专题04圆（考题猜想，易错必刷70题20种题型）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题04圆的基本性质（考题猜想易错必刷70题20种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的基本概念 · 判断点与圆的位置关系 · 确定圆的条件 · 三角形的外接圆 · 旋转现象与旋转图案 · 旋转的性质 · 旋转的作图 · 旋转后点的坐标 · 旋转的综合题 · 利用垂径定理求值 · 垂径定理的应用 · 弦、弧、圆心角的关系 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 圆周角定理 · 直径所对的圆周角是直角 · 圆的内接四边形角度问题 · 正多边形角度问题 · 正多边形与圆综合题 · 求弧长 · 求扇形与不规则图形面积 一．圆的基本概念（共4小题） 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 二．判断点与圆的位置关系（共3小题） 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 6．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（    ） A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 三．确定圆的条件（共3小题） 8．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 9．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 四．三角形的外接圆（共4小题） 11．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 12．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．则经画图操作可知：的外心坐标应是 ． 13．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 14．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 五．旋转现象与旋转图案（共4小题） 15．（22-23七年级上·辽宁本溪·开学考试）队列比赛，老师喊得口令是“向右转”，你的身体应该（    ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 17．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 18．（2023·湖北荆州·一模）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 六．旋转的性质（共4小题） 19．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 20．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）一副三角板按图1放置，是边 的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，求的长． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 七．旋转的作图（共3小题） 23．（24-25九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 24．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 25．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点成中心对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 八．旋转后点的坐标（共4小题） 26．（2024·广东·模拟预测）如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 27．（2023·山东青岛·一模）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 28．（2024·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，其中点，，M为对角线的中点．现将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转，则第71次旋转结束时，点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 29．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为 . 九．旋转的综合题（共3小题） 30．（2023·天津红桥·三模）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 31．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系． 32．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 十．利用垂径定理求值（共4小题） 33．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 34．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 35．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 36．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 十一．垂径定理的应用（共4小题） 37．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 38．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（　　） A． B． C． D． 39．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m． 40．（24-25九年级上·北京·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 十二．弦、弧、圆心角的关系（共4小题） 41．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 42．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 43．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    44．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，是的两条直径，是的弦，且，，那么等于吗．说明你的理由．如果，该结论仍成立吗． 十三．同弧或等弧所对的圆周角相等（共3小题） 45．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 46．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 47．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长． 十四．圆周角定理（共3小题） 48．（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 49．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 50．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 十五．直径所对圆周角是直角（共3小题） 51．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 52．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 53．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，分别是的直径和弦，于点，连接、，，，求的长． 十六．圆的内接四边形角度问题（共3小题） 54．（2024九年级下·云南·学业考试）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 55．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 56．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    十七、正多边形角度问题（共3小题） 57．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 58．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 59．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 十八．正多边形与圆综合题（共3小题） 60．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 61．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 62．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 十九．求弧长（共3小题） 63．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 64．（2024九年级下·广东东莞·学业考试）如图，在中，若，，则的长度是（   ）    A．π B． C． D． 65．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 二十．求扇形与不规则图形面积（共5小题） 66．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 67．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 68．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 69．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 70．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． $$ 专题04圆的基本性质（考题猜想易错必刷70题20种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 圆的基本概念 · 判断点与圆的位置关系 · 确定圆的条件 · 三角形的外接圆 · 旋转现象与旋转图案 · 旋转的性质 · 旋转的作图 · 旋转后点的坐标 · 旋转的综合题 · 利用垂径定理求值 · 垂径定理的应用 · 弦、弧、圆心角的关系 · 同弧或等弧所对的圆周角相等 · 圆周角定理 · 直径所对的圆周角是直角 · 圆的内接四边形角度问题 · 正多边形角度问题 · 正多边形与圆综合题 · 求弧长 · 求扇形与不规则图形面积 一．圆的基本概念（共4小题） 1．（23-24九年级下·全国·单元测试）已知的半径是，则中最长弦长是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的认识：熟练掌握与圆有关的概念（ 弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）．利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：∵的半径是， ∴中最长弦长是． 故选：C． 2．（24-25九年级上·江苏南京·开学考试）下列说法：①同一圆上的点到圆心的距离相等；②如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆；③半径确定了，圆就确定了，其中正确的是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查了圆的定义，半径的概念以及确定一个圆的基本要素，熟悉基本概念是解决本题的关键．根据圆的定义，半径，确定一个圆的基本要素进行判定即可． 【详解】解：同一圆上的点到圆心的距离相等，且都等于半径，故①正确； 如果某几个点到一个定点的距离相等，则这几个点共圆，故②正确； 圆心和半径共同确定一个圆，半径确定了，圆心位置不确定，圆也不能确定，故③错误． 故选：A． 3．（2024九年级下·全国·专题练习）如图，在中，点在一条直线上，点在一条直线上，那么图中有弦（　　）    A．2条 B．3条 C．4条 D．5条 【答案】B 【分析】本题考查了圆的认识，圆可以看作是所有到定点的距离等于定长的点的集合，根据弦的定义进行判断即可，掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）是解题关键 【详解】 解：弦为，共有3条， 故选：B． 4．（23-24九年级下·全国·课后作业）已知的半径为3，且A，B是上不同的两点，则弦的范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的认识，掌握弦、直径的概念是解题的关键．根据“连接圆上任意两点之间的线段就是圆的弦，直径是圆中最长的弦”，可以求出弦的范围． 【详解】解：A、是上不同的两点，， ， 的半径为，， 的直径为，直径是圆中最长的弦， ， 故答案为：． 二．判断点与圆的位置关系（共3小题） 5．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的半径是4，，则点P与的位置关系是（  ） A．点P在圆上 B．点P在圆内 C．点P在圆外 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴点P到圆心的距离小于的半径， ∴点P在圆内， 故选：B． 6．（23-24八年级上·山东滨州·开学考试）一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可． 【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则： 此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离 有两种情况： 当此点在圆内时，如图所示， 半径； 当此点在圆外时，如图所示， 半径； 故圆的半径为或 故选：． 7．（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，．分别以为圆心，长为半径作圆、圆，关于点位置，下列叙述中正确的是（    ） A．在圆外部，在圆内部 B．在圆外部，在圆外部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】A 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设的半径为r，点P到圆心的距离，则点P在圆外；点P在圆上；点P在圆内．也考查了三角形三边的关系及三角形内角和定理．先求出，根据大角对大边画出示意图，结合点与圆的位置关系即可解答． 【详解】解： 中，， ， ， 如图，以为圆心，长为半径作圆、圆， ，， 点A在圆外部，在圆内部， 故选：A． 三．确定圆的条件（共3小题） 8．（2024·山西·模拟预测）如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 9．（21-22九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系内的点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，不在同一直线上的三个点确定一个圆．判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 10．（23-24九年级上·江苏盐城·期中）已知平面直角坐标系中的三个点分别为，则A、B、C这三个点 确定一个圆（填“可以”或“不可以”）． 【答案】可以 【分析】本题考查了确定圆的条件：不在同一直线上的三点确定一个圆．用待定系数法求一次函数解析式．先利用待定系数法求出直线的解析式，再根据一次函数图象上点的坐标特征判断点C是否在直线上，然后根据确定圆的条件进行判断． 【详解】解：设直线的解析式为， 把代入得， ， 解得，， 所以直线的解析式为， 当时，， 所以点不在直线上， 即点A、B、C不在同一条直线上， 所以过A、B、C这三个点能确定一个圆． 故答案为：可以 四．三角形的外接圆（共4小题） 11．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）校园内有一块三角形的花坛，现要在花坛内建一景观喷泉，要使喷泉到花坛三个顶点的距离相等，喷泉的位置应选在这个三角形花坛的（    ） A．外心 B．垂心 C．重心 D．内心 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，三角形外心的性质，根据三角形外心的性质即可解答． 【详解】解：∵喷泉到花坛三个顶点的距离相等， ∴喷泉为三角形的花坛三边的垂直平分线的交点，即外心， 故选：A． 12．（22-23九年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点，点，点．则经画图操作可知：的外心坐标应是 ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形外心的知识，注意三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，解此题的关键是数形结合思想的应用． 首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂线，两垂线的交点即为的外心. 【详解】解：的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， 作图得： 与的交点即为所求的的外心， 的外心坐标是， 故答案为：． 13．（22-23九年级上·江苏盐城·阶段练习）在一个直角三角形中，两边长分别是5，12，那么这个三角形的外接圆的半径是 ． 【答案】6或 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心、勾股定理．熟练掌握直角三角形的外接圆半径为斜边边长的一半是解题的关键． 根据题意分两种情况讨论，然后由“直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆”来求该直角三角形外接圆半径即可． 【详解】解：在一个直角三角形中，两边长分别是5，12， 当5，12是直角三角形的两条直角边时， 根据勾股定理知，该直角三角的斜边长为， 此三角形的外接圆的半径是； 当12是直角三角形的斜边时， 此三角形的外接圆的半径是； 综上所述，这个三角形的外接圆的半径是6或． 故答案是：6或． 14．（23-24九年级上·甘肃定西·期末）已知等腰中，，求作的外接圆．（尺规作图，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查的是三角形外接圆的作法，关键是作出任意两边的垂直平分线，找出三角形的外接圆的圆心．由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，可作的任意两边的垂直平分线，它们的交点即为的外接圆的圆心（设圆心为O）；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆． 【详解】解：如图，即为所求， 五．旋转现象与旋转图案（共4小题） 15．（22-23七年级上·辽宁本溪·开学考试）队列比赛，老师喊得口令是“向右转”，你的身体应该（    ） A．顺时针旋转 B．逆时针旋转 C．顺时针旋转 D．逆时针旋转 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的知识，熟练掌握旋转的定义是解题关键．结合生活实际以及旋转的定义，即可获得答案． 【详解】解：队列比赛，老师喊得口令是“向右转”，身体应该顺时针旋转． 故选：A． 16．（23-24八年级下·全国·假期作业）下列现象属于旋转的是（    ） A．摩托车在急刹车时向前滑动 B．电梯上下运动的过程 C．幸运大转盘转动的过程 D．笔直的铁轨上飞驰而过的火车 【答案】C 【分析】本题主要考查旋转，平移的识别，掌握旋转的性质，即旋转前后图形的大小不变，平移的概念等知识是解题的关键． 根据旋转的性质，平移的概念结合实际情况即可求解． 【详解】解：A、摩托车在急刹车时向前滑动是平移，故此选项错误； B、电梯上下运动的过程是平移，故此选项错误； C、幸运大转盘转动的过程是旋转，故此选项正确； D、笔直的铁轨上飞驰而过的火车是平移，故此选项错误； 故选：C． 17．（23-24八年级下·河南平顶山·期中）通过翻折、旋转和平移都能得到的图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了翻折、旋转和平移，根据翻折及旋转的定义即可求解． 【详解】解： A、图形只能通过旋转变换得到，故不符合题意； B、图形通过翻折、旋转和平移都能得到，故符合题意； C、图形只可以通过旋转得到，不符合题意； D、图形可以通过平移得到，故不符合题意； 故选B． 18．（2023·湖北荆州·一模）北京冬奥会将于2022年2月4日在北京和张家口联合举行，如图是冬奥会的吉祥物“冰墩墩”，将图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了生活中的旋转现象，正确掌握旋转方向是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应图形即可． 【详解】解：如图所示：“冰墩墩”图片按顺时针方向旋转90°后得到的图片是： ． 故选：D 六．旋转的性质（共4小题） 19．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，．将绕点C顺时针旋转得到，其中点与点A是对应点，点与点B是对应点．若点恰好落在边上，则点A到直线的距离等于（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】如图，过作于，求解，，结合旋转的性质证明，，，可得为等边三角形，求解，再利用含角的直角三角形的性质及勾股定理即可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由，， ， ∵将绕点C顺时针旋转得到， ，， 为等边三角形， ， ∴， ∴， ∴， ∴A到的距离为1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 20．（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）一副三角板按图1放置，是边 的中点，．如图2，将绕点顺时针旋转，与相交于点，求的长． 【答案】 【分析】设与的交点是M，根据题意，得，继而得到，，根据等腰直角三角形计算解答即可． 【详解】解：设与的交点是M，如图， ∵是边的中点，，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了含角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，解题的关键是掌握含角的直角三角形的性质以及理解三角板中自带的角度． 21．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）【尝试探究】如图1，已知在正方形中，点、分别在边、上运动． (1)当点、分别为、中点时，求证：； (2)当点、分别在边、上运动，时，探究、和的数量关系，加以说明； (3)如图，当点、分别在射线、上运动，时， ①试问中的结论还成立吗？请加以说明； ②直接写出、和之间的数量关系； 【模型建立】如图3，若将直角三角形沿斜边翻折得到，且，点、分别在边、上运动，且，试猜想（2）中的结论还成立吗？请加以说明； 【拓展应用】如图4，已知是边长为的等边三角形三边相等，三个内角均为，，，，以为顶点作一个角，使其角的两边分别交边、于点、，连接，求的周长． 【答案】【尝试探究】（1）见解析；（2），见解析；（3）①结论不成立，见解析；②，见解析；【模型建立】成立，见解析；【拓展应用】 【分析】[尝试探究]（1）根据正方形的性质得，利用证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）①把绕点逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； ②根据全等三角形的性质即可得出、和之间的数量关系； [模型建立]同理作辅助线，将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合，证明，同理可以得出； [拓展应用]把绕点顺时针旋转至，可使与重合，证出，进而得到，即可得的周长． 【详解】[尝试探究]（1）证明：四边形是正方形， ，， 点、分别为、中点， ，， ， ， ； （2）解：． 证明：如图，把绕点顺时针旋转至，可使与重合， ， ，点、、共线， ，， ，即． 在和中， ， ， ， ； （3）解：①（2）中的结论不成立． 证明：如图所示． ， 把绕点逆时针旋转至，可使与重合， ， 点、、在一条直线上． ，，． 又， ． ， ． ． 在和中， ， ． ． ， ， ∴（2）中的结论不成立，、和的数量关系为； ②， 证明：如图所示． 由①知，， ∴， ∴， ∴； [模型建立] 成立，如图，． 证明：将绕顺时针旋转的度数，此时，与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， ∴（2）中的结论还成立，； [拓展应用] 解：是边长为的等边三角形， ，， ， ， ，， 把绕点顺时针旋转至，可使与重合， 由旋转得：，，， ， 同理得：点，，在同一条直线上， ， ， ， ， ，， ， ， ， 的周长． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，正方形的性质，旋转的性质，等边三角形的性质等知识，解此题的关键是根据旋转的性质正确作出辅助线得出全等三角形． 22．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，D为等边内一点，将线段绕点A逆时针旋转，得到线段，连接，． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、旋转的性质及等边三角形的判定及性质，熟练掌握其判定及性质是解题的关键． （1）根据等边三角形的性质得，，根据旋转的性质得，，利用即可得出结论． （2）由（1）得，进而可得，根据旋转的性质可得，，进而可得是等边三角形，则可得，进而可求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴，， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：由（1）得：， ∴， ∵线段绕点A逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 七．旋转的作图（共3小题） 23．（24-25九年级上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，．将绕原点顺时针旋转得到，点，，的对应点分别为，，． (1)画出旋转后的； (2)直接写出点的坐标； (3)求的面积． 【答案】(1)作图见解析 (2)点的坐标 (3) 【分析】本题考查作图旋转变换、坐标与图形、网格中求三角形面积等，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，，的对应点，，即可； （2）由（1）中的作图，根据点的位置写出坐标即可； （3）利用网格求三角形面积即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示： 即为所求； （2）解：由（1）可知，点的坐标； （3）解：如图所示： ． 24．（24-25九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，已知的三个顶点坐标分别是，，． (1)请画出与关于原点对称的，并写出点的坐标； (2)将绕原点顺时针旋转后得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析， (2)图形见解析， 【分析】本题考查作图-旋转变换、画关于原点对称图形、写出直角坐标系中点的坐标，准确作图是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图，即可得出答案； （2）根据旋转的性质作图，即可得出答案． 【详解】（1）如图，即为所求， 由图可得，点的坐标为； （2）如图，即为所求， 由图可得，点的坐标为． 25．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)若和关于原点成中心对称，画出； (2)将绕点顺时针旋转得到，画出，并写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析；点的坐标为． 【分析】此题考查了中心对称和旋转的作图， （1）找到关于原点成中心对称的对应点，顺次连接即可； （2）找到绕点顺时针旋转得到的对应点，顺次连接即可； 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求，点的坐标为． 八．旋转后点的坐标（共4小题） 26．（2024·广东·模拟预测）如图，正方形、的两边、分别在轴．轴上，点在边上，以为中心，把旋转，则旋转后点的对应点的坐标是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了正方形性质，坐标与图形变换——旋转，求直角坐标系中点的坐标，做题时分两种情况，顺时针和逆时针旋转，作出相应图形进行计算即可．作出图形分类讨论是解答本题的关键． 【详解】解：顺时针旋转时，如下图： ， 正方形的边长为， ，， 四边形是正方形， ， 由旋转性质可得：，， 在x轴上， ； 逆时针旋转时，如下图： 由旋转性质可得：，，，， 在y轴上，轴， ， ， 综上，的坐标为或 故选：C． 27．（2023·山东青岛·一模）如图，已知三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移3个单位，得到，点，，的对应点分别为，，，再将绕点顺时针旋转，得，点，，的对应点分别为、、则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化：旋转变化、平移变化，解题的关键是正确作出图形．利用平移变换，旋转变换的性质正确作出图形，可得结论． 【详解】解：如图，． 故选：B． 28．（2024·河南郑州·三模）如图，在平面直角坐标系中，已知四边形为平行四边形，其中点，，M为对角线的中点．现将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转，则第71次旋转结束时，点M的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形的旋转，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，求得点M开始的坐标，作出旋转后点M的对应点，过点作，垂足为，可证，得到点的坐标，再同理推出后续的点旋转对应的点的坐标，由每旋转4次为一个循环，即可得出第71次旋转结束时，点M的坐标，即可求解，通过旋转角度找到旋转规律是解题的关键． 【详解】解：如图，作出旋转后点M的对应点，过点作，垂足为， 四边形为平行四边形，M为对角线的中点， 为对对角线的中点， , 将平行四边形绕原点O顺时针旋转，每次转， ， , ，， ， ， ， , ，同理可得， 第2次旋转结束时，点M的坐标为， 第3次旋转结束时，点M的坐标为， 第4次旋转结束时，点M的坐标为， 每旋转4次为一个循环， ， 第71次旋转结束时，点M的坐标为， 故选：D． 29．（24-25九年级上·湖北省直辖县级单位·阶段练习）在平面直角坐标系中，将点绕原点逆时针旋转得到点，则的坐标为 . 【答案】 【分析】本题主要考查坐标与图形变化-旋转、全等三角形的性质等知识点，正确添加常用辅助线、构造全等三角形是解题的关键． 如图，过点P作轴于点D，过点轴于点，构造全等三角形，然后根据全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：如图，过点P作轴于点D，过点轴于点， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， 在和中， , ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 九．旋转的综合题（共3小题） 30．（2023·天津红桥·三模）在平面直角坐标系中，点，点在x轴的负半轴上，．将绕点顺时针旋转，得，点旋转后的对应点为．记旋转角为．    (1)如图①，当时，求与的交点的坐标； (2)如图②，连接，当经过点A时，求的长； (3)设线段的中点为，连接，求线段的长的取值范围(直接写出结果即可)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）过点作轴，利用，可得，利用和可得点D是OB的中点，从而得知点D的横坐标，利用和是等边三角形可得，即点D的纵坐标，从而得解； （2）过点作轴，垂足为，推导，从而得出，再计算，用勾股定理得，从而得解； （3）取线段的中点N，连接、，则，用中位线定理求，用勾股定理求，最后利用求范围． 【详解】（1）解：如图，过点作轴，垂足为．    ∵点， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴是等边三角形， ∵，轴 ∴． ∴． ∴点的坐标为． （2）解：如图，过点作轴，垂足为．    由旋转得，． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，． （3） 解：取线段的中点N，连接、，则    ∵点M是线段的中点，点N是线段的中点， ∴ 由旋转的性质得：， ∴ ∴ 即 【点睛】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质，中位线定理，勾股定理等知识，掌握旋转的性质和正确作出辅助线是解题的关键． 31．（23-24八年级下·北京海淀·期末）已知是等边三角形，点在的延长线上，以为旋转中心，将线段逆时针旋转得线段，连接，．    (1)如图1，若，画出时的图形，直接写出和的数量及位置关系； (2)当时，若点为线段的中点，连接．直接写出和的数量关系． 【答案】(1)图见解析，， (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的判定与性质和含30度角的直角三角形的性质是解题关键． （1）根据旋转的定义画图即可，再证出是等边三角形，然后证出四边形是矩形，由此即可得出结论； （2）以为边作等边三角形，连接，根据等边三角形及全等三角形的判定和性质得出，，再由旋转的性质得出点H、P、Q三点共线，结合图形即可求解． 【详解】（1）解：画图如下：   和的数量及位置关系为，，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∴， 由旋转的性质可知，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴点在同一条直线上， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形（对角线互相平分且相等的四边形是矩形）， ∴，． （2），理由如下： 以为边作等边三角形，连接，如图所示： ∵和都是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∵将线段逆时针旋转得线段， ∴， ∵， ∴点H、P、Q三点共线， ∵， ∴， ∴． 32．（2024·浙江嘉兴·三模）在中，，以点为中心，将顺时针旋转，得到；再以点为中心，将顺时针旋转，得到；连结，    (1)如图，若，，求的长； (2)如图，，探究与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)平行，理由见详解 【分析】（1）通过旋转的性质得，和，证明四边形为正方形，再根据正方形的性质即可求出． （2）过点作交于点，由旋转的性质和平行线的性质可得，易证，因为，所以四边形为平行四边形，故可得出． 【详解】（1）解：根据旋转性质可得当时，， ∴四边形为矩形， ∵旋转的性质可得， ∴四边形为正方形， ∴． ∴的长为． （2）与的位置关系是平行． 理由：如图，过点作交于点，    则， 由旋转的性质可得，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴． ∴与的位置关系是平行． 【点睛】本题考查了正方形的性质和判定，平行四边形的性质和判定，旋转的性质，平行线的性质的判定，等腰三角形的性质和判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 十．利用垂径定理求值（共4小题） 33．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，为的内接三角形，O为圆心，于点D，于点E，若，则 ． 【答案】10 【分析】本题考查了三角形中位线判定和性质，圆的垂径定理，熟记相关定理是解题的关键．由于点，于点，根据垂径定理可得，根据三角形中位线定理可得，即可得出结论． 【详解】解：∵为的内接三角形，于点，于点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：10． 34．（2023·河南驻马店·二模）如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 35．（2023九年级上·全国·专题练习）如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相交于C，D两点．    (1)求证：； (2)若，，大圆的半径，求小圆的半径r的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查垂径定理和勾股定理，利用垂径定理构造直角三角形从而利用勾股定理求解是解题的关键． （1）过O作于点E，由垂径定理可得，，再用等式的性质即可得证； （2）连接、，利用垂径定理求出，在中，由勾股定理求出，然后在中，利用勾股定理即可求出． 【详解】（1）证明：过O作于点E，如图， 由垂径定理可得，， ∴， ∴； （2）解：连接、，如图，    ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴在中，， ∴ ，即小圆的半径r为 36．（23-24九年级上·四川广安·期中）如图，圆内接四边形，是的直径，交于点E． (1)求证：点D为的中点； (2)若，求． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查的是垂径定理； （1）由垂径定理可得； （2）先根据垂径定理求出，圆周角定理得，根据勾股定理得到，得到半径，由勾股定理求出，由求解即可． 【详解】（1）∵是的直径，， ∴， 即点D为的中点； （2）∵是的直径，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴． 十一．垂径定理的应用（共4小题） 37．（2024·陕西西安·模拟预测）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载了这样一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问：径几何？”用现在的几何语言表达即：如图，为的直径，弦于点E，寸，寸，则的长为（    ） A．26寸 B．13寸 C．24寸 D．12寸 【答案】A 【分析】此题考查了学生对垂径定理的运用与掌握，注意利用圆的半径，弦的一半及弦心距所构成的直角三角形来解决实际问题，连接构成直角三角形，先根据垂径定理，由垂直得到点E为的中点，由可求出的长，再设出设圆O的半径的长为x，表示出，根据勾股定理建立关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，即为圆的半径，把求出的半径代入即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵ ∴， 设圆O的半径的长为x，则， ∵， ∴， 在直角三角形中，根据勾股定理得： ，化简得：， 即， 解得：， ∴（寸）． 故选：A． 38．（2022·辽宁抚顺·模拟预测）在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，根据垂径定理、勾股定理求出即可 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，的延长线交于点C，连接，则， 在中， ∴ ∴, 故选：A． 39．（23-24九年级下·四川成都·开学考试）石拱桥的主桥拱是圆弧形．如图，一石拱桥的跨度，拱高，那么桥拱所在圆的半径 m． 【答案】10 【分析】本题主要考查了桥拱问题，熟练利用勾股定理和垂径定理，是解答问题的关键． 设圆弧形桥拱所在圆的半径为r，则，根据 得到，中根据，解得． 【详解】设圆弧形桥拱所在圆的半径为r， 则， ∵，， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， 解得． 故圆弧形拱桥所在圆的半径是10米． 故答案为：10． 40．（24-25九年级上·北京·阶段练习）“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的应用，例如古典园林中的门洞，如图，某地园林中的一个圆弧形门洞的高为2.7m，地面入口宽为1.8m，求该门洞的半径． 【答案】该门洞的半径为． 【分析】本题主要考查垂径定理的应用．设半径为，根据垂径定理和勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设圆的半径为， 由题意可知，，，， 中，，即， 解得． 答：该门洞的半径为． 十二．弦、弧、圆心角的关系（共4小题） 41．（23-24九年级下·全国·单元测试）如图，在中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系，由逐一分析各选项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，故A不符合题意； ∴， ∴，故B不符合题意； ∴，故C不符合题意； ∵不一定为的中点， ∴不一定成立，故D符合题意； 故选D 42．（23-24九年级上·江苏连云港·阶段练习）直径为的中，弦，则弦所对的圆心角是 ． 【答案】/60度 【分析】连接、，证明为等边三角形得到即可． 【详解】解：如图，连接、，    直径为， ， 而， ， 为等边三角形， ， 即弦所对的圆心角是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆心角，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题的关键． 43．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，是的直径，，，则的度数为 ．    【答案】144°/144度 【分析】根据同弧所对的圆心角相等求出，进而求解即可． 【详解】∵，， ∴ ∴． 故答案为：． 【点睛】此题考查了同弧所对的圆心角相等，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 44．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知，是的两条直径，是的弦，且，，那么等于吗．说明你的理由．如果，该结论仍成立吗． 【答案】，理由见解析；论仍成立 【分析】本题考查了等边对等角，平行线的性质，圆心角与弧的关系，作出辅助线是解决本题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质可得，，再由，可求出，然后求出的度数，即可解答；如果，同理可解答． 【详解】解：，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； 若， 如图，连接， ∵，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， 即，该结论仍成立． 十三．同弧或等弧所对的圆周角相等（共3小题） 45．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，是半圆的直径，为圆心，是半圆上的点，是上的点．连接，若，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，根据圆周角定理求出及的度数，进而可得出结论，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵是半圆的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 46．（2024·安徽合肥·三模）如图，的两条弦，垂足为，点在上，平分，连接，分别交于于． (1)求证：； (2)连接，若的半径为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，作出合理的辅助线并熟练运用圆周角定理、三角形中位线定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理求出，结合对顶角相等及三角形内角和定理求出，根据直角三角形的性质求出，根据“等角对等边”即可得证； （2）连接，，，，结合圆周角定理、三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出为的中点，为的中点，根据三角形中位线的判定与性质求．根据圆周角定理求出，进而推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：， ， 平分， ， 又， ， 又， ， ， ， ∵， ∴， ， ； （2）解：如图，连接，，，， ，， ， ， 又， 为的中点． 由（1）知，， 为的中点， 是的中位线， ． ， ， 是等腰直角三角形， ． ， ， ． 47．（2024九年级上·贵州·专题练习）如图，是的外接圆，是的直径，于点E． (1)求证：； (2)连接并延长，交于点G，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，中位线性质，解题的关键是熟练掌握垂径定理． （1）根据垂径定理和圆周角定理进行判断即可； （2）根据垂径定理得出点为的中点，根据点是的中点，得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：是的直径，， ， ； （2）解：根据题意，如图所示： 是的直径，， 点为的中点， 点是的中点， 是的中位线，即， ， ． 十四．圆周角定理（共3小题） 48．（2024·安徽·模拟预测）为的外接圆，，为的直径，若，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等可得，再利用等腰三角形的性质可得，从而利用三角形内角和定理可得，最后利用同弧所对的圆周角相等可得，即可解答． 【详解】为的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 49．（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，半径，连接，交于点E，，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，圆周角定理以及三角形的外角性质．先根据垂径定理，求得，利用圆周角定理求得，再利用三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：∵半径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 50．（23-24九年级上·福建厦门·阶段练习）如图，是的外接圆，，，垂足为，，，则 【答案】/ 【分析】连接，，，作于，于，，四边形是矩形，证明，是等腰直角三角形，由勾股定理得，，最后由线段和差即可求解． 【详解】如图，连接，，，作于，于， 则，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 十五．直径所对圆周角是直角（共3小题） 51．（2024·江西南昌·模拟预测）如图，在中，，，的外接圆的半径为3，D是边延长线上一点，连接，交于点E，连接．若为等腰三角形，则线段的长度为 ． 【答案】6或或 【分析】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，勾股定理，分类讨论是解题的关键．根据勾股定理得到，①当时，②当时，③当时，根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】解：， 是的直径， ， ， ①当时， ， ②当时， ③当时， ， 综上所述，若为等腰三角形，线段的长度为6或或， 故答案为：6或或． 52．（2024·福建龙岩·模拟预测）如图，矩形中，，点E是矩形内部一动点，且，已知的最小值等于2，则矩形的周长= ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形的性质，的圆周角所对的弦为直径，勾股定理等知识．确定点的运动轨迹是解题的关键． 由，可得，则，即点E在以为直径的半上运动，如图，当点O，E，D三点共线时，取最小值2，设，则，，，由勾股定理得，，即，可求．则，根据矩形的周长，求解作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 点E在以为直径的半上运动， 如图， ∴当点O，E，D三点共线时，取最小值2， 设，则，，， 由勾股定理得，，即， 解得，． ∴， 矩形的周长， 故答案为：． 53．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，分别是的直径和弦，于点，连接、，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，垂径定理，勾股定理，能根据垂径定理求出的长是解答此题的关键．先根据圆周角定理得到，由勾股定理即可求出的长，再根据于点D可得出，再由勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又∵，， ， 于点D， ∴， ∴． 十六．圆的内接四边形角度问题（共3小题） 54．（2024九年级下·云南·学业考试）如图，四边形内接于，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆内接四边形的对角互补计算即可． 【详解】解：， ， 四边形内接于， ， ， 故选：A 55．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 56．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    【答案】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 十七、正多边形角度问题（共3小题） 57．（2024·广东东莞·三模）如图，点O是正五边形的中心，连接，则的度数为 ． 【答案】18 【分析】本题考查正多边形和圆，掌握正五边形的性质，等腰三角形的性质以及三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据正五边形的性质，可得，由此得到，再利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点O是正五边形的中心， ∴， 在中，，， ∴． 故答案为：18． . 58．（23-24九年级下·上海黄浦·阶段练习）如图，正六边形内接于，点M在上，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查了正六边形的性质、圆周角定理；熟练掌握正六边形的性质，由圆周角定理求出是解决问题的关键． 连接，由正六边形的性质得出，由圆周角定理即可求解． 【详解】解：如图：连接， ∵多边形是正六边形， ， ， ， 故答案为：． 59．（2024·江苏南京·一模）如图，是正八边形的两条对角线，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了正八边形与圆，正多边形的性质应用是解题的关键．设正八边形中心为点O，连接，求出中心角，设，得到，即可得到答案． 【详解】解：设正八边形中心为点O，连接，如图， ∵多边形为正八边形， ∴中心角， 设， ∴ ∴， 故答案为： 十八．正多边形与圆综合题（共3小题） 60．（2024·内蒙古·中考真题）如图，正四边形和正五边形内接于，和相交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接正多边形的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，对顶角的性质，直角三角形的性质，连接，设与相交于点，由圆的内接正多边形的性质可得，，即得，即可由圆周角定理得，进而由三角形内角和定理得，再由直角三角形两锐角互余得到，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，设与相交于点， ∵正四边形和正五边形内接于， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 61．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，已知的内接正十边形，交，于，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据圆心角的计算可得，，由此可得，根据同弧所对圆心角是圆周角的2倍可得，根据三角形内角和可得，根据正十边形的性质，内角和定理可得，由此可得，根据平行线的判定即可求解； （2）根据（1）的计算，可得，，再根据即可求解． 【详解】（1）证明：如图所示，连接，则， ∵是内接正十边形的边长， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵内接正十边形， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正多边形与圆的综合，掌握正多形的性质，多边形内角和定理，圆心角的计算，等腰三角形的性质，同弧所对圆心角与圆周角的关系，平行线的判定等知识，图形结合分析是解题的关键． 62．（22-23九年级上·全国·单元测试）如图，、分别是的内接正三角形、正方形、正五边形的边、上的点，且，连接、． (1)图①中的度数是_____； (2)图②中的度数是_____，图③中的度数是_____； (3)若、分别是正边形…的边、上的点，且，连接、，则的度数是_____． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】此题考查的是圆周角定理、全等三角形的判定与性质、圆心角的计算，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）连接，由圆周角定理即可求出，由全等三角形的判定与性质即可得到； （2）连接，分别求出图②③中的的度数，由全等三角形的判定与性质即可得到； （3）由前三个图可得到规律在正n边形中，的度数为． 【详解】（1）解：如图1中，连接． ， 分别为的平分线， ， 在和中， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）如图②，连接， 为正方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ； 如图③，连接， 为正五边方形， ， 同（1）中的证明方法可得， ， ， 故答案为：，； （3）在图①中，， 在图②中，， 在图③中，， 故在正n边形中，的度数为， 故答案为：． 十九．求弧长（共3小题） 63．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，在半径为的上，为上一动点，将射线绕逆时针旋转交于，取的中点，求在的运动过程中的路径长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理推论，圆内接四边形，圆周角定理，弧长公式，当点重合时，，由为中点，则，当点在运动过程中，在以为圆心，为半径的上运动，然后根据弧长公式即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图，取圆上一点， ∵，， ∴， ∴， 如图，当点重合时， ∵， ∵为中点， ∴， ∴， ∴为直径， 当点在运动过程中，在以为圆心，长度为半径的上运动， ∵为中点，为中点， ∴， ∴， ∴在的运动过程中的路径长为， 故选：． 64．（2024九年级下·广东东莞·学业考试）如图，在中，若，，则的长度是（   ）    A．π B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，弧长公式，掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理可得，继而根据弧长公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴的长． 故选：B． 65．（2024·山西·二模）如图，在中，，，．将绕的中点O逆时针旋转，点A，B，C的对应点分别为点D，E，F．当点E与点C第一次重合时，点A运动路径的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了弧长公式，直角三角形的特征，旋转的性质，连接，由直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，得到，进而得到，则，易知点E 与点C 第一次重合时，旋转角为，根据旋转的性质得到，点A 运动路径的长为，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，点O是的中点，， ， ， ， ， 点E与点C第一次重合时，旋转角为， ， 由旋转的性质得到， 点A运动路径的长为， 点A运动路径的长为：， 故选：A． 二十．求扇形与不规则图形面积（共5小题） 66．（2024·安徽·模拟预测）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若图中阴影部分的面积为，空白部分的面积为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了等边三角形的性质，扇形面积公式，由是等边三角形，得，，过作于点，然后由勾股定理得，求出，，然后代入求值即可，熟练掌握等边三角形的性质和扇形面积公式是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， 设， 如图，过作于点， ∴，，， ∴由勾股定理得：， ∴，即， 则， ∴， 故选：． 67．（2024九年级上·江苏·专题练习）如图，半径，将圆沿折叠，点与圆心重合，图中阴影部分面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，，，，与交于，由折叠的性质可证，是等边三角形，由扇形面积公式可计算出扇形的面积，再求出的面积，由可求出阴影面积．本题考查了扇形面积的计算，等腰三角形的性质，轴对称的性质，含的直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握分割法求阴影面积． 【详解】解：连接，，，，与交于， 由折叠性质可得，，，， ， ，， ∴，是等边三角形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 故选：D． 68．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，在边长为1的正方形中，以各顶点为圆心，对角线的长的一半为半径在正方形内画弧，则图中阴影部分的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形面积以及图形面积之间的转化． 图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和，图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，由此可计算出阴影部分的面积． 【详解】解：图中阴影部分可以分为四个相同的图形1，图形1如下图所示： 图中阴影部分的面积四个相同的图形1的面积之和， 图形1的面积四边形的面积两个全等的弓形面积，四边形和弓形如下图所示： 四边形的面积， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积，扇形和三角形如下图所示： 扇形的面积， 三角形面积， 弓形的面积， 图形1的面积， 图中阴影部分的面积图形1的面积． 故选：A． 69．（2024·山西晋城·三模）如图，在四边形中，先以点A为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点C，再以点C为圆心，长为半径画弧，此弧恰好经过点A．若，则图中阴影部分的面积为（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了扇形的面积、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，过点作于点，先证出是等边三角形，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接，过点作于点，    由题意可知，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 则图中阴影部分的面积为 ， 故选：A． 70．（2024·广东·模拟预测）如图，在扇形中放置三个边长均为1的正方形方格，点O为扇形的圆心，格点A，B，C分别在扇形的两条半径和弧上，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了扇形的面积，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．连接，先根据正方形的性质可得，扇形的半径，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：如图，连接， 由题意得：，扇形的半径， 则图中阴影部分的面积为 ， 故答案为：． $$