2024-2025学年八年级上学期10月份月考数学试题（苏科版）

2024-2025学年八年级上学期10月份月考试卷 数学试题 考试内容：第1至2章，满分100分，难度系数：0.7 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 第2题 第3题 3．如图，，则有（　　）   A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 4．如图，，，有下列条件：①；②；③．增加其中一个，能使的条件有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 第4题 第5题 5．如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　）       A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 6．如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 第6题 第7题 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（   ） A．11 B． C．6 D． 8．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 第8题 第9题 9．如图，，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 10．如图，为等边△ABC的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知，，，则的度数为 ． 12．如图，△ABC中，是的垂直平分线，，△ABD的周长为，则的长为 ． 第12题 第14题 13．一个三角形的三边长为6，8，x，另一个三角形的三边长为y，6，9，如果这两个三角形全等，则 ． 14．上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为 海里． 15．如图，已知△ABC中，，在△ABC所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 第15题 第16题 16．如图，D为△ABC内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ． 17．如图，在△ABC中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．,垂足分别为，．则 ． 18．如图，△ABC中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 三、解答题（本大题共8小题，共56分） 19．（本题6分）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上，且△ABC是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，画出与△ABC全等的格点△ABD；（找到一个即可） (2)在图2中，△ABC的面积为______，在网格内找出满足和△ABC面积相等的所有格点E；（点E不与已知的三个点重合） (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出△ABC中边上的高． 20．（本题6分）已知：， 求证： (1) (2)． 21．（本题6分）如图，在△ABC中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 22．（本题6分）如图，在△ABC中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．   (1)求证：． (2)若，求的度数． 23．（本题6分）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1) △ABC的底边长为，底边上的中线为； (2) △ABC的底边长为，腰上的中线为． 24．（本题8分）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 25．（本题8分）如图，已知等腰△ABC中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 26． （本题10分）如图，等边△ABC中，，P为边上一点，Q为直线上一点，连接，使得． (1)①如图1，探索与的数量关系并证明； ②如图1，求证：． (2)如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC(AB=AC)”，其他条件不变，求证：． (3)如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC(AB=AC)”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期10月份月考试卷 数学试题 考试内容：第1至2章，满分100分，难度系数：0.7 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．窗花是中国古老的民间艺术之一，下列窗花作品中为轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】选项A的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 选项B、C、D的图形不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 故选：A． 2．如图，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由全等三角形对应角相等得到，再根据三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 3．如图，，则有（　　） A．垂直平分 B．垂直平分 C．与互相垂直平分 D．平分 【答案】A 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，根据证明，根据全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】解：∵，    ∴， 在与中， ， ， ， ∴垂直平分，故A正确， 无法得出，故不能垂直平分，故B和C错误， 也无法得出，故不能平分，故D错误， 故选：A． 4．如图，，，有下列条件：①；②；③．增加其中一个，能使的条件有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．三角形全等的判定方法有：1．三组对应边分别相等；2．有一个角和夹这个角的两条夹边对应相等的两个三角形全等；3．有两个角和这两个角的夹边对应相等的两个三角形全等；4．有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等；还有一种判定方法直角三角形独有：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等． 根据全等三角形的判定定理，依次判断各添加条件即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加①满足，符合题意； 添加②满足．不符合题意； 添加③满足，符合题意； 故能使的条件有①③． 故选：C． 5．如图，将两根同样的钢条AC和BD的中点O固定在一起，使其可以绕着O点自由转动，就做成了一个测量工件内径的工具．这时根据△OAB≌△OCD，CD的长就等于工件内槽的宽AB，这里判定△OAB≌△OCD的依据是（　　） A．SAS B．ASA C．SSS D．AAS 【答案】A 【详解】本题主要考查了全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 已知两边和夹角相等，利用可证两个三角形全等． 【分析】解：如图：在与中， ， ∴． 故选：A．    6．如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．如图，是的角平分线，，垂足为，，和的面积分别为48和37，则的面积为（   ） A．11 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，再利用“”证明和全等，和全等，然后根据全等三角形的面积相等列方程求解即可．本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于， 是的角平分线，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， 和的面积分别为48和37， ， ． 故选：B． 8．如图，在四边形中，是的平分线，且．若，则四边形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在线段AC上作AF=AB，证明△AEF≌△AEB可得∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB，再证明△CEF≌△CED可得CD=CF，即可求得四边形的周长． 【详解】解：在线段AC上作AF=AB， ∵AE是的平分线， ∴∠CAE=∠BAE， 又∵AE=AE， ∴△AEF≌△AEB（SAS）， ∴∠AFE=∠B，∠AEF=∠AEB， ∵AB∥CD， ∴∠D+∠B=180°， ∵∠AFE+∠CFE=180°， ∴∠D=∠CFE， ∵， ∴∠AEF+∠CEF=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠CEF=∠CED， 在△CEF和△CED中 ∵, ∴△CEF≌△CED（AAS） ∴CD=CF， ∴四边形的周长=AC+AB+BD+CD=AC+AF+CF+BD=2AC+BD=， 故选：B． 9．如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 10．如图，为等边的高，、分别为线段、上的动点，且，当取得最小值时，（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查全等三角形的性质和判定、等边三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，当取得最小值时确定点的位置．如图，作辅助线，构建全等三角形，证明，得，将转化为，与在同一个三角形中，根据两点之间线段最短，确定点的位置，即为与的交点时，的值最小，求出此时． 【详解】解：如图1，作，且，连接，连接， 是等边三角形，， ，， ， ，， ， ， ， ， ，， 当为与的交点时，如图2，的值最小， 此时，， ， 故选：B． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11．已知，，，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形对应角相等可得，然后利用三角形内角和定理计算出的度数，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ， ∴ ， ∴， 故答案为：． 12．如图，中，是的垂直平分线，，的周长为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，利用线段垂直平分线的性质可得，然后根据的周长为，可得． 【详解】解：∵是的垂直平分线，， ∴， ∵的周长为， ∴ ∴． 故选：． 13．一个三角形的三边长为6，8，x，另一个三角形的三边长为y，6，9，如果这两个三角形全等，则 ． 【答案】17 【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，直接利用全等三角形的性质得出，的值进而得出答案．正确得出，的值是解题关键． 【详解】解：一个三角形的三边长为6，8，x，另一个三角形的三边长为y，6，9，且这两个三角形全等， ，， ， 故答案为：17． 14．上午9时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北航行，12时到达海岛B处，从A、B望灯塔测得，，那么从海岛B到灯塔C的距离为 海里． 【答案】45 【分析】本题考查三角形外角的性质，等腰三角形的判定． 根据“路程＝速度×时间”可求得的长，又由，，可得，即可证得，则可得从海岛B到灯塔C的距离． 【详解】解：根据题意得：（海里）， ∵，， ∴， ∴， ∴海里， 即从海岛B到灯塔C的距离是45海里． 故答案为：45海里． 15．如图，已知中，，在所在平面内一条直线，使其中有一个边长为3的等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】4 【分析】此题主要考查了等腰三角形的判定等知识， 根据等腰三角形的性质分别利用AB为底以及AB为腰得出符合题意的图形即可． 【详解】如图所示，当时，都能得到符合题意的等腰三角形．    ∴这样的直线最多可画4条． 故答案为：4． 16．如图，D为内一点，平分，，垂足为D，交与点E，．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是根据平分，，证出，得到，即可． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 17．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点．，，垂足分别为，．则 ． 【答案】 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线与垂直平分线的性质问题； 连接，，证明推出，，证明，推出，可得结论． 解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， 是的垂直平分线， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 18．如图，中，，，，点以每秒1个单位的速度按的路径运动，点以每秒2个单位的速度按的路径运动，在运动过程中过点作于点，点作于点，两点同时出发，只要一个点到达终点两点即同时停止运动．设运动秒时，则的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、垂线的定义、一元一次方程的应用，分类讨论：①当点P在上，点Q在上，②当点P在上，点Q在上，③点P与Q重合在上，根据题意结合全等三角形的性质得出，再分别用t表示出和的长，列出等式，解出即可，熟练掌握全等三角形的判定与性质，并利用分类讨论的思想是解决问题的关键． 【详解】（1）当P点在上，点Q在上，如图1， 则，， ，， ∵， ∴    ， 即， 解得：， 即P点运动6秒； （2）当点P在上，点Q在上，如图2，    则，， ∵， ∴， 即， 解得， 此时不符合题意； （3）点P与Q重合在上，如图3，    则，， ∴， 即， 解得：， ∴综上可知：或， 故答案为：或． 三、解答题（本大题共8小题，共56分） 19．（本题6分）如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A，B，C均在格点上，且△ABC是格点三角形，按下列要求画图，并保留作图痕迹． (1)在图1中，画出与△ABC全等的格点△ABD；（找到一个即可） (2)在图2中，△ABC的面积为______，在网格内找出满足和△ABC面积相等的所有格点E；（点E不与已知的三个点重合） (3)在图3中，只用无刻度的直尺作出△ABC中边上的高． 【答案】(1)见解析(2)6，见解析(3)见解析 【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形面积公式，是解题的关键． （1）如图所示，取格点D，根据网格的特点可证明和全等； （2）利用网格的特点和三角形面积公式求出的面积，再根据平行线的性质，只需要满足点E在过点B且平行于的直线的格点上即可； （3）根据三角形全等，判定，即为所求 【详解】（1）如图，取格点D，连接，即为所求（答案不唯一）． （2）． 如图，，即为满足和面积相等的格点． （3）如图，取格点G，连接并延长交于点H，即为所求． 证明： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 20．（本题6分）已知：， 求证： (1) (2)． 【答案】(1)见详解；(2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理； （1）先证明，再利用即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，再结合平角的定义和三角形内角和定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵，， ∴． 21．（本题6分）如图，在△ABC中，点E是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为F，交于点D，连接． (1)若△ABC的周长为19，△DEC的周长为7，求的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)6(2) 【分析】（1）先证明，，结合的周长为19，的周长为7，可得，从而可得答案； （2）先求解，证明，再利用全等三角形的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵是线段的垂直平分线， ∴，， ∵的周长为19，的周长为7， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 22．（本题6分）如图，在△ABC中，是边上的高线，是边上的中线，与交于点F，点G为的中点，．   (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）连接，根据垂直的定义得到，等量代换得到，根据等腰三角形的性质得到结论． （2）根据余角的性质得到，求得，根据等腰三角形的性质得到，，设，根据三角形外角的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接，   是边上的高线， ， 是边上的中线， ， ， ， 点为的中点， ． （2）解：连接，   则， 点为的中点， ， ，， ，， 设，则，， ， ， ， ， ， ∵ ， ， ． 23．（本题6分）如图，已知线段，，用直尺和圆规按下列要求分别作一个等腰三角形（保留作图痕迹，写出必要的文字说明）． (1) △ABC的底边长为，底边上的中线为； (2) △ABC的底边长为，腰上的中线为． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，然后在直线上截取，则为所作． （2）先在射线截取，再作的垂直平分线，垂足为点，接着作的垂直平分线，然后以点为圆心，为半径画弧交直线于点，于是延长交直线于点，连接，则为所作． 本题考查了基本作图，熟练掌握常见基本作图是解题的关键． 【详解】（1）根据题意，作图如图1所示： 则为所作． （2）根据题意，作图如图2所示： 则为所作． 24．（本题8分）倍长中线法与作平行线是构造全等三角形常见的辅助线． (1)如图1，在中，，中线，求的取值范围．方法一：延长到E使，连接；方法二：过点C作的平行线交的延长线于E．请你从以上两种方法中选一种方法证明，并直接写出的取值范围； (2)如图2，在中，点B、D在上，，点D是的中点，若平分，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法以及能正确作出辅助线； （1）方法一中利用证明，则，再根据三角形的三边关系来确定取值范围即可； （2）先用证明，得出，再用证明，即可解答． 【详解】（1）解：选方法一来证明， 是的中线， 在和中 ， ， 在中， ， ， 即：， ， （2）解：延长到F使，连接，如图所示； 点D是的中点， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， 在和中， ， ， ． 25．（本题8分）如图，已知等腰△ABC中，，，，点B关于直线的对称点为点D，连接，连接交于点G，连接交于点E，交于点F． (1)如图1，当时， ①补全图形； ②探究与的数量关系，并说明理由； (2)在直线绕点A顺时针旋转的过程中，当为等腰三角形时，利用备用图直接求出α的值为______． 【答案】(1)①见解析，②，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①根据题意补全图形即可； ②连接，根据轴对称的性质可知垂直平分，，，，再由等边对等角的性质，得到，，然后证明为等边三角形，从而得出，最后利用三线合一的性质以及含30度角的直角三角形的特征，即可得出答案； （2）证明是等腰三角形，进而得出，然后根据等腰三角形的定义，分三种情况讨论，利用三角形内角和定理分别求解即可． 【详解】（1）解：①如图1，即为所求作； ②，理由如下： 如图1，连接， B、D关于对称，， 垂直平分， ，，， ，，， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ，平分， ， ， ； （2）解：如图2， 由题意可知，，，， 是等腰三角形， ， ， 当时，此时， ，即； 当时，此时，即； 当时，，即（舍）， 综上可知，α的值为或 故答案为：或． 26． （本题10分）如图，等边△ABC中，，P为边上一点，Q为直线上一点，连接，使得． (1)①如图1，探索与的数量关系并证明； ②如图1，求证：． (2)如图2，若将“等边△ABC”改为“等腰直角△ABC(AB=AC)”，其他条件不变，求证：． (3)如图3，若继续将“等腰直角△ABC”改为“等腰△ABC(AB=AC)”，其他条件不变，（2）中的结论是否正确？若正确，请你给出证明；若不正确，请你说明理由． 【答案】(1)①，过程见详解；②见详解 (2)见详解 (3)正确，证明见详解 【分析】（1）过点作，得到，进而得出；过点作，证明即可得到． （2）延长至点使，证明即可得到． （3）在上取一点使，证明即可得到． 本题考查了等边三角形，等腰三角形性质和判定，全等三角形的性质与判定，主要考查学生的推理能力，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）证明：，过程如下： ①如图1所示，过点作， 则， ， ， 又， ， 即 ②如图1所示，过点作， 则，，， ，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：延长至点使， ， ， ，， ， ， ， ， ，， ， ， 在和中， ∴ ． （3）解：正确，过程如下： 在上取一点使， 和均为等腰三角形， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ． 第2页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$