上海市九年级上学期数学期中模拟试卷02（测试范围：相似三角形、锐角的三角比）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版）

2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷02 满分：150分 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．若，则的值是　　 A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 3．下列两个三角形一定相似的是　　 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 4．已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为　　 A． B． C． D． 5．如图，已知，，，那么的长等于　　 A． B． C． D． 6．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是　　 A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知，满足，则的值为 　　． 8．点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 　　． 9．如图中，点在上，且．设，，那么　　（结果用、表示） 10．已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 　　． 11．在中，，已知的正弦值是，那么的正弦值是 　　． 12．如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于 　　． 13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 　　． 14．已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么　 　． 15．如图，在中，，是内一点，且，若，，那么　　． 16．如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是 　　． 17．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 　　． 18．如图，在中，，，，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，联结，那么的正切值为　　． 三、解答题（本大题共7题，满分78分，10+10+10+10+12+12+14） 19．计算：． 20．如图，已知平行四边形，点、是边、的中点，设，． （1）求向量（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 21．如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，． （1）求的面积； （2）求． 22．已知：如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求： （1）坡顶到地面的距离； （2）古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 23．如图，在中，，平分，作交于点，垂足为．作，垂足为． （1）求证：． （2）求证：． 24．如图，分别交轴、轴于、两点． （1）求出、两点的坐标； （2）已知点的坐标为，过点和点作直线，联结，求的正切值； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 25．（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点．点是上任意一点．连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年九年级上学期数学期中模拟试卷02 满分：150分 测试范围：相似三角形、锐角的三角比 一、选择题:(本大题共6题，每题4分，共24分) 1．若，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】利用设法进行计算，即可解答． 【解答】解：设， ，， ， 故选：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握设法是解题的关键． 2．如图，在中，，，，则的值是　　 A． B． C． D． 【分析】先利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，然后根据正弦的定义求解． 【解答】解：，，， ， 为直角三角形，， ． 故选：． 【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：正确理解正弦的定义是解决问题的关键．也考查了勾股定理的逆定理． 3．下列两个三角形一定相似的是　　 A．两个直角三角形 B．两个等腰三角形 C．两个等边三角形 D．两个面积相等的三角形 【分析】由相似三角形的判定，即可判断． 【解答】解：、、中的两个三角形不一定相似，故、、不符合题意； 、两个等边三角形相似，故符合题意． 故选：． 【点评】本题考查相似三角形的判定，等边三角形、等腰三角形的性质，关键是掌握相似三角形的判定方法． 4．已知点、分别在的边、的延长线上，，，设，那么用向量表示为　　 A． B． C． D． 【分析】由题意可得，则，可得，进而可得，根据可得答案． 【解答】解：， ，， ， ， ， ， ， ． 故选：． 【点评】本题考查平面向量、相似三角形的判定与性质，熟练掌握平面向量的运算法则、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 5．如图，已知，，，那么的长等于　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行线分线段成比例得到，然后利用比例性质计算出，然后利用计算即可． 【解答】解：， ，即， ， ． 故选：． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 6．如图，在中，点、分别在边、上，四边形是平行四边形，点、在边上，交于点．甲、乙两位同学在研究这个图形时，分别产生了以下两个结论：①；②．那么下列说法中，正确的是　　 A．①正确②错误 B．①错误②正确 C．①、②皆正确 D．①、②皆错误 【分析】由平行线分线段成比例和相似三角形的性质可得，，，，，即可求解． 【解答】解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ，， ， ， ， ，故①正确， ， ， ， ， ， ，故②正确， 故选：． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 二、填空题:(本大题共12题，每题4分，共48分) 7．已知，满足，则的值为 　　． 【分析】根据比例的性质进行计算，即可解答． 【解答】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 8．点是线段的黄金分割点，，那么线段的长是 　　． 【分析】根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 9．如图中，点在上，且．设，，那么　　（结果用、表示） 【分析】首先利用三角形法则求得，则；然后再在中，利用三角形法则求得． 【解答】解：，， ， ， 则， ． 故答案为：． 【点评】此题考查了平面向量的知识．此题难度适中，注意掌握三角形法则的应用是解此题的关键，注意数形结合思想的应用． 10．已知，相似比为，若的面积为2，则的面积为 　50　． 【分析】直接利用相似三角形的面积的比等于相似比的平方求解． 【解答】解：，相似比为， ， ． 故答案为：50． 【点评】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等；相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 11．在中，，已知的正弦值是，那么的正弦值是 　　． 【分析】根据锐角三角函数的定义以及勾股定理进行计算即可． 【解答】解：中，， 由于的正弦值是，即，可设，则，由勾股定理得， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查锐角三角函数、勾股定理，掌握锐角三角函数的定义以及勾股定理是正确解答的前提． 12．如图，直线，它们依次交直线、于点、、和、、，已知，，，那么等于 　7.5　． 【分析】根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求出，再求出即可． 【解答】解：直线， ， ，，， ， 解得：， ， ， 故答案为：7.5． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能正确根据平行线分线段成比例定理得出比例式是解此题的关键． 13．如图，是洞孔成像原理的示意图，物体物像，根据图中标注的尺寸，如果物体长，那么物像的长度是 　　． 【分析】根据，可得，再由．即可求出． 【解答】解：， ， ， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查相似三角形的应用，正确记忆相似三角形的性质是解题关键． 14．已知如图，点是的重心，过点作，分别交、于点、，那么　　． 【分析】根据重心的性质得出，再结合相似三角形的判定与性质得出，进而得出． 【解答】解：连接并延长交于一点， 点是的重心， ， ， ，，， ， ． 故答案为：． 【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的知识，根据重心知识得出以及进而得出是解决问题的关键． 15．如图，在中，，是内一点，且，若，，那么　　． 【分析】由，，得，，则，所以，得，则，于是得到问题的答案． 【解答】解：， ， ， ， ， ， ， ，， ， 故答案为：． 【点评】此题重点考查三角形内角和定理、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 16．如图，已知在中，点在边上，，，那么的值是 　　． 【分析】过作于，设，可得，，由，得，故，，从而，可得，即． 【解答】解：过作于，如图： 设， ， ，， ，， ， ， 即， 解得，， ，， ， 在中，， ； 故答案为：． 【点评】本题考查解直角三角形和相似三角形，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形和掌握三角函数的定义，相似三角形的判定代入． 17．新定义：将一个凸四边形分成一个等腰三角形和一个等腰直角三角形的对角线叫做这个四边形的“等腰直角线”．已知一个直角梯形的“等腰直角线”等于4，它的面积是 　或12　． 【分析】根据题意画出图形，根据梯形的面积公式计算，得到答案． 【解答】解：如图1，为等腰直角三角形，， 则， ； 如图2，为等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， 综上所述：这个直角梯形的面积为：或12， 故答案为：或12． 【点评】本题考查的是直角梯形的性质、等腰三角形的性质、“等腰直角线”的定义，熟记梯形的面积公式是解题的关键． 18．如图，在中，，，，是的角平分线，将绕点旋转，如果点落在射线上，点落在点处，联结，那么的正切值为　　． 【分析】设点落在射线上的点处，由勾股定理可求，由旋转的性质可得，，由平行线分线段成比例可求的长，即可求解． 【解答】解：如图，设点落在射线上的点处， ，，， ， 是的角平分线， ， 将绕点旋转， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了旋转的性质，勾股定理，锐角三角函数，平行线的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三、解答题（本大题共7题，满分78分，10+10+10+10+12+12+14） 19．计算：． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 20．如图，已知平行四边形，点、是边、的中点，设，． （1）求向量（用向量、表示）； （2）在图中求作向量在、方向上的分向量． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量）． 【分析】（1）由四边形是平行四边形，可得，又由点、是边、的中点，根据三角形中位线的性质，即可求得向量； （2）首先平移向量，然后利用平行四边形法则，即可求得答案． 【解答】解：（1），， ， 点、分别为、的中点， ； （2）作图：结论：、是向量分别在、方向上的分向量． 【点评】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及三角形的中位线的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． 21．如图，是的高，是边上一点，与交于点．已知，，． （1）求的面积； （2）求． 【分析】（1）根据题意和锐角三角函数可以求得和的长，从而可以求得的面积； （2）根据三角形的相似和题意可以求得的值． 【解答】解：（1），，是的高， ， ，， 的面积是；； （2）作于点， ，， ， ，， ，， ， ， ， 即． 【点评】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 22．已知：如图，斜坡的坡度为，坡长为26米，在坡顶处的同一水平面上有一座古塔，在斜坡底处测得该塔的塔顶的仰角为，在坡顶处测得该塔的塔顶的仰角为．求： （1）坡顶到地面的距离； （2）古塔的高度（结果精确到1米）．（参考数据：，， 【分析】（1）过点作，垂足为点，利用斜坡的坡度为，得出，，的关系求出即可； （2）利用矩形性质求出设，则，再利用，求出即可． 【解答】解：（1）过点作，垂足为点． 斜坡的坡度为，， 设 ，则 ， 由勾股定理，得 ． ．解得． ． 答：坡顶到地面的距离为． （2）延长交于点． ，， ． 四边形是矩形，，． ， ． 设 ，则． ． 在中，，即， 解得，即， 答：古塔的高度约为19米． 【点评】此题主要考查了坡度问题以及仰角的应用，根据已知在直角三角形中得出各边长度是解题关键． 23．如图，在中，，平分，作交于点，垂足为．作，垂足为． （1）求证：． （2）求证：． 【分析】（1）由已知条件先证，再得出对应成比例的线段即可； （2）先证，得出，再证，得出成比例的线段即可． 【解答】证明：（1），， ， 又， ， ，即； （2）平分， ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 又， ， ． ， ， ， ，即， ． 【点评】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟知相似三角形的判定定理和性质是正确解题的关键． 24．如图，分别交轴、轴于、两点． （1）求出、两点的坐标； （2）已知点的坐标为，过点和点作直线，联结，求的正切值； （3）在（2）的条件下，在直线上是否存在点，使得以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出点的坐标，若不存在，说明理由． 【分析】（1）对于，令，则，令，即，解得，即可求解； （2）证明，则为直角三角形，即可求解； （3）分、两种情况，利用三角形相似边的比例关系，即可求解． 【解答】解：（1）对于，令，则，令，即，解得， 故点、的坐标分别、； （2）由、、的坐标知，， 同理，， 故， 故为直角三角形， 则； （3）设直线的表达式为，则，解得， 故直线的表达式为， 设点， 当时， 则，即， 解得， 当时， 同理可得：， 故点的坐标为，或，或或． 【点评】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的性质、解直角三角形、三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 25．（1）如图1，在中，是上一点，过点作的平行线交于点．点是上任意一点．连结交于点，求证：； （2）如图2，在（1）的条件下，连结，，若，且、恰好将三等分．求的值； （3）如图3，在等边中，，连结，点在上，若，求的值． 【分析】（1）根据，可得，从而得到，同理，进而得到，即可； （2）利用条件证明，，由（1）知，，设．则，，由得，，（负值舍去），； （3）利用相似转化线段之间的关系，设，，，根据，，，由，得到，，最后代入． 【解答】（1）证明：， ， ， 同理， ， ； （2）解：、恰好将三等分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）知，， 设．则，， 由得，， （负值舍去）， ； （3）解：过点作的平行线，分别交、于、， 是等边三角形， ，， ， ， ， 由（1）中结论知，， 设，，， ， ，， 为等边三角形， ， ，即， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点评】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，利用类比思想解答是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$