专题08数列的通项与求和（考点清单，知识导图+3考点清单+7题型解读）-2024-2025学年高二数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019选择性必修第一册）

专题08数列的通项与求和 【清单01】数列的递推公式 1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2、通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an 【清单02】数列通项公式的求法 1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法 （1）使用范围：若已知数列的前n项和与的关系，求数列{}的通项可用公式构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法：适用于，可变形为 要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 5、构造法：形如（其中均为常数且）型的递推式,常采用构造法 【清单03】数列求和的方法 1、公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2、分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和． 6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求. 【考点题型一】已知与的关系求通项 方法总结：已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 【例1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如果数列的前项和，那么的值为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【变式1-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【变式1-2】（22-23高二下·江苏镇江·期中）数列的前项和记为，若，则 . 【变式1-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若成立，求的最小值. 【变式1-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【考点题型二】累加法求通项 方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 【例2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：1、4、9、16，则该数列的第20项为（   ） A．399 B．400 C．401 D．402 【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则 ； . 【变式2-3】（21-22高二上·江苏苏州·期中）设数列的前n项和为，且满足，，则 . 【变式2-4】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，数列{bn}满足：，且， （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列{an}与{bn}的通项公式. 【考点题型三】累乘法求通项 方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 【例3】（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知在数列中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【变式3-2】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知，则数列的通项公式是 ． 【变式3-3】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）数列满足，，则 ． 【变式3-4】（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，则 ． 【考点题型四】构造法求通项 方法总结：形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． 【例4】（23-24高二下·广东·期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【变式4-1】（多选）（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【变式4-2】（多选）（20-21高二上·江苏泰州·期中）数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏·期中）已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则. B．若则 C．若，则数列是等比数列 D．若 ，则 【变式4-4】（23-24高二下·广东珠海·期中）已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 . 【考点题型五】裂项相消法求和 方法总结：1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例5】（23-24高二上·江苏苏州·期中）数列中，，，则（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 【变式5-1】（23-24高二下·江苏徐州·期中） 【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）若是公差不为0的等差数列，成等比数列，，为的前项和，则的值为 ． 【变式5-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【变式5-4】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【考点题型六】错位相减法求和 方法总结：1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【例6】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值． 【变式6-1】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列满足，（）.记 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-2】（22-23高二下·江苏南京·期中）正项数列的前和为，且 ． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式6-3】（22-23高二下·湖北·期中）已知正项数列满足且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，是否存在p、q使恒成立，若存在，求出p、q的值；若不存在，请说明理由. 【变式6-4】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知数列中，，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【考点题型七】分组并项求和 方法总结：并项求和法∶若一个数列的前n项中两两结合后可求和，则用并项求和法. 【例7】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列满足，，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）数列的前项和为，且 . 【变式7-2】（22-23高二上·江苏南通·期中）(1)求数列，，，…，，的前项和. (2)求数列，，，…，的前项和. 【变式7-3】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项的和. 【变式7-4】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08数列的通项与求和 【清单01】数列的递推公式 1、递推公式：如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式． 2、通项公式和递推公式的异同点 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号n的值，直接代入求出an 都可确定一个数列，也都可求出数列的任意一项 递推公式 可根据第一项(或前几项)的值，通过一次(或多次)赋值，逐项求出数列的项，直至求出所需的an，也可通过变形转化，直接求出an 【清单02】数列通项公式的求法 1、观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 2、公式法 （1）使用范围：若已知数列的前n项和与的关系，求数列{}的通项可用公式构造两式作差求解． （2）用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 3、累加法：适用于，可变形为 要点：利用恒等式an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)(n≥2，n∈N*)求解 4、累乘法：适用于an＋1＝f(n)an，可变形为＝f(n) 要点：利用恒等式an＝a1···…·(an≠0，n≥2，n∈N*)求解 5、构造法：形如（其中均为常数且）型的递推式,常采用构造法 【清单03】数列求和的方法 1、公式法 （1）等差数列的前n项和，推导方法：倒序相加法． （2）等比数列的前n项和，推导方法：乘公比，错位相减法． （3）一些常见的数列的前n项和： ①； ②； ③； ④ 2、分组转化法求和 （1）适用范围：某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论． （2）常见类型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列； ②通项公式为an＝的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列. 3、并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解． 例如，． 4、倒序相加法：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和公式即是用此法推导的． 5、裂项相消法求和：如果一个数列的通项为分式或根式的形式，且能拆成结构相同的两式之差，那么通过累加将一些正、负项相互抵消，只剩下有限的几项，从而求出该数列的前n项和． 6、错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用错位相减法来求. 【考点题型一】已知与的关系求通项 方法总结：已知Sn求an的三个步骤 （1）利用a1＝S1求出a1. （2）当n≥2时，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表达式． （3）看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；否则应写成分段的形式，即an＝ 根据所求结果的不同要求，将问题向两个不同的方向转化． （1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)转化为只含Sn，Sn－1的关系式，再求解． （2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为只含an，an－1的关系式，再求解． 【例1】（23-24高二下·江苏盐城·期中）如果数列的前项和，那么的值为（    ） A．23 B．24 C．25 D．26 【答案】C 【分析】根据题意，结合，准确计算，即可求解. 【详解】由数列的前项和， 可得. 故选：C. 【变式1-1】（23-24高二上·江苏泰州·期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案. 【详解】当时，. 当时， . 因为， 所以，. 故答案为：. 【变式1-2】（22-23高二下·江苏镇江·期中）数列的前项和记为，若，则 . 【答案】 【分析】根据的关系即可求解. 【详解】解：当时，有， 但当时，不适合上式， 故. 故答案为:. 【变式1-3】（23-24高二上·江苏盐城·期中）记为数列的前项和，为数列的前项和，若且. (1)证明：数列是等比数列； (2)若成立，求的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】（1）利用得出关于的递推关系，从而根据等比数列的定义得证； （2）由分组求和法求得后，解不等式得结论． 【详解】（1）由可得，即， 即，而， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）知，即 ， 由可得，整理可得，解得， 因为，所以的最小值为5． 【变式1-4】（23-24高二上·江苏·期中）已知数列的前n项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)若数列满足：，求数列的最大项． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据求出通项公式； （2）求出，当时，计算出，，当时，，从而得到数列的最大项. 【详解】（1）中，令得， 当时，， 其中， 故 （2）当时，， 当时，， 则， 当时，， 当时，，，故， 故时，的最大项为， 又，故数列的最大项为. 【考点题型二】累加法求通项 方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 【例2】（22-23高二下·江苏盐城·期中）南宋数学家杨辉的重要著作《详解九章算法》中的“垛积术”问题介绍了高阶等差数列.以高阶等差数列中的二阶等差数列为例，其特点是从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列.若某个二阶等差数列的前4项为：1、4、9、16，则该数列的第20项为（   ） A．399 B．400 C．401 D．402 【答案】B 【分析】由从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列，列出后一项与前一项的差，再由累加法即可求得通项公式，即可求得该数列的第20项. 【详解】若某个二阶等差数列的前4项为：， 即， 可知，，， 累加即可得到， 则，则 故选：B. 【变式2-1】（22-23高二上·江苏南通·期中）等比数列满足，，数列满足，时，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由等比数列的性质与累加法求解， 【详解】根据题意得，，解得，故， 时，， 故 ． 故选：A 【变式2-2】（22-23高二上·江苏扬州·期中）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状，把数分成许多类，如图，第一行图形中黑色小点个数：1，3，6，10，…称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：1，4，9，16，…称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则 ； . 【答案】 55 【分析】依题意可得，利用累计法求出，即可求出，根据正方形数可知，即可得到当时，，利用裂项相消法求和即可. 【详解】根据三角形数可知，，则，，…，， 累加得， 所以，经检验也满足上式， 故，则； 根据正方形数可知， 当时，， 则 . 故答案为：； 【变式2-3】（21-22高二上·江苏苏州·期中）设数列的前n项和为，且满足，，则 . 【答案】46 【分析】利用累加法求得数列的通项公式，将代入，即可求得. 【详解】由，则，，，， 以上各式相加，得，故， ∴. 故答案为：46. 【变式2-4】（20-21高二上·江苏扬州·期中）已知数列{an}的前n项和为Sn，且，，数列{bn}满足：，且， （1）求证：数列是等比数列； （2）求数列{an}与{bn}的通项公式. 【答案】（1）证明见解析；（2），． 【解析】（1）利用等比数列的定义证明； （2）利用求，由累加法求． 【详解】（1）因为，所以，又， 所以，，所以数列是等比数列； （2）时，， 又适合上式， 所以， 由（1）， 所以，时， ．又，所以． 【点睛】易错点睛：本题考查等比数列的证明，考查由求，累加法求数列的通项公式．在由求时要注意公式中，而，求法不相同，易出错，同样在用累加法求通项公式时，，括号中的各项成等比数列，这里不包含．要特别注意首项． 【考点题型三】累乘法求通项 方法总结：形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 【例3】（20-21高二上·江苏苏州·期中）已知在数列中，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由累乘法可求得，即可求出. 【详解】，即， ， . 故选：C. 【变式3-1】（23-24高二下·海南海口·期中）已知数列的前项和为且满足，则数列的通项公式为 ． 【答案】 【分析】当时，，化简得，利用累乘法计算得到，满足上式，写成分段的形式即可. 【详解】当时，， 化简得，，利用累乘法得 ， 显然满足上式， 所以 故答案为： 【变式3-2】（22-23高二上·福建宁德·期中）已知，则数列的通项公式是 ． 【答案】 【分析】由已知递推式可得，然后利用累乘法可求得结果. 【详解】由，得， 所以， 所以，，，……，（）， 所以， 所以，因为，所以， 因为也满足上式， 所以， 故答案为： 【变式3-3】（22-23高二上·黑龙江哈尔滨·期中）数列满足，，则 ． 【答案】 【分析】利用累乘法求得正确答案. 【详解】 ， 也符合上式， 所以. 故答案为： 【变式3-4】（22-23高二上·福建莆田·期中）已知数列满足，则 ． 【答案】 【分析】当时，由可得，两式作差变形可得，利用累乘法可求得数列的通项公式 【详解】将代入可得，解得， 由可得， 两式相减得即， 所以， 也满足，故对任意的，， 故答案为： 【考点题型四】构造法求通项 方法总结：形如（为常数，且）的递推式，可构造，转化为等比数列求解．也可以与类比式作差，由，构造为等比数列，然后利用叠加法求通项． 【例4】（23-24高二下·广东·期中）已知数列的前项和为，，且（且），若，则（    ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】A 【分析】根据给定的递推关系，结合变形，再构造常数列求出，然后代入计算即可. 【详解】当时，，则， 于是，即有， 因此数列是常数列，，即， 由，得，而，所以. 故选：A 【变式4-1】（多选）（23-24高二下·广东·期中）已知数列的首项，前n项和为，且，则（    ） A． B．是递增数列 C．是等差数列 D． 【答案】ABD 【分析】分析可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列，结合等比数列可得，进而逐项分析判断. 【详解】因为，则， 且，可知数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 则，即. 对于选项A：，故A正确； 对于选项B：因为，所以是递增数列，故B正确； 对于选项C：因为数列是以首项为4，公比为4的等比数列， 所以不是等差数列，故C错误； 对于选项D：，故D正确； 故选：ABD. 【变式4-2】（多选）（20-21高二上·江苏泰州·期中）数列是首项为1的正项数列，，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D． 【答案】AB 【解析】由已知构造出数列是等比数列，可求出数列的通项公式以及前项和，结合选项逐一判断即可． 【详解】，∴，∴数列是等比数列 又∵，∴，∴，∴， ∴. 故选：AB. 【变式4-3】（多选）（20-21高二上·江苏·期中）已知数列，下列结论正确的有（    ） A．若，，则. B．若则 C．若，则数列是等比数列 D．若 ，则 【答案】AB 【解析】直接利用叠加法可判断选项A，从而判断，利用构造新数列可求出B,D中数列的通项公式，可判断，选项C求出数列的前3项从而可判断. 【详解】选项A.   由，即 则 故A 正确. 选项B. 由得 所以数列是以为首项，3为公比的等比数列. 则，即，所以，故B正确. 选项C. 由，可得当时， 当时，得， 当时，得， 显然，所以数列不是等比数列，故C错误. 选项D.  由，可得 所以数列是以1为首项，为公差的等差数列. 所以，则，即，故D错误. 故选：AB 【点睛】关键点睛：本题考查利用递推关系求数列的通项公式，解答的关键是掌握求数列通项公式的常见方法，由叠加法可得，利用构造新数列 解决问题，属于中档题. 【变式4-4】（23-24高二下·广东珠海·期中）已知数列，其中，满足，设为数列的前n项和，当不等式成立时，正整数n的最小值为 . 【答案】9 【分析】利用递推关系式得，由此可证得是等比数列；由等比数列通项公式推导可得，进而可求得的表达式，代入解不等式即可求解. 【详解】因为由得：， 又，所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以，所以. 所以， 所以等价， 由知，满足正整数n的最小值为9. 故答案为：9. 【点睛】方法点睛：求数列的通项公式有以下方法： （1）观察法，（2）等差、等比公式法，（3）由与关系求解，（4）累加法，（5）累乘法，（6）构造等比数列，（7）构造等差数列. 【考点题型五】裂项相消法求和 方法总结：1、用裂项法求和的裂项原则及规律 （1）裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止． （2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项． 2、裂项相消法中常见的裂项技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 【例5】（23-24高二上·江苏苏州·期中）数列中，，，则（    ） A．77 B．78 C．79 D．80 【答案】D 【分析】 利用裂项求和法求得正确答案. 【详解】依题意，， 所以， 由，解得. 故选：D 【变式5-1】（23-24高二下·江苏徐州·期中） 【答案】 【分析】由，借助裂项相消法计算即可得. 【详解】由，且， 则原式. 故答案为：. 【变式5-2】（23-24高二上·安徽马鞍山·期中）若是公差不为0的等差数列，成等比数列，，为的前项和，则的值为 ． 【答案】 【分析】由等差数列中成等比数列，解出公差为，得到，求出，裂项相消求的值. 【详解】设等差数列公差为，成等比数列，由， 则，即， 由，得，所以， 则有，得， 所以. 故答案为： 【变式5-3】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前10项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意列出方程组求出首项、公差即可； （2）化简表达式，由裂项相消法即可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为．因为，且， 所以， 解得，所以． （2）由（1）得，所以， 所以 ， 所以． 【变式5-4】（22-23高二上·江苏镇江·期中）已知数列的前项和为，满足． (1)求数列的通项公式； (2)记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由得出的递推关系，结合得等比数列，从而得通项公式； （2）利用裂项相消法求得和，不等式可变形为，令，利用作差法得出的单调性，得最大项，从而得的取值范围． 【详解】（1）因为数列的前n项和满足， 当时，， 两式相减得：，即， 当时，，解得：， 可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以. （2）由（1）可知：， 所以 ， 对任意的，不等式都成立，即， 化简得：， 设， 因为， 所以单调递减，则，所以， 所以实数k的取值范围是． 【考点题型六】错位相减法求和 方法总结：1、解题步骤 2、注意解题“3关键” ①要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形． ②在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式． ③在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解． 3、等差乘等比数列求和，令，可以用错位相减法． ① ② 得：． 整理得：． 【例6】（23-24高二上·江苏苏州·期中）已知数列为等差数列，，公差，数列为等比数列，且，，． (1)求数列、的通项公式； (2)设，数列的前n项和为，求满足的n的最小值． 【答案】(1)；或 (2)13 【分析】（1）根据等比中项，结合等差数列与等比数列基本量的计算即可求解； （2）利用错位相减法可得，进而根据数列的单调性即可求解不等式. 【详解】（1）， 又， ，故，解得或 (舍去)； ， ， ，又， 或. （2）由（1）知， 所以， ， 错位相减得： 由，可得 令， 令，得， 故当且时，；当且时，；当时，， 又，而 故，满足 所以满足的的最小值为13. 【变式6-1】（22-23高二下·江苏南京·期中）已知数列满足，（）.记 (1)求证：是等比数列； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由等比数列定义证明即可； （2）使用错位相减法求和即可. 【详解】（1）由已知，∵，∴， ∵， ∴， 又∵，∴， ∴易知数列中任意一项不为，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2）由第（1）问，，∴， ∴设数列的前项和为，则 ①， ①得， ②， ①②得， ， ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 【变式6-2】（22-23高二下·江苏南京·期中）正项数列的前和为，且 ． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由证明是等差数列，可求通项； （2）由错位相减法求的通项，再用分组求和求数列的前项和. 【详解】（1）正项数列，当时，由，解得， 由，所以， 所以，即， ， 数列是正项数列，所以， 所以数列是首项为1，公差为1的正项等差数列， 所以. （2）由， 所以， ， ， 上面两式相减，得， ，即， 所以， . 【变式6-3】（22-23高二下·湖北·期中）已知正项数列满足且. (1)求的通项公式； (2)设数列的前n项和为，是否存在p、q使恒成立，若存在，求出p、q的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由已知条件可得，从而，即，然后利用等差数列的通项公式求解即可； （2）利用错位相减法求出，根据题中条件得出满足的条件，求得答案. 【详解】（1）， ， 为正项数列，，即， 是以为首项，以1为公差的等差数列， . （2）， ， ， ， ， ， 又恒成立， ，解得：， 存在满足条件. 【变式6-4】（22-23高二上·江苏连云港·期中）已知数列中，，且对任意，都有． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)构造等比数列求通项；(2)利用错位相减法求和. 【详解】（1）由得，， 所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以，所以. （2）由（1）得， 因为， 所以， ， 以上两式相减得， 所以. 【考点题型七】分组并项求和 方法总结：并项求和法∶若一个数列的前n项中两两结合后可求和，则用并项求和法. 【例7】（多选）（22-23高二上·江苏苏州·期中）数列满足，，为数列的前项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意求得，得到的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，即可求出的通项公式，即可判断A；求得为奇数和为偶数时，数列的通项公式，可判定B正确；根据为奇数和偶数，求得，可判定C正确；结合时，可判定D错误. 【详解】由题意，数列满足， 所以， 可得， 因为，可得，所以， 所以的奇数项和偶数项分别构成公比为的等比数列，且首项分别为，， 即是以为首项，为公比的等比数列，所以，故A正确； 当时，，，所以， 当时，，，所以， 所以，故B正确； 对于C中，当时， ， 当时，， 所以恒成立，即C正确； 对于D中，当时，可得，，此时，所以D错误. 故选：ABC. 【变式7-1】（22-23高二上·江苏淮安·期中）数列的前项和为，且 . 【答案】 【分析】根据给定的通项公式，利用并项求和法计算作答. 【详解】数列中，，则， 所以. 故答案为： 【变式7-2】（22-23高二上·江苏南通·期中）(1)求数列，，，…，，的前项和. (2)求数列，，，…，的前项和. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）分组求和，分别求出等差数列与等比数列的和，即可得出； （2）化简通项，然后分组求和即可得出结果. 【详解】（1）解： . （2）因为， 所以 . 【变式7-3】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知等差数列满足，，数列是单调递增的等比数列且满足，. (1)求数列和的通项公式； (2)记，求数列的前项的和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）计算等差数列和等比数列的基本量即可写出通项公式. （2）根据题意利用分组转化即可进行求和. 【详解】（1）由已知， 设数列首项为，公差为 ， 解得：， 所以 因为，， 数列是单调递增的等比数列， 设数列首项为，公比为，所以 解得：， ，所以 所以 （2）由已知 所以 【变式7-4】（22-23高二上·江苏苏州·期中）已知正项数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由，可得，令，利用构造法求出数列的通项公式，从而可求得的通项公式； （2）分且为偶数和且为奇数两种情况讨论，结合并项求和和奇偶分析法，通过放缩即可得出结论. 【详解】（1）解：由，得， 即，令，有， ， 又，故，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以， 所以有，即； （2）证明因为，，， 当且为偶数时，， 化简得， 所以， 当且为奇数时，则且为偶数， 由上述证明可知， 又因为， 所以， 综上. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司25 学科网（北京）股份有限公司 $$