专题05相似三角形（考题猜想，易错必刷47题15种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题05相似三角形（考题猜想易错必刷47题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 比例线段 · 黄金分割 · 由平行线截得的线段 · 相似三角形的证明 · 相似三角形的性质求解 · 相似三角形的动点问题 · 相似三角形的应用 · 相似多边形 · 位似图形的识别 · 位似图形的性质 · 位似图形的对应坐标 · 位似图形的作图 · 相似三角形与四边形综合 · 相似三角形与二次函数综合 一．比例的性质（共3小题） 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则 ． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则 ． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 二、比例线段（共3小题） 4．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（    ）． A． B． C． D． 5．（23-24九年级上·四川雅安·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 6．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 三、黄金分割（共3小题） 7．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 8．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是　　 A． B． C． D． 四、由平行线截得的线段（共3小题） 10．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 五、相似三角形的证明（共3小题） 13．（13-14九年级上·全国·课后作业）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 六、相似三角形的性质求解（共3小题） 16．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在的边上，若，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，若，，求的长． 18．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，，求的长． 七、相似三角形的动点问题（共3小题） 19．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 20．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在锐角三角形中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（    ）    A．s或3s B．3s C．s D．s或3s 21．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（   ） A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3.4 八、相似三角形的应用（共5小题） 22．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：丈尺，尺寸)，则竹竿的长为(    ) A．四丈 B．五丈 C．四丈五尺 D．五丈四尺 23．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 24．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．    26．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 九、相似多边形（共3小题） 27．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 28．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 29．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 十、位似图形的识别（共3小题） 30．（18-19九年级下·全国·课后作业）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 31．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 32．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 十一、位似图形的性质（共3小题） 33．（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 34．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 35．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且，则与的比值为（    ）    A． B． C． D． 十二、位似图形的对应坐标（共3小题） 36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 37．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    38．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 十三、位似图形的作图（共3小题） 39．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 40．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位）． (1)画出向下平移个单位得到； (2)以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，并写出点的坐标及的面积． 41．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为 ． 十四、相似三角形与四边形综合（共3小题） 42．（21-22九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 43．（20-21八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中， ， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 44．（2021·山西阳泉·一模）综合与实践 【问题背景】 如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______． （2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长； 【拓展探究】 （3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 十五、相似三角形与二次函数综合（共3小题） 45．（2021·河南·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点，已知． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）若为第一象限抛物线上的一个动点，为轴上的一点，过点作轴，若与以点、、为顶点的三角形相似，求动点的坐标． 46．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 47．（2021·山东聊城·一模）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，以点为顶点的抛物线解析式为． （1）求一次函数的解析式； （2）如图2，将抛物线的顶点沿线段平移，此时抛物线顶点记为，与轴交点记为，当点的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及点的坐标； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． $$专题05相似三角形（考题猜想易错必刷47题15种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 比例的性质 · 比例线段 · 黄金分割 · 由平行线截得的线段 · 相似三角形的证明 · 相似三角形的性质求解 · 相似三角形的动点问题 · 相似三角形的应用 · 相似多边形 · 位似图形的识别 · 位似图形的性质 · 位似图形的对应坐标 · 位似图形的作图 · 相似三角形与四边形综合 · 相似三角形与二次函数综合 一．比例的性质（共3小题） 1．（23-24九年级上·湖南衡阳·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的基本性质（内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等）是解决问题的关键．设，则，，，然后把，，代入代数式中进行分式的化简运算即可． 【详解】解：设，则，，， ∴． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）已知，则 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了比例的性质，根据已知条件得到，再把代入所求式子中求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 3．（22-23八年级上·全国·单元测试）已知：． (1)求代数式式的值； (2)如果，求a，b，c的值． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查了比例的性质，分式的求值，解一元一次方程，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键． （1）设，代入化简即可； （2）设，代入求出k的值，进而可求出a，b，c的值． 【详解】（1）∵， ∴设，代入，得 ； （2）∵， ∴设，代入，得 ， 解得， ∴． 二、比例线段（共3小题） 4．（24-25九年级上·重庆南岸·开学考试）若a、b、c、d是成比例线段，其中，，，求线段d的长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了比例线段：对于四条线段、、、，如果其中两条线段的比（即它们的长度比）与另两条线段的比相等，如（即，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段．利用比例线段的定理得到，然后利用比例的性质求即可． 【详解】解：根据题意得，即， 所以． 故选：． 5．（23-24九年级上·四川雅安·期末）下列四组线段中，是成比例线段的一组是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】C 【分析】本题考查线段成比例的知识，解题的关键是只要计算最大最小数的积以及中间两个数的积，判断是否相等即可，相等即成比例，不相等不成比例． 根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两条相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，不成比例，不符合题意； B、，不成比例，不符合题意； C、，成比例，符合题意； D、，不成比例，不符合题意． 故选：C． 6．（2024·湖南·模拟预测）点将线段分为两部分，使得其中较长线段是全长线段与较短线段的比例中项，即满足，则把称为线段的“黄金分割”点．已知是线段的黄金分割点，的长介于整数和之间，则的值是(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查黄金分割点及黄金分割比，涉及无理数的估算，理解题意，根据黄金分割点及分割比的定义列式求出，再由无理数的估算即可得到答案，理解题意，准确列式求出是解决问题的关键． 【详解】解： 是线段的黄金分割点， 如图所示： ， ， ， ， ，则， 故选：B． 三、黄金分割（共3小题） 7．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（　　） A． B． C． D．以上都不对 【答案】A 【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可． 本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得设他至少走x米，则较长线段长为， 则， 故选A． 8．（23-24九年级下·浙江温州·开学考试）摄影中有一种拍摄手法叫黄金构图法，原理如下：如图，在正方形的边上取中点，以点为圆心，线段长为半径作圆，交的延长线于点，过点作，交的延长线于点，得到矩形．根据黄金分割的意义：矩形满足，若，则的长是　　 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，正方形的性质，矩形的性质，依据题意，设，根据正方形的性质可得，然后根据黄金分割的意义可得，从而可得，最后进行计算即可解答．熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 【详解】解：设， 四边形是正方形， ． 由题意，根据黄金分割的意义：矩形满足， ． ． ． 经检验：是原方程的根， ．， 故选：C． 9．（2024·江苏扬州·三模）已知线段，，则a，b的比例中项线段等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比例中项，根据比例中项的定义直接列式求值即可得出答案． 【详解】解：设a，b的比例中项线段为， ∵线段，， ∴， ∴（负值舍去）， ∴a，b的比例中项线段等于， 故答案为：． 四、由平行线截得的线段（共3小题） 10．（2024九年级上·河北·专题练习）如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理，熟练运用平行线分线段成比例定理是解题的关键． 【详解】解：， ，，，； 选项A、C、D正确，不符合题意；选项B错误，不符合题意． 故选：B． 11．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．根据平行线分线段成比例定理进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项正确，符合题意； D、∵， ∴，选项错误，不符合题意； 故选：C． 12．（24-25九年级上·上海·阶段练习）如图，若，，，，则长为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例得出，再代入数值计算即可． 【详解】∵， ∴． ∵， ∴， 解得． 故答案为：2． 五、相似三角形的证明（共3小题） 13．（13-14九年级上·全国·课后作业）如图，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，熟记定理的内容是解题关键．根据相似三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故A不符合题意； B．∵，， ∴根据两角分别对应相等的两个三角形相似，可得； 故B不符合题意； C．若， ∵的对应边为，的对应边为， ∴不能推出； 故C符合题意； D．∵， ∴， ∵， ∴根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得； 故D不符合题意； 故选：C． 14．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 15．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，与交于点，，且交于，交于，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，三角形内角和定理，先由平角的定义和三角形内角和定理证明，再根据有两个角对应相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】证明：∵，，， ∴， ∴． 六、相似三角形的性质求解（共3小题） 16．（24-25九年级上·河南南阳·阶段练习）如图，点在的边上，若，下列结论不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形对应角相等，对应边成比例逐项判断，即可解题． 【详解】解：， ，故A选项正确，不符合题意； ，故    B选项正确，不符合题意； ，故C选项错误，符合题意； ，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． 17．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，，若，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟记相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质得出比例式代入数据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，或（舍去）， 答：的长为． 18．（24-25九年级上·山东菏泽·期中）如图，已知，，求的长． 【答案】9 【分析】题主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质列出比例式是关键．根据相似三角形的性质，列出比例式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：． 七、相似三角形的动点问题（共3小题） 19．（23-24九年级上·河南洛阳·期中）如图，在中，，，点P从点B出发以1个单位的速度向点A运动，同时点Q从点C出发以2个单位的速度向点B运动．当以B，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间为（   ）    A． B． C．或 D．以上均不对 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质，正确分四种情况讨论是解题关键．设运动时间为，先分别求出，，，再分四种情况：①，②，③，④，利用相似三角形的性质分别建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设运动时间为， 由题意得：，， ， ，点从点运动到点所需时间为，点从点运动到点所需时间为， ， ， ， ①当时， 则，即， 解得，符合题意； ②当时， 则，即， 解得，符合题意； ③当时， 则，即， 解得，符合题意； ④当时， 则，即， 解得，符合题意； 综上，运动时间为或， 故选：C． 20．（23-24九年级上·河北石家庄·期中）如图，在锐角三角形中， ， ，动点D从点A出发到点B停止，动点E从点C出发到点A停止，点D运动的速度为，点E运动的速度为，如果两点同时开始运动，那么以点A，D，E为顶点的三角形与相似时的运动时间为（    ）    A．s或3s B．3s C．s D．s或3s 【答案】D 【分析】本题考查了三角形相似的判定及性质，根据对应角不同进行分类讨论：①当时，②当时，即可求解；能根据由于没有明确相似的对应顶点，而进行分类讨论是解题关键． 【详解】解：设经过 后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似， ，， 由图得：， ①当时， ， ， ， 解得：； ②当时， ， ， ， 解得：； 经过 或 后，以点A，D，E为顶点的三角形与相似． 故选：D． 21．（22-23九年级上·甘肃兰州·期中）如图，中，，，，D为的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接，当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为（   ） A．2或3.4 B．3.5或3.2 C．2或3.5 D．3.2或3.4 【答案】C 【分析】求出cm，分两种情况：①当时，得出cm，即可得出s；②当时，证出，得出因此cm，得出cm，s；即可得出结果． 【详解】解： cm， 分两种情况： ①时， ， ∵D为的中点， ∴cm， ∵E为的中点， cm， ∴s； ②时， cm， ∴cm， ∴s； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，或3.5， 故选C． 【点评】本题考查了相似三角形的判定、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 八、相似三角形的应用（共5小题） 22．（2024九年级下·河南驻马店·学业考试）《孙子算经》是中国古代经典的数学著作，其中有首歌谣，今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？其大意是：有一根竹竿不知道有多长，直立后量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时直立一根一尺五寸的小标杆(如图所示)，它的影长五寸(提示：丈尺，尺寸)，则竹竿的长为(    ) A．四丈 B．五丈 C．四丈五尺 D．五丈四尺 【答案】C 【分析】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 【详解】解：解：设竹竿的长度为x尺， ∵竹竿的影长一丈五尺尺，标杆长一尺五寸尺，标杆影长五寸尺， ∴， 解得，45尺四丈五尺．即竹竿的长为四丈五尺， 故选C． 23．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图为步枪在瞄准时的示意图，，从眼睛O到准星的距离为，眼睛到目标F的距离为，步枪上准星宽度为，若射击时，由于抖动导致视线偏离了准星上E点，则目标偏离的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 由题意可知目标偏离的距离为或，且，根据，得出，得出，即，求出，继而求出即可． 【详解】解：依题意得：由题意可知目标偏离的距离为或，且 ，， ∵， ∴， ∴，即， ∴． ∴ 故选：A． 24．（2024·浙江宁波·模拟预测）如图是一个常见的铁夹的剖面图，，表示铁夹的剖面的两条边，点是转动轴的位置，，垂足为，，，，且铁夹的剖面图是轴对称图形，则，两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，连接，延长交于，由勾股定理得出，根据轴对称的性质得出，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，延长交于， ， 在中，， ∵铁夹的剖面图是轴对称图形， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴， 故选：A． 25．（24-25九年级上·陕西西安·开学考试）西安世博园是一个融合了古今中外园林艺术的美丽地方，让人流连忘返，它占地面积很大，拥有众多主题园区，每个园区都有独特的景观和特色．在阳光明媚的一天，小滨和小美去世园会游玩，想利用所学知识测量一棵银杏树的高度(银杏树四周被围起来了，底部不易到达)、小滨提议用平面镜和阳光下的影子来测量银杏树的高，方法如下：首先，小滨在某一时刻测得站立在E处的小美的影长，在同一时刻测量银杏树的影长时，因树靠近墙面，影子有一部分落在墙上，他测得落在墙上的影长；然后，小滨在小美和墙面之间的直线上平放一平面镜，这个平面镜在直线上的点M处，镜子不动，小滨来回走动，走到点N时，恰好在镜面中看到银杏树顶端A的像，这时测得小滨的眼睛距地面的距离 ，，，如图，已知点G、B、N均在直线上，，，，，小美的身高，其中，测量时所使用的平面镜的大小和厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出银杏树的高．    【答案】樱花树的高约为． 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理与性质，通过作辅助线，构造相似三角形求出与的等式关系是解题关键． 如图，过点D作于点P，先根据相似三角形的判定定理得出，从而可得，再根据相似三角形的判定定理得出，最后根据相似三角形的性质即可得出答案． 【详解】如图，过点D作于点P    由题意可得， ∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ， ∴ ∴，即 ∴ ∴樱花树的高约为． 26．（18-19九年级上·全国·单元测试）如图，路灯（P点）距地面8米，小明在距路灯的底部（O点）20米的A点时，测得此时他的影长为5米．    (1)求小明的身高； (2)小明沿所在的直线行走14米到B点时，身影的长度是变长了还是变短了？变长或变短了多少米？ 【答案】(1)米 (2)变短了，变短了米 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． （1）通过证明，得出，即可解答； （2）通过证明，得出，求出，即可解答． 【详解】（1）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即 解得，． 即小明的身高为米． （2）解：∵米，米， ∴米， ∵，， ∴， ∴，即， 解得，， ∴（米）， ∴小明的身影变短了，变短了米． 九、相似多边形（共3小题） 27．（2024九年级下·江苏·专题练习）下列图形中不一定是相似图形的是（　　） A．两个正方形 B．两个等边三角形 C．两个等腰直角三角形 D．两个矩形 【答案】D 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，利用边对应成比例，角对应相等的两个多边形相似逐一判断即可. 【详解】解：A、两个正方形的形状相同，是相似图形，故选项A不符合题意； B、两个等边三角形形状相同，是相似图形，故选项B不符合题意； C、两个等腰直角三角形形状相同，是相似图形，故选项C不符合题意； D、两个矩形的对应边不一定成比例，不一定是相似图形，故选项D符合题意； 故选：D． 28．（2023·上海虹口·一模）如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又 ， 四边形四边形． 故选：D． 29．（23-24八年级上·陕西西安·阶段练习）下列说法中错误的是（    ） A．相似多边形的对应边成比例 B．相似多边形的对应角相等 C．相似多边形的边数相同 D．对应边成比例的两个多边形一定是相似多边形 【答案】D 【分析】此题考查了多边形的性质及判定，根据相似多边形的性质及定义解答，熟练掌握相似多边形的定义和性质是解题的关键． 【详解】、 相似多边形的对应边成比例，此选项说法正确，不符合题意； 、 相似多边形的对应角相等，此选项说法正确，不符合题意； 、相似多边形的边数相同，此选项说法正确，不符合题意； 、 对应边成比例，且对应角相等的两个多边形是相似多边形，此选项说法错误，符合题意； 故选：． 十、位似图形的识别（共3小题） 30．（18-19九年级下·全国·课后作业）已知：，下列图形中，与不存在位似关系的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，进而判断得出答案． 【详解】解：A、与是位似关系，故此选项不合题意； B、与是位似关系，故此选项不合题意； C、与是位似关系，故此选项不合题意； D、与对应边和不平行，故不存在位似关系，故此选项符合题意； 故选：D． 31．（21-22九年级上·安徽阜阳·阶段练习）下面四个图中，均与相似，且对应点交于一点；则与成位似图形有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了位似的定义，如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线所在的直线相交于一点，对应边互相平行，像这样的两个图形叫做位似图形，根据位似的定义判断即可得出答案． 【详解】解：根据位似图形的定义可知，图1，图2，图4中的与成位似图形， 图3中、不平行，即与不成位似图形， 故选；C． 32．（2024·山西大同·一模）下列选项中的两个相似图形，不是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，掌握两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形是解题的关键．根据位似图形的定义解答即可． 【详解】解：根据位似图图形的定义可知选项A、B、D中的两个图形都是位似图形，C中的两个图形不是位似图形， 故选：C． 十一、位似图形的性质（共3小题） 33．（23-24九年级下·重庆北碚·开学考试）如图，已知和是以点为位似中心的位似图形，的面积为，的周长与的周长比是，则的面积等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的概念得到，再根据相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方计算即可．本题考查的是位似变换、相似三角形的性质，相似三角形的周长的比等于相似比、相似三角形的面积的比等于相似比的平方． 【详解】解：∵和是以点为位似中心的位似图形， ， 的周长与的周长比是， 与的相似比是， 的面积与的面积比是， 的面积为， 的面积等于， 故选：B． 34．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，与位似，点为位似中心，若的周长等于周长的．，则的长度为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质，由位似的性质得出，结合的周长等于周长的，得出相似比为，计算即可得出答案． 【详解】解： 与位似， ∴， ∵的周长等于周长的， ∴相似比为， ∵， ， 故选：C． 35．（22-23九年级下·重庆南岸·阶段练习）如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且，则与的比值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，根据位似变换的概念得到，得到，根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】四边形与四边形位似， ∴，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 故选：D． 十二、位似图形的对应坐标（共3小题） 36．（24-25九年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在四边形中，，．先将四边形以点为中心，按顺时针方向旋转，依次旋转7次，再将得到的图案以点为位似中心，按照的比例缩小，就得到了一个漂亮的花朵图案．现以为原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，则图中点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了位似变换、等腰直角三角形的判定和性质、图形和坐标等知识．过点C作轴于点D，则，得到点C的坐标为，根据以点为位似中心，按照的比例缩小，即可得到答案． 【详解】解：如图，过点C作轴于点D， 在中，，， ∴， ∴点C的坐标为， ∵以点为位似中心，按照的比例缩小， ∴点的坐标为， 故选：A 37．（24-25九年级上·福建莆田·开学考试）如图，，，以为位似中心，按比例尺把缩小，则点对应点的坐标为 ．    【答案】或 【分析】此题考查了位似变换及坐标与图形性质的知识，关于原点成位似的两个图形，掌握相关知识是解题的关键．根据若位似比是，则原图形上的点，经过位似变化得到的对应点的坐标是或，即可求解． 【详解】解：按比例尺把缩小，， 点的对应点的坐标是或，即或， 故答案：或． 38．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中与位似，且原点为位似中心，其位似比，若点，则其对应点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似图形的对应坐标．由于位似的两个图形在原点的两旁，则B点的两个坐标分别乘即得的坐标． 【详解】解：由题意得：点，则其对应点的坐标为． 故答案为：． 十三、位似图形的作图（共3小题） 39．（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的网格图中，已知和点， (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为2； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)见解析； (2)，，． 【分析】本题考查了位似图形的性质和位似比、画位似图形，掌握理解位似图形的性质和位似比是解题关键． （1）延长到使，则点为A的对应点，同样方法作出B、C的对应点、，从而得到； （2）利用（1）所画图形可得到的各顶点坐标． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）解：由（1）作图可得，，，． 40．（23-24九年级上·湖南郴州·期中）已知：在平面直角坐标系内，三个顶点的坐标分别为，，．（正方形网格中，每个小正方形的边长是个单位）． (1)画出向下平移个单位得到； (2)以点为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比为，并写出点的坐标及的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析，， 【分析】（1）根据平移的性质，将向下平移个单位长度得到的； （2）根据位似的性质，延长，至，使得，连接，则即为所求，，根据矩形面积减去3个三角形的面积即可求解， 本题考查了平移作图，作位似图形，坐标与图形，掌握平移的性质与位似的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求， （2）解：如图所示，即为所求， ， ． 41．（23-24八年级下·全国·期末）在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)画出关于轴对称的． (2)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使与的相似比为 ． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析． 【分析】（）找出点关于轴的对称点，依此连接三点即可得出图形； （）连接并延长到，使得，同样做法找出点，依此连接三点即可得出图形； 本题考查了作图中的轴对称变换，位似变换，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，找出点关于轴的对称点，依此连接三点，    ∴即为所求； （2）如图，连接并延长到，使得，同样做法找出点，依此连接三点，    ∴即为所求． 十四、相似三角形与四边形综合（共3小题） 42．（21-22九年级上·四川成都·阶段练习）如图，将矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边的点E处，过点E作EG∥CD交AF于点G，连接DG． （1）求证：四边形EFDG是菱形； （2）求证EG2＝GF•AF； （3）若AG＝3，EG＝，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）． 【分析】（1）先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF； （2）连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系； （3）过点G作GH⊥DC，垂足为H．利用（2）的结论可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可． 【详解】（1）证明：∵GE∥DF， ∴∠EGF=∠DFG． ∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF， ∴∠DGF=∠DFG． ∴GD=DF． ∴DG=GE=DF=EF． ∴四边形EFDG为菱形． （2）证明：如图1所示：连接DE，交AF于点O． ∵四边形EFDG为菱形， ∴GF⊥DE，， ∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA， ∴△DOF∽△ADF． ∴，即DF2=FO•AF． ∵， ∴； （3）如图2所示：过点G作GH⊥DC，垂足为H． ∵， ∴，整理得：FG2+3FG-10=0． 解得：FG=2，FG=-5（舍去）． ∵ ∴ ∵GH⊥DC，AD⊥DC， ∴GH∥AD． ∴△FGH∽△FAD． ∴，即， ∴． ∴． 【点评】本题主要考查的是四边形与三角形的综合应用，解答本题主要应用了矩形的性质、菱形的判定和性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的应用，利用相似三角形的性质得到DF2=FO•AF是解题答问题（2）的关键，依据相似三角形的性质求得GH的长是解答问题（3）的关键． 43．（20-21八年级下·江苏苏州·期末）定义：有一组邻边垂直且对角线相等的四边形称为垂等四边形． （1）矩形 垂等四边形（填 “是”或“不是”）； （2）如图1，在正方形中，点、、分别在、、上，四边形是垂等四边形，且，． ①求证：； ②若，求的值； （3）如图2，在中， ， 以为对角线，作垂等四边形．过点作的延长线的垂线，垂足为，且与相似，则四边形的面积是 ． 【答案】（1）是；（2）①见解析；②；（3）或 【分析】（1）根据“垂等四边形”的定义进行分析； （2）①通过的性质推知；然后根据四边形是垂等四边形的性质知；最后由等量代换证得结论； ②如图1，过点作，垂足为，首先证明为等腰直角三角形，则；然后证得为等腰直角三角形；再次，根据等腰直角三角形的性质和已知条件得到：，．代入求值即可； （3）如图2，过点作，垂足为，构造矩形．在中，利用勾股定理求得，．再由垂等四边形四边形的性质知． 分两种情况：当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果； 当时，利用相似三角形的对应边成比例和勾股定理求得相关线段的长度，由求得结果． 【详解】解：（1）矩形有一组邻边垂直且对角线相等，故矩形是垂等四边形． 故答案为：是； （2）①证明：四边形为正方形， ，． 又， ， ． 四边形是垂等四边形， ， ； ②如图1，过点作，垂足为， 四边形为矩形， ． 由①知， ． 由题意知，，， ， 即， 为等腰直角三角形， ． 又， ， 为等腰直角三角形， ， ， ，． ， ； （3）如图2，过点作，垂足为， 四边形为矩形． ， ． 在中，， 根据勾股定理得，，即， ，． 四边形为垂等四边形， ． 第一种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ； 第二种情况： 当时， ， 设，则， ． 在中，根据勾股定理得，， 即， 解得，（舍去）， ，， ． 综上所述，四边形的面积为或． 故答案为：或． 【点评】本题主要考查了相似综合题，综合运用相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理的应用等知识点解题，解题的关键是掌握“垂等四边形”的定义，另外解题过程中，注意方程思想的应用．难度较大． 44．（2021·山西阳泉·一模）综合与实践 【问题背景】 如图1，矩形中，．点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边的点处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______． （2）如图2，将沿线段向右平移，使点与点B重合，得到与交于点F，与交于点G．求的长； 【拓展探究】 （3）在图2中，连接，则四边形是平行四边形吗？若是，请予以证明；若不是，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）；（3）四边形不是平行四边形，理由见解析． 【分析】（1）先根据已知条件和矩形的性质可得CD=AB=10,AD=BC=8，再根据折叠的性质可得DC＇=DC=10，最后运用勾股定理解答即可； （2）先根据折叠的性质和勾股定理可求得，进而求得BE、EC，然后连接，根据平移的性质可得，进而说明，最后运用相似三角形的性质解答即可； （3）先由折叠可得，再根据平移的性质和等腰三角形的判定与性质得到，过点作于点H，则且，根据相似三角形的性质可得；设，则，在中，运用勾股定理求得和DH；然后再在中求得，可以发现即，即可发现四边形不可能是平行四边形． 【详解】解：（1）如图：∵矩形中， ∴CD=AB=10，AD=BC=8 根据折叠的性质可得DC＇=DC=10 在直角三角形ADC＇中，AC＇=． （2）由折叠可知：． 在中，根据勾股定理可求得， ∴． 在中，设，根据勾股定理，得， 解得，即． 如图：连接，则由平移可知，，且． 于是可得， ∴， 又∵， ∴． （3）四边形不是平行四边形，理由如下： 由折叠可知； 又∵平移可知，且， ∴， ∴，即是等腰三角形， ∴． 如图，过点作于点H，则且， ∴ ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ∴， ∴． 而在中，， 根据勾股定理可求得， ∴，即， 故四边形不可能是平行四边形． 【点评】本题主要考查了矩形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，灵活运用相似三角形的判定与性质成为解答本题的关键． 十五、相似三角形与二次函数综合（共3小题） 45．（2021·河南·二模）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴正半轴交于点，已知． （1）求抛物线的解析式及顶点的坐标． （2）若为第一象限抛物线上的一个动点，为轴上的一点，过点作轴，若与以点、、为顶点的三角形相似，求动点的坐标． 【答案】（1）解析式为，顶点的坐标为；（2）动点的坐标为或 【分析】（1）、两点与轴相交，可结合抛物线的对称轴求得坐标，进而求出抛物线的解析式，也可求得顶点坐标； （2）与以点、、为顶点的三角形相似，又轴，所以分两种情况讨论：①当∽时，；②当∽时，． 【详解】解：（1）设点的坐标为，则点的坐标为． ∵抛物线的对称轴为， ∴，∴， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，抛物线的解析式为，顶点的坐标为 （2）设动点的坐标为， ①当∽时，，则， ∴，（舍去）， ∴点的坐标为． ②当∽时，，则， ∴，（舍去）， ∴点的坐标为． ∴动点的坐标为或． 【点评】本题考查二次函数和相似三角形．与以点、、为顶点的三角形相似，要注意分情况讨论． 46．（2024·青海西宁·三模）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D，连接与抛物线的对称轴交于点E． (1)求点A，B，C的坐标． (2)若点P是第四象限内抛物线上一动点，当三角形的面积为60时，求点P的坐标． (3)若点Q是对称轴右侧抛物线上的动点，试探究在射线上是否存在一点H，使以H，Q，E为顶点的三角形与相似．若存在，直接写出点H的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为； (2)或 (3)在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似，点的坐标为或或 【分析】（1）令，则，得出点的坐标为，点的坐标为．令，得．得出点的坐标为； （2）根据，，可得，设点的坐标为，根据三角形的面积为60列出方程，即可求解； （3）设，．分三种情况：①当，时，，根据点与点的纵坐标相同，为．②当，时，，过点作于点．③当，时，，分别求得点的坐标． 【详解】（1）令，则， 解得，． 点在点的左侧， 点的坐标为，点的坐标为． 令，得． 点的坐标为； （2），， ， 设点的坐标为， ． ，． 当时，， 当时，， 点的坐标为或； （3）在射线上存在一点，使以，，为顶点的三角形与相似．点的坐标为或或．理由如下： ，， ． ， 是等腰直角三角形． 抛物线的对称轴为直线． 设直线的表达式为． 将，代入， 得 解得． 直线的表达式为． 将代入，得． ． 点在射线上， 点的横坐标为3． 设，． 分三种情况： ①当，时，，如图2． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得（不合题意，舍去），． 点的坐标为． ②当，时，，如图3，过点作于点． 由①得点的坐标为， ， ． ，， ． 点的坐标为． ③当，时，，如图4． 则轴， 点与点的纵坐标相同，为， ， 解得，（不合题意，舍去）， ， ， 点的坐标为， 综上，点的坐标为或或． 【点评】本题考查了二次函数综合应用，二次函数图象与坐标轴交点问题，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 47．（2021·山东聊城·一模）如图1，一次函数的图象与两坐标轴分别交于，两点，且点坐标为，以点为顶点的抛物线解析式为． （1）求一次函数的解析式； （2）如图2，将抛物线的顶点沿线段平移，此时抛物线顶点记为，与轴交点记为，当点的横坐标为-1时，求抛物线的解析式及点的坐标； （3）在（2）的条件下，线段上是否存在点，使以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2），；（3）存在，或． 【分析】（1）先求出点A坐标，然后再利用待定系数法求解即可； （2）先求出点C坐标，再由平移的性质可得可求平移后的解析式，然后再根据点D的坐标特点求解即可； （3）分过点作交于点和过点作于点两种情况，分别利用相似三角形的性质可求解即可． 【详解】解：（1）∵·抛物线解析式为， ∴点的坐标为， 设一次函数解析式为， 把，代入， 得， 解得， ∴一次函数解析式为； （2）∵点在直线上，且点的横坐标为-1， ∴， ∴点坐标为， 设平移后的抛物线解析式为， ∵，顶点坐标为， ∴抛物线的解析式是， ∵抛物线与轴的交点为， ∴令，得， ∴点坐标为； （3）存在， ①过点作交于点， ∴， ∴点的纵坐标为1，代入一次函数， 得， ∴的坐标为； ②过点作于点， ∴， 又∵（公共角）， ∴， ∴， ∵直线与轴的交点，， 又∵， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过作轴于点， 设， 则，， 在中， ∴， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∴的坐标为， 综上所述：点的坐标为：或． 【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了运用待定系数法求解析式、二次函数的性质、相似三角形的判定和性质等知识，掌握分类讨论思想成为解答本题的关键． $$