专题04圆（考点清单，19清单&17题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单04 圆的基本概念（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【清单02】点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 【清单03】定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 【清单04】三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【清单05】旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【清单06】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【清单07】垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【清单08】垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【清单09】圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 【清单10】圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 【清单11】圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 【清单12】圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单13】圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 【清单14】圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【清单15】正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【清单16】正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 【清单17】正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【清单18】弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【清单19】扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【考点题型一】圆的基本概念 【例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-1】下面说法错误的是（    ） A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍 C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关 【变式1-2】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【考点题型二】点与圆的位置关系 【例2】如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【变式2-1】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【变式2-2】如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 【变式2-3】在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是 ． 【考点题型三】三角形的外接圆 【例3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【变式3-1】若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【变式3-2】如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【变式3-3】如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【变式3-4】如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【考点题型四】确定圆的条件 【例4】如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式4-2】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【考点题型五】旋转的生活现象 【例5】下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【变式5-1】下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【考点题型六】旋转图形的判断 【例6】杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】旋转坐标的变化 【例7】如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 【考点题型八】旋转的性质 【例8】如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【变式8-1】如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．    (1)求证：． (2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到． (3)若，求四边形的面积． 【考点题型九】利用垂径定理求值 【例9】如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】如图，为直径，弦，垂足为点，则长为 ．    【变式9-2】如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【考点题型十】垂径定理的应用 【例10】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【变式10-1】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【变式10-2】高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【考点题型十一】画旋转图形 【例11】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________． 【变式11-1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的． (2)点的坐标为　　，点的坐标为　　． 【变式11-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点时网格线的交点） (1)将绕C点顺时针旋转，得到，请画出； (2)求线段的长度为 ． 【考点题型十二】利用弦、弧、圆心角的关系求解 【例12】如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【变式12-1】如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． 【变式12-2】如图，在中，，于点，于点．求证：． 【考点题型十三】圆周角定理 【例13】如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 【变式13-1】如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，，则 °． 【变式13-2】如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【变式13-3】如图，在中，弦，相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，，若是的直径，，求的长． 【考点题型十四】四边形的外接圆 【例14】如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【变式14-1】如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【变式14-2】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【变式14-3】若四边形为内接四边形，，则 °． 【考点题型十五】正多边形 【例15】如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【变式15-2】如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    【变式15-3】若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于 °． 【变式15-4】如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 【考点题型十六】求弧长 【例16】将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【变式16-1】如图，的弦，，为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，交于点，则点从点运动到点的过程中，点所运动的路径长是（     ） A． B． C． D． 【变式16-2】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【考点题型十七】求扇形面积 【例17】如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【变式17-1】如图，为半圆O的直径，，，D为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【变式17-2】如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 2．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 4．下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 6．如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 8．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 9．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 10．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 11．如图，以平行四边形的一边为直径作，若过点 C，且， 则 12．如图，E、F分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点G，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值为 ． 13．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 14．如图，和内接于，与相交于点．若，，则的度数为 ． 15．如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 16．如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度长米，拱高弧的中点到弦的距离为米，则该圆弧所在圆的半径是 米 17．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 18．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 19．如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 20．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 21．如图，为的直径，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 22． 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． (1)的度数为_____； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 23．如图，四边形内接于，为直径，，于． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长； (3)在（）条件下，如图，是线段上一点，，连接并延长交于，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 圆的基本概念（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】圆的定义 1．在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O． 注意：（1）圆指的是“圆周”，即一条封闭的曲残，而不是“圆面”。 （2）“圆上的点”指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。 （3）确定一个圆需要两个要素:一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。 【清单02】点和圆的位置关系 点和圆的 位置关系 点到圆心的距离与半径的关系 图示 文字语言 符号语言 点在圆内 圆内各点到圆心的距离都小于半径， 到圆心的距离小于半径的点都在圆内 点在圆内 点在圆上 圆内各点到圆心的距离都等于半径， 到圆心的距离等于半径的点都在圆上 点在圆上 点在圆外 圆内各点到圆心的距离都大于半径， 到圆心的距离大于半径的点都在圆外 点在圆外 注意：（1）利用与的数量关系可以判断点和圆的位置关系；同时，知道了点和圆的位置善长，也可以确定与的数量关系。 （2）符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端。 （3）弦、弧、圆心角 1．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是同一圆中最长的弦，直径等于半径的2倍． 2．圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧． 3． 圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧． 4．从圆心到弦的距离叫做弦心距． 5．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形． 6．顶点在圆心的角叫做圆心角． 【清单03】定理：不在同一直线上的三点确定一个圆． 注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆； ⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”． 【清单04】三角形的外接圆 ⑴经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形． ⑵三角形外心的性质： ①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等； ②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合. ⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）. 【清单04】旋转的概念 一般地，一个图形变为另一个图形，在运动的过程中，原图形上的所有点都绕一个固定的点，按同一个方向，转动同一个角度，这样的图形运动叫做图形的旋转.这个固定的定点叫做旋转中心，转过的角叫做旋转角.如下图，点O为旋转中心，∠AOA′（或∠BOB′或∠COC′）是旋转角. 注意： （1）旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. （2）如上图，如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么这两个点叫做这个图形旋转的对应点. 点B与点B′，点C与点C′均是对应点，线段AB与A′B′、线段AC与A′C′、线段BC与B′C′均是对应线段. 【清单05】旋转的性质 一般地，图形的旋转有下面的性质： (1)图形经过旋转所得的图形和原图形全等； (2)对应点到旋转中心的距离相等；　　 (3)任意一对对应点与旋转中心连线所成的角度等于旋转的角度.　 要点：图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【清单06】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 注意：作图的步骤： (1)连接图形中的每一个关键点与旋转中心； (2)把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； (3)在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； (4)连接所得到的各对应点. 【清单07】垂径定理 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 如图，几何语言为： AE=BE 要点：CD是直径 CD⊥AB 2.推论 　　定理1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧. 　　定理2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦.　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点： （1）分一条弧成相等的两条弧的点，叫做这条弧的中点. （2）这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段. 【清单08】垂径定理的拓展 根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论： （1） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； （2） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧. （3） 圆的两条平行弦所夹的弧相等． 注意： 在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 【清单09】圆心角与弧的定义 1.圆心角定义：顶点在圆心的角叫做圆心角．如图所示，∠AOB就是一个圆心角. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 要点：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征； (2)圆心角∠AOB所对的弦为线段AB，所对的弧为弧AB. 2. 1°的弧的定义 1°的圆心角所对的弧叫做1°的弧.如下图， 要点： (1)圆心角的度数和它所对的弧的度数相等. 注意不是角与弧相等.即不能写成圆心角∠AOB=. （2）在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.等弧的长度相等，所含度数相等（即弯曲程度相等）. 【清单10】圆心角定理及推论 1.圆心角定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等． 要点：(1)圆心到圆的一条弦的距离叫做弦心距。(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对两条弦的弦心距相等。(3)注意定理中不能忽视“同圆或等圆”这一前提. 2.圆心角定理的推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各对应量都相等. 要点：在同圆或等圆中，弦，弧，圆心角，弦心距等几何量之间是相互关联的，即它们中间只要有一组量相等，(例如圆心角相等)，那么其它各组量也分别相等(即相对应的弦、弦心距以及弦所对的弧也分别相等). *如果它们中间有一组量不相等，那么其它各组量也分别不等 【清单11】圆周角 圆周角定义： 　像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角． 　　　　　 【清单12】圆周角定理： 内容：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 要点：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图） 1.圆周角定理的推论1：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 2.圆周角定理的推论2：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等,相等的圆周角所对的弧也相等. 【清单13】圆内接四边形 　如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆. 【清单14】圆内接四边形性质定理 圆内接四边形的对角互补. 圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）. 要点：圆内接四边形的性质是沟通角相等关系的重要依据，在应用此性质时，要注意与圆周角定理结合起来．在应用时要注意是对角，而不是邻角互补． 【清单15】正多边形的概念 　　各边相等，各角也相等的多边形是正多边形． 要点：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形). 【清单16】正多边形的重要元素 1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形 　　正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆． 2.正多边形的有关概念 　　(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心． 　　(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径． 　　(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角． 　　(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距． 3.正多边形的有关计算 　　(1)正ｎ边形每一个内角的度数是； 　　(2)正ｎ边形每个中心角的度数是； 　　(3)正ｎ边形每个外角的度数是. 要点：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形. 【清单17】正多边形的性质 　　1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形. 　　2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形. 　　3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心. 　　　　　　　　 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 要点：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形. 【清单18】弧长公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的弧长(圆的周长)公式： 　　n°的圆心角所对的圆的弧长公式：(弧是圆的一部分) 要点：(1)对于弧长公式，关键是要理解1°的圆心角所对的弧长是圆周长的，即； 　　(2)公式中的ｎ表示1°圆心角的倍数，故ｎ和180都不带单位，R为弧所在圆的半径； 　　(3)弧长公式所涉及的三个量：弧长、圆心角度数、弧所在圆的半径，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 【清单19】扇形面积公式 1.扇形的定义 　　由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧所围成的图形叫做扇形. 2.扇形面积公式 　　半径为R的圆中360°的圆心角所对的扇形面积(圆面积)公式： 　　n°的圆心角所对的扇形面积公式： 要点：(1)对于扇形面积公式，关键要理解圆心角是1°的扇形面积是圆面积的 即 　　 (2)在扇形面积公式中，涉及三个量：扇形面积S、扇形半径R、扇形的圆心角，知道其中的两个量就可以求出第三个量. 　　(3)扇形面积公式，可根据题目条件灵活选择使用，它与三角形面积公式有点类似，可类比记忆； 　　(4)扇形两个面积公式之间的联系：. 【考点题型一】圆的基本概念 【例1】以下命题：（1）等弧所对的弦相等；（2）相等的圆心角所对的弧相等；（3）三点确定一个圆；（4）圆的对称轴是直径；（5）三角形的内心到三角形三边距离相等．其中正确的命题的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用圆的有关定义及性质分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解圆的有关定义及性质． 【详解】解：（1）等弧所对的弦相等，正确，符合题意； （2）同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故原命题错误，不符合题意； （3）不在同一直线上的三点确定一个圆，故原命题错误，不符合题意； （4）圆的对称轴是直径所在的直线，故原命题错误，不符合题意； （5）三角形的内心到三角形三边距离相等，正确，符合题意； 正确的命题有2个， 故选：B．． 【变式1-1】下面说法错误的是（    ） A．圆有无数条半径和直径 B．直径是半径的2倍 C．圆有无数条对称轴 D．圆的大小与半径有关 【答案】B 【分析】本题主要考查了圆的相关概念，明确在同一个圆和等圆内、所有的半径都相等、所有的直径都相等、所有直径是半径的2倍成为解题的关键． 根据圆的特征逐项分析即可解答． 【详解】解：A．圆有无数条半径和直径，说法正确； B．由直径的定义可知，同一个圆的直径是半径的2倍，选项缺少在同一个圆中，故说法错误； C．因为圆是轴对称图形，且它的直径所在的直线就是其对称轴，而圆有无数条直径，所以圆就有无数条对称轴； D．圆的大小和圆的半径有关，说法正确． 故选：B． 【变式1-2】如图，在中，是直径，是弦，点P是劣弧上任意一点．若，则的长不可能是（    ）    A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查直径是最长的弦，由是直径得是中最长的弦，且，故有，所以可得结论． 【详解】解：是直径， ∴是中最长的弦， ∴， ∵ ∴ ∴只有选项D符合题意， 故选：D． 【考点题型二】点与圆的位置关系 【例2】如图，已知⊙O及其所在平面内的4个点．如果半径为5，那么到圆心O距离为7的点可能是（　　） A．P点 B．Q点 C．M点 D．N点 【答案】C 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，根据点在圆上，则；点在圆外，；点在圆内，（d即点到圆心的距离，r即圆的半径）． 【详解】解：∵半径为5， ∴，，，， ∴到圆心O距离为7的点为点， 故选：C． 【变式2-1】如图，在中，，，，，分别是上的高线和中线．如果是以点为圆心，为半径的圆，那么下列判断中，正确的是（　　） A．点，均在内 B．点，均在外 C．点在内，点在外 D．以上选项都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，点与圆的位置关系的判定，掌握根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断是解题的关键．先利用勾股定理求得的长，再根据面积公式求出的长，根据勾股定理求出的长，根据中线的定义求出的长，然后由点、到点的距离判断点、与圆的位置关系即可． 【详解】解：在中，，，， ， 、分别是上的高和中线， ，， 即， ， ， ，， 点在内、点在外， 故选：． 【变式2-2】如图，正方形的边长为4，点P是以为直径的半圆O上一点，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查的是圆外一点与圆的距离的最小值，勾股定理的应用，如图，连接，，交半圆O于点，利用勾股定理求解，再进一步可得答案． 【详解】解：如图，连接，，交半圆O于点， ， 在中，，， ∴， 当点P与点重合时，取得最小值． 故答案为： 【变式2-3】在平面直角坐标系中，圆心为坐标原点O，的半径为5，则点与的位置关系是 ． 【答案】点在上 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的三种位置关系是解题的关键．根据勾股定理求出的长，再与的半径比较即可． 【详解】解：点， 的半径为5， 点在圆上， 故答案为：点在上． 【考点题型三】三角形的外接圆 【例3】如图，A、O在网格中小正方形的顶点处，每个小方格的边长为1，在此网格中找两个格点（即小正方形的顶点）B、C，使O为的外心，则的长度是（    ）    A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】本题考查外心的定义：外心是三角形外接圆的圆心，外心到三角形三个顶点的距离相等，也考查了勾股定理．根据题意作出图形，得到点B和点C的位置，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，    ∵点O为的外心， ∴，点B和点C的位置如图所示， ∴， 故选：A． 【变式3-1】若点O是等腰的外心，且，底边，则的面积为 ． 【答案】或 【分析】分两种情形讨论：①当圆心O在内部时．②当点O在外时．分别求解即可．本题考查三角形的外接圆与外心、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，注意一题多解，属于中考常考题型． 【详解】解：①当圆心O在内部时，作于E． ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ②当点O在外时，连接交于E． ， 故答案为：或 【变式3-2】如图，在中，，边上的高，则周长的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，过点O作于点J，交于点T．求出的最小值，可得结论． 【详解】解：如图，延长到E，使得，延长到F，使得，连接，作的外接圆，连接，过点O作于点J，交于点T． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，等腰直角三角形的判定和性质，三角形的外接圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 【变式3-3】如图，平面直角坐标系中有一个． (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心O，并写出圆心坐标是______； (2)判断点与的位置关系，说明理由； (3)最小覆盖圆的半径为______． 【答案】(1)，图见解析 (2)点在圆外 (3) 【分析】（1）分别作边的垂直平分线，交点即为圆心O； （2）用勾股定理分别求出，，比较即可； （3）取中点P，连接，最小覆盖圆的半径为的长，用勾股定理求解即可． 【详解】（1） 分别作边的垂直平分线，相交于点 （2）∵， ∴ 由图可得： ∴ ∴ ∴点在圆外； （3）取中点P，连接， 最小覆盖圆的半径为的长， ∴ 【点睛】本题考查勾股定理，点与圆的位置关系，三角形的外接圆等，灵活运用所学知识是关键． 【变式3-4】如图，已知点A、、不在同一条直线上，请用尺规作图法作经过A、、三点的．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—三角形的外接圆，连接得到，分别作线段、的垂直平分线交于点O，然后以O点为圆心，为半径作圆即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 【考点题型四】确定圆的条件 【例4】如图， ，，，是上的四个点，已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了圆内接四边形的性质.先求出，再根据圆内接四边形对角互补即可得到答案. 【详解】解：∵，， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， 故选：D 【变式4-1】如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了确定圆的条件，根据不共线的三点可以确定一个圆进行求解即可． 【详解】解：∵不共线的三点可以确定一个圆， ∴取点P，再取A、B、C中的任意两点，都可以确定一个圆， ∴最多可以确定3个圆（过P、A、B三点，过P、A、C三点，过P、B、C三点）， 故选B． 【变式4-2】平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 【考点题型五】旋转的生活现象 【例5】下列物体的运动：①电梯上下迎送顾客；②风车的转动；③钟摆的摆动；④方向盘的转动．属于旋转的有（   ） A．1种 B．2种 C．3种 D．4种 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的判断，根据旋转的概念解答即可．解题的关键是掌握旋转的概念：在平面内，将一个图形沿某一个定点转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的概念，可知： ①电梯上下迎送顾客属于平移； ②风车的转动属于旋转； ③钟摆的摆动属于旋转； ④方向盘的转动属于旋转． 故其中属于旋转的有3个． 故选：C． 【变式5-1】下列运动中不属于旋转的是（    ） A．摩天轮的转动 B．酒店旋转门的转动 C．气球升空的运动 D．电风扇叶片的转动 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的旋转现象；旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这时判断旋转的关键，根据旋转的定义解答即可 【详解】解：A. 摩天轮的转动，属于旋转，故不符合题意； B. 酒店旋转门的转动，属于旋转，故不符合题意； C. 气球升空的运动,，属于平移，故符合题意； D. 电风扇叶片的转动，属于旋转，故不符合题意； 故选：C 【考点题型六】旋转图形的判断 【例6】杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，如图所示的“遂珍”经过旋转不能得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的旋转，旋转是围绕一点旋转一定的角度的图形变换，因而旋转一定有旋转中心和旋转角，且旋转前后图形能够重合，这是判断旋转的关键．由如图图形旋转，分别判断、解答即可． 【详解】解：A．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； B．由图形对称而得出，故本选项符合题意； C．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； D．由图形旋转而得出，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式6-1】2022年北京冬奥会会徽是以汉字“冬”为灵感来源设计的．下面四个选项中，能由如图所示的图形经过旋转得到的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用旋转设计图案，根据旋转只改变图形的方向不改变图形的形状和大小解答． 【详解】解：能通过旋转得到的是C选项图案． 故选：C． 【考点题型七】旋转坐标的变化 【例7】如图，点A在x轴上，，将绕点O按顺时针方向旋转得到，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标与旋转，含30度角的直角三角形，过点作轴，根据旋转的性质，结合角的和差关系，得到，进而求出的长，即可得出结果。 【详解】解：过点作轴， ∵， ∴， ∵将绕点O按顺时针方向旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选D。 【变式7-1】在三个顶点的坐标分别为，将绕原点O旋转得到，则点的坐标为（  ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查坐标与旋转，分顺时针旋转和逆时针旋转，两种情况，进行讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴两点在第二象限的角平分线上， ∴直线与轴正半轴的夹角为， 当绕原点O顺时针旋转时，如图： 过点作轴，过点作轴， 则：，，， ∴， ∴， ∴，， ∴ 当绕原点O逆时针旋转时，如图： 同法可得：，， ∴； 故选C． 【变式7-2】如图，在平面直角坐标系中，已知点，对连续作旋转变换，依次得到三角形(1)，(2)，(3)，(4)，…，则第(2020)个三角形的直角顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与旋转有关的点的坐标规律探索，勾股定理，先得到，进而利用勾股定理得到，再由题意可得每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为，据此求出循环次数和剩下的翻转次数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由题意可知每三次旋转为一个循环组依次循环．一个循环组旋转过的长度为， ∵． ∴三角形(2020)是第674个循环组的第一个三角形，其直角顶点与第673组的最后一个直角三角形顶点重合． ∵， ∴三角形(2020)的直角顶点的坐标是， 故答案为：． 【考点题型八】旋转的性质 【例8】如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式8-1】如图，四边形是正方形，E、F分别是边和延长线上的点，且，连接．    (1)求证：． (2)可以由绕旋转中心点______，按顺时针方向旋转_____度得到． (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)A、90 (3)． 【分析】（1）根据正方形的性质得，，然后利用“”易证得； （2）由于得，则，即，根据旋转的定义可得到可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转得到； （3）由得，，推出四边形的面积等于正方形的面积，利用勾股定理求得正方形的边长即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， 而F是的延长线上的点， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 而， ∴，即， ∴可以由绕旋转中心A点，按顺时针方向旋转得到． 故答案为：A、90； （3）解：∵， ∴，， ∴， ， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，也考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质以及勾股定理． 【考点题型九】利用垂径定理求值 【例9】如图，是的弦，是的中点，交于点．若，，则的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据垂径定理判断出是的垂直平分线是解答此题的关键． 连接，由垂径定理得，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵C是的中点， ∴， 在中，，， ， 由勾股定理可得，，则， 即的半径为 故选：B 【变式9-1】如图，为直径，弦，垂足为点，则长为 ．    【答案】10 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得到，再由勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：连接，    ∵为直径，弦， ∴， ∴在中，， ∴的半径为5， ∴． 故答案为：10． 【变式9-2】如图，的直径垂直于弦，垂足为E，，．    (1)求的半径长； (2)连接，作于点F，求的长． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理求线段是解题的关键． （1）连接，如图，设的半径长为r，先根据垂径定理得到，再利用勾股定理得到，然后解方程即可； （2）先利用勾股定理计算出，再根据垂径定理得到，然后利用勾股定理可计算出的长． 【详解】（1）解：连接，如图，设的半径长为r， ∵， ∴，， 在中， ∵，，， ∴， 解得， 即的半径长为5； （2）解：在中， ∵，， ∴， ∵， ∴，， 在中，， 即的长为．    【考点题型十】垂径定理的应用 【例10】某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架与地面垂直，真空集热管与地面水平线夹角为，直线与都经过水箱截面的圆心O．已知，，则水箱内水面宽度为 ． 【答案】 【分析】取与的交点为点G，由题意得，，，从而可得，，根据直角三角形的性质可得，，设，则，，进而可得，，再利用，列方程求解即可． 【详解】解：取与的交点为点G， 由题意得，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查直角三角形的性质、垂径定理、平行线的性质、解一元一次方程，熟练掌握直角三角形的性质和垂径定理是解题的关键． 【变式10-1】明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”（见图1，一种水利灌溉工具）的工作原理．如图2，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆．已知圆心O在水面上方，且被水面截得弦长为8米，半径长为6米，若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是多少？ 【答案】米 【分析】本题考查了垂径定理的应用和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 连接，交于点D，再由勾股定理得，然后计算即可求解． 【详解】解：连接，交于点D，如图， 即， ∵点C为运行轨道的最低点，， ∴，， 由勾股定理，得， 即， ∴， 故点C到弦所在直线的距离是米． 【变式10-2】高致病性禽流感是—种传染性极强的传染病． (1)养殖场有4万只鸡．假设有一只鸡得了禽流感，如果不采取任何措施，那么第二天将新增病鸡10只，到第三天又将新增病鸡100只，以后每天新增病鸡数依此类推，请问到第四天，共有多少只鸡得了禽流感？到第几天，所有的鸡都会感染禽流感？ (2)为防止禽流感蔓延，防疫部门规定：离疫点3千米范围内为捕杀区，所有的禽类全部捕杀；离疫点3~5千米范围内为免疫区，所有的禽类强制免疫；同时对捕杀区和免疫区的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路通过禽流感病区．如图所示，O为疫点，到公路的最短距离为1千米，问这条公路在该免疫区内有多少千米？（结果保留根号） 【答案】(1)第四天共有只鸡得了禽流感；到第六天所有鸡都会被感染； (2) 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，数字类的规律探索： （1）根据题意可得规律第n天新增只病鸡，据此求出第四天，第五天，第六天得了禽流感的鸡的数量即可得到答案； （2）过点O作于E，利用勾股定理求出，再利用垂径定理求出的值即可． 【详解】（1）解：第一天新增1只病鸡， 第二天新增10只病鸡， 第三天新增100只病鸡， ……， 以此类推，可知，第n天新增只病鸡， ∴第四天共有只鸡得了禽流感； 到第五天得禽流感病鸡数为只 到第六天得禽流感病鸡数为， ∴到第六天所有鸡都会被感染； （2）解：如图所示，过点O作于E， 由题意得，， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得 ， 由垂径定理可得， ∴， ∴这条公路在该免疫区内有． 【考点题型十一】画旋转图形 【例11】如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上． (1)画出将关于原点的中心对称图形． (2)将绕点顺时针旋转得到，画出． (3)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为____________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了作图−旋转变换，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）根据中心对称的性质即可画出； （2）根据旋转的性质即可画出； （3）根据旋转中心为两组对应点连线的垂直平分线的交点可得点的位置． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，根据旋转的性质可得，旋转中心为和垂直平分线的交点，图中点即为旋转中心， ∴， 故答案为：． 【变式11-1】正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是），的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题： (1)作出绕点逆时针旋转的，再作出关于原点成中心对称的． (2)点的坐标为　　，点的坐标为　　． 【答案】(1)作图见解析； (2)，． 【分析】（）根据旋转的性质和中心对称图形的性质作图即可； （）直接利用（）中所画图形写出坐标即可； 此题考查了旋转变换，作中心对称图形，坐标与图形，掌握旋转和中心对称图形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由（）图可得，， 故答案为：，． 【变式11-2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形（顶点时网格线的交点） (1)将绕C点顺时针旋转，得到，请画出； (2)求线段的长度为 ． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了旋转作图、勾股定理等知识点，根据旋转的性质正确作图成为解题的关键． （1）先利用旋转的性质分别得出对应点的位置，然后再顺次连接即可； （2）直接利用勾股定理得出线段的长度． 【详解】（1）解：如图：即为所求． （2）解：线段的长度为：． 【考点题型十二】利用弦、弧、圆心角的关系求解 【例12】如图，C是的直径上一点，过点 C作弦，使，若，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，弧与圆心角之间的关系；先证明，，，再利用弧与圆心角之间的关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴的度数为，． ∵， ∴， ； ∴的度数是． 【变式12-1】如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，延长，交于点F，与交于点G． （Ⅰ）如图①，若点C为的中点，求的度数； （Ⅱ）如图②，若，求的半径． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题关键． （Ⅰ）先求出弧的度数，再根据圆周角定理可得，由此即可得； （Ⅱ）连接，先求出，从而可得，再根据垂径定理可得，然后设的半径为，则，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：（Ⅰ）∵为的直径，点为的中点，点为的中点， ∴， ∴弧的度数为， ∴， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）如图，连接， ∵为的直径，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∵， ∴， 在中，，即， 解得， 所以的半径为． 【变式12-2】如图，在中，，于点，于点．求证：． 【答案】证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，同圆中弦与圆心角的关系，证明出全等是解决本题的关键． 先证明，继而得到，再根据同圆中圆心角相等则所对的弦相等求证即可． 【详解】证明：∵，， ∴和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点题型十三】圆周角定理 【例13】如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据 即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为： 【变式13-1】如图，是的一条弦，于点，交于点，点在上，，则 °． 【答案】36 【分析】本题考查的是圆周角定理．连接，由圆周角定理可得，再由垂直求出度数，最后根据得到，即可求出的度数． 【详解】解：连接， ， ， ∵， ∴， ∴ ， ， 故答案为：36． 【变式13-2】如图所示，是的一条弦，，垂足为C，交于点D，点E在上． (1)若，求的度数； (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理、勾股定理等知识点．灵活运用垂径定理是解答关键． （1）如图：连接，由垂径定理可得，则，再根据圆周角定理求得的度数． （2）设，则，求出，得到，则，解得，由勾股定理得到，最后根据即可解答． 【详解】（1）解：如图：连接， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式13-3】如图，在中，弦，相交于点M，且． (1)求证：； (2)连接，，若是的直径，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的三线合一，勾股定理， （1）由，推出，推出； （2）根据圆周角定理得出，因为，所以得出，，再得出，运用勾股定理列式得出，运用等腰三角形的三线合一得出，再结合勾股定理内容，即可作答． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，是的直径， ， ， ， ∴在中，由勾股定理得， ， 设，则， ∵， ， ， 在中，由勾股定理得， 解得， ， ，， ， 在中由勾股定理得． 【考点题型十四】四边形的外接圆 【例14】如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 【变式14-1】如图，半径为，正方形内接于，点E在上运动，连接作，垂足为F，连接．则长的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【分析】取的中点K，连接，根据即可解决问题． 【详解】解：如图，连接，取的中点K，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的外接圆的半径为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴CF的最小值为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线的性质，根据两点之间线段最短确定的最小值是解决本题的关键． 【变式14-2】如图，过原点，且与两坐标轴分别交于点 A、B，点 A 的坐标为，点 M是第三象限内圆上一点，，则的半径为（   ）    A．4 B．5 C．6 D．2 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，含角的直角三角形的性质，圆周角定理，坐标与图形，根据圆内接四边形对角互补得到，再由的圆周角所对的弦是直径得到是直径，求出，进而求出，是解题的关键． 【详解】解：∵、、、都在圆上，， ∴， ∵， ∴是的直径，， ∵， ∴， ∴， ∴的半径为4， 故选：A． 【变式14-3】若四边形为内接四边形，，则 °． 【答案】或 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，根据题意画出图形，再由圆周角定理即可得出结论． 【详解】如图所示， ， ． 如图所示， ， ∵四边形为内接四边形， ∴． 综上所述，或； 故答案为：或． 【考点题型十五】正多边形 【例15】如图，等边三角形和正方形均内接于，若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形与圆，准确掌握正多边形及圆的相关性质并能准确计算是解题关键．连接、、、，过点作于点，利用求出圆的半径，再求出和，利用直角三角形性质和勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：连接、、、，过点作于点，如图， ∵正方形内接于， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵等边三角形内接于， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式15-1】如图，在同一个圆中作出圆的内接正三角形 和正八边形 ，若连接 ，则 的度数是 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查正多边形和圆，连接 ，，，，求出正三角形和正八边形的中心角的度数，再利用圆周角定理，进行求解即可． 【详解】如图，连接 ，，，． 正三角形的中心角 ， 正八边形的中心角 ， ， ， ． 【变式15-2】如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是 ．    【答案】 【分析】过点B作于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】过点B作于点D， ∵正六边形的边长为1，顶点与原点重合， ∴，，， ∴，    ∴， 根据旋转性质，得， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 【变式15-3】若正多边形的一个中心角为，则这个正多边形的一个内角等于 °． 【答案】 【分析】 本题考查正多边形的性质、等边三角形的判定与性质等知识，根据题意，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形，从而一个内角由两个角构成，即可得到答案，熟练掌握正多边形的性质，等边三角形的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：由正多边形的性质可知，题中正多边形的中心与一条边的两个端点相连，构成等边三角形， 这个正多边形的一个内角等于， 故答案为：． 【变式15-4】如图，在正八边形中，将绕点E逆时针旋转到，连接，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的判定与性质，解直角三角形；连接，，作，，，根据题意得出，，进而根据，即可求解． 【详解】 解：如图，连接，，作，，， 由正八边形性质得，，， ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， 由正八边形性质得， ∴， ∵， ∴，同理， ∴， ∴ ． 故答案为：． 【考点题型十六】求弧长 【例16】将一个半径为1的圆形纸片，按如图所示的方式连续对折三次之后，用剪刀沿虚线①剪开，则虚线①所对的圆弧长为（    ） A． B． C． D．π 【答案】A 【分析】本题考查弧长公式，利用折叠的性质求出虚线①所对的圆弧对的圆心角的度数，然后根据弧长公式计算． 【详解】解：根据题意，虚线①所对的圆弧对的圆心角为， 所以虚线①所对的圆弧长． 故选：A． 【变式16-1】如图，的弦，，为上一动点，为上一动点，且满足，连接，，交于点，则点从点运动到点的过程中，点所运动的路径长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的三边关系，弧长公式，解题关键是作辅助线，利用定角定弦确定轨迹圆．连接，证明，得出是定角，是定长，则得点M所运动的路径为一圆的劣弧，求出圆心角和半径即可求出弧长． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵是定角，是定长， 得点M所运动的路径为如图的劣弧， ∵， ∴， ∴， 过点作于， ∴，， ∴，， ∴点运动的路径长， 故选：C． 【变式16-2】如图，在扇形中，，半径，是上一点，连接，是上一点，且，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，弧长公式等知识点，掌握以上知识点是解答本题的关键． 连接，根据垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，求出，再根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 的长为， 故选：B． 【考点题型十七】求扇形面积 【例17】如图，在长方形中，，以点D为圆心，长为半径画弧，交线段延长线于点E，点F为边上一点，若，连接，则图中阴影部分的面积为 （结果保留π）． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算及长方形的性质，明确是解答本题的关键． 用长方形的面积加上扇形的面积减去三角形的面积即可求得阴影部分的面积． 【详解】解：在长方形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为： 【变式17-1】如图，为半圆O的直径，，，D为的中点，则阴影部分的面积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了直径所对的圆周角是直角的性质，等腰三边角形的判定与性质，勾股定理，扇形的面积公式，解答本题的关键要明确求阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积． 连接，得出，从而可知阴影部分的面积为． 【详解】解：为半圆O的直径， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， 连接， ， ， D为BC的中点， ， ， 故答案为：． 【变式17-2】如图，以锐角的三条边为直径作圆．如果三角形外的阴影部分总面积为450，而三角形内部的深色阴影部分面积为90，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了扇形的面积的计算，圆的面积的计算，正确的识别图形找出各图形之间的关系是解题的关键． 设外的6个小弓形的面积和为 ，观察图形得到外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和，得到的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积)，于是得到答案 【详解】解：设外的6个小弓形的面积和为， 外的3个半圆的面积和三角形外的阴影部分总面积外的3个半圆的面积和， ∴的面积(另外3个半圆的面积和三角形内部的深色阴影部分面积) [另外3个半圆的面积和(外的3个半圆的面积和)] ； 故答案为∶． 1．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 2．如图，在中，弦的条数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．以上均不正确 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的弦．熟练掌握弦的定义是解决问题的关键．弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫做弦． 根据圆的弦的定义解答． 【详解】在中，有弦、弦、弦、弦， 共有4条弦． 故选：C． 3．如图，在平面直角坐标系中，点，点，点，则经画图操作可知：的外心坐标应是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形外心，坐标与图形，垂直平分线的性质，首先由的外心即是三角形三边垂直平分线的交点，所以在平面直角坐标系中作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心，解题的关键是正确理解三角形的外心即是三角形三边垂直平分线的交点． 【详解】解：如图， ∵的外心即是三角形三边垂直平分线的交点， ∴分别作与的垂直平分线，两垂线的交点即为的外心， 根据坐标可得：， 故选：B． 4．下列现象中：①地下水位逐年下降；②传送带的移动；③方向盘的转动；④钟摆的运动；⑤荡秋千运动．属于旋转的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的平移、旋转现象，熟练掌握平移与旋转的定义是解题的关键． 根据平移和旋转的定义对各小题分析判断即可． 【详解】解：①地下水位逐年下降，是平移现象； ②传送带的移动，是平移现象； ③方向盘的转动，是旋转现象； ④钟摆的运动，是旋转现象； ⑤荡秋千运动，是旋转现象． 属于旋转的有③④⑤共3个． 故选：B． 5．如图是由一个弯月绕某点旋转若干次而生成的，每次旋转的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了旋转，根据图形由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的即可求出每次旋转的度数． 【详解】解：如图，是由一个弯月绕旋转中心旋转6次而生成的， ∴每次旋转的度数可以为． 故选：B． 6．如图，在中，，，边与轴平行且，现将以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则经过次旋转后，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了旋转的性质和等腰直角三角形的性质、图形与坐标等知识，由题意可知逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同．过点作等腰直角三角形，则于点，则，根据点写出答案即可． 【详解】解：由题意可知，以为旋转中心，逆时针旋转，每次旋转，则每8次旋转1周． 除以8余数为7， 逆时针旋转次，与顺时针旋转时的位置相同． 如图，过点作等腰直角三角形，则于点，， 则， ∴点， ∴点的坐标为． 即经过次旋转后，点的坐标为， 故选：D 7．如图所示的圆中，下列各角是圆心角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查圆心角的概念，确定一个角是否是圆心角，只要看这个角的顶点是否在圆心上，顶点在圆心上的角就是圆心角，否则不是． 【详解】解：根据圆心角的概念，、、的顶点分别是B、A、C，都不是圆心O，因此都不是圆心角．只有B中的的顶点在圆心，是圆心角． 故选：B． 8．如图，四边形内接于，交的延长线于点，若平分，，，则的长为（    ）． A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据圆内接四边形对角互补得到，根据得到结合角平分线得到，即可得到：，从而得到，结合勾股定理即可得到答案； 【详解】解：连接， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查勾股定理及圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，等角对等边等知识，掌握这些知识是解题的关键． 9．如图，正 n 边形的两条对角线的延长线交于点 P，若，则n的值是（      ） A．12 B．15 C．18 D．24 【答案】B 【分析】连接，，根据正边形的性质知，得，则正边形中心角为，即可解决问题．本题主要考查了正边形和圆的知识，熟练掌握正边形的性质是解题的关键． 【详解】解：连接，， 多边形是正边形， ， ， 正边形中心角为， ， 故选：B． 10．如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案． 【详解】连接，    ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为． 故选：C． 11．如图，以平行四边形的一边为直径作，若过点 C，且， 则 【答案】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质，等边对等角，平行四边形的性质和三角形内角和定理，先由平角的定义得到，再由等边对等角和三角形内角和定理得到，则由平行四边形对角相等可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 12．如图，E、F分别是正方形的边、上的动点，满足，连接、，相交于点G，连接，若正方形的边长为2，则线段的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，一点到圆上一定的距离最值问题，勾股定理，连接，证明推出，则点G在以为直径的圆上运动，故当点E与点A重合，点F与点B重合时，此时有最小值，即此时点G为正方形对角线的交点，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点G在以为直径的圆上运动， ∴当点E与点A重合，点F与点B重合时，此时有最小值，即此时点G为正方形对角线的交点， ∵正方形的边长为2， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查正方形的性质，全等三角形的判定及性质，直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质熟记各定义并应用解决问题是解题的关键． 13．若过平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，圆的确定，根据不在同一直线的三个点确定一个圆，得到当点不在直线上，三个点确定一个圆，进行求解即可． 【详解】解：∵、， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， ∴当时，， ∴当时，平面直角坐标系中的三个点、、能确定一个圆， 故答案为：4 14．如图，和内接于，与相交于点．若，，则的度数为 ． 【答案】/86度 【分析】本题考查了三角形的外角的性质，圆周角定理，平行线的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理和平行线的性质以及三角形的外角的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15．如图，平面直角坐标系中，与轴交于点与，的半径是，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，坐标与图形．熟练掌握垂径定理是解题的关键．连接，作于，则，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，进而可求点坐标． 【详解】解：如图，连接，作于，则，    由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 故答案为：． 16．如图，蔬菜大棚的截面是圆弧形，其水平跨度长米，拱高弧的中点到弦的距离为米，则该圆弧所在圆的半径是 米 【答案】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题．设圆心为，连接，过点作由点交于点，构建方程求解即可． 【详解】解：设圆心为，连接，过点作由点交于点． 设米， ， 米， 在中，， ， ． 故答案为：． 17．把一张圆形纸片按如图所示方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则弧的度数是 【答案】/150度 【分析】本题考查了求弧的角度，连接，过点O作于点E，设圆的半径为，根据题意可得，进而得，根据得，即可求解； 【详解】解：如图所示：连接，过点O作于点E， 设圆的半径为， 由题意可得：， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴弧的度数是 故答案为： 18．如图，平面直角坐标系中有一个．    (1)利用网格，只用无刻度的直尺作出的外接圆的圆心点O； (2)的外接圆的圆心坐标是 ； (3)该圆圆心到弦的距离为 ； (4)最小覆盖圆的半径为 ． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】本题考查了三角形外心的性质，等腰三角形三线合一，勾股定理，熟练掌握以上知识点并利用数形结合思想是解题的关键． （1）根据三角形外心的性质，分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心； （2）根据（1）所求，可由坐标系直接得到答案； （3）取的中点，连接，根据等腰三角形三线合一可知，利用勾股定理求出即为所求； （4）利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：分别作与的垂直平分线，两直线相交于点，则点即是的外接圆的圆心，如图即为所求：    （2）解：由（1）可知，点坐标为 故答案为：． （3）解：取的中点，连接，如图，    则 该圆圆心到弦的距离为 故答案为：． （4）解：由图可知，最小覆盖圆的半径为长 如图所示，可知为所求，利用网格    故答案为：． 19．如图，已知 的半径为，，垂足为点，且，求 的长． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，，正方形的判定与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，，根据垂径定理可求出，再根据勾股定理求出，同理可得，可证明四边形为正方形，得到，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点分别作，，垂足分别为点，，连接 ，． ， ， 在 中，， 同理可得， ， 易得四边形为正方形， ， ． 20．如图，是的直径，点C为的中点，为的弦，且，垂足为E，连接交于点G，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据弧与弦的关系证明，根据同弧所对的圆周角相等，证明，结合对顶角相等，根据证明：； （2）连接，设的半径为r，由列出关于r的勾股方程即可求解； 【详解】（1）证明：∵点C为的中点， ∴， ∵是的直径，且 ∴， ∴， ∴， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：如图，连接，设的半径为r， 中，，即， 中，，即， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， 即， 解得：或（舍去）， ∴ ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、三角形全等的性质和判定以及勾股定理，综合运用以上知识是解题的关键． 21．如图，为的直径，交于点D，交于点E，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查圆周角定理及等腰三角形的性质的综合运用，关键是根据的度数等于进行解答． （1）的度数等于，因而求的度数就可以转化为求和，根据等腰三角形的性质等边对等角，就可以求出； （2）在等腰三角形中，根据三线合一定理即可证得． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． （2）证明：连接， ∵是的直径， ∴． ∴． 又∵， ∴． 22． 如图，已知是的直径，点在上，且，过点作交于点，垂足为． (1)的度数为_____； (2)求的长； (3)求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由圆周角定理得到，，由直角三角形的性质得到； （2）由，得到，由直角三角形的性质得到； （3）由，得到阴影的面积扇形的面积，求出扇形的面积即可． 【详解】（1）解：∵是的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图，连接， 已知，由（2）知， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在和中，， ∴， ∴， ∴ 阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查圆周角定理，扇形面积的计算，全等三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质，直径所对的圆周角是直角，解题的关键是证明阴影的面积＝扇形 的面积． 23．如图，四边形内接于，为直径，，于． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长； (3)在（）条件下，如图，是线段上一点，，连接并延长交于，求的长． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）连接，证明是等边三角形，得，然后 弧长公式求解即可； （）连接，交于点，设，则，由勾股定理求出，则，，根据弧、弦、圆心角的关系得，证明，由，，得，从而求解； （）连接，过作于点，则，由勾股定理求出，，然后分别证明，，最后根据性质即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴的长为； （2）如图，连接，交于点， ∵，， ∴设，则， ∵， ∴， 在中由勾股定理得：， ∴，解得：， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）如图，连接，过作于点，则， 由（）得：，， ∴， ∴，同理得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵，， ∴， ∴， ∴，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，弧长公式，勾股定理，相似三角形的判定与性质，垂径定理及推论，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$