专题03简单事件的概率（考点清单，4清单&8题型解读）-2024-2025学年九年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单03 简单事件的概率（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【清单02】可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【清单03】概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【清单04】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【考点题型一】事件的分类 【例1】下列事件中，为必然事件的是（    ） A．掷一枚骰子，向上一面的点数是 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．随意打开一本书，书的页码是奇数 D．明天下雨的概率是，则明天一定会下雨 【变式1-1】有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）：通常温度降到以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件 C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【变式1-2】经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【考点题型二】事件可能性的大小 【例2】在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【变式2-1】元宵节是中国的传统节日之一．元宵节主要有元宵灯节、吃汤圆、吃元宵、猜灯谜等一系列传统民俗活动．丽丽家的一口锅里煮了外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（    ） A．花生馅汤圆 B．黑芝麻馅汤圆 C．豆沙馅汤圆 D．无法确定 【变式2-2】将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（   ） A．红 B．绿 C．黄 D．不确定 【考点题型三】用概率公式计算概率 【例3】某电脑的密码是两位数字，如果陌生人想打开该电脑，那么他一次就能打开电脑的概率是 ． 【变式3-1】中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【变式3-2】四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D．1 【考点题型四】几何概率 【例4】如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是 ． 【变式4-1】一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    【变式4-2】（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【考点题型五】列表法或树状图求概率 【例5】小刚、小强计划利用暑期从A，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】我校计划在9月第二周的星期五至星期日开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．请用树状图或列表法求小明同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？ 【变式5-2】为培养学生的阅读兴趣，某校开展读书月活动，学生们在读书月活动中可以分享自己最喜欢读的书．晓涵平时最喜欢读的四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁是怎样炼成的》，假设晓涵分享每本书的可能性相同． (1)若选择其中一本书进行分享，则晓涵分享《水浒传》的概率为________． (2)若选择其中两本书进行分享，求晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率． 【考点题型六】已知概率求数量 【例6】一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【变式6-1】一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【变式6-2】“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； (4)若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【考点题型七】由频率估算概率 【例7】在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到） 【变式7-1】王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 (1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估计袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【变式7-2】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【考点题型八】概率的简单应用 【例8】有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 【变式8-1】有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【变式8-2】有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．两条线段可以组成一个三角形 B．400 人中有两个人的生日在同一天 C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 D．经过有交通信号灯的路口，遇见红灯 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．明年10月有31天 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡 D．在足球赛中，弱队战胜强队 3．下列说法中不正确的是（    ） A．数据4，9，5，5，7，5的中位数是5 B．任意画一个多边形，其外角和等于360°是必然事件 C．了解某市电灯制造厂的电灯质量情况，应采用全面调查 D．某彩票的中奖概率是0.1，则购买这种彩票10张，可能会中奖 4．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 5．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（       ） A． B． C． D． 6．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（    ） A． B． C． D． 7．如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是（ ） A． B． C． D． 8．小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 9．兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率 通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到）是（    ） A． B． C． D． 10．已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 11．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为 ． 12．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 13．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 14．如下所示，将A，B，C，D四种农作物随机种在甲、乙、丙、丁四块田地里，每块田地只能种一种农作物． 甲 乙 丙 丁 （1）A种农作物种在甲位置的概率是 ； （2）B，C这两种农作物位置相邻的概率是 ． 15．如图，随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ． 16．西安地铁5号线“汉城南路站”有标识为B，C，D的三个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在C出入口开展志愿服务活动的概率为___________． (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 17．产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 18．小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 19．实践任务：测量不规则草地面积（如图阴影图形）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如下： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地内的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 0.30 0.28 0.32 0.31 0.30 0.29 0.30 数据分析： (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地内的概率大约是________； (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 20．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 21．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．      (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度． (2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人． (3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 简单事件的概率（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】确定事件与随机事件 （1）确定事:事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的． （2）随机事件:在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件． （3）事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件，其中， ①必然事件发生的概率为1，即P（必然事件）=1； ②不可能事件发生的概率为0，即P（不可能事件）=0； ③如果A为不确定事件（随机事件），那么0＜P（A）＜1． 【清单02】可能性的大小： 随机事件发生的可能性（概率）的计算方法： 【清单03】概率的意义： （1）一般地，在大量重复实验中，如果事件A发生的频率，会稳定在某个常数p附近，那么这个常数p就叫做事件A的概率，记为P（A）=p． （2）概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现． （3）概率取值范围：0≤p≤1． （4）必然发生的事件的概率P（A）=1；不可能发生事件的概率P（A）=0． （4）事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0． 【清单04】利用频率估计概率 （1）大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （2）用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确． （3）当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 【考点题型一】事件的分类 【例1】下列事件中，为必然事件的是（    ） A．掷一枚骰子，向上一面的点数是 B．任意画一个三角形，其内角和是 C．随意打开一本书，书的页码是奇数 D．明天下雨的概率是，则明天一定会下雨 【答案】B 【分析】本题考查了不可能事件、必然事件和随机事件，不可能事件是指一定不会发生的事件；必然事件是指一定会发生的事件；随机事件是指可能发生的事件，据此即可判断求解，掌握不可能事件、必然事件和随机事件的定义是解题的关键． 【详解】解：、掷一枚骰子，向上一面的点数是，是不可能事件，该选项不合题意； 、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，该选项符合题意； 、随意打开一本书，书的页码是奇数，是随机事件，该选项不合题意； 、明天下雨的概率是，则明天一定会下雨，是随机事件，该选项不合题意； 故选：． 【变式1-1】有两个事件，事件（1）：随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；事件（2）：通常温度降到以下，纯净的水结冰．下列判断正确的是（     ） A．（1）（2）都是随机事件 B．（1）（2）都是必然事件 C．（1）是必然事件，（2）是随机事件 D．（1）是随机事件，（2）是必然事件 【答案】D 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 依据定义判断即可． 【详解】解：事件（1）是随机事件；事件（2）是必然事件； 故选：D． 【变式1-2】经过有交通信号灯的路口，遇到红灯．这个事件是（    ） A．必然事件 B．不可能事件 C．随机事件 D．确定性事件 【答案】C 【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可． 本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”这个事件是随机事件， 故选：C． 【考点题型二】事件可能性的大小 【例2】在学校科技宣传活动中，某科技活动小组将5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球（除标记外其它都相同）放入盒中，小红从盒中随机摸出1个小球，并对小球标记的内容进行介绍，下列叙述正确的是（ ） A．摸出“北斗”小球的可能性最大 B．摸出“天眼”小球的可能性最大 C．摸出“高铁”小球的可能性最大 D．摸出三种小球的可能性相同 【答案】A 【分析】本题考查的是可能性的大小，根据题意求出摸出各种小球的概率是解题的关键． 分别求出摸出三种小球的概率，再比较大小即可． 【详解】解：有5个标有“北斗”，2个标有“天眼”，3个标有“高铁”的小球， 小红从盒中随机摸出1个小球，摸出标有“北斗”的概率是； 摸出标有“天眼”的概率是； 摸出标有“高铁”的概率是， ， 摸出标有“北斗”小球的可能性最大． 故选：A． 【变式2-1】元宵节是中国的传统节日之一．元宵节主要有元宵灯节、吃汤圆、吃元宵、猜灯谜等一系列传统民俗活动．丽丽家的一口锅里煮了外表一样的汤圆，其中7个是花生馅的，5个是黑芝麻馅的，8个是豆沙馅的，小文随意捞起一个，捞到可能性最大的汤圆是（    ） A．花生馅汤圆 B．黑芝麻馅汤圆 C．豆沙馅汤圆 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了求可能性大小，掌握概率的概念是解题的关键． 根据题意判断可能性大小即可求解． 【详解】解：∵共有20个汤圆，其中豆沙馅的最多， ∴捞到可能性最大的汤圆是豆沙馅汤圆， 故选：C． 【变式2-2】将一个转盘分为均等的份，涂上如图所示的三种颜色，转动这个转盘时，转出可能性最小的颜色是（   ） A．红 B．绿 C．黄 D．不确定 【答案】C 【分析】本题主要考查可能性的大小，只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． 找到份数最少的颜色即可． 【详解】∵转一次，总共有种结果，而转出红色区域的结果有种，转出绿色区域的结果有种，转出黄色区域的结果有种； ∴转出黄色的可能性最小． 故选：C． 【考点题型三】用概率公式计算概率 【例3】某电脑的密码是两位数字，如果陌生人想打开该电脑，那么他一次就能打开电脑的概率是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了概率公式的应用； 首先判断出共有种组合，再根据概率公式得出答案． 【详解】解：∵这两个数字每个数都有0~9，10种情况， ∴这个两位数字共有种组合， ∴他一次就能打开电脑的概率是， 故答案为：． 【变式3-1】中世纪欧洲的彩票有一种独特的彩票玩法．经营者在底票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，购买者也需要在自己的彩票上从小至大不重复地写下M个为0-9的数字，如果购买者的彩票与经营者的底票数字完全相同，那么购买者中奖．彼得彩票店的，加百列彩票店，比较在甲乙彩票店中奖的概率（    ） A．彼得彩票店大 B．加百列彩票店大 C．一样大 D．无法比较 【答案】C 【分析】本题考查了求概率问题，解题的关键是根据题意计算出彼得彩票店的，加百列彩票店，分别所有的情况数，求出概率进行比较即可． 【详解】解：彼得彩票店的，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， 加百列彩票店，情况数有120种，有且只有一种情况中奖， 故中奖的概率为：， ，一样大， 故选：C． 【变式3-2】四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如图所示的四个图形，在看不到图的情况下，从中任意抽出一张，则抽出的卡片上的图形是轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查概率的求法与轴对称的概念，熟练掌握概率公式：随机事件A的概率事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数和轴对称图形的概念是解题的关键． 从四张卡片中，找到轴对称图形的个数，然后根据概率公式即可求解． 【详解】解：∵四张卡片中，轴对称图形有矩形、等边三角形、圆， ∴P（抽出的卡片是轴对称图形） ， 故选：C． 【考点题型四】几何概率 【例4】如果飞镖随意的投向下图所示的木板上且不脱靶，那么飞镖落在木板上阴影部分的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查可能性的大小，分数的认识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．求出阴影部分的面积与大正方形的面积比即可． 【详解】解：大正方形的面积，阴影部分的面积， 飞镖落在木板上阴影部分的可能性． 故答案为：． 【变式4-1】一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是 ．    【答案】 【分析】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率为，设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义(反映随机事件出现的可能性大小)计算即可． 【详解】解：设每小格的面积为1， 由图知，整个面积为9，黑色区域的面积3， 最终停在黑色区域上的概率是． 故答案为：． 【变式4-2】（1）如图①是书房地板的示意图，图中每一块地砖除了颜色外是完全相同的，现任意抛掷一个乒乓球，若乒乓球最后落在某一块地砖上算一次成功的抛掷，试求所有成功抛掷中，乒乓球抛掷后停留在黑地砖上的概率是多少？ （2）请在图②中，重新设计地砖的颜色，使乒乓球最后停留在地砖上的概率为． 【答案】（1）；（2）见解析 【分析】本题考查几何中概率的求法，熟练掌握“几何概率相应的面积与总面积之比”是解题的关键． （1）先确定黑色方砖的面积在整个地板中占的比例，这个比例即为出乒乓球停留在黑色方砖上的概率； （2）乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为，则只需黑色块即可． 【详解】解：（1）由图可知共有方砖块，黑色方砖为块， 则乒乓球停留在黑色方砖上的概率是； （2）因为乒乓球最后停留在黑色地砖上的概率为， 所以黑色地砖共有（块）， 画图如下（不唯一）： 【考点题型五】列表法或树状图求概率 【例5】小刚、小强计划利用暑期从A，，三处养老服务中心中，随机选择一处参加志愿服务活动，则两人恰好选到同一处的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用树状图法或列表法求解概率，画出树状图展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场所的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：画树状图如图： 由树状图可知共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场所的结果数为3， ∴小刚、小强两人恰好选择同一场馆的概率， 故选：B． 【变式5-1】我校计划在9月第二周的星期五至星期日开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．请用树状图或列表法求小明同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？ 【答案】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由树状图得出共有20个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有8个，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意画图如下： 由树状图可知，共有20个等可能的结果，甲同学随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有8个， ∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为 【变式5-2】为培养学生的阅读兴趣，某校开展读书月活动，学生们在读书月活动中可以分享自己最喜欢读的书．晓涵平时最喜欢读的四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁是怎样炼成的》，假设晓涵分享每本书的可能性相同． (1)若选择其中一本书进行分享，则晓涵分享《水浒传》的概率为________． (2)若选择其中两本书进行分享，求晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求简单事件的概率、利用列举法求概率，熟练掌握列举法是解题关键． （1）根据简单事件的概率计算方法求解即可得； （2）先画出树状图，从而可得选择其中两本书进行分享的所有等可能的结果，再找出晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【详解】（1）解：由题意可知，选择其中一本书进行分享共有4种等可能的结果， 所以晓涵分享《水浒传》的概率为， 故答案为：． （2）解：将四本书为《西游记）》《繁星·春水》《水浒传》《钢铁是怎样炼成的》分别记为， 由题意，画出树状图如下： 由图可知，选择其中两本书进行分享的所有等可能的结果共有12种，其中，晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的结果有2种， 所以晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率为， 答：晓涵分享的两本书分别为《西游记》和《繁星·春水》的概率为． 【考点题型六】已知概率求数量 【例6】一个不透明的口袋中装有若干个除颜色不同外其它都相同的小球，已知口袋中只装有3个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中小球的总数为（    ） A．4 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】本题考查随机事件与概率以及概率的应用，运用概率公式即可计算. 【详解】解：口袋中小球的总数为：个， 故选C. 【变式6-1】一个不透明的口袋中装有3个红球和9个白球，它们除颜色外完全相同． (1)判断事件“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是什么事件，并写出其发生的概率； (2)现从口袋中取走若干个白球，并放入相同数量的红球，充分摇匀后，若从口袋中随机摸出一个球是白球的概率是，则取走了多少个白球？ 【答案】(1)不可能事件，0； (2)5个白球． 【分析】本题考查事件的分类，概率，掌握事件的分类，概率的两种求法，利用方程解概率问题是关键． （1）口袋中装有红球和白球，从口袋中随机摸出一个球是蓝球，是不可能的，进而也可得出概率． （2）设取走了x个白球，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）因为口袋中装有3个红球和9个白球， 所以“从口袋中随机摸出一个球是蓝球”是不可能事件， 所以它发生的概率是0． （2）设取走了x个白球． 由题意，得， 解得． 故取走了5个白球． 【变式6-2】“五一”期间，某超市开展有奖促销活动，凡在超市购物的顾客均有抽奖机会抽奖方式：一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共个，它们除颜色外都相同，其中黄球个数是白球的倍多个，已知从袋中摸出一个球是红球的概率是，摸中白球中一等奖，摸中红球中二等奖，摸中黄球不中奖． (1)求袋中红球的个数； (2)求从袋中摸出一个球是白球的概率； (3)取走个球（其中没有红球），求从剩余球中摸出红球的概率； (4)若“五一”期间有人参与抽奖活动，估计获得一等奖的人数是多少? 【答案】(1)个 (2) (3) (4)人 【分析】此题考查了根据概率公式求概率，解题的关键是掌握概率公式． （1）用球的总数乘以红球的概率即可求解； （2）设白球有个，则黄球有个，根据题意列出方程求出白球的个数，再根据概率公式求解即可； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化，根据概率公式求解即可； （4）用乘以白球的概率即可求解． 【详解】（1）解：红球的个数为： （个）； （2）设白球有个，则黄球有个， 根据题意得：，       解得：， 摸出一个球是白球的概率为：； （3）取走个球后，还剩个球，其中红球的个数没有变化， 从剩余的球中摸出一个球是红球的概率是； （4）获得一等奖的人数：（人）． 【考点题型七】由频率估算概率 【例7】在相同条件下选取一定数量的小麦种子做发芽试种，结果如表所示： 试种数量 发芽的频率 在相同的条件下，估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】由表格得到这种小麦发芽的频率稳定在附近，即可估计出这种小麦发芽的概率．本题主要考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：估计种植一粒该品牌的小麦发芽的概率为． 故答案为：． 【变式7-1】王老师将1个黑球和若干个白球放入一个不透明的口袋并搅匀，让若干学生进行摸球试验，每次摸出一个球（有放回），下表是活动进行中的一组统计数据． 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到黑球的次数m 23 31 60 130 203 251 摸到黑球的频率 0.230 0.231 0.300 0.260 0.254 (1)补全表中的有关数据，根据上表数据估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是 ； (2)估计袋中白球的个数； (3)在（2）的条件下，若小强同学有放回地连续两次摸球，用画树状图或列表的方法计算他两次都摸出白球的概率． 【答案】(1)0.251，0.25 (2)3 (3) 【分析】此题考查了利用频率估计概率以及树状图法与列表法求概率，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）利用频数总数频率求出答案，根据表格中的数据，随着试验次数的增大，频率逐渐稳定在0.25左右，即为摸出黑球的概率； （2）设袋子中白球的个数为，根据摸出黑球的概率列出方程，进一步求解即可得出答案； （3）先列表得出所有等可能结果，从中找到他两次都摸出白球的结果数，根据概率公式求解即可． 【详解】（1）解：表中数据：， 观察表格得：通过多次摸球试验后发现其中摸到黑球的频率稳定在0.25左右， 估计从袋中摸出一个球是黑球的概率是0.25； 故答案为：0.25； （2）解：设袋子中白球的个数为， 根据题意，得：， 解得， 经检验是分式方程的解， 估算袋中白球的个数为3； （3）解：画树状图得：     共有16种等可能的结果，两次都摸到白球的有9种情况， 两次都摸出白球的概率为． 【变式7-2】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黄、白两种颜色的球共5只，某学习小组做摸球实验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 (1)请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近________；（精确到0.1） (2)试估算口袋中白球有多少只？ (3)请你设计一个增（减）袋中白球或黄球球个数的方案，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率． 【答案】(1)0.6 (2)3 (3)再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一） 【分析】本题考查了利用频率估计概率； （1）根据统计数据，当很大时，摸到白球的频率接近0.6，据此可得答案； （2）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算即可； （3）只要黄球的个数大于白球的个数时即可，答案不唯一． 【详解】（1）当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 故答案为：0.6； （2）可估计摸到白球的概率为0.6， （只， 答：估算口袋中白球有3只； （3）由（2）可知白球有3只，黄球有2只， 再向口袋中放入2只黄球，使得从袋中摸出一个球，这只球是黄球的概率大于是白球的概率（答案不唯一）． 【考点题型八】概率的简单应用 【例8】有一张观看“我和我的祖国”的电影票，小胡和小明都想拥有，为此两人做了一个游戏，在一个不透明的纸箱里装有点数分别是1、2、3的纸牌各一张，三张纸牌的花色大小相同，游戏规则是：两人各摸纸牌一张，小胡先从纸箱里摸牌一张，记录好点数后放回，再由小明从纸箱里摸牌一张，若两人摸到纸牌的点数和为奇数时，小胡拥有电影票；若两人摸到纸牌的点数和为偶数时，则小明拥有电影票，这个拥有电影票的游戏规则对双方公平吗？请利用树状图或列表法说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平，根据题意画出树状图得出所有等情况数，找出符合条件的情况数，再根据概率公式求出小胡和小明拥有电影票的概率，然后进行比较即可得出答案． 【详解】解：根据题意画图如下，    共有9种等可能的情况数，其中两人摸到纸牌的点数和为奇数有4种情况，两人摸到纸牌的点数和为偶数有5种情况， 则小胡拥有电影票的概率是，小明拥有电影票的概率是， ∵， ∴这个拥有电影票的游戏规则对双方不公平． 【变式8-1】有两个可以自由转动的均匀转盘、分别被分成等份、等份，并在每份内均标有数字，如图所示．王扬和刘菲同学用这两个转盘做游戏，游戏规则如下： ①分别转动转盘与． ②两个转盘停止后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）． ③如果和为，王扬获胜；否则刘非获胜． (1)用列表法（或树状图）求王扬获胜的概率； (2)你认为这个游戏对双方公平吗？若不公平，请制定一个新的游戏规则． 【答案】(1) (2)不公平，新的游戏规则见解析 【分析】本题考查的是游戏公平性的判断以及列表法与树状图法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）用列表法列举出所有可能出现的结果情况，再根据概率的意义求解即可； （2）根据获胜概率的大小判断游戏规则不公平，新的游戏规则合理即可． 【详解】（1）解：列表如下： ╲ 0 0 0 2 2 1 0 3 3 2 共有种等可能的结果，其中和为的结果有种， 王扬获胜的概率； （2）解：这个游戏对双方不公平，理由如下： 由（1）可知，王扬获胜的概率为，刘菲获胜的概率为，， 二人获胜的概率不相等，因此游戏不公平， 新的游戏规则如下：分别转动转盘与；两个转盘停止转动后，将两个指针所指份内的数字相加（如果指针恰好停在等分线上，那么重转一次，直到指针指向某一份为止）；如果和为，王扬获胜，和为刘菲获胜． 【变式8-2】有3张扑克牌，分别是红桃3、红桃4和黑桃5．把牌洗匀后甲先抽取一张，记下花色和数字后将牌放回，洗匀后乙再抽取一张． (1)用列表法或者画树状图法表示所有取牌的可能性； (2)现在甲、乙两人做游戏，目前有三种游戏方案． A方案：若两次抽得相同花色则甲胜，否则乙胜； B方案：若两次抽得数字之和为奇数则甲胜，否则乙胜； C方案：再拿一张红桃3，改变题目中的规则，现在一次性抽取两张牌，若这两张牌的数字分别是3和4，则甲胜，否则乙胜． 请问甲选择哪种方案获胜概率更高？乙选择哪种方案获胜概率更高？ 【答案】(1)见解析 (2)甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高 【分析】本题考查用列表法或者画树状图法求概率，游戏公平性； （1）列表找出所有的可能性及符合条件的数量，再求概率即可； （2）分别求出三种方案甲乙的获胜概率，再判断即可． 【详解】（1）列表如下： 红桃3 红桃4 黑桃5 红桃3 红桃3，红桃3 红桃4，红桃3 黑桃5，红桃3 红桃4 红桃3，红桃4 红桃4，红桃4 黑桃5，红桃4 黑桃5 红桃3，黑桃5 红桃4，黑桃5 黑桃5，黑桃5 （2）由（1）可得： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， C方案画树状图如下（C方案不再看花色，因此列表时不再列举花色）： 方案：甲获胜概率为，乙获胜概率为， 故甲选择A方案获胜概率更高；乙选择C方案获胜概率更高． 1．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．两条线段可以组成一个三角形 B．400 人中有两个人的生日在同一天 C．向空中抛一枚硬币，不向地面掉落 D．经过有交通信号灯的路口，遇见红灯 【答案】B 【分析】本题考查的是必然事件，必然事件是指在一定条件下，一定发生的事件．根据选项判断即可． 根据事件发生的可能性逐一判断即可． 【详解】解：A、两条线段可以组成一个三角形是不可能事件，故选项A不符合题意； B、一年有365天（或366天），那么400人中必有两个人生日相同，故选项B符合题意； C、向空中抛一枚硬币，不向地面掉落是不可能事件，故选项C不符合题意； D、经过有交通信号灯的路口，遇见红灯是随机事件，故选项D不符合题意． 故选 ：B． 2．下列事件是必然事件的是（    ） A．明年10月有31天 B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军 C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡 D．在足球赛中，弱队战胜强队 【答案】A 【分析】本题考查了必然事件，根据一定会发生的事件是必然事件逐项判断即可得出答案，熟练掌握必然事件的定义是解此题的关键． 【详解】解：A．明年10月有31天，是必然事件，故此选项符合题意， B．校园排球比赛，九年级一班获得冠军是随机事件，故此选项不符合题意， C．从煮熟的鸡蛋里孵出小鸡是不可能事件，故此选项不符合题意， D．在足球赛中，弱队战胜强队是随机事件，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．下列说法中不正确的是（    ） A．数据4，9，5，5，7，5的中位数是5 B．任意画一个多边形，其外角和等于360°是必然事件 C．了解某市电灯制造厂的电灯质量情况，应采用全面调查 D．某彩票的中奖概率是0.1，则购买这种彩票10张，可能会中奖 【答案】C 【分析】本题考查了中位数的定义，随机事件，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义，根据中位数的定义，随机事件的分类，全面调查及抽样调查的特点，概率的意义依次判断即可求解． 【详解】解：A、把数据按照从小到大的顺序排列为4，5，5，5，7，9， ∴中位数为，故该选项不符合题意； B、任意画一个多边形，其外角和等于360°是必然事件，故该选项不符合题意； C、了解某市电灯制造厂的电灯质量情况，应采用抽样调查的方式，故原说法错误，故该选项符合题意； D、某彩票的中奖概率是0.1，则购买这种彩票10张，可能会中奖也可能不中奖，故原说法错误，故该选项不符合题意； 故选：C． 4．如图是一个游戏转盘．自由转动转盘，当转盘停止转动后，指针落在数字1，2，3，4所示区域内可能性最大的是（） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】D 【分析】比较圆心角度数大小即可． 【详解】解：由图形知，数字4对应扇形圆心角度数最大，所以指针落在数字所示区域内可能性最大的是4号， 故选：D． 【点睛】本题主要考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法． 5．类比“赵爽弦图”，可类似的构造如图所示的图形，它是由中间的小正六边形和6个全等的直角三角形拼成的一个大正六边形，若在大正六边形内部随机取一点，则此点取自小正六边形的概率是（       ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先对图形标注，根据内角和定理求出，即可得出，再设，根据直角三角形的性质得，由勾股定理求出，根据题意可知，可求，然后求出等边三角形的面积，进而得出正六边形的面积，最后根据面积比得出答案． 【详解】如图所示， 正六边形的每个内角， ∴． 设， ∴， 根据勾股定理得． 根据题意可知， ∴． 作，交于点F， ∵是等边三角形， ∴． 根据勾股定理得， ∴，， ∴正六边形的面积，六个直角三角形的面积为， ∴此点取自小正六边形的概率是． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和定理，直角三角形的性质，勾股定理，概率的计算公式，理解用面积比表示概率是解题的关键． 6．为了缅怀革命先烈，清明节假期强强从《八路军》、《淮海战役》、《长津湖》中随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率．用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长律湖》，画树状图展示所有6种等可能的结果，再找出选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数，然后根据概率公式求解． 【详解】解：用A、B、C分别表示电影《八路军》、《淮海战役》、《长律湖》， 画树状图为： 共有6种等可能的结果，其中选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的结果数为2种， 所以随机选择两部电影观看，恰好选中《淮海战役》和《长津湖》两部电影的概率． 故选：B． 7．如图，自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率，用红色区域所占的面积除以转盘的总面积即可． 【详解】解：自由转动转盘，转盘上的指针（转盘被分成五等份），停在红色区域中的概率是， 故选：C． 8．小明向不透明的袋子中装入1个红色弹珠和1个黄色弹珠，这两个弹珠除颜色外都相同，小明从口袋中任意摸出1个弹珠，记录颜色后放回、搅匀，这样连续共计摸3次．则3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用树状图求等可能事件的概率，方法是用树状图列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．利用画树状图的方法，得出所有可能出现的结果总数，从中找到符合条件的结果数，进而求出概率即可． 【详解】解：根据题意画树状图为： 根据树状图可知，共有8种等可能的结果，其中3次摸到的弹珠颜色都是红色的有1种可能． ∴3次摸到的弹珠颜色都是红色的概率为． 故选：D． 9．兴趣学习小组对某品种的麦粒在相同条件下进行发芽试验，结果如下表所示： 试验的麦粒数n 发芽的粒数m 发芽的频率 通过试验，估计在这批麦粒中任取一粒能发芽的概率（精确到）是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由频率估计概率，根据表格可知：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右，据此解答． 【详解】解：由表格可得：随着实验麦粒数的增加，其发芽的频率稳定在左右， 故选：C． 10．已知一个三位数中至少有一位数为1，且相邻两个数字差的绝对值不超过1，则这样的三位数个数为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了列举法，分百位数字、十位数字、个位数字为1，分别列举出所有可能即可． 【详解】解∶①当百位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，个位数字可能为0，1； 当十位数字为1时，个位数字可能为0，1，2； 当十位数字为2时，个位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123； ②当十位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1，百位数字不能为0， ∴百位数字可能为1，2，个位数字为0，1，2， ∴三位数可能为110，111，112，210，211，212； ③当个位数字为1时， ∵相邻两个数字差的绝对值不超过1， ∴十位数字可能为0，1，2， 当十位数字为0时，百位数字可能为1； 当十位数字为1时，百位数字可能为1，2； 当十位数字为2时，百位数字可能为1，2，3， ∴三位数可能为101，111，211，121，221，321， ∴三位数可能为100，101，110，111，112，121，122，123，210，211，212，221，321，共13个， 故答案为：13． 11．下列说法：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张一定中奖；②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6；③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率为．其中正确的序号为 ． 【答案】② 【分析】此题考查事件发生可能性大小，根据每项事件发生的可能性大小依次判断即可，正确理解各事件发生的可能性大小是解题的关键． 【详解】解：①某种彩票的中奖率是，则购买该种彩票100张不一定中奖，故错误； ②同时掷两枚均匀的骰子，朝上的点数和可能为6，故正确； ③某次投篮活动中，张明同学投篮5次，投中4次，那么他投篮命中的概率不一定为，故错误． 故答案为：②． 12．某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了必然事件，根据事件发生的可能性大小判断，解题的关键是正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】某公司共有名员工，这名员工中，有两个人出生月份相同的概率是必然事件， ∴两个人出生月份相同的概率为， 故答案为：． 13．在一个盒子中有张形状、大小相同质地均匀的卡片，上面分别标着，，，这四个数字，从盒子里随机抽出两张卡片，则所得卡片上的两数之和是的概率是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，概率公式等知识点，熟练掌握列举法求概率是解题的关键． 列举出所有可能出现的情况，再用所求情况数除以总的情况数即可得解． 【详解】解：从张卡片中随机抽出两张卡片共有种可能的结果，即： ，，，，，， 所得卡片上的两数之和是的情况共有种，即：，， 所得卡片上的两数之和是的概率是， 故答案为：． 14．如下所示，将A，B，C，D四种农作物随机种在甲、乙、丙、丁四块田地里，每块田地只能种一种农作物． 甲 乙 丙 丁 （1）A种农作物种在甲位置的概率是 ； （2）B，C这两种农作物位置相邻的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了简单概率求法，画树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）设将B种农作物种在甲地里，画树状图共有6种等可能的结果，其中B，C两种农作物位置相邻的结果有4种，再由概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意A种农作物种在甲位置的概率是， 故答案为：； （2）设将B种农作物种在甲地里， 画树状图如下：    共有6种等可能的结果，其中B，C两种农作物位置相邻的结果有4种， ∴B，C两种农作物位置相邻的概率是． 故答案为：． 15．如图，随机闭合开关中的两个，能够让灯泡发亮的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列举法求概率．根据随机闭合开关中的两个，有种方法，其中有两种能够让灯泡发光，即可求解． 【详解】解：随机闭合开关中的两个，可以闭合、；、；、三种情况，其中闭合、或、时，灯泡可以发光， ∴． 故答案为：． 16．西安地铁5号线“汉城南路站”有标识为B，C，D的三个出入口．某周六上午，甲、乙两位学生志愿者随机选择该站一个出入口，开展志愿服务活动． (1)甲在C出入口开展志愿服务活动的概率为___________． (2)求甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动的概率． 【答案】(1) (2)树状图见解析，甲、乙两人在同一出人口开展志愿服务活动的概率为 【分析】本题考查了利用列表法或树状图法求概率：先列表或画树状图展示所有等可能的结果数m，再找出某事件所占有的可能数n，然后根据概率的概念即可得到这个事件的概率． （1）直接利用概率公式计算可得； （2）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再利用概率公式可得答案． 【详解】（1）解：∵有标识为B，C，D的三个出入口， ∴甲在C出入口开展志愿服务活动的概率为， 故答案为：； （2）画树状图如下． 共有9种等可能的情况、甲、乙两人在同一出入口开展志愿服务活动有3种情况， 甲、乙两人在同一出人口开展志愿服务活动的概率为． 17．产品质量是企业的生命，也是企业发展长远的根本，做好产品质量检测是一件非常重要的事情．某零件厂生产了5件规格一样的产品，因某道工序的不合理产生了2件次品，现从中不分先后一次性任意抽取3件进行检验．（记3件正品分别为，，，2件次品分别为，） (1)列出“从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件产品”的所有等可能结果； (2)求抽得的3件产品中至少含1件次品的概率． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了列举法求概率． （1）根据题意列举出所有等可能结果即可； （2）利用概率公式进行解答即可． 【详解】（1）解：从5件产品中不分先后一次性任意抽取3件的所有等可能的结果有，，，，，，，，，． （2）解：由（1）得基本事件的总数为， 其中抽取的3件产品中没有次品的结果有种． ∴抽得的3件产品中至少含1件次品的概率为． 18．小强和小兵两位同学设计了一个游戏：将三张正面分别写有数，，1的卡片背面朝上，洗匀．从中任意抽取一张，以其正面的数作为的值．放回卡片．洗匀，再从中任意抽取一张 ，以其正面的数为y值两次结果记为． (1)所有可能出现的结果有 种． (2)游戏规定：若点使分式有意义，则小强获胜；若使分式无意义，则小兵获胜．你认为这个游戏规则是否公平？为什么？ 【答案】(1)9 (2)不公平，理由见解析 【分析】本题考查了列表法与树状图法，概率的计算，分式有意义的条件，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用列表法列出所有可能的情况，即可得到答案； （2）先根据分式的性质得出分式有意义的条件，再结合可能情况分别计算使分式有意义和无意义的概率，再比较即可判断出是否公平． 【详解】（1）解：列表如下 1 1 则所有可能出现的结果有9种 故答案为：9． （2）解：不公平，理由如下： 要使有意义，即 即，，，使分式有意义，则小强获胜概率为； 要使无意义，即 即，，，，使分式无意义，则小兵获胜概率为； 这个游戏规则不公平． 19．实践任务：测量不规则草地面积（如图阴影图形）． 方案设计：在草地的外围画一个长5米，宽4米的长方形，在不远处向长方形内掷石子，并记录石子落点情况（石子扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），记录结果如下： 实验分组 一组 二组 三组 四组 五组 六组 七组 石子落在草地内的次数 40 67 115 149 180 209 252 投掷石子总次数 120 240 360 480 600 720 840 石子落在草地上的频率 0.30 0.28 0.32 0.31 0.30 0.29 0.30 数据分析： (1)通过各组实验可以发现，石子落在草地内的概率大约是________； (2)请你根据所学概率的相关知识估算出草地的面积，并写出估算过程． 【答案】(1) (2)；见解析 【分析】本题主要考查了频率估计概率，理解频率和概率的定义是解题关键． （1）根据石子落在草地内的次数占投掷石子总次数比，即可估计石子落在草地内的概率； （2）根据概率公式估算出草地面积即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据可知：随着投掷次数的增多，石子落在草地内的频率稳定在左右，所以石子落在草地内的概率大约是； （2）解：∵长方形的面积为，石子落在草地内的概率大约是， ∴草地的面积大约为：． 20．学校拟举办庆祝“建国75周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参加，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参加．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和大于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程． (1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______； (2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平． 【答案】(1) (2)树状图见解析，该游戏对双方公平 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率： （1）根据概率计算公式求解即可； （2）画出树状图得到所有符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和大于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论． 【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同， ∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是， 故答案为：； （2）解：画树状图如下所示： 由树状图可知，一共有6种（和为4的不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和大于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种， ∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为， ∴小明和小红获胜的概率相同， ∴该游戏对双方公平． 21．渠县教育局在实施“教学联盟”对口帮扶活动中，准备为渠县乡镇部分农村学校的小学生捐赠一批课外读物，为了解学生课外阅读的喜好情况，现对渠县农村学校中随机抽取部分小学生进行问卷调查，调查要求每人只选取一种喜欢的书籍，如果没有喜欢的书籍，则作“其他” 类统计，图（1）与图（2）是整理数据后绘制的两幅不完整的统计图．      (1)本次调查抽取的人数是____人；在扇形统计图中，“漫画”所在扇形的圆心角为 度． (2)若该市农村小学共有 25000 名学生，则由这两个统计图可估计喜爱“科普常识”的小学生约有____人． (3)现在有一种漫画书，发到最后只剩一本，但小丽和小芳都想要，于是她们玩一种游戏， 规则是：现有 4 张卡片上分别写有 1，2，3，4四个整数，先让小丽随机地抽取一张后放回，再由小芳随机地抽取一张．若抽取的两张卡片上的数字之和是5的倍数则小丽得到这本书，若抽取的两张卡片上的数字之和是3的倍数则小芳得到这本书，用列表法或树状图分析这种方法对二人是否公平？ 【答案】(1)72 (2)7500 (3)这种方法不公平，理由见解析 【分析】（1）用“其他”种类人数除以“其他”种类人数所占百分比即可求出本次调查抽取的人数；用“漫画”种类人数除以本次调查抽取的人数乘即可求出“漫画”所在扇形的圆心角度数； （2）用25000乘“科普常识”所占的百分比，即可求出该市农村25000名学生中喜爱“科普常识”的小学生人数； （3）列表得出所有可能的情况数，找到符合抽得的数字之和是5的倍数的情况数，是3的倍数的情况数，再分别除以总情况数，即可求出数字之和是5的倍数的概率，数字之和是3的倍数的概率，进而比较求解即可． 【详解】（1）解：（人） “漫画”所在扇形的圆心角为； （2）解：估计喜爱“科普常识”的小学生约有（人）； （3）解：列表如下： 两数之和 1 2 3 4 1 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 4 5 6 7 8 ∴共有16种等可能的结果，其中抽得的数字之和是5的倍数的有4种，是3的倍数的有5种， ∴则书给小丽的概率是，给小芳的概率是 ∵ 答：这种方法不公平． 【点睛】本题考查了结合扇形统计图和条形统计图获取相关信息，包括利用样本百分比估计总体数量，根据树状图或列表法计算概率等知识点，理解题意，综合运用这些知识点是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$