专题02 锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

专题02 锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值 解直角三角形 解直角三角形的应用 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 有理数大小比较 解直角三角形的应用-方向角问题 一．锐角三角函数的定义（共2小题） 1．（2024•闵行区）在中，，，，那么的值是　　 A． B． C． D． 2．（2023•松江区一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 二．特殊角的三角函数值（共7小题） 3．（2023秋•宝山区期中）的值等于　　 A．2 B．1 C． D． 4．（2024•崇明区）计算：． 5．（2023秋•金山区期末）计算：． 6．（2023秋•闵行区期中）计算：． 7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：． 8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：． 9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算： 三．解直角三角形（共4小题） 10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为 　　． 11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在中，，，那么　　． 12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在中，，，，则的长为 　　． 13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在中，，． 求：（1）； （2）的余弦值． 四．解直角三角形的应用（共4小题） 14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据观影标准，当观影水平视场角“”的度数处于到之间时（如图，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位． （1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到，参考数据：，，，，，，， （2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为（参考数据：；； （1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数） 16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据： （1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到 （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米． 17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动． （1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米），， （2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？ 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题） 18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为　　 A． B． C． D． 19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为　　． 20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了 　　米． 21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡　　米． 22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【参考数据：，，】 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题） 23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是　　 A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 　　千米．（用的式子表示） 25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 　　． 26．（2023秋•松江区期末）如图，处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达处，这时在处的正东方向200米的处测得的仰角为、、在同一平面内）．求、之间的距离．（结果精确到1米， 27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，， 28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的处引拉线和固定电线杆．在离电线杆6米的处安置测角仪（点、、在同一直线上），在点处测得电线杆上处的仰角为．已知测角仪的高为米，拉线的长为6米，求测角仪底端（点与拉线固定点（E）之间的距离． 29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度，点，，，在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，， 30．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面处有一棵树（假设树垂直水平线，在坡底处测得树梢的仰角为，沿坡面方向前行30米到达处，测得树梢的仰角为．（点、、在一直线上） （1）求、两点的距离； （2）求树的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： 31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为，其中，视线的仰角为（已知，视线的仰角为（已知． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． （2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上、两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果、、在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）．此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为． （1）请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：　　，　　；（精确到“1” （2）求热气球上升的垂直高度（即的长）． 34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为． （1）求坡顶到地面的距离的长； （2）求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，， 35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，、、三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为．（点、都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：， 36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为1.2米（点、、在一条直线上，，，，求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到0.1米） （参考数据：，，，，， 37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据： 38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：． 七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于200米，求、之间的距离 （结果精确到1米）．（参考数据：，，，， 40．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在北偏西方向上，测得在北偏东方向上，又测得、之间的距离为100米，则、之间的距离是 　　米（结果保留根号形式）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$专题02 锐角的三角比（考题猜想，易错必刷40题7种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 锐角三角函数的定义 特殊角的三角函数值 解直角三角形 解直角三角形的应用 解直角三角形的应用-坡度坡角问题 有理数大小比较 解直角三角形的应用-方向角问题 一．锐角三角函数的定义（共2小题） 1．（2024•闵行区）在中，，，，那么的值是　　 A． B． C． D． 【分析】根据直角三角形中余弦的定义计算即可． 【解答】解：根据题意，得， 故选：． 【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中计算锐角三角函数的方法是本题的关键． 2．（2023•松江区一模）已知中，，，，那么下列结论正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义，进行计算逐一判断即可解答． 【解答】解：，，， ， ，，，， 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 二．特殊角的三角函数值（共7小题） 3．（2023秋•宝山区期中）的值等于　　 A．2 B．1 C． D． 【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答． 【解答】解：的值等于1， 故选：． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 4．（2024•崇明区）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 5．（2023秋•金山区期末）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 6．（2023秋•闵行区期中）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 7．（2023秋•黄浦区校级期中）计算：． 【分析】把特殊角的三角函数值代入进行计算即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键． 8．（2023秋•长宁区校级期中）计算：． 【分析】先代入特殊角三角函数值，再根据实数的运算，可得答案． 【解答】解： ． 【点评】本题考查了特殊角三角函数值、实数的混合运算；熟记特殊角三角函数值是解题关键． 9．（2023秋•浦东新区校级期中）计算： 【分析】依据、、角的各种三角函数值，即可得到计算结果． 【解答】解：原式 【点评】本题主要考查了特殊角的三角函数值，其应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多． 三．解直角三角形（共4小题） 10．（2023秋•长宁区校级月考）已知点在平面直角坐标系中，射线与轴正半轴的夹角为，那么的值为 　．　． 【分析】过点作轴于．利用勾股定理求出，再利用余弦的定义即可解决问题． 【解答】解：过点作轴于． ， ，， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形，坐标与图形的性质，勾股定理，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． 11．（2022秋•嘉定区校级期末）已知在中，，，那么　　． 【分析】过点作，垂足为，根据垂直定义可得，再利用等腰三角形的三线合一性质可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：过点作，垂足为， ， ，， ， 在中，， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 12．（2022秋•金山区校级期末）如图，在中，，，，则的长为 　　． 【分析】过点作，垂足为，先在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，然后根据勾股定理求出的长即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 在中，，， ， 在中，， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13．（2022秋•奉贤区期中）已知：如图，在中，，． 求：（1）； （2）的余弦值． 【分析】（1）过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义设，则，从而利用勾股定理求出，进而可得，然后可得，，最后利用三角形的面积公式，进行计算即可解答； （2）在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 在中，， 设，则， ， ， ， ， ，， ， ； （2）在中，，， ， ， 的余弦值为． 【点评】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 四．解直角三角形的应用（共4小题） 14．（2022•徐汇区模拟）激光电视的光源是激光，它运用反射成像原理，屏幕不通电无辐射，降低了对消费者眼睛的伤害．根据观影标准，当观影水平视场角“”的度数处于到之间时（如图，双眼肌肉处于放松状态，是最佳的感官体验的观影位． （1）小丽家决定要买一个激光电视，她家客厅的观影距离（人坐在沙发上眼睛到屏幕的距离）为3.5米，小佳家要选择电视屏幕宽（图2中的的长）在什么范围内的激光电视就能享受黄金观看体验？（结果精确到，参考数据：，，，，，，， （2）由于技术革新和成本降低，激光电视的价格逐渐下降，某电器商行经营的某款激光电视今年每台销售价比去年降低4000元，在销售量相同的情况下，今年销售额在去年销售总额100万元的基础上减少，今年这款激光电视每台的售价是多少元？ 【分析】（1）过点作于点，根据题意可得，当时，当时，利用锐角三角函数即可解决问题； （2）设今年这款激光电视每台的售价是元，则去年每台的售价为元．由题意列出方程即可解决问题． 【解答】解：（1）如图，过点作于点， 根据题意可知：，， ，， 当时，， 在中，， ， 当时，， 在中，， ， 答：小佳家要选择电视屏幕宽为之间的激光电视就能享受黄金观看体验； （2）设今年这款激光电视每台的售价是元，则去年每台的售价为元． 由题意可得：， 解得：， 经检验是原方程的解，符合题意， 答：今年这款激光电视每台的售价是16000元． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，视点，视角和盲区，解决本题的关键是根据题意找到等量关系准确列出方程． 15．（2022•长宁区模拟）冬至是一年中太阳光照射最少的日子，如果此时楼房最低层能采到阳光，一年四季整座楼均能受到阳光的照射，所以冬至是选房买房时确定阳光照射的最好时机．某居民小区有一朝向为正南方向的居民楼．该居民楼的一楼是高6米的小区超市，超市以上是居民住房，在该楼前面20米处要盖一栋高25米的新楼．已知上海地区冬至正午的阳光与水平线夹角为（参考数据：；； （1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光是否有影响，为什么？ （2）若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距多少米？（结果保留整数） 【分析】（1）延长光线交于点，过点作，垂足为，根据题意可得，米，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出，从而求出的长，进行比较，即可解答； （2）延长光线交直线于点，根据题意可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答． 【解答】解：（1）冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响， 理由：延长光线交于点，过点作，垂足为， 则，米，， 在中，（米， 米， （米， 米， 米米， 冬至中午时，超市以上的居民住房采光有影响； （2）延长光线交直线于点， 则， 在中，米， （米， 若要使得超市全部采光不受影响，两楼应至少相距45米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 16．（2023秋•静安区期中）图1是一种折叠式晾衣架．晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图2所示，两支脚分米，展开角，晾衣臂分米，晾衣臂支架分米，且分米．（参考数据： （1）当时，求点离地面的距离约为多少分米；（结果精确到 （2）当从水平状态旋转到（在延长线上）时，点绕点随之旋转至上的点处，求为多少分米． 【分析】（1）如图，作于，于，解直角三角形求出，即可求出； （2）作于，于，再分别解直角三角形求出，即可． 【解答】解：如图，作于，于， ， ， 四边形是矩形， ， ，， 是等边三角形， ， ， （分米）， ， ， （分米）， （分米）， 答：点离地面的距离约为13.7分米； （2）如图，于，于， ， ， 在中，（分米），（分米）， 在中，（分米）， （分米）， 在中，（分米），（分米）， 在中，（分米）， 分米， （分米）， 答：为4分米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型． 17．（2022•崇明区二模）为解决群众“健身去哪儿”问题，某区2021年新建、改建90个市民益智健身苑点，图1是某益智健身苑点中的“侧摆器”．锻炼方法：面对器械，双手紧握扶手，双脚站立于踏板上，腰部发力带动下肢做左右摆式运动． （1）如图2是侧摆器的抽象图，已知摆臂的长度为80厘米，在侧摆运动过程中，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最低点位置，点为踏板中心在侧摆运动过程中的最高点位置，，求踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差．（精确到0.1厘米），， （2）小杰在侧摆器上进行锻炼，原计划消耗400大卡的能量，由于小杰加快了运动频率，每小时能量消耗比原计划增加了100大卡，结果比原计划提早12分钟完成任务，求小杰原计划完成锻炼需多少小时？ 【分析】（1）过点作垂足为，由题意得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答； （2）先设小杰原计划小时完成锻炼，然后根据实际每小时的能量消耗原计划每小时的能量消耗，列出方程进行计算即可解答． 【解答】解：（1）过点作垂足为， 由题意得： ， 在中，， ， ， 踏板中心点在最高位置与最低位置时的高度差约为7.5厘米； （2）设小杰原计划小时完成锻炼， 由题意得：， 解得：， 经检验：都是原方程的根，但不符合题意，舍去， 答：小杰原计划锻炼1小时完成． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用，分式方程的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 五．解直角三角形的应用-坡度坡角问题（共5小题） 18．（2024•南岗区校级一模）如图，先锋村准备在坡角为的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离为　　 A． B． C． D． 【分析】利用所给的角的余弦值求解即可． 【解答】解：如图，过点作于点． 米，． ． 故选：． 【点评】此题主要考查学生对坡度、坡角的理解及运用． 19．（2022秋•黄浦区期末）如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面的坡度为　　． 【分析】根据坡度的概念计算，得到答案． 【解答】解：斜面的坡度为， 故答案为：． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比是解题的关键． 20．（2023秋•杨浦区期末）小华沿着坡度的斜坡向上行走了米，那么他距离地面的垂直高度上升了 　5　米． 【分析】设他距离地面的垂直高度上升了米，根据坡度的概念用表示出他行走的水平距离，根据勾股定理列方程，解方程得到答案． 【解答】解：设他距离地面的垂直高度上升了米， 斜坡的坡度， 他行走的水平距离为米， 由勾股定理得：， 解得：（负值舍去）， 则他距离地面的垂直高度上升了5米， 故答案为：5． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，坡度是坡面的铅直高度和水平宽度的比． 21．（2023•普陀区二模）如图，斜坡的坡度，现需要在不改变坡高的情况下将坡度变缓，调整后的斜坡的坡度，已知斜坡米，那么斜坡　13　米． 【分析】根据斜坡的坡度和的值先求出，再根据斜坡的坡度求出即可． 【解答】解：， ， ， （米， 坡度， ， 即， 解得， （米． 故答案为：13． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡脚问题，熟知锐角三角函数的定义是解答此题的关键． 22．（2022秋•静安区校级期末）某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至层之间安装电梯，截面图如图所示，底层与层平行，层高为9米，、间的距离为6米，． （1）请问身高1.9米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在处会不会碰到头？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）．已知平台，且段和段的坡度，求平台的长度． 【参考数据：，，】 【分析】（1）先过点作，交于点，根据，，得出，再根据正切定理求出的长，然后与人的身高进行比较，即可得出答案； （2）根据的长求出，再过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，设，则，根据段和段的坡度，求出和的长，最后根据，即可求出答案． 【解答】解：（1）过点作，交于点， ，， ， 不会碰到头部； （2）， ， 过点作，垂足为点，过点作，垂足为点， 设，则， 段和段的坡度， ，， ， （米． 【点评】此题考查了解直角三角形的应用，用到的知识点是坡度角，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形． 六．解直角三角形的应用-仰角俯角问题（共16小题） 23．（2023秋•嘉定区期末）一架飞机在离地面6000米的上空测得某一建筑物底部的俯角为，此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是　　 A．6000米 B．12000米 C．米 D．米 【分析】在中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：如图： 在中，，米， （米， 此时这架飞机与这一建筑物底部之间的距离是12000米， 故选：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 24．（2023•崇明区一模）飞机离水平地面的高度为3千米，在飞机上测得该水平地面上的目标点的俯角为，那么此时飞机与目标点的距离为 　　千米．（用的式子表示） 【分析】根据题意可得：，千米，，，从而可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义，进行计算即可解答． 【解答】解：如图：为飞机离地面的高度， 由题意得： ，千米，，， ， 在中，（千米）， 此时飞机与目标点的距离为千米， 故答案为：． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，列代数式，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 25．（2024•徐汇区校级三模）社团活动课上，九年级学习小组测量学校旗杆的高度．如图，他们在处测得旗杆顶部的仰角为，，则旗杆的高度为 　　． 【分析】依据题意，直接利用锐角三角函数关系即可计算得解． 【解答】解：由题意可得：， 又， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用仰角俯角，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． 26．（2023秋•松江区期末）如图，处有一垂直于地面的标杆，热气球沿着与的夹角为的方向升空，到达处，这时在处的正东方向200米的处测得的仰角为、、在同一平面内）．求、之间的距离．（结果精确到1米， 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，从而利用三角形内角和定理可得，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得米，再在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，，， ， 在中，， （米， 在中，（米， 、之间的距离约为141米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 27．（2022秋•闵行区期末）2022年11月12日10时03分，搭载天舟五号货运飞船的长征七号遥六运载火箭，在海南文昌航天发射场成功发射．天舟五号货运飞船重约13.6吨，长度米，货物仓的直径可达3.35米，是世界现役货物运输能力最大、在轨支持能力最全面的货运飞船，堪称“在职最强快递小哥”．已知飞船发射塔垂直于地面，某人在地面处测得飞船底部处的仰角，顶部处的仰角为，求此时观测点到发射塔的水平距离（结果精确到0.1米）．（参考数据：，， 【分析】根据题意可得：，然后在和中，分别利用锐角三角函数的定义求出，的长，最后根据米，列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：由题意得：， 在中，， ， 在中，， ， 米， ， ， 米， 此时观测点到发射塔的水平距离约为32.1米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 28．（2022秋•闵行区期中）如图，在电线杆上的处引拉线和固定电线杆．在离电线杆6米的处安置测角仪（点、、在同一直线上），在点处测得电线杆上处的仰角为．已知测角仪的高为米，拉线的长为6米，求测角仪底端（点与拉线固定点（E）之间的距离． 【分析】过作垂直于，垂足为，根据正切的定义求出，得到的长，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：如图： 过作垂直于，垂足为点， 则米，米，， ， ， （米， （米， 米， 利用勾股定理得（米， （米． 答：测角仪底端（点与拉线固定点（E）之间的距离是3米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 29．（2024•上海模拟）如图，某处有一座塔，塔的正前方有一平台，平台的高米，斜坡的坡度，点，，，在同一条水平直线上．某数学兴趣小组为测量该塔的高度，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，在斜坡处测得塔顶部的仰角为，求塔高．（精确到0.1米）（参考数据：，，，，， 【分析】过点作，垂足为，根据题意可得：米，，，再根据已知易得：米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为， 由题意得：米，，， 斜坡的坡度，米， ， 米， 设米， 米， 在中，， （米， 在中，， 米， ， ， 解得：， （米， 塔高约为17.1米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合适当的辅助线是解题的关键． 30．（2024•崇明区）如图，某校九年级兴趣小组在学习了解直角三角形知识后，开展了测量山坡上某棵大树高度的活动．已知小山的斜坡的坡度，在坡面处有一棵树（假设树垂直水平线，在坡底处测得树梢的仰角为，沿坡面方向前行30米到达处，测得树梢的仰角为．（点、、在一直线上） （1）求、两点的距离； （2）求树的高度（结果精确到0.1米）．（参考数据： 【分析】（1）延长交于点，交于点，根据题意可得：，，米，，，从而可得，再根据已知易得：在中，，从而可得，然后利用平行线的性质可得，从而可得，，再利用三角形的外角性质可得，从而可得米，即可解答； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）延长交于点，交于点， 由题意得：，，米，，， ， 小山的斜坡的坡度， ， 在中，， ， ， ， ，， 是的一个外角， ， ， 米， 、两点的距离为30米； （2）在中，，米， （米， （米， 在中，， （米， （米， 树的高度约为17.3米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 31．（2023秋•黄浦区期末）在世纪公园的小山坡上有一棵松树，初三（3）班的雏鹰小队带着工具对这棵松树进行测量，并试图利用所学的数学知识与方法推算出这棵松树的高度．他们选好位置架设测角仪先测出了这棵松树的根部与顶端的仰角，并绘制了如下示意图：测角仪为，树根部为、树顶端为，其中，视线的仰角为（已知，视线的仰角为（已知． （1）测得这两个数据后，小明说：“我可以算出这棵松树的高度了．”小聪接着说：“不对吧，只知道这两个角度，这个示意图显然是可以进行放大或缩小的，高度一定是确定不了的．如果还能测出测角仪到松树的垂直距离，即图示中的长度，就可以了．”设，请你用含有的代数式表示松树的高度． （2）小明又反问道：“虽然我们带了尺，是一把刻度精确到1分米，长为2米的直尺，但也没有办法量出的长度，我们总不能把坡给挖平了吧？”请你想一个测量办法，利用现有的工具，测量出有关数据（数据可以用字母常数表示），并用含有这些字母常数的表达式表示出松树的高度． 【分析】（1）过点作，垂足为，根据题意可得：，，米，米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）利用现有的工具制定测量方案，然后利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）过点作，垂足为， 由题意得：，，米，米， 在中，，， ， （米， 在中，，， ， （米， （米， 答：松树的高度为米； （2）我想的测量办法是：在水平地面上的点处测得小树顶端的仰角为，再从点向前走米到达点处，在点处测得小树顶端的仰角为， 测得小树底端的仰角为，即可通过计算求得松树的高度． 如图：连接并延长交于点， 由题意得：米，米，，，，， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， 米， （米， 在中，， （米， （米， 松树的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 32．（2023秋•长宁区期末）小明为测量河对岸大楼的高度，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示． 测量方法：如图2，人眼在点观察所测物体最高点，量角器零刻度线上、两点均在视线上，将铅锤悬挂在量角器的中心点．当铅锤静止时，测得视线与铅垂线所夹的角为，且此时的仰角为． 实践操作：如图3，小明利用上述工具测量河对岸垂直于水平地面的大楼的高度．他先站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为；然后他向前走10米靠近大楼站在水平地面的点处，视线为，此时测角仪上视线与铅垂线的夹角为． 问题解决：（1）请用含的代数式表示仰角； （2）如果、、在同一平面内，小明的眼睛到水平地面的距离为1.6米，求大楼的高度．（结果保留根号） 【分析】（1）延长交于，根据题意可得：，从而可得：，然后利用直角三角形的两个锐角互余进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）如图：延长交于， 由题意得：， ， ， ， ； （2）延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 在中，， （米， 在中，， （米， ， ， 解得：， 米， 米， 大楼的高度为米． 【点评】本题考查了解直角三角形仰角俯角问题，列代数式，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 33．（2023秋•静安区期末）如图，某建筑物高为200米，某人乘热气球来到距地面400米的处（即长为400米）．此时测得建筑物顶部的俯角为，当乘坐的热气球垂直上升到达处后，再次测得建筑物顶部的俯角为． （1）请在图中标出俯角、，并用计算器求、的大小：　　，　　；（精确到“1” （2）求热气球上升的垂直高度（即的长）． 【分析】（1）根据俯角的定义，再利用计算器进行计算，即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得：米，从而可得米，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）如图： 俯角、即为所求， ，， ，， 故答案为：；； （2）过点作，垂足为， 由题意得：米， 米， （米， 在中，， （米， 在中，， （米， （米， 热气球上升的垂直高度约为80米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 34．（2023秋•嘉定区期末）如图，小山的顶部是一块平地，在这块平地上有一座古塔．小山斜坡的坡度为，坡长为39米，在小山的坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为． （1）求坡顶到地面的距离的长； （2）求古塔的高度（结果精确到1米）． （参考数据：，， 【分析】（1）根据题意可得：，再根据已知可设米，则米，然后在中，利用勾股定理进行计算，即可解答； （2）延长交于点，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：， 斜坡的坡度为， ， 设米，则米， 在中，（米， 米， ， 解得：， 米．米， 坡顶到地面的距离的长15米； （2）延长交于点， 由题意得：，米， 设米， 米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， ， 解得：， （米， 古塔的高度约为29米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 35．（2022秋•嘉定区期末）《海岛算经》是中国古代测量术的代表作，原名《重差》．这本著作建立起了从直接测量向间接测量的桥梁．直至近代，重差测量法仍有借鉴意义． 如图2，为测量海岛上一座山峰的高度，直立两根高2米的标杆和，两杆间距相距6米，、、三点共线．从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为；从点处退行到点，观察山顶，发现、、三点共线，且仰角为．（点、都在直线上） （1）求的长（结果保留根号）； （2）山峰高度的长（结果精确到0.1米）．（参考数据：， 【分析】（1）根据题意可得：，，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答； （2）设米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义可得，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）由题意得：，， 在中，，， （米， 在中，，， （米， 米， 米， 的长为米； （2）设米， 在中，， （米， 米， 米， 在中，， ， ， 解得：， 米， 山峰高度的长约为10.2米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，相似三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，以及字模型相似三角形是解题的关键． 36．（2023秋•青浦区期末）北淀浦河上的浦仓路桥是一座融合江南水乡文化气息的现代空间钢结构人行廊桥．某校九年级数学兴趣小组开展了测量“浦仓路桥顶部到水面的距离”的实践活动，他们的操作方法如下：如图，在河的一侧选取、两点，在处测得浦仓路桥顶部点的仰角为，再往浦仓路桥桥顶所在的方向前进17米至处，在处测得点的仰角为，在处测得地面到水面的距离为1.2米（点、、在一条直线上，，，，求浦仓路桥顶部到水面的距离．（精确到0.1米） （参考数据：，，，，， 【分析】延长交于点，根据题意可得：，米，米，然后设米，则米，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【解答】解：延长交于点， 由题意得：，米，米， 设米， 米， 在中，， （米， 在中，， ， ， 解得：， （米， （米， 浦仓路桥顶部到水面的距离约为15.8米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 37．（2023•长宁区二模）为了测量某建筑物的高度，从与建筑物底端在同一水平线的点出发，沿着坡比为的斜坡行走一段路程至坡顶处，此时测得建筑物顶端的仰角为，再从处沿水平方向继续行走100米后至点处，此时测得建筑物顶端的仰角为，建筑物底端的俯角为，如图，已知点、、、、在同一平面内，求建筑物的高度与的长．（参考数据： 【分析】过点作，垂足为，延长交于点，根据题意可得：，米，，，，先利用三角形的外角性质进行计算可得，从而可得米，再在中，利用含30度角的直角三角形的性质求出，的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后根据斜坡的坡比为，可求出的长，再在中，利用勾股定理求出的长，即可解答． 【解答】解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，米，，，， 是的一个外角， ， ， 米， 在中，（米， （米， 在中，（米， 米， （米， 斜坡的坡比为， ， （米， 在中，（米， 建筑物的高度约为136.6米，的长为130米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，坡度坡角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 38．（2023秋•静安区校级期中）如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，，，在同一条直线上）．根据以上数据，解答下列问题： （1）求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）； （2）求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：． 【分析】（1）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答； （2）延长交于点，根据已知易得，从而利用三角形的内角和可得，进而可得是等边三角形，然后利用等边三角形的性质可得，再根据已知可求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，进行计算即可解答． 【解答】解：（1）在中，，， （米， 灯管支架底部距地面高度的长为米； （2）延长交于点， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， 米，米， （米， 在中，（米， （米， 灯管支架的长度约为1.2米． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 七．解直角三角形的应用-方向角问题（共2小题） 39．（2023秋•青浦区校级月考）如图，某湖心岛上有一亭子，在亭子的正东方向上的湖边有一棵树，在这个湖心岛的湖边处测得亭子在北偏西方向上，测得树在北偏东方向上，又测得、之间的距离等于200米，求、之间的距离 （结果精确到1米）．（参考数据：，，，， 【分析】本题可通过构建直角三角形来解答，过点作的垂线交于，要先求出的值然后再求，的值，进而得出的长． 【解答】解：过点作，垂足为点， 由题意，得，，， 在中，， ， ， ， 又， ． ， ， 在中，， ， ， ， 又， ， （米， 答：、之间的距离为279米． 【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形．如果两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边一般是解题的常用方法． 40．（2022秋•浦东新区校级期中）如图，湖心岛上有一凉亭，在凉亭的正东湖边有一棵大树，在湖边的处测得在北偏西方向上，测得在北偏东方向上，又测得、之间的距离为100米，则、之间的距离是 　　米（结果保留根号形式）． 【分析】过点作于点，在中，求出、的值，然后在中求出的长度，继而可求得的长度． 【解答】解：如图，过点作于点， 在中，，， ， ， 在中， ， ， 则， 即、之间的距离约为米． 故答案为：． 【点评】本题考查了直角三角形的应用，解答本题的关键是根据方向角构造直角三角形，利用三角函数解直角三角形． $$