+35题练习） 章节知识清单练习 知识点1．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 知识点2．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： （1）找出公因式； （2）提公因式并确定另一个因式： ①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； ②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； ③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 知识点3．因式分解-运用公式法 1、如果把乘法公式反过来，就可以把某些多项式分解因式，这种方法叫公式法． 平方差公式：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）； 完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2； 　2、概括整合： ①能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． ②能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数（或式）的平方和的形式，另一项是这两个数（或式）的积的2倍． 3、要注意公式的综合应用，分解到每一个因式都不能再分解为止． 知识点4．因式分解-分组分解法 1、分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式． 2、对于常见的四项式，一般的分组分解有两种形式：①二二分法，②三一分法． 例如：①ax+ay+bx+by ＝x（a+b）+y（a+b） ＝（a+b）（x+y） ②2xy﹣x2+1﹣y2 ＝﹣（x2﹣2xy+y2）+1 ＝1﹣（x﹣y）2 ＝（1+x﹣y）（1﹣x+y） 知识点5．因式分解-十字相乘法等 借助画十字交叉线分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的 方法，通常叫做十字相乘法． ①x2+（p+q）x+pq型的式子的因式分解． 这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积； 可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q） ②ax2+bx+c（a≠0）型的式子的因式分解 这种方法的关键是把二次项系数a分解成两个因数a1，a2的积a1•a2， 把常数项c分解成两个因数c1，c2的积c1•c2，并使a1c2+a2c1正好是一 次项b，那么可以直接写成结果：ax2+bx+c＝（a1x+c1）（a2x+c2）． 章节题型整合练习 一．因式分解的意义（共5小题） 1．（2023秋•奉贤区月考）对于①，②，从左到右的变形，表述正确的是　　 A．都是因式分解 B．都是乘法运算 C．①是乘法运算，②是因式分解 D．①是因式分解，②是乘法运算 【分析】根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式）判断即可． 【解答】解：①，从左到右的变形是因式分解； ②，从左到右的变形是整式的乘法，不是因式分解； 所以①是因式分解，②是乘法运算． 故选：． 【点评】此题考查了因式分解．解题的关键是掌握因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解． 2．（2023秋•南汇校级期中）下列各等式从左到右属于因式分解变形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据因式分解是把一个多项式化为几个整式的积的形式来判断． 【解答】解：．等式右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； ．等式右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； ．等式右边不是几个整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意； ．等式右边是几个整式积的形式，故是因式分解，符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（2023秋•黄浦区校级月考）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫多项式的因式分解”逐个判断，即可解答． 【解答】解：、从左到右的变形是整式的乘法，不符合题意； 、从左到右的变形不是因式分解，不符合题意； 、从左到右的变形是因式分解，符合题意； 、从左到右的变形虽然是因式的积，但因式不全是整式，不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的定义，熟练掌握因式分解是关键． 4．（闸北区校级期中）若多项式，则　或　，　　． 【分析】，然后根据多项式相等的条件：对应项的系数相同，即可得到关于，的方程组，从而求解． 【解答】解：， 则， 解得：或． 故或，或． 故答案为：或；或． 【点评】本题考查了多项式相等的条件，正确求解，的值，解方程组是关键． 5．（长宁区校级期中）已知：是多项式的一个因式，求它的其他因式． 【分析】根据因式分解的意义，可得答案． 【解答】解：可设多项式的另一个因式为，则， 因为， 所以，， 解得，． 所以这个多项式的其他因式是． 【点评】本题考查了因式分解的意义，利用多项式的除法是解题关键． 二．因式分解-提公因式法（共7小题） 6．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：　　． 【分析】提取公因式后即可因式分解． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握提取公因式法因式分解的方法是解题的关键． 7．（松江区期中）计算的结果是　　 A． B．2 C． D． 【分析】直接找出公因式进而提取公因式再计算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键． 8．（徐汇区校级月考）下列分解因式正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】各项分解因式，即可作出判断． 【解答】解：、原式先考虑与大小，再考虑提取的公因式，不符合题意； 、原式，符合题意； 、原式不能分解，不符合题意； 、原式，不符合题意， 故选：． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 9．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：　　． 【分析】原式提取公因式，即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键． 10．（2022秋•长宁区校级期中）如图，边长分别为，的长方形，它的周长为15，面积为10，则　225　． 【分析】根据长方形的周长及面积可得出，，将其代入中即可求出结论． 【解答】解：长方形的周长为15，面积为10， ，， ． 故答案为：225． 【点评】本题考查了因式分解的应用以及长方形的周长及面积，根据长方形的周长及面积找出，是解题的关键． 11．（2023秋•金山区期末）因式分解：． 【分析】提公因式后利用十字相乘法及平方差公式因式分解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 12．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式：． 【分析】根据提公因式法分解因式求解即可 【解答】解： ． 【点评】本题考查了提公因式法分解因式，解题的关键是熟练掌握分解因式的方法． 三．因式分解-运用公式法（共8小题） 13．（2023•市中区校级三模）因式分解：　　． 【分析】直接运用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：． 【点评】本题考查了平方差公式分解因式，熟记公式结构是解题的关键．平方差公式：． 14．（2021秋•黄浦区期末）下列各式中，能用平方差公式分解因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案． 【解答】解：．无法分解因式，故此选项不合题意； ．无法分解因式，故此选项不合题意； ．，故此选项符合题意； ．无法分解因式，故此选项不合题意； 故选：． 【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用平方差公式是解题关键． 15．（2021秋•嘉定区期中）下列各式中，不能用公式法分解因式的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用平方差公式，完全平方公式进行分解，逐一判断即可解答． 【解答】解：、，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、，不能用公式法分解因式，故符合题意； 、，故不符合题意； 故选：． 【点评】本题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式，完全平方公式是解题的关键． 16．（2021秋•徐汇区校级月考）分解因式：　　． 【分析】逆用平方差公式进行因式分解． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题主要考查运用公式法进行因式分解，熟练掌握公式法是解决本题的关键． 17．（2023秋•青浦区校级期中）因式分解：． 【分析】先利用平方差公式分解因式，然后根据十字相乘法和完全平方公式即可求解． 【解答】解：原式， ， ， ． 【点评】此题考查了公式法分解因式和十字相乘法分解因式，解题的关键是熟练掌握公式法因式分解及其应用． 18．（长宁区校级期中）已知关于的多项式在整数范围内可以因式分解，那么整数的所有可能的值是　或4或1　． 【分析】根据多项式在整数范围内可以分解因式，利用十字相乘法确定出整数所有可能的值即可． 【解答】解：关于的多项式在整数范围内可以因式分解，且或或， 或或， 解得：或4或1， 则整数的所有可能值是或4或1． 故答案为：或4或1． 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，以及十字相乘法，弄清十字相乘法的方法是解本题的关键． 19．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：． 【分析】先利用十字相乘法分解因式，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了分解因式，掌握分解因式的方法是解题的关键． 20．（2022秋•嘉定区校级期中）分解因式： （1）； （2）． 【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可求解； （2）根据完全平方公式因式分解即可求解． 【解答】解：（1） ； （2） ． 【点评】本题考查了公式法因式分解，掌握乘法公式是解题的关键． 四．因式分解-分组分解法（共6小题） 21．（浦东新区校级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为　　 ① ② ③ ④ ⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】因式分解的基本方法有提取公因式法、公式法、十字相乘法、分组分解法等，分解的结果要分解到不能再分解为止，根据这些基本的分解方法及分解要求逐个选项分析即可． 【解答】解：①左边为三项，右边乘开为两项，故错误； ②右边左边，故错误； ③公因数2未提出来，故错误； ④ ④正确； ⑤等式右边的未提取公因数2，故错误． 综上，只有④正确． 故选：． 【点评】本题考查了因式分解的方法，熟练掌握分解的基本方法及分解要求，是解题的关键． 22．（2023秋•闵行区校级期中）在有理数范围内因式分解：　　． 【分析】原式前三项利用完全平方公式分解，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式 ． 故答案为：． 【点评】此题考查了因式分解分组分解法，用分组分解法进行因式分解的难点是采用两两分组还是三一分组．本题前三项可组成完全平方公式，可把前三项分为一组． 23．（2022秋•宝山区校级期中）分解因式　　． 【分析】首先利用完全平方公式分解因式，进而结合平方差公式分解即可． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了分组分解法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键． 24．（2023秋•黄浦区校级月考）分解因式：． 【分析】第一项、第三项、第四项结合，然后利用平方差公式分解因式即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了因式分解分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 25．（2023秋•浦东新区期末）分解因式：． 【分析】先提公因式，再三、一分组，利用完全平方公式和平方差公式分解． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的公式法和分组分解法是解决本题的关键． 26．（2022秋•闵行区校级期中）因式分解：． 【分析】先把多项式按三、二分组，再分别因式分解，最后提取公因式． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了整式的因式分解，掌握因式分解的提公因式和十字相乘法是解决本题的关键． 五．因式分解-十字相乘法等（共9小题） 27．（2020秋•黄浦区期末）若，则的值为　　 A． B． C．2 D．8 【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：． 【解答】解：由知，． 故选：． 【点评】本题主要考查十字相乘法分解因式，对常数项的不同分解是解本题的关键． 28．（2022秋•青浦区期末）因式分解：　　． 【分析】原式先提取公因数2，再利用十字相乘法求出解即可． 【解答】解：原式， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解—十字相乘法，熟练掌握十字相乘的方法是解题的关键． 29．（2023秋•宝山区期末）分解因式：． 【分析】利用十字相乘法因式分解即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查十字相乘法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 30．（2023秋•闵行区校级期中）在有理数范围内因式分解：　　． 【分析】原式利用十字相乘法分解即可． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 31．（2023秋•杨浦区期末）分解因式：　　． 【分析】根据十字相乘法分解因式即可． 【解答】解：． 故答案为：． 【点评】本题考查了分解因式，能熟记是解此题的关键． 32．（2020秋•上海期末）已知甲、乙、丙均为的一次多项式，且其一次项的系数皆为正整数．若甲与乙相乘，积为，乙与丙相乘，积为，则甲与丙相加的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式，十字相乘法分解因式，找到两个运算中相同的因式，即为乙，进一步确定甲与丙，再把甲与丙相加即可求解． 【解答】解：， ， 乙为， 甲为，丙为， 甲与丙相加的结果． 故选：． 【点评】本题考查了平方差公式，十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程． 33．（2022秋•松江区校级期中）已知多项式分解因式得，则，，的值分别为　　 A．1，，6 B．1，1， C．1，， D．1，1，6 【分析】根据多项式乘以多项式运算法则将展开，分别对应即可得出答案． 【解答】解：， 多项式分解因式得， ，，， 故选：． 【点评】本题考查了多项式乘以多项式，也可根据十字相乘法因式分解得，，进行求解． 34．（2023秋•闵行区校级期中）（1）因式分解：． （2）因式分解：． 【分析】（1）直接提取公因式即可； （2）利用十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式． 【点评】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． 35．（2023秋•奉贤区月考）因式分解：． 【分析】把看作一个整体，根据十字相乘法进行因式分解即可． 【解答】解：， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了十字相乘法进行因式分解，整体思想，本题的关键是把看作一个整体． 学科网（北京）股份有限公司 $$