专题03 数据的分析（考点串讲）八年级数学上学期鲁教版五四制

八年级新鲁教版（2024）数学上册期中考点大串讲 串讲03 数据的分析 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 六大常考点：知识梳理 七大题型典例剖析+技巧点拨+举一反三 三大易错易混经典例题+针对训练 期中真题对应考点练 考点透视 数据的分析 数据的一般水 平或集中趋势 数据的离散程 度或波动大小 平均数、 加权平均数 中位数 众数 方差 计 算 公 式 知识大全 众数、中位数、平均数、方差 从统计图中分析数据 (2)条形统计图中， (3)扇形统计图中， (1)折线统计图中， 众数：同一水平线上出现次数最多的数据； 中位数：从上到下（或从下到上）找中间点所对的数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． 众数：是柱子最高的数据； 中位数：从左到右（或从右到左）找中间数； 平均数：可以用中位数与众数估测平均数． 众数：为扇形面积最大的数据； 中位数：按顺序，看相应百分比，第50%与51%两个数据的平均数； 平均数：可以利用加权平均数进行计算． 题型剖析 题型一 求一组数据的平均数 例1．四个数，每次选出三个数算出它们的平均数，用这种方法计算了四次，分别得到四个数：86，92，100，106，那么原来这四个数的平均数是（    ）． A．64 B．72 C．96 D．84 【答案】C 【详解】解：设原来这四个数分别为a,b,c,d， 由题意得：+， 即a+b+c+d=384， 则原来这四个数的平均数是， 故选：C． 【点拨】本题考查了求平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解题关键．设原来这四个数分别为a,b,c,d，先求出a+b+c+d的值，再利用平均数的计算公式求解即可得． 举一反三 1．下面是王叔叔记录的本周体育锻炼的用时情况(以60min为标准，时间多于60min的部分用正数表示，时间少于 60min的部分用负数表示)： (1)王叔叔这一周内锻炼时间最少的是星期 ； (2)王叔叔这一周内锻炼时间最多的一天比锻炼时间最少的一天多锻炼多少分钟？ (3)求王叔叔这一周平均每天锻炼的时间． 【答案】(1)五 (2)17min (3) 62min 【详解】（1）解：根据题意，周一锻炼时间为：60－3=57(min)， 周二锻炼时间为：60+2=62(min)，周三锻炼时间为：60+4=64(min)， 周四锻炼时间为：60－1=59(min)，周五锻炼时间为：60－7=53(min)， 周六锻炼时间为：60+9=69(min)，周日锻炼时间为：60+10=70(min)， ∴王叔叔这一周内锻炼时间最少的是星期五， 故答案为：五； （2）解：锻炼时间最多的一天的时间为70min，锻炼时间最少的一天的时间为53min， ∴70－53=17(min)； （3）解：， ∴王叔叔这一周平均每天锻炼的时间62min． 【点拨】本题主要考查正负数的实际运用，有理数的加减混合运算，平均数的计算， （1）根据正负数的实际运用的方法进行计算即可； （2）根据（1）中计算的结果进行比较，再计算即可； （3）先算出一周对应超出和不足的平均数，再进行计算即可求解． 题型剖析 题型二 求中位数 例1．某校六个年级举行的“爱山东 迎大运”知识比赛中，各年级得分（单位：分）如下：98，94，98，97，94，96，则各年级得分的中位数是（    ） A．96分 B．97分 C．96.5分 D．98分 【答案】C 【详解】解：各年级得分排序如下：94，94，96，97，98，98， ∴中位数为：（分）． 故选：C． 【点拨】本题考查了中位数，解题的关键是掌握将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 举一反三 1．如图所示为根据某市某天六个整点时刻的温度绘制成的折线统计图，则这六个整点时刻温度的中位数是 ℃．   【答案】15.6 【详解】解：这六个数据从小到大排列为：4.5,10.5,15.3,15.9,19.6,30.1， 居于中间的两个数为15.3,15.9, ∴中位数为， 故答案为：15.6． 【点拨】本题考查折线统计图、中位数的知识，解题的关键是熟练掌握中位数的基本概念． 题型三 利用中位数求未知数据的值 例1．如图为某射击场35名成员射击成绩的条形统计图（成绩均为整数），其中部分已破损．若他们射击成绩的中位数是5环，则下列数据中无法确定的是（    ） A．3环以下（含3环）的人数 B．4环以下（含4环）的人数 C．5环以下（含5环）的人数 D．6环以下（含6环）的人数 【答案】C 【详解】解：由题意和条形图可得， 3环以下（含3环）的人数为：2+3+5=10，故选项A不符合题意， ∵射击成绩的中位数是5环，一共35人， ∴中位数是第18人的成绩，由图可知，4环的人数超过6人， ∴4环以下（含4环）的人数为：：2+3+5+7=17，故选项B不符合题意， 5环以下（含5环）的人数无法确定，故选项C符合题意， 6环以下（含6环）的人数为：35-1=34，故选项D不符合题意， 故选：C． 【点拨】本题考查中位数和条形统计图，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 根据题意和条形图中的数据可以求得各个选项中对应的人数，从而可以解答本题． 举一反三 1．某校首届校园模拟电子射击比赛中，小宇和小轩两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下(单位：环)： 小宇：7，9，8，6，9，8； 小轩：10，5，6，9，m，9， 如果两人的比赛成绩的中位数相同，那么小轩的第五次成绩m是 环． 【答案】7 【详解】解：将命中的环数从小到大重新排序， 小宇：6，7，8，8，9，9； ∴小宇比赛成绩的中位数是8； 小轩：5，6，m，9，9，10， ∴小宇比赛成绩的中位数是； ∵两人的比赛成绩的中位数相同， ∴，解得m=7， 故答案为：7．  【点拨】本题考查统计，涉及中位数的求法，根据题意，分别求出两人中位数，列方程求解即可得到答案，熟记中位数的求法是解决问题的关键． 题型四 利用众数做决策 尺码/厘米 23 23.5 24 24.5 25 25.5 销售量/双 5 10 22 39 56 43 例1．一家鞋店在一段时间内销售了某种男鞋200双，各种尺码鞋的销售量如表所示： 一般来讲鞋店老板比较关心哪种尺码的鞋最畅销，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【详解】解：∵众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，体现数据的最集中的一点，这样可以确定进货的数量， ∴鞋店老板最关心的是众数． 故选C． 【点拨】根据平均数、中位数、众数、方差的意义分析判断即可，得出鞋店老板最关心的数据． 举一反三 年收入（万元） 2 2.5 3 4 5 9 13 家庭个数 1 3 5 2 2 1 1 例1．某同学进行社会调查，随机抽查了某地15个家庭的收入情况，数据如表： (1)求这15个家庭年收入的平均数、中位数、众数； (2)你认为用（1）中的哪个数据来代表15个家庭年收入的一般水平较为合适？请简要说明理由． 【答案】(1)平均数是4.3万元，中位数是3万元，众数是3万元 (2)中位数或众数较为合适，理由见解析 【详解】（1）解：平均数为（万元）， 将这组数据按从小到大进行排序后，第8个数即为中位数， 所以中位数是3万元， 因为3万元出现的次数最多， 所以众数是3万元． （2）解：中位数或众数较为合适，理由如下： 虽然平均数为4.3万元，但年收入达到4.3万元的家庭只有4个，大部分家庭的收入未达到这一水平，而中位数或众数为3万元，是大部分家庭可以达到的水平，因此用中位数或众数较为合适． 【点拨】本题考查了平均数、中位数与众数，熟练掌握平均数、中位数与众数的定义和意义是解题关键． 题型五 从统计图分析数据的集中趋势 例1．某校对学生上学方式进行了一次抽样调查，如图所示是根据此次调查结果所绘制的一个未完成的扇形统计图，已知该校学生共有2560人，被调查的学生中骑车的有21人，则下列四种说法中，不正确的是（    ）   A．这次调查的样本容量是60人 B．估计全校骑车上学的学生有896人 C．扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为54° D．被调查的学生中，步行的有27人 【答案】A 【详解】解：21÷35%=60人， ∴参与调查的人数为60人，即样本容量为60，故A说法错误，符合题意； 2560×35%=896人， ∴估计全校骑车上学的学生有896人，故B说法正确，不符合题意； 360°×15%=54°， ∴扇形图中，乘车部分所对应的圆心角为54°，故C说法正确，不符合题意； 60×（1-35%-15%-5%）=27人， ∴被调查的学生中，步行的有27人，故D说法正确，不符合题意； 故选：A． 【点拨】本题主要考查了扇形统计图，样本容量，用样本估计总体，用骑车的人数除以其人数占比求出参与调查的人数，即可得到样本容量，即可判断A；用2560乘以样本中骑车上学的人数占比即可判断B；用360度乘以样本中乘车部分的人数占比即可判断C；用60乘以样本中步行的人数占比即可判断D． 举一反三 1．某校对学生最喜欢的课外活动进行了随机抽样调查，要求每人只能选择其中的一项．如图是根据得到的数据绘制的不完整的统计图，则下列说法中不正确的是（      ）． A．这次调查的人数是200 B．全校1200名学生中，约有250人选择艺术 C．扇形统计图中，艺术部分所对应的圆心角是90° D．被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人 【答案】B 【详解】解：10÷5%=200人， ∴这次调查的人数是200，故A说法正确，不符合题意； 1200×25%=300人， ∴全校1200名学生中，约有300人选择艺术，故B说法错误，符合题意； 360°×25%=90°， ∴扇形统计图中，艺术部分所对应的圆心角是90°，故C说法正确，不符合题意； 200×25%=50人， ∴被调查的学生中，最喜欢艺术课外活动的有50人，故D说法正确，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题主要考查了扇形统计图，折线统计图，用样本估计总体等等，用播音的人数除以其人数占比求出参与调查的人数即可判断A；用1200乘以样本中艺术的人数占比即可判断B；用360度乘以样本中艺术的人数占比即可判断C；用参与调查的人数乘以样本中艺术的人数占比即可判断D． 题型六 求方差及利用方差做决策 例1．甲、乙、丙、丁四名射击运动员进行射击测试，每人10次射击成绩的平均数（单位：环）及方差S2（单位：环2）如下表所示： 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】D 【详解】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数， ∴从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛， ∵丁的方差较小， ∴选择丁参加比赛， 故选：D． 【点拨】此题考查了平均数和方差，解答本题的关键是明确方差的定义：方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 举一反三 1．短跑运动可以提高人的灵活性，增强人的爆发力．李双和刘亮报名参加了百米训练小组，在近五次百米训练中，所测成绩如下表所示， 分别计算他们五次成绩的平均数和方差；如果老师要从中选派一名同学代表班级参加学校运动会比赛，你认为派谁去合适？ 【答案】李双五次成绩的平均数是13.3，方差为0.004；刘亮五次成绩的平均数是13.3，方差为0.02；派李双去参加比赛较合适 【详解】解：李双五次成绩的平均数为：， 李双五次成绩的方差为： S12=， 刘亮五次成绩的平均数为：， 刘亮五次成绩的方差为：S12=， ∵两人平均成绩相等，李双方差较小，李双成绩比刘亮稳定， ∴派李双去参加比赛较合适． 【点拨】本题主要考查了根据方差和平均数做决策，先求出两个人的平均数和方差，然后进行判断即可． 题型七 求极差与标准差 例1．七位评委对参加普通话比赛的选手评分，比赛规则规定要去掉一个最高分和一个最低分，然后计算剩下了5个分数的平均分作为选手的比赛分数，规则“去掉一个最高分和一个最低分”一定不会影响这组数据的（      ） A．平均数 B．中位数 C．极差 D．众数 【答案】B 【详解】解：去掉一个最高分和一个最低分一定会影响到极差，可能会影响到平均数、众数，一定不会影响到中位数， 故选：B． 【点拨】本题考查了统计量的选择，解题的关键是了解平均数、中位数、极差及众数的意义，难度不大．根据平均数、中位数、极差及众数的意义分别判断后即可确定正确的选项． 举一反三 2．某校开展暑假读数学课外书活动，开学后802班小明同学在自己班进行调查，统计了全班40位同学暑假所读数学课外书的本数，得到下表： (1)全班同学暑假读数学课外书本数的众数是 ，中位数是 ； (2)求全班同学暑假读数学课外书本数的标准差． 【答案】(1)2；2 (2) 【详解】（1）解：根据题意得：所读数学课外书的本数为2本的人数最多， ∴全班同学暑假读数学课外书本数的众数是2； ∵全班40位同学， ∴由表格可知，按从小到大排列后中间第20和21位同学的本数都是2， ∴中位数也是2． 故答案为：2；2． （2）解：平均数为， 全班同学暑假读数学课外书本数的标准差为 S=． 【点拨】本题主要考查了求众数、中位数、标准差： （1）根据众数、中位数的定义解答，即可求解； （2）根据标准差的计算公式计算，即可求解． 易错易混 易错题型一——已知平均数求未知数据的值 1．（1）一位同学进行五次投实心球的练习，每次投出的成绩如下表： 则该同学这五次投实心球的平均成绩是 m； （2）已知一组数据3，5，4，5，6，x，5的平均数是5，则x= ． 【答案】 10.4 7 【详解】解：（1）由题意可得， 这五次投实心球的平均成绩是： ， 故答案为：10.4； （2）由题意可得， ， 解得：x=7， 故答案为：7． 【点拨】本题考查求平均数，根据平均数公式利用所有数之和除以个数即可得到答案； 易错题型二——根据方差判断稳定性 1．甲、乙、丙三名射击运动员分别进行了5次射击训练，成绩（单位:环）如下表所示： 则三名运动员中成绩最稳定的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．无法确定 【点拨】本题考查通过方差判断数据的稳定性，计算3名运动员测试成绩的方差，根据“方差越小，数据的波动越小，方差越大，数据的波动越大”即可解答． 易错题型三——已知极差求未知数据 1．某地一周的日最高气温分别12℃，10℃，5℃，8℃，8℃，x℃，4℃，本周的日最高气温的极差是10℃，则x的值可能是（    ）． A．2 B．14 C．2或14 D．8 【答案】C 【分析】根据极差的定义：一组数据中的最大值减去最小值即为极差，进行解答即可． 【详解】解：根据题意可得：x℃-4℃=10℃或12℃-x℃=10℃， 解得：x=14℃或x=2℃， ∴x的值可能是2或14， 故选：C． 【点拨】本题考查了极差的定义，熟知一组数据中的最大值减去最小值所得的结果即为极差是解本题的关键． 易错题针对训练 1．为建设生态城市，某中学在植树节那天，组织九年级八个班的学生到西城新区植树，各班植树情况如下表：   下列说法错误的是（   ） A．这组数据的众数是18棵 B．这组数据的中位数是18.5棵 C．这组数据的平均数是20棵 D．以平均数20棵为标准评价这次植树活动中各班植树任务完成情况比较合理 【答案】D 【分析】根据众数、中位数、平均数的意义以及定义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：这组数据从小到大重新排列：14,15,18,18,19,22,25,29, 这组数据的众数是18，中位数为，平均数为，故A，B，C选项正确 以平众数18棵为标准评价这次植树活动中各班植树任务完成情况比较合理，故D选项不正确，不符合题意； 故选：D． 【点拨】本题考查了众数、中位数、平均数的意义以及定义，熟练掌握众数、中位数、平均数的意义以及定义是解题的关键． 2．期中考试后，班里有两名同学议论他们所在小组同学的数学成绩，小明说：“我们组成绩是86分的同学最多”小英说：“我们组的7名同学中成绩排在最中间的恰好也是86分”小明、小英两名同学的话能反映的统计量分别是（   ） A．众数和平均数 B．平均数和中位数 C．中位数和众数 D．众数和中位数 【答案】D 【分析】根据众数和中位数的概念可得出结论,一组数据中出现次数最多的数值是众数；将数据从小到大排列，当项数为奇数时中间的数为中位数，当项数为偶数时中间两个数的平均数为中位数． 【详解】解：由题可知，小明所说的是多数人的分数，是众数，小英所说的为排在中间人的分数，是中位数． 故选：D． 【点拨】本题考查众数和中位数的定义，熟记定义是解题的关键． 3．某班10位同学的美术作业分数如下表，则该作业全班同学的平均分约为（    ） A．2.9分 B．3分 C．3.1分 D．3.2分 【答案】B 【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可． 【详解】解：该作业全班同学的平均分约为（分）， 故选：B． 【点拨】本题主要考查加权平均数，解题的关键是理解加权平均数的定义并能正确运算． 押题预测 练习&巩固 1.[2023年烟台市7年级上册期末] 为庆祝中国共产党成立100周年，郴州市某学校开展“学党史，跟党走”师生阅读活动，老师每周对各小组阅读情况进行综合评分．下表是其中一周的评分结果： 则“分值”这组数据的中位数和众数分别是（　　） A．89，90 B．90，95 C．88，95 D．90，90 【答案】D 【分析】根据中位数和众数的定义即可得出答案． 【详解】解：把这些数从小到大排列为：85，89，90，90，90，91，96， 则这组数据的中位数是90分； ∵90出现了3次，出现的次数最多， ∴众数是90分． 故选：D． 【点拨】本题考查了众数及中位数的定义，解题的关键是掌握众数是数据中出现次数最多的数，注意众数可以不止一个．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错． 2. [2023年济宁市7年级上册期末] 某商场对上周末某品牌运动服的销售情况进行了统计，如下表所示： 经理决定本周进货时多进一些红色的，可用来解释这一现象的统计知识是（　　） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．平均数与中位数 【答案】C 【分析】商场经理最值得关注的应该是爱买哪种颜色运动服的人数最多，即众数． 【详解】解：由于销售最多的颜色为红色，且远远多于其他颜色，所以选择多进红色运动服的主要根据众数． 故选：C 【点拨】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数的意义．反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用． 3． [2023年泰安市7年级期中] 甲、乙二人五次数学考试成绩如下： 甲：135，134，132，138，136； 乙：134，135，135，135，136． 则甲、乙两人成绩比较稳定的是 ． 【答案】乙 【分析】根据平均数的定义先计算出甲、乙两人成绩的平均数，再根据方差公式计算甲和乙的方差，比较方差大小，即可得答案． 【详解】解：甲的平均成绩=（135+134+132+138+136）÷5=135， 甲的方差==4； 乙的平均成绩=（134+135+135+135+136）÷5=135， 乙的方差==0.4=0.4； ∵0.4<4， ∴乙的成绩比较稳定， 故答案为：乙． 【点拨】本题考查了方差的定义与意义，牢记方差的计算公式是解答此题的关键，方差反应了一组数据的波动大小，方差越小，波动越小． 4. [2023年济宁市7年级上册月考] 已知一组数据x1，x2，x3，x4，x5，的平均数是4，方差是5，将这组数据中的每个数据都减去2，得到一组新数据，则这组新数据的方差是 ． 【答案】5 【分析】根据一组数据的平均数与方差的定义和性质即可求解． 【详解】解：由题意得：数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是4，方差是5， 新数据是x1－2，x2－2，x3－2，x4－2，x5－2， 所以新数据的平均数是4-2=2， 方差是： = =5． 故答案为：5． 【点拨】本题考查了平均数和方差，解题的关键是掌握平均数和方差的变换特点． $$