13.1 三角形中的边角关系（三） 教案2024-2025学年沪科版数学八年级上册

13.1三角形中的边角关系（三） 1． 能理解三角形的角平分线、中线和高的概念。 2． 会用量角器和刻度尺画出任意三角形的角平分线、中线和高。 3． 学会利用三角形的角平分线、中线和高的性质解决简单的实际问题。 一、合作探究 探究：三角形的边角关系 【类型一】三角形的角平分线： 我们知道，构成三角形的基本元素分别是三条边和三个角。而角是有角平分线的，所以三角形也有它的角平分线。那什么是三角形的角平分线呢？三角形的角平分线是如何得到的呢？ A B D C 在三角形中，一个角的角平分线与这个角的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线（这里需要注意的是，三角形的角平分线是一条线段）。那三角形的角平分线如何表示呢？它的表示方法我们常常用如下这几种： ①AD是三角形ABC的角平分线； ②AD平分∠BAC交BC于D； ③∠1=∠2=1/2∠BAC。 想一想：三角形的角平分线与角的角平分线有区别吗？ 三角形的角平分线与角的角平分线虽然都是平分一个角，但三角形的角平分线是一条线段，而角的角平分线是一条射线，所以它们不一样。 【类型二】三角形的中线： 在三角形中连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线。三角形的中线也是一条线段，它的表示方法有如下几种：①AD是三角形ABC的中线； ②点D是BC边的中点。 ③点D在BC上，并且BD=DC=1/2BC，我们画出 A B D C 【类型三】三角形的高： A B D C 从三角形的一个顶点到它对边所在直线的垂线段叫做三角形的高线，也叫做三角形的高。三角形的高也是一条线段。 表示方法： ①AD是三角形ABC的高； ②AD⊥BC，垂足是D； ③∠ADB=∠ADC=90°。 三角形任意一边上的高必须满足如下两个特点： （1）过该边所对的顶点； （2）垂足必须在该边或该边的延长线上。 小试牛刀： 分别画出以下各个三角形三条边上的高。 A A A B C B C B C 例1如图，在三角形ABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高，填空： A （1）BE= CE =1/2 BC ； （2）∠BAD= ∠CAD =1/2 ∠BAC ； （3）∠AFB= ∠AFC =90°； B E D F C 例2如图，在三角形ABC中，AD是三角形ABC的高，AE是三角形ABC的角平分线，已知∠BAC=80°，∠C=40°，求∠DAE的大小。 A B D E C 解：∵AD是三角形ABC的高，（已知） ∴∠ADC=90°（高的定义） ∵∠ADC+∠C+∠DAC=180°（三角形内角和180°） ∴∠ADC=180°-（∠ADC+∠C） =180°-90°-40° =50° ∵AE是三角形ABC的角平分线，且∠BAC=80°（题目已知） ∴∠CAE=1/2∠BAC=40°（角平分线的定义） ∴∠DAE=∠DAC-∠CAE =50°-40° =10° 练一练： 1.如图，DC平分∠ACB，DE//BC,∠AED=80°，求∠EDC的度数。 A D E B C 2.在三角形ABC中，AC=5cm，AD是三角形ABC的中线，若三角形ABD的周长比三角形ADC的周长大2cm，则BA= 。 3.如图所示，在三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD垂直于BC于点D，且AD=4，若点P在边AC上移动，则BP的最小值为 。 A P B D C 这节课我们从三角形的基本元素入手，由三角形的三个角引出三角形的角平分线。与三角形的三条边有关系的线段是三角形的中线以及三角的高，它们是三角形中的重要线段。接着我们介绍了这三条重要线段的画法。画三角形的角平分线，我们需要的是量角器；画中线，我们需要的是直尺；画三角形的高，我们借助的是直角三角板。其中钝角三角形高的画法是本节课的难点，需要你多加练习。通过画图我们发现，三角形的角平分线交于三角形内部一点，三角形的中线也交于内部一点，并且该交点叫三角形的重心。而三角形的高由于受三角形形状的影响，情况有所不同。锐角三角形的三条高交于三角形的内部一点，直角三角形的三条高交于直角顶点处，钝角三角形的高并不相交，但它们所在的直线相交，交点在三角形的外部。最后，我们应用三角形的角平分线、中线和高的定义，解决了一些简单的实际问题。这节课就上到这里，谢谢大家! 1 学科网（北京）股份有限公司 $$