专题05相似三角形（考点清单，9清单&19题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单05 相似三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 【清单02】黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 【清单04】相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【清单05】相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【考点题型一】不等式的定义 【例1】已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知，则 ． 【变式1-2】已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【考点题型二】成比例线段 【例2】下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，4，5，8 C．1，2，， D．1.1，2.2，3.3，4.4 【变式2-1】在一幅比例尺为的地图上，育才小学到少年宫的距离是3厘米，实际距离应该是 千米． 【变式2-2】已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【考点题型三】由平行线截的比例线段 【例3】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【变式3-1】如图，，，则的长为 ． 【变式3-2】如图，，，，，求的长．    【考点题型四】黄金分割 【例4】如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 【变式4-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【变式4-2】已知，点P是线段的黄金分割点且，则长为 【考点题型五】相似三角形的证明 【例5】如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【变式5-1】如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【变式5-2】如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证：． 【考点题型六】相似三角形的判定与性质 【例6】如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式6-1】如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 【变式6-2】如图1，已知和都是直角三角形，，其中，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F，交于点G． ①如图2，当，求的值； ②如图3，若，．求的值． 【考点题型七】利用三角形相似的性质求解 【例7】如图，若，则．横线上应填入 【变式7-1】如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为 ． 【变式7-2】如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【考点题型八】相似多边形 【例8】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【变式8-1】下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【变式8-2】下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 【考点题型九】位似图形的概念 【例9】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（　　） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【变式9-1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【考点题型十】位似中心的判断 【例10】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【变式10-1】把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【变式10-2】如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 【考点题型十一】位似图形的对应坐标 【例11】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【变式11-1】如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的值为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【考点题型十二】相似三角形中的动点问题 【例12】在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【变式12-1】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【变式12-2】在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【考点题型十三】相似三角形的应用 【例13】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案． 甲同学的设计方案 图例 方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长． 已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？ 【变式13-1】九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【变式13-2】近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【考点题型十四】位似图形的作图 【例14】如图，在正方形格纸中． (1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标； (2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标； (3)若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标． 【变式14-1】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； (2)做出绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求的面积． 【考点题型十五】相似三角形与二次函数综合 【例15】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的对称轴． （2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线． ①求抛物线的解析式． ②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式15-1】在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【变式15-2】如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点A（3，-1），点C（0，-4）顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接BC． (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向上平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 【考点题型十六】相似三角形与四边形综合 【例16】在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【变式16-1】如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【变式16-2】如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 1．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 2．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（   ）米． A． B． C． D． 3．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，，若，，则的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 6．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 7．如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 8．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 9．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．已知三条线段a、b、c，线段，线段，且线段b是线段a、c的比例中项，则线段 ． 11．已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是 ． 13．如图，身高m的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得m，m，则树的高度为 ． 14．若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 15．，P是的黄金分割点， ． 16．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 17．如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心，并直接写出与的相似比； (2)以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 18．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 19．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 20．如图1，已知抛物线C1： (n为正整数)的顶点为A，与y轴交于点C，抛物线C2：的顶点为B. （1）当n＝1时，直接写出A点和C点的坐标 （2）随着n值的变化，解答下列问题： ①判断点C是否在直线AB上？并说明理由； ②当BC=2AC时，求n的值． （3）如图2，在抛物线C2上任取一点D，在射线CD上取点P，使DP＝CD． ①当点D在抛物线C2上运动时，在图中描出相应的点P，再用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？____； ②直接写出该曲线的表达式_____．（用含n的式子表示） 21．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 22．如图， 抛物线  经过坐标原点O，且顶点为， (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴正半轴的交点为，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接、，若 求点的坐标． (3)抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 相似三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】比例线段 1.成比例线段：四条线段a，b，c，d中，如果a与b的比等于c与d的比，即 ，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段.其中b，c称作内项，a，d称作外项。 2．比例中项：如果 a:b = b:c ,那么b2=ac ，b叫做a、c的比例中项。 3．比例的性质： （1）基本性质：如果，那么.（内项之积等于外项之积） （2）合比性质：如果 如果 要点： （1）两条线段的长度必须用同一长度单位表示，若单位长度不同，先化成同一单位，再求它们的比； （2）两条线段的比，没有长度单位，它与所采用的长度单位无关； （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是正数． 【清单02】黄金分割 1.定义： 点C把线段AB分割成AC和CB两段,如果,那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比. 要点： ≈0.618AB(叫做黄金分割值). 2.作一条线段的黄金分割点： 如图，已知线段AB，按照如下方法作图： （1）经过点B作BD⊥AB，使BD=AB. （2）连接AD，在DA上截取DE=DB. （3）在AB上截取AC=AE.则点C为线段AB的黄金分割点. 要点：一条线段的黄金分割点有两个. 【清单03】平行线截线段成比例 基本事实：两条直线被一组平行线(不少于3条)所截，所得的对应线段成比例 已知如图，直线l1、l2、l3是一组等距离的平行线，l4、l5是任意画的两条直线，分别于这组平行线一下相交于点A，B，C，D，E，F，则比例式 成立. 要点：上图的变式图形：分A型和X型； A型 X型 则常用的比例式：依然成立. 【清单04】相似三角形的概念 在和中，如果 我们就说与相似，记作 ∽.k就是它们的相似比，“∽”读作“相似于”. 注意： (1)书写两个三角形相似时，要注意对应点的位置要一致，即∽，则说明点A的对应点是A′，点B的对应点是B′，点C的对应点是C′； (2)对于相似比，要注意顺序和对应的问题，如果两个三角形相似，那么第一个三角形的一边和第二个三角形的对应边的比叫做第一个三角形和第二个三角形的相似比.当相似比为1时，两个三角形全等. （3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例． 【清单05】相似多边形 相似多边形的性质： （1）相似多边形的对应角相等，对应边的比相等． （2）相似多边形的周长比等于相似比． （3）相似多边形的面积比等于相似比的平方． 要点： 用相似多边形定义判定特殊多边形的相似情况： （1）对应角都相等的两个多边形不一定相似，如：矩形； （2）对应边的比都相等的两个多边形不一定相似，如：菱形； （3）边数相同的正多边形都相似，如：正方形，正五边形. 【清单06】相似三角形的判定 1．判定方法（1）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似. 2．判定方法（2）：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.　 3．判定方法（3）：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似，应用时必须注意这个角必需是两边的夹角，否则，判断的结果可能是错误的. 判定方法（4）：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. 注意： 　　要判定两个三角形是否相似，只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可，对于直角三角形而言，若有一个锐角对应相等，那么这两个三角形相似. 【清单07】相似三角形的性质 性质1：相似三角形的对应角相等，对应边对应成比例. 性质2：相似三角形中的重要线段的比等于相似比. 相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注意：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段. 性质3：相似三角形周长的比等于相似比 如图一： ∽，则 由比例性质可得： 图一 性质4：相似三角形面积的比等于相似比的平方 如图二，∽，则分别作出与的高和，则 图二 注意：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的. 【清单08】相似三角形的应用 利用相似三角形测量高度 测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决 利用相似三角形测量距离 测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解. 1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长. 2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长. 　　 注意：　 1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离; 2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比; 3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）; 4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角． 【清单09】位似 1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心． 2.位似图形的性质: （1）位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上； 　（2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比； 　（3）位似图形中不经过位似中心的对应线段平行. 要点： （1）位似图形与相似图形的区别：位似图形是一种特殊的相似图形，而相似图形未 必能构成位似图形. 3.位似变换中对应点的坐标变化规律: 在平面直角坐标系中，当以坐标原点为位似中心时,如原图形上点的坐标为(x，y)，位似图形与原图形的位似比为k，则么位似图形上的对应点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）. 【考点题型一】不等式的定义 【例1】已知，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，能正确运用比例的性质进行变形是解此题的关键． 根据比例的性质：两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【变式1-1】已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例的性质，根据比例的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：由分比性质，得 ，即． 故答案为：． 【变式1-2】已知线段a、b、c，且． (1)求的值； (2)若线段a、b、c满足，求a、b、c的值． 【答案】(1) (2)，，． 【分析】本题主要考查了比例的性质． （1）设，得到，，，代入计算即可； （2）根据题意构建方程求出的值，进一步计算即可求解． 【详解】（1）解：设， 则，，， ； （2）解：， ， ， ，，． 【考点题型二】成比例线段 【例2】下列四条线段中，成比例线段的是（   ） A．1，2，3，4 B．3，4，5，8 C．1，2，， D．1.1，2.2，3.3，4.4 【答案】C 【分析】本题考查了成比例线段，根据成比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积，逐项分析即可得出答案，熟练掌握成比例线段的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，∴1，2，3，4不是成比例线段，故不符合题意； B、∵，∴3，4，5，8不是成比例线段，故不符合题意； C、∵，∴1，2，，是成比例线段，故符合题意； D、∵，∴1.1，2.2，3.3，4.4不是成比例线段，故不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】在一幅比例尺为的地图上，育才小学到少年宫的距离是3厘米，实际距离应该是 千米． 【答案】1.8 【分析】本题主要考查比例尽，由分析条件可知：比例尺已知，图上距离已知，根据，可用图上距离÷比例尺求出实际距离(厘米数)，实际距离，再把所得实际距离（厘米数）除以进率化成千米数即可. 【详解】解：， 故答案为：1.8 【变式2-2】已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段，线段x是线段a、d的比例中项，求x． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解决问题的关键，同时利用“设k法”用k表示出可以使计算更加简便． （1）设，然后用k表示出，再代入求解得到k，即可得到的值； （2）根据比例中项的定义列式得到，然后根据算术平方根的定义求解．求解即可求出线段x的长． 【详解】（1）解：设， 则，，， 所以， 解得， 所以，，； （2）解：∵线段， ∴． ∵线段x是线段a、d的比例中项， ∴， ∴线段（，故舍去） 【考点题型三】由平行线截的比例线段 【例3】如图所示，已知直线，直线m分别交直线a，b，c于点A，B，C；直线n分别交直线a，b，c于点D，E，F．若，则等于（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理得到，则． 【详解】解：∵． ∴， ∴， 故选：C． 【变式3-1】如图，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故答案为：． 【变式3-2】如图，，，，，求的长．    【答案】4 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， 解得， ∴． 【考点题型四】黄金分割 【例4】如图，点E是正方形边上的一点（E与A不重合），将线段绕着它的一个端点旋转，使另一个端点落在的延长线上的F处，并作正方形，若H是线段的一个黄金分割点，且，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质、正方形的性质和黄金分割点的相关知识，根据旋转的性质得到，再得到，从而得到，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示， 根据旋转的性质得， ∵， ∴ ∵H是线段的一个黄金分割点，且， ∴, ∵正方形， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-1】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】/ 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可，熟记黄金比是解题的关键． 【详解】∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】已知，点P是线段的黄金分割点且，则长为 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，分母有理化，根据黄金分割的定义得出，从而表示出，然后得出，最后利用分母有理化计算即可得解． 【详解】解：∵点P是线段的黄金分割点且， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点题型五】相似三角形的证明 【例5】如图，四边形中，，且，E、F分别是、的中点，与相交于点M．求证：； 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，平行四边形的判定与性质，首先证明四边形为平行四边形，从而得到，于是得到，又因为，从而可证明． 【详解】证明：∵，是的中点， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式5-1】如图，在中，，D为边上一点，且，过点D作．交于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定，熟记相似三角形的判定定理是解题的关键．根据直角三角形的性质及垂直定义求出，根据等腰三角形的性质求出，进而求出，再根据“两角对应相等的两个三角形相似”即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【变式5-2】如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出，，，推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴． 【考点题型六】相似三角形的判定与性质 【例6】如图，在菱形中，点E 在边上，射线交的延长线于点F，若，，则的长为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】此题考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．由菱形的性质得，，可证明，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，， ∵点F在直线上， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式6-1】如图，已知是的中线，，、相交于点F，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确作出辅助线；过E作交于F，由平行线分线段成比例可得，再根据相似三角形的判定和性质可得，再根据全等三角形的判定和性质得，再根据三角形面积关系求解即可． 【详解】解：过E作交于F， 是的中线， ， ， ,, ，, ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式6-2】如图1，已知和都是直角三角形，，其中，连接． (1)求证：； (2)延长交于点F，交于点G． ①如图2，当，求的值； ②如图3，若，．求的值． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，角的直角三角形的性质，熟练掌握知识点，正确找出相似三角形是解题的关键． （1）先用两角相等证明，再用两边成比例且夹角相等证明； （2）①证明，则，设，在中，由勾股定理得，，故；②过点作的垂线，垂足为点，由①得，，再证明，同理可证明：，同理可证明：，得到，则，在中，由勾股定理得，在中，，故． 【详解】（1）证明：∵，其中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴设， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴； ②过点作的垂线，垂足为点， 由①得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴, 同理可证明：， 同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 在中，， ∴． 【考点题型七】利用三角形相似的性质求解 【例7】如图，若，则．横线上应填入 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质和相似三角形顶点的对应关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 故答案是：． 【变式7-1】如图，ABCD，AC，BD相交于点E，AE＝1，EC＝2，DE＝3，则BE的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查平行线的性质、三角形相似判定和性质，利用平行线证明三角形相似，得到线段成比例即可求解． 【详解】 ， ， 即： 故答案为：． 【变式7-2】如图，，相交于点，． (1)求证：； (2)已知，，的面积为50，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质． （1）对顶角相等，结合，即可得出； （2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求解即可． 【详解】（1）证明：∵，又， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 所以的面积为． 【考点题型八】相似多边形 【例8】如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 【变式8-1】下列说法中，错误的是（   ） A．全等图形一定是相似图形 B．两面大小不等的标准国旗一定相似 C．两个等腰直角三角形一定相似 D．两个直角三角形一定相似 【答案】D 【分析】本题考查的是相似图形的定义，“相似图形的形状相同，但大小不一定相同”．根据相似图形的定义，结合选项中提到的图形，对选项一一分析，选出正确答案． 【详解】解：A、全等图形一定是相似图形，故本选项不符合题意； B、两面大小不等的标准国旗一定相似，故本选项不符合题意； C、等腰直角三角形形状相同，只是大小不同，一定相似，故本选项不符合题意； D、两个直角三角形的锐角不一定相等，则两个直角三角形不一定相似，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式8-2】下列两个图形一定相似的是（    ） A．两个菱形 B．两个矩形 C．两个等腰梯形 D．两个等腰直角三角形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的相似，熟练掌握定义是解题的关键．根据对应边成比例，对应角相等的两个多边形相似，判定解答即可． 【详解】解：A．两个菱形，满足对应边成比例，但对应角不一定相等，不符合题意； B．两个矩形，满足对应角相等，但对应边不一定成比例，不符合题意； C．两个等腰梯形，对应角不应定相等，对应边不一定成比例，不符合题意；     D．两个等腰直角三角形，满足对应角相等，对应边成比例，符合题意； 故选：D． 【考点题型九】位似图形的概念 【例9】如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（　　） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了位似变换，根据位似图形的性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， ∴与是位似图形， ∴，A选项说法正确，不符合题意； 点C、点O、点三点在同一直线上，B选项说法正确，不符合题意； ，C选项说法正确，不符合题意； ，D选项说法错误，符合题意； 故选：D． 【变式9-1】如图，和是以点O为位似中心的位似图形．若，则与的面积比是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键．根据位似图形的性质求解，即得答案． 【详解】， ， 和是以点O为位似中心的位似图形， ． 故选：D． 【变式9-2】如图，与是位似图形，相似比为，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了位似图形、相似三角形的判定与性质，熟练掌握位似图形的性质是解题关键．先根据位似图形的性质可得，，再证出，根据相似三角形的性质求解即可得． 【详解】解：∵与是位似图形，相似比为， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：6． 【考点题型十】位似中心的判断 【例10】如图，在正方形网格图中，与是位似图形，则位似中心是（    ） A．点R B．点P C．点Q D．点O 【答案】D 【分析】本题考查确定位似中心，理解位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念，连接对应点，交点即是位似中心． 【详解】连接，，交于点， ∴点是位似中心， 故答案为：D． 【变式10-1】把放大为原图形的倍得到，则位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了位似中心，解决本题的关键是熟练掌握位似中心的定义．如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行，这个点叫做位似中心，据此解答即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由位似中心的定义可知，此位似中心可以是点， 故选： 【变式10-2】如图，点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点，则与是位似三角形，此时与的位似比、位似中心分别是（    ） A．2、点 B．、点 C．2、点 D．、点 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换，掌握位似中心的定义、相似三角形的性质是解题的关键． 根据三角形中位线定理得到，根据位似三角形的定义、位似中心的定义解答． 【详解】解：点是等边三角形的中心，、、分别是、、的中点， 各对应点的连线交于点，， 位似中心是点， ∵与是位似三角形，位似中心到两个对应点的距离之比叫做位似比， ∴与位似比是． 故选：D． 【考点题型十一】位似图形的对应坐标 【例11】已知在坐标平面内，三个顶点的坐标分别为，，．正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点B为位似中心，在网格中画出，使与位似，且相似比为，则坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似的性质，根据，位似比为画出图形，得出点坐标即可． 【详解】解：延长到点，使得，延长到点，使得，如图所示：    根据作图可知：点的坐标为． 故选：B． 【变式11-1】如图，已知与是相似比为的位似图形，点O为位似中心，若内一点与内一点是一对对应点，则点的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形性质，位似性质．根据题意利用相似三角形性质可得与中任何对应线段的比值均为，继而得到本题答案． 【详解】解：∵与是相似比为的位似图形， ∴， 又∵内一点与内一点是一对对应点，关于原点对称， ∴， 故选：B． 【变式11-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，的坐标分别为，，以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似变换问题，掌握性质及正确把握规律是解题的关键．直接利用位似变换的性质和异侧位似变换的坐标变化规律结合点坐标直接得出点的坐标． 【详解】解：以点为位似中心，在原点的另一侧按的相似比将缩小，将的横纵坐标先缩小为原来的为，再变为相反数得． 故选：D． 【考点题型十二】相似三角形中的动点问题 【例12】在中，．现有动点P从点A出发，沿向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段也向点B方向运动．如果点P的速度是秒，点Q的速度是秒，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动的时间为ｔ秒，求： (1)用含t的代数式表示的面积S； (2)当秒时，这时，P，Q两点之间的距离是多少？ (3)当t为多少秒时，以点C，P，Q为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1) (2) (3)秒或秒 【分析】此题是相似形综合题，主要考查了直角三角形的面积公式，勾股定理，相似三角形的性质，解本题的关键时用分类讨论的思想和方程思想解决问题． （1）由点，点的运动速度和运动时间，又知的长，可将、用含的表达式求出，代入直角三角形面积公式求解； （2）在中，当秒，可知、的长，运用勾股定理可将的长求出； （3）应分两种情况：当时，根据，可将时间求出；当时，根据，可求出时间． 【详解】（1）解：由题意得， 则， ∴的面积为； （2）解：由题意得， 则， 当秒时，， 在中，由勾股定理得； （3）解：由题意得， 则， ∵． ∴①当时，， 即， 解得秒； ②当时，， 即， 解得秒． ∴秒或秒时，以点、、为顶点的三角形与相似． 【变式12-1】如图所示，点坐标为，点坐标为，动点从点开始沿以每秒1个单位长度的速度向点移动，动点从点开始沿以每秒2个单位长度的速度向点移动．如果、分别从、同时出发，用（秒）表示移动的时间（），那么： (1)当为何值时，四边形是梯形，此时梯形的面积是多少？ (2)当为何值时，以点、、为顶点的三角形与相似？ 【答案】(1)当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27 (2)的值为秒或3秒 【分析】（1）当，四边形是梯形，此时易证，根据三角形相似得到，即，即可得到t，利用梯形的面积的面积的面积求面积； （2）讨论：当，即，此时，由（1）得；当，则，，即可得到t． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 当，四边形是梯形， ， ∴，即， ∴， ∴， ∴梯形的面积的面积的面积 ， 当时，四边形是梯形，此时梯形的面积为27； （2）解： ， 当，则， ， 由（1）得； 当，则， ∴，即， ∴， 当的值为秒或3秒时，以点P、Q、B为顶点的三角形与相似． 【点睛】本题考查了坐标与图形，梯形的性质，三角形相似的判定与性质，熟练掌握分类讨论思想的运用以及三角形的相似的判定定理是解题的关键． 【变式12-2】在中，，，，动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒的速度沿向终点A移动，连接，，设移动时间为t（单位：秒）三个点中有一个到达终点即停止运动． (1)若以B、P、N为顶点的三角形与相似，求t的值； (2)当是等腰三角形时，求t的值； (3)在运动过程中，是否存在以为直角边的，存在则直接写出t的值． 【答案】(1)、 (2)、2 (3)、 【分析】（1）根据勾股定理．根据相似三角形的性质得到结论； （2）分三种情况：①当时，得到，②当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，则，，根据，得到比例式即可得到结果；③当时，即点在的垂直平分线上，如图1，过作的垂直平分线交于，由，得到比例式，即可得到结果，（不合题意，舍去）； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，，分两种情况分类讨论，当时，解得，当时，解得：即可得出结论． 【详解】（1）在中，，，． 根据勾股定理，得． ∵以B、P、N为顶点的三角形与相似 ∴当时，，或当时， 此时，即，解得， 当时， 此时，即，解得 答：当、时，B、P、N为顶点的三角形与相似； （2）是等腰三角形， ①当时，即， 解得：， ②当时， 如图1，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ，即， 解得：， ③当时， 如图2，过作的垂直平分线交于，即点在的垂直平分线上， 则，， ， ， ， 即：， 解得：，（不合题意，舍去）， 综上所述：当，或时，是等腰三角形； （3）如图3，过点作于点，过点作于点，则，， ，即， ， 同理：， ∵动点M，N从点C同时出发，均以每秒的速度分别沿、向终点A，B移动 ∴ ∴为等腰直角三角形 ∴ ∵以为直角边 ∴当时， ∴ ∴ 解得： 当时， ∴ ∴ 解得： 综上所述：当，或时，是等腰三角形，以为直角边. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例，等腰三角形的求法以及三角形面积公式，正确的作出辅助线是解题的关键． 【考点题型十三】相似三角形的应用 【例13】为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为的视力表，但两面墙的距离只有．在一次课题学习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲同学设计了一个方案． 甲同学的设计方案 图例 方案 使用平面镜成像的原理来解决房间小的问题．如图，在相距的两面墙上分别悬挂视力表（）与平面镜（），由平面镜成像原理，作出了光路图，通过调整人的位置，使得视力表的上、下边沿A，B发出的光线经平面镜的上下边沿反射后射入人眼C处，通过测量视力表的全长（）就可以计算出所需镜长． 已知视力表的全长，要使墙面上的镜子能呈现完整的视力表，求镜面长至少为多少米？ 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，则，由，则，即可求出即可． 【详解】解：如图，作于点D，延长线交于点E， 由题意知，， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ∴， 由题意知，，， ∴， ∴， ∴． ∴镜长至少为 【变式13-1】九年级（1）班课外活动小组想利用标杆测量佛山千灯湖市民广场醒狮雕塑的高度，见图（醒狮雕塑线条图）．已知点A，C，E在同一直线上，标杆高度，标杆与雕塑的水平距离，人的眼睛与地面的高度，人与标杆的水平距离，求醒狮雕塑的高度． 【答案】12.8米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，利用三角形相似中的比例关系，首先由题目和图形可看出，求的长度分成了2个部分，和部分，其中，剩下的问题就是求的长度，利用，得出，把相关条件代入即可求得的长度即可． 【详解】如图所示，设线段与线段交于点G． ∵， ∴，四边形、是矩形， ∴， ∵， ∴， ， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴ 答：醒狮雕塑的高度为． 【变式13-2】近期《黑神话：悟空》正式在全球上线，不仅迅速吸引了全球游戏爱好者的目光，同时也因其对中国地理风貌和中国古建筑、塑像、壁画等文化宝藏的精细还原，成为文旅界关注的对象．《黑神话：悟空》游戏中选取的27处山西极具代表性的古建筑，由南至北横跨9个地市，不仅展示了山西深厚的文化底蕴，也为当地文旅产业带来新的发展机遇，更为山西的文化元素提供了一个面向全球游戏玩家群体的数字化传播窗口．飞虹塔是山西省非常有名的一座塔楼，这座塔的位置位于山西省洪洞县广胜寺景区．某实践小组欲测量飞虹塔的高度，过程见下表． 主题 跟着悟空游山西，测量“飞虹塔”的大致高度 测量方案及示意图 测量步骤 步骤1：把长为2米的标杆垂直立于地面点D处，塔尖点A和标杆顶端C确定的直线交水平于点Q，测得米； 步骤2：将标杆沿着的方向平移到点F处，塔尖点A和标杆顶端E确定的直线交直线于点P，测得米，米；（以上数据均为近似值） 根据表格信息，求飞虹塔的大致高度． 【答案】飞虹塔的高度为47米 【分析】此题考查相似三角形的应用，关键是根据相似三角形的判定和性质得出边的大小解答． 证明得到对应边成比例，列方程解决即可． 【详解】解：设米，米． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ， 经检验，是原方程的解， 答：飞虹塔的高度为47米． 【考点题型十四】位似图形的作图 【例14】如图，在正方形格纸中． (1)请在正方形格纸上建立平面直角坐标系，使，并写出点B坐标； (2)以坐标原点O为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形并写出点A的对应点的坐标； (3)若线段绕原点O旋转后点B的对应点为，写出点的坐标． 【答案】(1)见解析， (2)见解析， (3)或 【分析】该题主要考查的知识点是：利用位似变换作图，坐标位置的确定，熟练掌握网格结构以及平面直角坐标系的知识是解题的关键，是个基础型的题目． （1）以与A点左边相距2个单位长的格线所在的直线为y轴，以与A点下方3个单位长的格线所在的直线为x轴，两直线交点为原点建立平面直角坐标系，如图所示，即可得到B的坐标； （2）连接并延长使，连接并延长使，连接并延长使，连接，可得为所求的三角形； （3）画出图形即可解决问题． 【详解】（1）解：建立平面直角坐标系，如图所示， 由图形可得：； （2）解：如图所示：即为所求，由图形可得：； （3）解：若线段绕原点O顺时针（或逆时针）旋转后点B的对应点为（或）， 则点的坐标为或． 【变式14-1】在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)以点O为位似中心，作出的位似图形，且与的位似比为； (2)做出绕点O逆时针旋转后的图形． (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【分析】本题考查了作图—位似变换，作图——旋转变换，熟练掌握作图方法是解题关键． （1）连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使；连接，并延长到点，使，依次连接，，，即可得到； （2）利用网格特点和旋转的性质作出点A、B、C的对应点、、、依次连接，，，即可得到； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，为所求． （2）如图，为所求． （3）的面积为：． 【考点题型十五】相似三角形与二次函数综合 【例15】如图，在平面直角坐标系中，抛物线：经过点和． （1）求抛物线的对称轴． （2）当时，将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到抛物线． ①求抛物线的解析式． ②设抛物线与轴交于，两点（点在点的右侧），与轴交于点，连接．点为第一象限内抛物线上一动点，过点作于点．设点的横坐标为．是否存在点，使得以点，，为顶点的三角形与相似，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）x=2.5；（2）①；②1或 【分析】（1）根据函数图像所过的点的特点结合函数性质，可知两点中点横坐标即为对称轴； （2）①根据平移可得已知点平移后点的坐标，平移过程中a的值不发生改变，所以利用交点式可以求出函数解析式； ②根据条件求出A、B、C、D四点的坐标，由条件可知三角形相似有两种情况，分别讨论两种情况，根据相似的性质可求出m的值． 【详解】解：（1）因为抛物线图像过（1,1）、（4,1）两点， 这两点的纵坐标相同，根据抛物线的性质可知，对称轴是x=（1+4）÷2=2.5,； （2）①将点（1,1）、（4,1）向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到（-1,0），（2,0），将点（-1,0），（2,0），a=-1， 根据交点式可求出C1二次函数表达式为； ②根据①中的函数关系式，可得A（2,0），B（-1,0），C（0,2），D（m，），且m＞0 由图像可知∠BOC=∠DEO=90°， 则以点，，为顶点的三角形与相似有两种情况， （i）当△ODE∽△BCO时， 则，即， 解得m=1或-2（舍）， （ii）当△ODE∽△CBO时， 则，即， 解得 所以满足条件的m的值为1或． 【点睛】本题主要考查了一元二次函数图形的平移、表达式求法、相似三角形等知识点，熟练运用数形结合是解决问题的关键． 【变式15-1】在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、，交轴于点，连结、．点在该抛物线上，过点作，交直线于点，连结、、．设点横坐标为，的面积为，的面积为． (1)求a，b的值； (2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围； (3)当点D在第一象限时，求＋的最大值； (4)当时，直接写出m的值． 【答案】(1)a的值为，b的值为2，见解析 (2)或，见解析 (3) (4)或 【分析】（1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）分、、时，三种情况分别讨论即可求解； （3）证明的面积 的面积，则，即可求解； （4）当点在轴上方时，证明，求出点，，即可求解；当点在轴下方时，同理可解． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为：， 则， 则， 解得：，； （2）解：由（1）可得：二次函数解析式为：， 当时，图象的最高点为原抛物线的顶点， 此时最高点的纵坐标为4，与无关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为，与有关； 当时，图象的最高点为点，此时最高点的纵坐标为0，与无关． 综上，当图象的最高点的纵坐标与无关时，的取值范围是或； （3）解：连接， ， 的面积 的面积， 过点D作轴，交与点F， 令，则，即， ∵， ∴的解析式为：， ∴， ∴ ， 当 时， 有最大值，最大值为； （4）解：设交于点， 当点在轴上方时， 过点、分别作的垂线交的延长线于点、，则， ， 则， ， ， 则， 则， 则点，， 由点、的坐标得，直线的表达式为：， ， 设直线的表达式为：，代入，得：， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 当点在轴下方时， 同理可得：点， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（不合题意的值已舍去）； 综上， 或． 【点睛】本题为二次函数综合运用，涉及到三角形相似、面积的计算、平行线的性质等知识，分类求解是解题的关键． 【变式15-2】如图已知二次函数（b，c为常数）的图像经过点A（3，-1），点C（0，-4）顶点为点M，过点A作ABx轴，交y轴于点D，交二次函数的图象于点B，连接BC． (1)求该二次函数的表达式及点M的坐标； (2)若将该二次函数图象向上平移m（m>0）个单位，使平移后得到的二次函数图象的顶点落在△ABC的内部（不包括△ABC的边界），求m的取值范围； (3)点P是直线AC上的动点，若点P，点C，点M所构成的三角形与△BCD相似，请直接写出所有点P的坐标（直接写出结果，不必写解答过程）． 【答案】(1)，M（1，-5） (2) (3)P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7） 【分析】（1）将点A、点C的坐标代入函数解析式，即可求出b、c的值，进而求得该二次函数的表达式，通过配方法得到点M的坐标； （2）点M是沿着对称轴直线向上平移的，可先求出直线AC的解析式，将代入求出点M在向上平移时与AC、AB相交时y的值，即可得到m的取值范围； （3）由题意分析可得∠MCP=90°，则若△PCM与△BCD相似，则要进行分类讨论，分成△PCM∽△BDC或△PCM∽△CDB两种，然后利用边的对应比值求出点坐标． 【详解】（1）把点A（3，-1），点C（0，-4）代入二次函数得： ， 解得：， ∴二次函数解析式为， 配方得， ∴点M的坐标为（1，-5）； （2）设直线AC解析式为， 把点A（3，-1），点C（0，-4）代入得：， 解得：， ∴直线AC的解析式为， 如图所示，对称轴直线与△ABC两边分别交于点E、点F， 把代入直线AC解析式，得：， ∴点E坐标为（1，-3），点F坐标为（1，-1）， ∴， 解得：； （3）连接MC，作MG⊥y轴并延长交AC于点N，则点G坐标为（0，-5） ∵MG=1，， ∴， 把代入直线AC解析式，得：， 解得， 则点N坐标为（﹣1，-5）， ∵NG=GC，GM=GC， ∴∠NCG=∠GCM=45°， ∴∠NCM=90°， 由此可知，若点P在AC上，则∠MCP=90°，则点D与点C必为相似三角形对应点 若有△PCM∽△BDC，则有， 将代入二次函数解析式，得：， 解得：或， 又点A（3，-1）， ∴点B（-1，-1）， ∵BD=1，CD=3， ∴， ∵CD=DA=3， ∴∠DCA=45°， 若点P在y轴右侧，作PH⊥y轴， ∵∠PCH=45°，， ∴， 把代入直线AC解析式，得：， ∴P1（，）； 同理可得，若点P在y轴左侧，则把代入，解得， ∴P2（，）； ②若有△PCM∽△CDB，则有， ∴， ∴， 若点P在y轴右侧，把x=3代入，解得， 若点P在y轴左侧，把x=﹣3代入，解得， ∴P3（3，-1）；P4（﹣3，-7）． 综上所述，所有符合题意得点P坐标有4个，分别为P1（，），P2（，），P3（3，-1），P4（﹣3，-7）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、相似三角形的判定及其性质，其中题（3）要注意利用分类思想去求解，避免遗漏． 【考点题型十六】相似三角形与四边形综合 【例16】在矩形中，点是对角线、的交点，直角的顶点与重合，、分别与、边相交于、，连接，（为常数）． （1）发现问题：如图1，若，猜想：________； （2）类比探究：如图2，，探究线段，之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展运用：如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】（1）1；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）根据题意可知，此时四边形ABCD为正方形，然后证明△OEB≌△OFC即可得到OE=OF，从而得出结论即可； （2）过作于，作于，利用相似三角形的判定与性质证明即可； （3）根据题意判定，从而得到，令，则，可在Rt△ABC中求出未知数，从而得到BC的长度，最终求得OF和OE的长度，再在Rt△OEF中利用勾股定理求解EF即可． 【详解】解：（1）若，则，即四边形ABCD为正方形， ∴OB=OC，∠OBE=∠OCF=45°，∠BOC=90°， ∵∠EOF=90°， ∴∠EOB=∠FOC， ∴△OEB≌△OFC， ∴OE=OF， ∴ 故答案为：1； （2）． 理由：过作于，作于， ∵， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在矩形中，， ∵， ∴， ∴， 同理， ∴， ∴； （3）∵， ∴， 由（2），， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 令，则， 由题意，， 由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∴， ∴， 由（2）知，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质等，灵活根据题意构造相似三角形，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【变式16-1】如图，在梯形中，，，，点、分别在线段、上，．的延长线交边于点，交于点、其延长线交的延长线于点． （1）求证：； （2）设，的面积为，求关于的函数解析式，并写出它的定义域； （3）联结，当与相似时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）y＝(0＜x≤9)；（3）3或． 【分析】（1）由AD∥BC知，，结合DB=DC=15，DE=DF=5知，从而得，据此可得答案； （2）作DP⊥BC，NQ⊥AD，求得BP=CP=9，DP=12，由知BG=CH=2x，BH=18+2x，根据得，即DN＝，再根据知NQ＝，由三角形的面积公式可得答案； （3）分∠ADN=∠FGH和∠ADN=∠GFH两种情况分别求解可得． 【详解】解：（1）∵AD∥BC， ∴，． ∵DB=DC=15，DE=DF=5， ∴， ∴， ∴BG=CH． （2）过点D作DP⊥BC，过点N作NQ⊥AD，垂足分别为点P、Q． ∵DB=DC=15，BC=18， ∴BP=CP=9，DP=12． ∵， ∴BG=CH=2x， ∴BH=18+2x． ∵AD∥BC， ∴， ∴， ∴， ∴DN＝． ∵AD∥BC， ∴∠ADN=∠DBC， ∴sin∠ADN=sin∠DBC， ∴， ∴NQ＝． ∴y＝AD•NQ＝x•(0＜x≤9)． （3）∵AD∥BC， ∴∠DAN=∠FHG． （i）当∠ADN=∠FGH时， ∵∠ADN=∠DBC， ∴∠DBC=∠FGH， ∴BD∥FG， ∴， ∴， ∴BG=6， ∴AD=3． （ii）当∠ADN=∠GFH时， ∵∠ADN=∠DBC=∠DCB， 又∵∠AND=∠FGH， ∴△ADN∽△FCG． ∴， ∴x•(18−2x)＝ •10，整理得x2-3x-29=0， 解得x＝，或x＝（舍去）． 综上所述，当△HFG与△ADN相似时，AD的长为3或． 【点睛】本题是相似三角形的综合问题，解题的关键是掌握平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质、分类讨论思想的运用等知识点． 【变式16-2】如图，已知正方形ABCD，点E为AB上的一点，，交BD于点F． (1)如图1，直按写出的值_______； (2)将△EBF绕点B顺时针旋转到如图2所示的位置，连接AE、DF，猜想DF与AE的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，当BE=BA时，其他条件不变，△EBF绕点B顺时针旋转，设旋转角为，当为何值时EA=ED?请在图3或备用图中画出图形并求出的值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)画图见解析，α的值为30°或150°， 【分析】由是正方形ABCD的对角线，可知∠ABD=45°，由垂直可知，，则可求出边相等，进而可知，根据边之间的等量关系可知，故可知； 由（1）知，，，，进而可知边之间的比例关系，由旋转知，，故可证明，根据相似比可证明边之间的等量关系； （3）连接DE，CE根据边相等的条件，以及角相等的条件可知AE=DE，BE=CE，由四边形ABCD是正方形，可知，AB=BC，进而可得△BCE是等边三角形，，进而可证，即：，同理，也可证明△BCE是等边三角形，，即：． 【详解】（1）是正方形ABCD的对角线， ∴∠ABD=45°，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）， 理由：由（1）知，，，， ， 由旋转知，， ， ， ； （3）如图3，连接DE，CE ∵EA=ED， ∴点E在AD的中垂线上， ∴AE=DE，BE=CE， ∵四边形ABCD是正方形， ，AB=BC， ， ∴△BCE是等边三角形， ， ，即：， 如图4，同理，△BCE是等边三角形， ，即：， 故答案为：30°或150°． 【点睛】本题考查图形的旋转变换，相似三角形的性质与判定，正方形的性质与判定，等边三角形的性质，能够根据题意将变换后的图像画出来并构造适合的辅助线是解决本题的关键． 1．若线段，，则线段，的比例中项为（    ） A． B． C．6 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查比例线段的定义，根据成比例线段的定义解得即可． 【详解】设线段，的比例中项为， 则， 解得： 又因为为线段， 所以． 故选：C． 2．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好到古城墙的顶端处，已知，，测得米，米，米，那么该古城墙的高度是（   ）米． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．首先证明，可得，再代入相应数据可得答案． 【详解】解：如图， 由题意可得：， ， ，， ， ， ， 米，米，米， ， 解得：米， 故选：D． 3．如图，在中，点、分别在边、上，下列条件中不能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．根据此，分别进行判断即可． 【详解】解：由题意得， A、当时，，故本选项不符合题意； B、当时，，故本选项不符合题意； C、当时，不能推断，故本选项符合题意； D、当时，，则，故本选项不符合题意； 故选：C． 4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了相似三角形的判定以及勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．根据网格中的数据求出的长，，求出，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似判断即可． 【详解】解：根据题意可得：，； ， A．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． B．夹的两边之比为：，图中的三角形（阴影部分）与相似． C．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． D．三角形中没有角，图中的三角形（阴影部分）与不相似． 故答案为：B． 5．如图，，若，，则的长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，根据平行线分线段成比例定理可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，，动点从点开始沿边运动，速度为，动点从点开始沿边运动，速度为．如果两动点同时运动，那么经过（    ）秒时与相似． A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，设经过秒时，与相似，则，，，根据，分和两种情况解答即可求解，掌握相似三角形的性质并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设经过秒时，与相似，则，， ∴， ∵， ∴当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得； 综上可知，经过或时，与相似， 故选：． 7．如图是视力表的一部分，其中开口向右的两个E之间的变换是（    ） A．平移 B．旋转 C．相似 D．轴对称 【答案】C 【分析】本题考查了几何变换的类型，熟练掌握几何变换的特征是解题的关键．根据几何变换的特征即可得到答案． 【详解】解：由图可知，两个开口向右的大小不一样，故只可能是相似， 故选C． 8．下列各条件中，能判断的是（    ） A．， B． ， C．， D．，，， 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，解答的关键是熟记相似三角形的判定条件．两角对应相等的两个三角形相似；两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似． 根据相似三角形的判定条件对各选项进行分析即可． 【详解】A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似， 故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似， 故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断， 故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得， 故D不符合题意． 故选：C． 9．如图中，，，，点为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】以，为邻边作平行四边形，由平行四边形的性质可知是中点，最短也就是最短，所以应该过作的垂线，然后根据和相似，利用相似三角形的性质即可求出的最小值． 【详解】解：，，， ， 四边形是平行四边形， ，， 最短也就是最短， 过作的垂线， ，， ， ， ， ， 则的最小值为， 故选：A 【点睛】本题考查了勾股定理的运用、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及垂线段最短的性质，解题的关键是做高线各种相似三角形． 10．已知三条线段a、b、c，线段，线段，且线段b是线段a、c的比例中项，则线段 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例中项的概念，掌握基本概念，列出等量关系是解题的关键； 由线段b是线段a、c的比例中项得，将a，c的值代入即可求解． 【详解】解：线段b是线段a、c的比例中项， ， ， ， 故答案为：． 11．已知实数a、b、c满足，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题考查了比例的性质，由已知代数式可以用设比值为一个参数的方法求解． 设，可得，，，代入求解即可． 【详解】设，则， ． 故答案为：6 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形与四边形是位似图形．位似中心的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了位似中心的定义：位似图形的对应点的连线的交点即为位似中心，熟记定义是解题的关键． 连接两组对应点，对应点的连线的交点即为位似中心． 【详解】解：如图，连接两组点与以及与交于点， 点即为位似中心，． 故答案为：． 13．如图，身高m的某学生沿着树影由B向A走去，当走到点C时，他的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得m，m，则树的高度为 ． 【答案】m 【分析】本题考查了相似三角形的应用，设树的高度为m，由题意得，据此即可求解． 【详解】解：设树的高度为m， 由题意得： ∵m，m， ∴， 解得： 故答案为：m 14．若两个相似图形的周长比为，则它们的面积比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似图形的性质，由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案，注意熟记定理是关键． 【详解】解：∵两个相似图形的周长比为， ∴其相似比为， ∴其面积比为， 故答案为：． 15．，P是的黄金分割点， ． 【答案】/ 【分析】本题考查黄金分割：把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项（即），叫做把线段黄金分割，点叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个．掌握黄金分割的定义是解题的关键．直接根据黄金分割的定义计算． 【详解】解：∵是线段的黄金分割点， ∴． 故答案为：． 16．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 17．如图所示，图中的小方格都是边长为的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心，并直接写出与的相似比； (2)以位似中心为旋转中心，把按顺时针方向旋转得到，画出． 【答案】(1)2：1，图见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作位似图形，作旋转图形， （1）连接并延长，连接并延长，两延长线交于点；由，即可得出与的位似比为； （2）分别将点、、绕点O顺时针旋转得到点，然后顺次连接即可． 【详解】（1）图中点为所求；与的位似比等于； （2）如图所示：为所求． 18．如图，在中,D、E、F分别是上的点，且，，，，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例，注意对应线段是解答的关键．利用平行线分线段成比例得到，，进而求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，即， 解得：， ∴． ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴，． 19．已知线段a、b、c满足，且． (1)求a、b、c的值； (2)若线段a，b，c，d是成比例线段，求d的值． 【答案】(1)6，4，12 (2)8 【分析】本题主要考查了比例线段，解一元一次方程， （1）利用，可设，，，代入求出的值，即可求出、、的值； （2）根据题意得，代入求得d即可． 【详解】（1）解：， 设，，， 又， ， 即， 合并同类项，得：， 系数化为，得：， ， ， ； （2）解：∵线段a，b，c，d是成比例线段， ， ， 即， 20．如图1，已知抛物线C1： (n为正整数)的顶点为A，与y轴交于点C，抛物线C2：的顶点为B. （1）当n＝1时，直接写出A点和C点的坐标 （2）随着n值的变化，解答下列问题： ①判断点C是否在直线AB上？并说明理由； ②当BC=2AC时，求n的值． （3）如图2，在抛物线C2上任取一点D，在射线CD上取点P，使DP＝CD． ①当点D在抛物线C2上运动时，在图中描出相应的点P，再用平滑的曲线连接起来，猜想该曲线是哪种曲线？____； ②直接写出该曲线的表达式_____．（用含n的式子表示） 【答案】（1）A(1，2)，C(0，3)；（2）①点C在直线AB上，见解析，②2；（3）①抛物线；② 【分析】(1)当n＝1时代入求出二次函数的解析式，令x=0即可求出C点坐标，根据二次函数的顶点坐标公式即可求出A点坐标； (2)①中将A、B两个顶点坐标用n的代数式表示，求出AB的解析式，再令x=0求出C点坐标，将坐标代入AB解析式中即可判断； ②中作AM⊥y轴，作BN⊥y轴，利用△BNC∽△AMC，即可求解； (3)①中可以选择多个不同的D点画出对应的P点即可得出是抛物线； ②中作DE⊥y轴，作PF⊥y轴，则有DE∥PF，进而得到△CDE∽△CPF，得到，设D(m，(m+n)2+2n+2)，将P点坐标用m和n的代数式表示，再代入抛物线解析式中消去m即可求解． 【详解】解：(1)当n＝1时代入得到二次函数的解析式为 ，令x=0，故 C点坐标为(0，3)， 二次函数的顶点横坐标为，代入解析式中得到纵坐标为2，故A(1，2)； (2)①点C在直线AB上，理由如下： 对于抛物线C1，当时，，∴A（1，n+1）， 当x=0时，y=n+2，∴C(0，n+2)， 由抛物线C2知顶点B(-n，2n+2)， 把A，B两点代入一次函数一般式y=kx+b， 可得，解得， ∴直线AB：， 当x=0时，y=n+2，即点C在直线AB上； ②如下图，作AM⊥y轴，作BN⊥y轴， ∠BNC=∠AMC=90°，且∠BCN=∠ACM， ∴△BNC∽△AMC， 当BC=2AC时，， 即，∴ n=2． (3)①抛物线，理由如下： 分别在抛物线C2上任取一点D1，射线CD1上取点P1，使D1P1＝CD1，再在抛物线C2上任取一点D2，射线CD2上取点P2，使D2P2＝CD2，在抛物线C3上任取一点D3，射线CD3上取点P3，使D3P3＝CD3，可以想象，随着选取的点数越多，P点的轨迹会形成一条新的抛物线，如下图所示： ② 如下图，作DE⊥y轴，作PF⊥y轴，则有DE∥PF， ∴△CDE∽△CPF，∵DP＝CD，∴， 设D(m，(m+n)2+2n+2)，∴， ∴； 故P(，)，令，则， ∴， 整理后即得到表达式为：． 【点睛】本题考查了二次函数顶点式，二次函数的图像及性质，相似三角形的性质等，属于综合题，熟练掌握二次函数的图像及性质是解决本题的关键． 21．在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折至的位置． （1）如图1，当点F落在矩形ABCD内部时，连接CF并延长，交AD于点G，若，，，则GF的长度为________________； （2）如图2，当点C恰好落在AD边上点F处时，若，且，求BC的长； （3）如图3，当点C恰好落在AD边上点F处时，延长EF，与的角平分线交于点M，BM交AD于点N，当时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设CF交BE于点H，利用勾股定理求得，证，利用相似三角形的性质求出的长，由翻折得，求得，最后； （2）由翻折和矩形的性质证出，利用相似三角形的性质运算求出的长，由线段的数量关系得到，利用勾股定理求得的长，再由计算即可； （3）过点作于点，证出，，利用相似三角形的比值关系和角平分线的性质分别用含和的式子表示出，，的长，利用勾股定理可得到，代入后可得到与的数量关系，即可用含的式子表示出，再利用比值关系进行比较即可． 【详解】（1）设CF交BE于点H， ∵四边形为矩形 ∴， ∴ 由翻折可得：， ∴为的中垂线 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 由翻折得 ∴ ∴ 故答案为： （2）∵将沿BE翻折，使点C恰好落在AD边上点F处 ∴， 又∵矩形ABCD中， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ （3）过点作于点 ∵ ∴ ∵， ∴ ∵， ∴ ∴，设 ∵平分，， ∴，，设，则 ∵ ∴ 解得 ∴ ∴ 【点睛】本题主要考查了矩形的翻折综合，其中涉及到了相似三角形的性质及判定，勾股定理，角平分线的性质，熟悉利用相似三角形的比值关系进行列式运算是解题的关键． 22．如图， 抛物线  经过坐标原点O，且顶点为， (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线与x轴正半轴的交点为，点P位于抛物线上且在x轴下方，连接、，若 求点的坐标． (3)抛物线的对称轴上是否存在点 ，使 是等腰三角形，若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，坐标为或或或． 【分析】（1）设抛物线的表达式为，将代入可得； （2）过作轴于，过作轴于，设，求出；根据，，得，故，从而，即可解得答案． （3）根据点 M在对称轴上，是等腰三角形，根据腰的不同情况分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， ； （2）过作轴于，过作轴于，如图：    设， 在中，令得或， ； ，， ， ， ， ， ， ， 解得或（此时与重合，舍去）， 当时，， ∴， （3）∵， ∴， 抛物线的对称轴上是存在点 M，使 是等腰三角形， 若，则点是点关于轴对称，∴点坐标为 若，则点坐标为或， 若，设点坐标为， ∴，，解得：， 则点坐标为． 综上所述：坐标为或或或． 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形相似的判定与性质、等腰三角形的存在性，解题的关键是证明，用对应边成比例列式求出的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$