专题05一元一次不等式（考题猜想，易错必刷35题12种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题05 一元一次不等式（考题猜想易错必刷35题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 不等式的定义 · 不等式的解 · 不等式的性质 · 一元一次不等式（组）定义 · 解不等式（组） · 用数轴表示不等式解集 · 不等式的整数解 · 列一元一次不等式（组） · 由不等式解集求参数 · 用一元一次不等式解决实际问题 · 用一元一次不等式解决几何问题 · 一元一次方程组的应用 一．不等式的定义（共2小题） 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）2024年6月，我国选手苗浩以7小时58分4秒的成绩创造了亚洲大铁新纪录，将该记录用时记为，若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 二、不等式的解（共3小题） 3．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 4．（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 5．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式： ． 三、不等式的性质（共3小题） 6．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（18-19八年级·四川成都·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 四、一元一次不等式（组）定义（共3小题） 9．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 10．（20-21七年级下·四川绵阳·期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 11．（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 五、解不等式（组）（共3小题） 12．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式． (1)； (2)． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法， 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围． (2)已知，且，求的取值范围． 六、用数轴表示不等式解集（共3小题） 15．（23-24八年级下·广东河源·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 七、不等式的整数解（共3小题） 18．（2023·河南信阳·模拟预测）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 19．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 20．（23-24七年级下·全国·期末）（1）解关于x的不等式，并求出其最大整数解； （2）解关于x的不等式组 八、列一元一次不等式（组）（共3小题） 21．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 22．（23-24六年级下·全国·单元测试）用不等式表示：b与5的和不大于 ． 23．（19-20七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 九、由不等式解集求参数（共3小题） 24．（24-25八年级上·重庆·开学考试）若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 25．（23-24七年级下·全国·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 26．（2023·四川乐山·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 十、用一元一次不等式解决实际问题（共3小题） 27．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？ 28．（23-24七年级下·全国·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由． 29．（23-24七年级下·全国·期末）班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别． 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 笔 20 墨 15 210 纸 24 砚 60 2 合计 43 922 (1)此次购买的笔和纸各多少件? (2)若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件? (3)若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案? 十一、用一元一次不等式解决几何问题（共3小题） 30．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 31．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 32．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 十二、一元一次方程组的应用（共3小题） 33．（23-24八年级下·全国·单元测试）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 34．（23-24七年级下·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？ 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ $$专题05 一元一次不等式（考题猜想易错必刷35题12种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 不等式的定义 · 不等式的解 · 不等式的性质 · 一元一次不等式（组）定义 · 解不等式（组） · 用数轴表示不等式解集 · 不等式的整数解 · 列一元一次不等式（组） · 由不等式解集求参数 · 用一元一次不等式解决实际问题 · 用一元一次不等式解决几何问题 · 一元一次方程组的应用 一．不等式的定义（共2小题） 1．（23-24八年级下·河南郑州·期末）2024年6月，我国选手苗浩以7小时58分4秒的成绩创造了亚洲大铁新纪录，将该记录用时记为，若今后的选手要打破该记录，则比赛用时t的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的表示和意义，熟练掌握不等式的表示和意义是解题的关键．由于记录用时记为，要打破该记录，即比赛用时要小于记录用时，即． 【详解】解： 记录用时为， 若今后的选手要打破该记录，则比赛用时需． 故选：B． 2．（24-25八年级上·甘肃武威·开学考试）针织衫洗涤要求：水温不高于．根据以上信息，写出一个关于温度的不等式： ． 【答案】 【分析】此题主要考查不等式的定义．根据“水温不高于”可以写为． 【详解】解：根据“水温不高于”可以写为． 故答案为：． 二、不等式的解（共3小题） 3．（2023·吉林白城·模拟预测）下列说法正确的是（　　） A．不等式的解是 B．不等式的解是 C．是不等式的一个解 D．是不等式的一个解 【答案】D 【分析】本题考查不等式的解和解集的定义．根据不等式的解集的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、不是不等式的解，故本选项不符合题意； B、不等式的解是所有小于0的数，故本选项不符合题意； C、不满足，故本选项不符合题意； D、是不等式的一个解，故本选项符合题意． 故选：D． 4．（23-24八年级下·广东茂名·期中）是下列不等式（    ）的一个解． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的解，解题的关键是理解不等式的解的意义；把分别代入各选项判定即可； 【详解】解：、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项不符合题意； 、当时，，故本选项符合题意； 故选：． 5．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）写出一个解集为的一元一次不等式： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据已知中一元一次不等式的解集，写出符合的一元一次不等式即可． 【详解】解：写出一个解集为的一元一次不等式为， 故答案为：（答案不唯一）． 【点评】本题考查了一元一次不等式的解集的定义，根据给出的解集写出正确的一元一次不等式是解题关键． 三、不等式的性质（共3小题） 6．（24-25八年级上·广西南宁·开学考试）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质；解题的关键是熟练掌握不等式的性质．根据不等式得性质：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变 ；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，解答即可． 【详解】解：A．由，两边同时减5得，原式不等号方向不变，错误，故本选项不符合题意； B．由，两边同时乘以6得，原式不等方向不变，错误，故本选项不符合题意； C．由，两边同时加上4得，原式不等号方向不变，正确，故本选项符合题意； D．由，两边同时乘以得，原式不等号方向改变，错误，故本选项不符合题意 故选：C． 7．（18-19八年级·四川成都·期中）若，则下列不等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向． 【详解】解：∵， ∴，，， 根据，不一定能得到，例如，满足，但是， 故选：A． 8．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如果，则下列各式中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质分析即可得出答案，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，， ∴一定成立，故选项符合题意； B、∵， ∴，故选项不符合题意； C、当时，，故选项不符合题意； D、当时，，故选项不符合题意； 故选：A． 四、一元一次不等式（组）定义（共3小题） 9．（23-24八年级下·河南郑州·期中）下列各项中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可．含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 【详解】解：A. 第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     B. 有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     C. 最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意；     D. 是一元一次不等式组，故本选项符合题意； 故选：D． 10．（20-21七年级下·四川绵阳·期中）下列不等式组是一元一次不等式组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次不等式组的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．最高二次，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； B．有两个未知数，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； C．是一元一次不等式组，故本选项符合题意； D．第二个不等式中有的式子不是整式，不是一元一次不等式组，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点评】本题考查了一元一次不等式组的定义，能熟记一元一次不等式组的定义是解此题的关键，含有相同字母的几个不等式，如果每个不等式都是一次不等式，那么这几个不等式组合在一起，就叫一元一次不等式组． 11．（24-25八年级上·重庆·开学考试）已知是关于的一元一次不等式，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的定义，含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴， ∴， 故答案为：3． 五、解不等式（组）（共3小题） 12．（2024·安徽·模拟预测）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解题关键．依次去分母、去括号、移项合并、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 系数化为1得：． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了一元一次不等式的求解，解题的关键是掌握一元一次不等式的求解方法，正确求出不等式的解集． （1）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． （2）按去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，即可求解． 【详解】（1）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 14．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）阅读下列材料： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法， 解：∵，又∵，∴，   又，∴．…① 同理得：．…② 由①+②得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： 已知关于x的方程的解为负数． (1)求a的取值范围． (2)已知，且，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了已知一元一次方程解的情况求参数取值范围、解特殊不等式组等．正确理解题意是解题关键． （1）先求解关于x的一元一次方程，根据解的情况建立关于参数的不等式，即可求解； （2）由，，可得的取值范围，同理可得的取值范围，故可求的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解为负数， ∴， ∴， 解得． （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的取值范围为． 六、用数轴表示不等式解集（共3小题） 15．（23-24八年级下·广东河源·期中）不等式组的解集在数轴上表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式组的解集．熟练掌握在数轴上表示大于或小于边界点要用空心圆圈，表示大于等于或小于等于边界点要用实心圆点，大于向右，小于向左．是解答此题的关键． 按不等式的解集在数轴上的表示方法，分别表示出两个不等式的解集，得到不等式组的解集．判断即得． 【详解】解：不等式组，的解集在数轴上表示，如图所示： ， 故选：A． 16．（2024八年级上·全国·专题练习）若不等式的解集表示在数轴上如图所示，则被墨迹污染的数字是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式的解法，在数轴上表示不等式的解集，设被墨迹污染的数字为，求出，的解集为 ，根据解集在数轴上表示可得，解方程即可． 【详解】解：设被墨迹污染的数字为， 解不等式，得 ， 由题图可知该不等式的解集为， 所以 ，解得． 故选：C． 17．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列不等式组，并将解集表示在数轴上． (1) (2) 【答案】(1)，图见解析； (2)，图见解析． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，并在数轴上表示出即可． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为， 解集在数轴上表示为如图所示： （2）解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为：， 解集在数轴上表示为如图所示： 七、不等式的整数解（共3小题） 18．（2023·河南信阳·模拟预测）不等式组的整数解的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查的是一元一次不等式组的解法和一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，根据不等式组的解集确定整数解及其个数即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得． 则不等式组的解集是：． 则整数解是1、2、3、4，共有4个． 故选：D． 19．（24-25八年级上·四川广安·开学考试）不等式的正整数解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式； 先解不等式，然后可得其正整数解． 【详解】解：移项得：， 系数化为1得：， ∴不等式的正整数解为， 故答案为：． 20．（23-24七年级下·全国·期末）（1）解关于x的不等式，并求出其最大整数解； （2）解关于x的不等式组 【答案】（1），最大整数解为；（2） 【分析】本题考查了不等式及不等式组的求解： （1）先求出不等式的解集，再求出不等式的最大整数解即可； （2）先求出不等式的解集，再求出不等式组解集即可． 【详解】（1）解： 所以最大整数解为： （2） 解： 所以不等式组的解集为： 八、列一元一次不等式（组）（共3小题） 21．（23-24八年级下·全国·假期作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 【详解】解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 22．（23-24六年级下·全国·单元测试）用不等式表示：b与5的和不大于 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，根据b与5的和不大于，列式，即可作答． 【详解】解：依题意，用不等式表示：b与5的和不大于，即， 故答案为：． 23．（19-20七年级下·黑龙江佳木斯·期末）若干名学生住宿舍，每间住人，人无处住；每间住人，空一间还有一间不空也不满，问多少学生多少宿舍？设有间宿舍，则可列不等式组为 【答案】 【分析】先根据“每间住人，人无处住”可得学生人数，再根据“每间住人，空一间还有一间不空也不满”建立不等式组即可得． 【详解】设有间宿舍，则学生有人， 由题意得：， 故答案为：． 【点评】本题考查了列一元一次不等式组，理解题意，正确找出不等关系是解题关键． 九、由不等式解集求参数（共3小题） 24．（24-25八年级上·重庆·开学考试）若关于x的不等式组 的解集为，且关于y的分式方程 的解为正整数，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．4 B． C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组、分式方程的解，熟练掌握一元一次不等式组的解法、分式方程的解法，注意分式方程增根的情况是解题的关键． 先分别解不等式组里的两个不等式，根据解集求出a的取值范围，再由分式方程的解求出a的范围，得到两个a的范围必须同时满足，即求得可得到的整数a的值． 【详解】解：解不等式组得， ∵不等式组的解集为， ∴ ， 解得， 解关于y的分式方程 ， 得， ∵分式方程的解为正整数， ∴且， ∴且， ， 或或， 所有满足条件的整数a的值有：，，， 符合条件的所有整数a的和为．故选：B． 25．（23-24七年级下·全国·期中）若关于的不等式组的整数解共有4个，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解题关键．首先求得不等式组的解集，然后根据该不等式组整数解共有4个，即可获得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 由题意该不等式组的解集为 ， 因为该不等式组整数解共有4个，即为4、5、6、7， 所以的取值范围是． 故选：D． 26．（2023·四川乐山·模拟预测）若关于的不等式组有且只有两个整数解，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，不等式组的整数解的应用，解此题的关键是求出关于的不等式组，先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后根据已知得出关于的不等式组，求出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 关于的不等式组有且只有两个整数解， 不等式组的解集为， 不等式组只有两个整数解，则它们是，0， ， 解得：， 故的取值范围为． 十、用一元一次不等式解决实际问题（共3小题） 27．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）期中考试后，某班班主任对在期中考试中取得优异成绩的同学进行表彰．她到商场购买了甲、乙两种笔记本作为奖品，购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元．已知购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元． (1)求购买一个甲种、一个乙种笔记本各需多少元？ (2)两种笔记本均受到了获奖同学的喜爱，班主任决定在期末考试后再次购买两种笔记本共35个，正好赶上商场对商品价格进行调整，甲种笔记本售价比上一次购买时减价2元，乙种笔记本按上一次购买时售价的8折出售．如果班主任此次购买甲、乙两种笔记本的总费用不超过上一次总费用的，求至多需要购买多少个甲种笔记本？ 【答案】(1)购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元 (2)15个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式解决实际问题． （1）设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元，根据“购买甲种笔记本15个，乙种笔记本20个，共花费250元；购买一个甲种笔记本比购买一个乙种笔记本多花费5元”即可列出方程组，求解即可； （2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本，则第二次购买时总费用为元，根据“第二次购买总费用不超过上一次总费用的”即可列出不等式，求解即可． 【详解】（1）解：设购买一个甲种笔记本需要元，购买一个乙种笔记本需要元， 依题意，得： ，解得， 答：购买一个甲种笔记本需要10元，购买一个乙种笔记本需要5元． （2）设购买个甲种笔记本，则购买个乙种笔记本， 依题意，得： 解得： 答：至多需要购买15个甲种笔记本． 28．（23-24七年级下·全国·期末）“一盔一带”安全守护行动是公安部在全国开展的一项安全守护行动，也是营造文明城市，做文明市民的重要标准，电动自行车驾驶人和乘坐人员应当戴安全头盔，某商场欲购进一批头盔，已知购进8个甲型头盔和6个乙型头盔需要630元，购进6个甲型头盔和8个乙型头盔需要700元． (1)购进1个甲型头盔和1个乙型头盔分别需要多少元？ (2)若该商场准备购进200个这两种型号的头盔，总费用不超过10200元，则最多可购进乙型头盔多少个？ (3)在（2）的条件下，若该商场分别以58元/个、98元/个的价格销售完甲，乙，能否实现利润不少于6190元的目标？若能，请给出相应的采购方案，请说明理由． 【答案】(1)购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元 (2)最多可购进乙型头盔120个 (3)能，该商场有三种采购方案：①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个；②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个；③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． （1）设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元，根据题意列二元一次方程组并求解即可； （2）设乙型头盔个，根据所需费用数量单价，计算甲、乙头盔总费用列不等式，求得乙型头盔的最大值； （3）根据利润单件利润数量，列不等式，求出乙型头盔的取值范围，结合（2）中答案确定的取值范围，即可得出可选方案． 【详解】（1）解：设购进1个甲型头盔需要元，购进1个乙型头盔需要元， 根据题意得，解得， 答：购进1个甲型头盔需要30元，购进1个乙型头盔需要65元； （2）解：设购进乙型头盔个，则购进甲型头盔个， 根据题意得，解得， 的最大值为120， 答：最多可购进乙型头盔120个； （3）解：能， 理由如下：根据题意得，解得， ， 为整数， 可取118，119或120，对应的的值分别为82，81或80， 因此能实现利润不少于6190元的目标，该商场有三种采购方案： ①采购甲型头盔82个，采购乙型头盔118个； ②采购甲型头盔81个，采购乙型头盔119个； ③采购甲型头盔80个，采购乙型头盔120个． 29．（23-24七年级下·全国·期末）班级书法小组购买“文房四宝”的数据如下，有部分数据因污损无法识别． 商品名 单价（元） 数量（件） 金额（元） 笔 20 墨 15 210 纸 24 砚 60 2 合计 43 922 (1)此次购买的笔和纸各多少件? (2)若再次购买墨和砚共10件，且总价不超过370元，最多购买砚多少件? (3)若用420元购买墨和纸，在420元恰好用完的条件下，有哪些购买方案? 【答案】(1)此次购买笔件，纸件 (2)最多购买砚台件 (3)共有种购买方案，方案：购买件墨，件纸; 方案: 购买件墨, 件纸 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设此次购买的笔件，纸件，根据总价单价数量结合表格中的数据，即可得出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买砚件，则购买墨件，根据总价单价数量结合总价不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中最大的整数值即可得出结论； （3）设可以购买墨件，纸件，根据总价单价数量，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为整数即可得出各购买方案. 【详解】（1）设此次购买的笔件，纸件，依题意，得： ， 解得： 答：此次购买笔件，纸件； （2）设购买砚台m件，则购买墨件， ， 解得：， ∴最多购买砚台件； （3）设可以购买墨件，纸件， 依题意，得：， ， 又∵， 均为整数， 或 ， ∴共有种购买方案，方案：购买件墨，件纸； 方案： 购买件墨， 件纸. 答：共有种购买方案，方案：购买件墨，件纸； 方案： 购买件墨， 件纸. 十一、用一元一次不等式解决几何问题（共3小题） 30．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）如图，数轴上点为原点，点A、B、C表示的数分别是． (1) ．（用含m的代数式表示） (2)当时，求m的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，解一元一次不等式等知识，准确计算是解决问题的关键． （1）用右边的点所表示的数减去左边的点所表示的数即可求解． （2）利用，建立方程求得，求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∵，， ∴， ∴， m最小取． 31．（23-24七年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解： 是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 32．（2022·河北邯郸·三模）如图，数轴上点O为原点，点A，B，C表示的数分别是，，． (1)________（用含m的代数式表示）； (2)若点B为线段的中点，求的长； (3)设，求当与的差不小于时整数x的最小值． 【答案】(1) (2) (3)整数x的最小值为25 【分析】（1）直接利用两点之间的距离公式进行计算即可； （2）点B为线段的中点，可得，再建立方程求解即可； （3）由，，，再利用当与的差不小于，建立不等式求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B表示的数分别是，， ∴； （2）∵点B为线段的中点， ∴， ∵，， 即， 解得． ∴B点表示的数为， ∴． （3）∵，，， 由题意得， 解得， ∴， ∴整数x的最小值为25． 【点评】本题主要考查数轴上两点间的距离，列方程、不等式解决问题，考查学生的几何直观和运算能力． 十二、一元一次方程组的应用（共3小题） 33．（23-24八年级下·全国·单元测试）某电器经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的微波炉，若购进1台甲型微波炉和2台乙型微波炉，共需要资金2600元；若购进2台甲型微波炉和3台乙型微波炉，共需要资金4400元． (1)求甲、乙型号的微波炉每台进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的微波炉销售，预计用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台，请问有几种进货方案？请写出进货方案； 【答案】(1)甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； (2)共有四种方案，方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台；方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台；方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台；方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 【分析】本题考查了一元一次不等式组与二元一次方程组的应用， （1）设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元，根据题意建立方程组求解就可以求出答案； （2）设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台，根据“用不多于万元且不少于万元的资金购进这两种型号的微波炉共20台”建立不等式组，求出其解就可以得出结论． 【详解】（1）解：设甲种型号微波炉每台进价为x元，乙种型号微波炉每台进价为y元， 根据题意得， 解得：， 答：甲型号微波炉每台进价为1000元，乙型号微波炉每台进价为800元； （2）解：设购进甲种型号微波炉a台，则购进乙种型号微波炉台， 根据题意得：， 解得：， ∵a为整数， ∴共有四种方案， 方案一：购进甲种型号微波炉7台、乙种型号微波炉13台； 方案二：购进甲种型号微波炉8台、乙种型号微波炉12台； 方案三：购进甲种型号微波炉9台、乙种型号微波炉11台； 方案四：购进甲种型号微波炉10台、乙种型号微波炉10台． 34．（23-24七年级下·全国·期末）吉祥物“滨滨”和“妮妮”两个东北虎卡通形象是由清华大学美术学院团队为2025年第九届亚冬会创作的．“滨滨”是代表冰上运动的吉祥物，身穿冬季运动服，戴着红圈巾、蓝手套，脚穿冰刀在快乐地滑冰．滑单板的“妮妮”是代表冒上运动的吉祥物，身身中国民同传统毛领节庆红袄．某超市看好“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物造型的钥匙扣挂件的市场价值，经调查“滨滨”造型钥匙扣挂件进价每个m元，售价每个16元“妮妮”造型钥匙扣挂件进价每个n元，售价每个18元． (1)该超市在进货时发现：若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元；若购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，求m，n的值． (2)该超市决定每天购进“滨滨”和“妮妮”两种吉祥物钥匙扣挂件共100个，且投入资金不少于1160元又不多于1168元，设购买“滨滨”造型钥匙扣挂件x个，求有哪几种购买方案？ 【答案】(1)m的值为10，n的值为14 (2)共有3种购买方案，方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个；方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个；方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一元一次方程组的应用； （1）根据购进“滨滨”造型钥匙扣挂件10个和“妮妮”造型钥匙扣挂件5个需要共170元且购进“滨滨”造型钥匙扣挂件6个和“妮妮”造型钥匙扣挂件10个共需要200元，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用进货总价＝进货单价×进货数量，结合进货总价不少于1160元又不多于1168元，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出各购买方案； 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：m的值为10，n的值为14； （2）解：根据题意得：， 解得：， 又∵x为正整数， ∴x可以为58，59，60， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件58个，“妮妮”造型钥匙扣挂件42个； 方案2：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件59个，“妮妮”造型钥匙扣挂件41个； 方案3：购买“滨滨”造型钥匙扣挂件60个，“妮妮”造型钥匙扣挂件40个 35．（23-24七年级下·全国·单元测试）“食博会”期间，某零食店计划购进两种网红零食共包，其中种零食的进价为每包元，种零食的进价为每包元．已知在出售时，包种零食和包种零食的价格一共为元，包种零食和包种零食的价格一共为元． (1)两种零食每包的售价分别是多少元？ (2)该零食店为了限制进货投入，计划种零食的进货不超过包，且销售完后总利润不低于元，则进货方案有多少种？哪种进货方案可获最大利润？ 【答案】(1)种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； (2)购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． 【分析】（）设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元，根据题意列出方程组即可求解； （）设购进种零食包，则购进种零食包，根据题意列出不等式组求出的值，再求出每一种方案的获利即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，根据题意正确列出二元一次方程组和一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】（1）解：设种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元， 根据题意得，， 解得， 答：种零食每包的售价是元，种零食每包的售价是元； （2）解：设购进种零食包，则购进种零食包， 由题意得，， 解得， ∵为整数， ∴或或， ∴进货方案有种： 方案一：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案二：购进种零食包，种零食包，获利元； 方案三：购进种零食包，种零食包，获利元； ∵， ∴购进种零食包，购进种零食包，获利最大，最大利润为元． $$