第七章 平行线的证明（B卷·培优卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（四川成都专用，北师大版）

第七章 平行线的证明（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线，点E在上，点O、点F在上，的角平分线交于点G，过点F作于点H，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 6．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 7．如图，在中， 于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 8．题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示） 10．如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则 ． 11．如图，在中，点E在上，于点D，，于点F，若，，则的度数为 ． 12．如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ． 13．如图，在中，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，得，则与的关系是 . 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 15．如图，在中，，，平分，交于， (1)若，求的度数； (2)若于点，求的度数． 16．如图，一条直线分别与直线直线、直线、直线相交于A、G、H、D，如果，，求证：．请将下面的解答过程补充完整（在空上填写推理依据或数学式子） 证明：∵（已知），（______①______） ∴（等量代换） ∴ ∴（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， ∴______③______（内错角相等，两直线平行） ∴（______④______） ∴（______⑤______） 17．如图①，，点B是平面内一点，于点B，过点B作于点D． (1)求证：； (2)如图②，若平分，平分，连接，，求的度数． 18．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则__________°； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在中，，点边上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，若，则 ． 20．将一副三角板（，，）按如图放置则下列结论：①；②如果，则有；③如果，必有；④，其中正确的有 （填写序号） 21．如图，直线，点为直线上一点，连接，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接的角平分线交于点，当时，令，用含的式子表示为 ．    22．如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 23．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 25．如图1，已知直线，点、是上两点，点、是上两点，、相交于点，，，请回答下列问题： (1)则________；（直接写出结果即可） (2)如图2，点为延长线上一点，、分别为、的角平分线，且交于一点，求的度数； (3)若点为平面内一点，连接、，且，，请直接写出的度数． 26．长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 平行线的证明（B卷·培优卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．一副三角板如图摆放，，点D恰好在上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形内角和，平行线的性质等内容，根据图形，结合定理求出每个角的度数是解题关键．首先根据三角板的性质算出的度数，再由“两直线平行，内错角相等”，可求出的度数，在中，利用三角形内角和可求出的度数． 【详解】解： 在和中，， ∴， ∵， ∴， 在中，， 故选：B． 2．如图，直线，点E在上，点O、点F在上，的角平分线交于点G，过点F作于点H，已知，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是平行线的性质及角平分线的定义，依据平行线的性质即可得到的度数，再根据角平分线即可得出的度数，依据三角形内角和定理即可得到的度数． 【详解】解：， ， 又平分， ， 于点H， ， 故选：A． 3．如图，已知长方形纸片，点，在边上，点，在边上，分别沿，折叠，使点和点都落在点处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据平行线的性质得到，，然后由折叠的性质得到，，然后根据得到，最后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵，∴， ∵沿，折叠，使点和点都落在点处， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴．故选：C． 4．如图，四边形中，，点B关于的对称点B’恰好落在上，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解题时注意：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．连接，过A作于F，得到，依据，，即可得出，再根据直角三角形两锐角互余，即可得到． 【详解】解：如图，连接，过A作于F， ∵点B关于的对称点E恰好落在上， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故选：B． 5．如图，把三角形纸片沿折叠，当点A落在四边形外部时，则与、之间的数量关系是（　　）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质、三角形外角的性质等知识点，掌握三角形外角的性质成为解题的关键． 根据折叠的性质可得，根据平角等于用表示出，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，用与表示出，然后利用三角形的内角和等于列式整理即可解答． 【详解】解：如图： ∵是沿折叠得到， ∴， 又∵， ∴，即，整理得:． 故选：A． 6．如图，在中，平分，于点．的角平分线所在直线与射线相交于点，若，且，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．设，根据角平分线的定义得，由三角形的外角定理得，则，同时，由此得，则，进而得，，然后再根据可得的度数． 【详解】解：设， ∵平分， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵是的外角，， ∴， ∴，∴， ∴，∴， ∴， ∵于点D， ∴． 故选：D． 7．如图，在中， 于点，平分交于点，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及角平分线定义、垂直定义、三角形内角和定理及外角性质等知识，先由角平分线定义及已知角度得到，再由垂直定义及三角形内角和定理确定，最后由外角性质列式求解即可得到答案，熟练掌握三角形中常见定义与性质灵活求角度是解决问题的关键． 【详解】解：平分交于点， ， ， ， 在中， 于点， ， 是的一个外角， ， 故选：B． 8．题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】与的边平行，画图有两种情况，和， 当时，， 当时，，结果有两个答案． 【详解】解：①如图，与的边平行   沿折叠得到， 又 ②如图，与的边平行，   沿折叠得到， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如图，在四边形中，，的平分线与的平分线交于点，则 ．（用含字母的代数式表示） 【答案】 【分析】根据四边形的内角和是360°，求出∠ABC+∠BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角和定理求出∠P的度数即可． 【详解】解：∵∠A+∠D=m°，且四边形内角和为360°， ∴∠ABC+∠BCD=360°-m°， ∵PB、PC是∠ABC、∠BCD的角平分线， ∴∠PBC=，∠BCP=， ∴∠PBC+∠BCP= ∴∠P=180°-（∠PBC+∠BCP）= 故答案为：． 【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表达出∠PBC+∠BCP的度数． 10．如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段、为折痕， ， ， ， ， ， 故答案为：． 11．如图，在中，点E在上，于点D，，于点F，若，，则的度数为 ． 【答案】/55度 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质；先证明，由全等三角形的性质可得出，，再由三角形内角和定理可得出，再根据三角形的外角性质可得出，再证明，由全等三角形的性质可得出． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴． 故答案为：． 12．如图，，点，分别在直线，上，点在直线，之间，平分，平分，，，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】延长交于点，根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后利用三角形的外角性质可得，从而可得，进而可得，再根据已知可得，最后利用三角形内角和定理进行计算，即可解答． 【详解】解：延长交于点，如图所示： ， ， 平分，平分， ，， 是的一个外角， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及平行线的判定与性质、角平分线定义、三角形外角性质、三角形内角和定理等知识，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 13．如图，在中，和的平分线交于点，得；和的平分线交于点，得；…；和的平分线交于点，得，则与的关系是 . 【答案】或 【分析】根据角平分线的性质和外角的性质，得到，同理可得，则，由此规律可得，然后得到答案. 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， 同理可得：，…… ∴，…… ∴； 当时，有 或； 故答案为：或. 【点睛】本题考查了三角形的角平分线性质和外角性质，解题的关键是掌握角平分线的性质和外角的性质得到，从而找到规律进行求解. 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．如图，把沿折叠，使点A落在点D处， (1)若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，见解析；(2) 【分析】（1）根据折叠的性质，平行线的性质，等量代换思想解答即可； （2）根据，，得到，根据，得到，计算的度数． 本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵是由翻折得到， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 15．如图，在中，，，平分，交于， (1)若，求的度数； (2)若于点，求的度数． 【答案】(1)；(2)． 【分析】（）根据三角形内角和定理求得，再由角平分线的定义可得，由两直线平行，内错角相等即可求得的度数； （）根据三角形内角和定理求得，再由角平分线的定义可得，由直角三角形两锐角互余即可求得的度数； 本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角的和差，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，一条直线分别与直线直线、直线、直线相交于A、G、H、D，如果，，求证：．请将下面的解答过程补充完整（在空上填写推理依据或数学式子） 证明：∵（已知），（______①______） ∴（等量代换） ∴ ∴（两直线平行，同位角相等）． 又（已知）， ∴______③______（内错角相等，两直线平行） ∴（______④______） ∴（______⑤______） 【答案】①对顶角相等；③；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换 【分析】根据平行线的性质和判定解答即可．此题主要考查了平行线的判定和性质，关键是掌握平行线的判定定理和性质定理． 【详解】证明：（已知），（对顶角相等）， （等量代换）， （两直线平行，同位角相等）， 又（已知）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等），（等量代换）． 故答案为：①对顶角相等；③；④两直线平行，内错角相等；⑤等量代换 17．如图①，，点B是平面内一点，于点B，过点B作于点D． (1)求证：； (2)如图②，若平分，平分，连接，，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，余角的性质等知识，解题的关键是： （1）根据平行线的性质可得角相等，再利用余角的性质即可到结论； （2）设，则，利用角平分线的定义可求出，，，然后结合即可求解． 【详解】（1）证明：过B作， ∴， 又， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， 设，则， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 18．已知，，点为射线上一点． (1)如图，若，，则__________°； (2)如图，当点在延长线上时，此时与交于点，则，，之间满足怎样的关系，请说明你的结论； (3)如图，平分，交于点，交于点，且，，，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）延长交于点，根据是的外角求解； （2）根据，可得，再根据是的外角可得，即； （3）设，则，通过三角形的内角和定理得到，由三角形角平分线的定义及得到，求出的值再通过三角形的内角和定理求． 【详解】（1）解：如图，延长交于点， ， ， 是的外角， ， 故答案为：； （2）解：， 理由如下：， ， 是的外角， ， ； （3）解：， 设，则， ， ，， 又， ， 平分，， ，，即，解得：， ， ． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，三角形角平分线的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握平行线的性质，三角形的内角和定理及三角形外角的性质是解题的关键． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．如图，在中，，点边上一点，将沿直线翻折至所在平面内得到，若，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题）、余角和补角、直角三角形，熟练掌握翻折的性质、角的和差关系是解答本题的关键． 分别讨论点在的右侧和点在的左侧两种情况，结合翻折的性质以及角的和差关系可得答案． 【详解】解：当点在的右侧时， 由翻折可得，． ， ． ， ， ． 当点在的左侧时，如图， 由翻折可得，． ， ， ， ． 综上所述，或． 故答案为：或． 20．将一副三角板（，，）按如图放置则下列结论：①；②如果，则有；③如果，必有；④，其中正确的有 （填写序号） 【答案】①②④ 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和等知识点，根据平行线的判定与性质和三角形的内角和进行逐一判断即可，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 【详解】①∵， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ②∵，，如图， ∴ ∴， 故②正确，符合题意； ③∵，， ∴ ， ∵ ， ∴， ∴，而不能证出， 故③错误，不符合题意； ④∵， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 21．如图，直线，点为直线上一点，连接，的角平分线交于点，点是射线上的一个动点，连接的角平分线交于点，当时，令，用含的式子表示为 ．    【答案】 【分析】分点在内部与外部两种情况，根据三角形内角和定理以及平行线的性质，画出图形，即可求解． 【详解】如图所示，点在内部时，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴ ∵平分 ∴ 则 ， 在中，，， ∴， ∴， 如图所示，当点在的外部时，连接，作的邻补角的角平分线交于点，则      ∵，，，故此情形不存在， 综上所述， 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，分类讨论是解题的关键． 22．如图，在直角中，，与的角平分线相交于点，连接，则 ；若的面积为12，的面积记为，的面积记为，用含的代数式表示 ． 【答案】 45 / 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定义以及外角的性质，轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．根据三角性外角的性质和角平分线的定义，可求出的度数；作点关于的对称点，点关于的对称点，由轴对称的性质可知，，，，，，过点作于点，过点作，证明，得到，进而得出，推出，即可得到答案． 【详解】解：， ， 与的角平分线相交于点， ，， 是的外角， ； 如图，作点关于的对称点，点关于的对称点， ，， 点、在上， ， 由轴对称的性质可知，，，，，， ， ， 过点作于点，过点作， 在和中， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：， 23．如图，在中，，D是边上的定点，E是上的动点，沿折叠，点C落在点F处．当与的一边平行时，的度数是 ． 【答案】或或 【分析】本题主要考查了图形的折叠变换及性质，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识，先求出，再根据折叠的性质得，然后根据当与的一边平行，分下两种情况进行讨论：①当时；②当时，又有两种情况：（ⅰ）点F在上方时；（ⅱ）当点F在下方时，分情况进行求解即可； 【详解】解：， ． 由折叠的性质得， ． 当与的一边平行，有以下两种情况： ①当时（如图），， ， ， ， ； ②当时，又有两种情况： （i）点F在上方时（如图）． ， ， ， ， ； （ⅱ）当点F在下方时（如图）． 设， ， ， ， ． ， ， 解得， ． 综上所述，符合题意的的度数是或或． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．已知，，点O为上方一点，E、F为上两点，连接、，分别交于M、N两点，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点G为上一点，连接，作垂足为H，，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接并延长到点P，连接，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是： （1）过点O作，根据平行线的判定和性质，结合垂线的定义求证即可； （2）根据同位角相等证明，根据内错角相等证明即可； （3）作，根据平行线的判定和性质，结合角的比值求解即可． 【详解】（1）证明：过点O作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 作， ∴，， ∴． 25．如图1，已知直线，点、是上两点，点、是上两点，、相交于点，，，请回答下列问题： (1)则________；（直接写出结果即可） (2)如图2，点为延长线上一点，、分别为、的角平分线，且交于一点，求的度数； (3)若点为平面内一点，连接、，且，，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据平行线的性质可得，根据三角形的性质，可得的度数，再根据平角的性质即可求解； （2）结合（1）中的计算可得的度数，根据角平分线的性质可得的度数，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意可得，根据图形的变换角度的关系，分类讨论，图形结合，角度的和差计算方法，三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（1）可是，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在中，， ∴， ∴的度数为； （3）解：据上述计算可得，， ∵，， ∴， 如图所示，则， 由（1）可知，， ∴， 在中，， ∴； 如图所示，， ∴， ∴在中，； 如图所示，，， ∴， ∴在中，； 如图所示，，， ∴， ∴在中，； 综上所述，的度数为：，，，． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，图形的旋转变换，掌握角平分线的性质，图形的变换的性质，三角形的内角和定理，分类讨论，图形结合分析的方法是解题的关键． 26．长方形纸带（足够长）上，如图1中，顶点落在边上，顶点落在边上，使，，的平分线交边于点，的平分线交边于点．           (1)如图1，若时，则________°； (2)点在边上、在边上移动过程过程中，的值是否变化，如不变化，请写出这个定值并说明理由； (3)如图2，的外角中，射线和交于点，且分别使得，，当四边形中，有一边与平行时，直接写出的度数________°． 【答案】(1) (2)的值不会变化，理由见详解 (3)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线，三角形内角和外角和定理，解一元一次方程等知识的综合，掌握平行线的性质，三角形内角和外角和定理，角平分线的性质是解题的关键． （1）根据平角的性质可得，，根据角平分线的性质可得，由此可得的度数，在中，根据三角形的内角和定理即可求解； （2）由（1）的证明可得是定值，再根据三角形的内角和定理即可求解； （3）根据题意，分类讨论：当时；当时；当时；根据平行线的性质，等腰三角形的的性质，解一元一次方程的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据图示，点三点共线，点共线， ∵， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：； （2）解：，这个值不会变化，理由如下， 由（1）可知，， ∵，， ∴，即是定值， ∴，不会发生变化； （3）解：当时，如图所示， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴； 当时，如图所示，设， 由（2）可知，（Ⅰ）， ∵，平分， ∴，即是等腰三角形， ∴①， ∵，， ∴， ∵， ∴②， 把②代入①得，，整理得，（Ⅱ）， 由（Ⅰ），（Ⅱ）联立方程组得，， 解得，， ∴； 当时，如图所示， 同理，是等腰三角形，，， ∴， ∴，解得，，∴； 当时，， ∵，∴，即， ∴该种情况不符合题意，舍去； 综上所述，的度数为或或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$