专题05一元一次不等式（考点清单，14清单&11题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单05 一元一次不等式（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【清单02】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【清单03】不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【清单04】在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单05】一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【清单06】解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【清单07】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【清单08】由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【清单09】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【清单10】一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【清单11】解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【清单12】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【清单13】由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 【清单14】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【考点题型一】不等式的定义 【例1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】据报道，某市2017年5月29日的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温（单位：）的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】不等式的性质 【例2】如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式2-2】若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型三】不等式的解集 【例3】下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】用数轴表示不等式的解集 【例4】不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】一元一次不等式（组）的定义 【例5】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】下列是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【考点题型六】列一元一次不等式（组） 【例6】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【变式6-3】老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【考点题型七】解一元一次不等式（组） 【例7】解不等式： (1)； (2)． 【变式7-1】解不等式组： 【变式7-2】（1）解方程：， （2）解不等式组，并把这个不等式组的解集在数轴上表示出来． 【考点题型八】用一元一次不等式解决实际问题 【例8】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【变式8-1】为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【变式8-2】为了落实东坡文化进校园，学校每年在初中年级举办国学诵读活动，学校计划购进类和类两种演出服装供学生使用，经市场调查，购买类演出服装套和类演出服装套共花费元，已知购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元． (1)购买一套类演出服装和购买一套类演出服装各需多少元？ (2)通过全校师生的共同努力，学校在今年市举办的东坡文化节诵读活动中成绩优秀，学校计划用不超过元的经费再次购买类演出服装和类演出服装共套，若单价不变，则这次至少可以购买多少套类演出服装？ 【考点题型九】一元一次不等式（组）的整数解 【例9】解不等式组，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【变式9-1】计算的结果为． (1)若．求P的值； (2)若P的值为正数，请你写出一个的整数值，并求出P的值． 【变式9-2】解不等式组并求它的所有的非负整数解的和． 【考点题型十】一元一次不等式组的应用 【例10】凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【变式10-1】根据以下素材，探索完成任务 背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元． 素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内． 问题解决 任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？ 【变式10-2】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【考点题型十一】利用不等式的解集求参数 【例11】若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】定义一种新运算（其中，为实数），例如：，若关于的不等式组恰好有2个整数解，则实数的取值范围 ． 【变式11-2】从，，，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a的值为 ． 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 2．某品牌亚麻服装进价为200元/件，标价为300元/件，由于搞活动，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则该品牌亚麻服装每件最多可打（  ） A．9折 B．8折 C．7折 D．3.5折 3．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 4．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 7．设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（    ） A．没有解 B．恰好有1个解 C．有限个解 D．有无数个解 8．若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 9．用不等式表示x减去y大于： ． 10．某游乐园“西部战车”项目的游客须知规定： 以下谢绝乘坐，（包括150）的儿童须有成人陪同．按上述规定，一位游客可以单独乘坐“西部战车”，则该游客的身高需满足的条件为 ． 11．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 12．已知，则的最小值是 ． 13．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 14．有两个三位数和，若m，n满足为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， ，，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则 15．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共个，已知每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元． (1)若购买这两类球的总金额为元，求篮球，足球各买了多少个？ (2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ (3)在精准扶贫中，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤每棚） 销售价（元每斤） 成本（元棚） 香瓜 甜瓜 根据以上信息，求李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 16．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 17．又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元． (1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？ (2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值． 18．解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集 19．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 20．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单05 一元一次不等式（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】不等式的定义 （1）不等式的概念：用“＞”或“＜”号表示大小关系的式子，叫做不等式，用“≠”号表示不等关系的式子也是不等式． （2）凡是用不等号连接的式子都叫做不等式．常用的不等号有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知数，也可不含未知数． 【清单02】不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 【清单03】不等式的解集 （1）不等式的解的定义： 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． （2）不等式的解集： 能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集． （3）解不等式的定义： 求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）不等式的解和解集的区别和联系 不等式的解是一些具体的值，有无数个，用符号表示；不等式的解集是一个范围，用不等号表示．不等式的每一个解都在它的解集的范围内． 【清单04】在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 【规律方法】不等式解集的验证方法 某不等式求得的解集为x＞a，其验证方法可以先将a代入原不等式，则两边相等，其次在x＞a的范围内取一个数代入原不等式，则原不等式成立． 【清单05】一元一次不等式的定义 （1）一元一次不等式的定义： 含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式． （2）概念解析 一方面：它与一元一次方程相似，即都含一个未知数且未知项的次数都是一次，但也有不同，即它是用不等号连接，而一元一次方程是用等号连接． 另一方面：它与不等式有区别，不等式中可含、可不含未知数，而一元一次不等式必含未知数．但两者也有联系，即一元一次不等是属于不等式． 【清单06】解一元一次不等式 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 【清单07】一元一次不等式的整数解 解决此类问题的关键在于正确解得不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式的整数解．可以借助数轴进行数形结合，得到需要的值，进而非常容易的解决问题． 【清单08】由实际问题抽象出一元一次不等式 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于（小于）、不超过（不低于）、是正数（负数）”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号． 因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系． 【清单09】一元一次不等式的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 【清单10】一元一次不等式组的定义 （1）一元一次不等式组的定义： 几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组． （2）概念解析 形式上和方程组类似，就是用大括号将几个不等式合起来，就组成一个一元一次不等式组．但与方程组也有区别，在方程组中有几元一般就有几个方程，而一元一次不等式组中不等式的个数可以是两个及以上的任意几个． 【清单11】解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 【清单12】一元一次不等式组的整数解 （1）利用数轴确定不等式组的解（整数解）． 解决此类问题的关键在于正确解得不等式组或不等式的解集，然后再根据题目中对于解集的限制得到下一步所需要的条件，再根据得到的条件进而求得不等式组的整数解． （2）已知解集（整数解）求字母的取值． 一般思路为：先把题目中除未知数外的字母当做常数看待解不等式组或方程组等，然后再根据题目中对结果的限制的条件得到有关字母的代数式，最后解代数式即可得到答案． 【清单13】由实际问题抽象出一元一次不等式组 由实际问题列一元一次不等式组时，首先把题意弄明白，在此基础上找准题干中体现不等关系的语句，根据语句列出不等关系．往往不等关系出现在“不足”，“不少于”，“不大于”，“不超过”等这些词语出现的地方．所以重点理解这些地方有利于自己解决此类题目． 【清单14】一元一次不等式组的应用 对具有多种不等关系的问题，考虑列一元一次不等式组，并求解． 一元一次不等式组的应用主要是列一元一次不等式组解应用题，其一般步骤： （1）分析题意，找出不等关系； （2）设未知数，列出不等式组； （3）解不等式组； （4）从不等式组解集中找出符合题意的答案； （5）作答． 【考点题型一】不等式的定义 【例1】下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥；其中是不等式的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义，有理数的大小比较，熟练掌握不等式的定义是解题的关键．根据不等式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有：①②③⑥，共有4个， 故选：B． 【变式1-1】据报道，某市2017年5月29日的最高气温是，最低气温是，则当天该市气温（单位：）的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的定义．根据不等式的定义进行解答即可． 【详解】解：某市2017年5月29日的最高气温是，最低气温是， 当天该市气温的变化范围是：． 故选：D． 【考点题型二】不等式的性质 【例2】如果，那么下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的基本性质，（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据不等式的性质逐一判断即可解答． 【详解】解： A、因为，当，时，那么，故A错误； B、因为，即，左右两边同时减去2，得到，故B正确； C、因为，即，左右两边同时乘以，得到，故C错误； D、因为，即，左右两边同时乘以2，得到，故D错误； 故选：B． 【变式2-1】下列说法一定正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．利用不等式的基本性质逐项分析得出答案即可． 【详解】解：A．当时，，即a与b不一定相等，故本选项不符合题意； B．若，则，故本选项不符合题意； C．若，当时，，故本选项不符合题意； D．若，则，说法正确，故本选项符合题意． 故选：D． 【变式2-2】若，则下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变进行分析即可． 本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，故本选项错误； B、若，则，故本选项正确； C、若，则，故本选项错误； D、若，则，则，故本选项错误； 故选B． 【考点题型三】不等式的解集 【例3】下列不等式的解集中，不包括的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查了不等式的解集的概念：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，称为这个不等式的解集．根据不等式的解集的概念进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集中，不包括的是， 故选：C． 【变式3-1】下面各数中，是不等式的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查不等式的解集，根据不等式的解集为，即找出满足不小于的数即可，熟练掌握不等式的解集的意义是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、，故选项符合题意； 故选：D． 【考点题型四】用数轴表示不等式的解集 【例4】不等式组的解集，在数轴上表示正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 在数轴上表示为： 故选D． 【变式4-1】把不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 则不等式组的解集为． 故选：B． 【变式4-2】已知实数，满足，则的取值范围可在数轴表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，算术平方根的性质，不等式的性质和在数轴上表示不等式的解集．得出是解题的关键． 根据题意得出且，求解即可； 【详解】解：∵实数，满足，， ∴且， ∴，， ∴， 在数轴表示为， 故选：B． 【考点题型五】一元一次不等式（组）的定义 【例5】下列是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键．利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【变式5-1】下列是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：是一元一次不等式组． 故选：B． 【点睛】本题考查一元一次不等式组，掌握一元一次不等式组定义，会根据定义识别一元一次不等式组是解题关键． 【变式5-2】若是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】考查了一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义得到且，即可求m的值． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴且 ∴ 故答案是：． 【考点题型六】列一元一次不等式（组） 【例6】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【变式6-1】把一些牛奶分给几个老人，如果每人分3瓶，那么余8瓶，如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶．设共有x位老人，则下列不等式满足条件为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，先根据题意得共有瓶牛奶，进而正确列出不等式即可． 【详解】解：设共有x位老人，根据如每人分3瓶，那么余8瓶可得共有瓶牛奶， ∵如果前面的每个老人分5瓶，那么最后人就分不到3瓶， ∴， 故选：A 【变式6-2】某校为了培养学生阅读的习惯，准备把一些书分给学生阅读，若每人分3本，则多10本；若每人分5本，则最后一人分到了书但不到3本书．共有多少学生？现设一共有x名学生，则可列不等式组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组．设一共有x名学生，根据如果每人分3本，则多10本，共本书；如果每人分5本，那么最后一人分到的书是，可列出不等式组． 【详解】解：设一共有x名学生，列不等式组为： ． 故答案为：． 【变式6-3】老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生，已知套尺的单价5元，圆规的单价为10元．老师买了7套套尺，求老师最多还能买几副圆规．设老师买了x副圆规，可列不等式为 ．（只列式不计算） 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，设老师买了x副圆规，根据“老师准备用100元购买套尺和圆规作为元旦礼物送给学生”即可列出一元一次不等式，理解题意，找准不等关系是解此题的关键． 【详解】解：设老师买了x副圆规， 由题意得：， 故答案为：． 【考点题型七】解一元一次不等式（组） 【例7】解不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，掌握不等式的性质是解此题的关键． （1）去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变． （2）去分母、去括号、移项合并同类项、系数化，注意不等式两边同乘以或除以负数时不等号方向要改变． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并同类项得：， 解得：． 【变式7-1】解不等式组： 【答案】． 【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别求出不等式组中两不等式的解集，找出两解集的公共部分即可，解题的关键是掌握一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】解: 解不等式①得，，                         解不等式②得，，               所以该不等式组的解集是． 【变式7-2】（1）解方程：， （2）解不等式组，并把这个不等式组的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集等等，正确计算是解题的关键． （1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，最后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）， 去分母得：， 去括号得：， 移项、合并得：， 系数化为1得：； （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ． 【考点题型八】用一元一次不等式解决实际问题 【例8】某校因物理实验室需更新升级，现决定购买甲、乙两种型号的滑动变阻器．若购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍，甲种滑动变阻器单价比乙种单价贵5元． (1)求甲、乙两种滑动变阻器的单价分别为多少元． (2)该校拟计划再订购这两种滑动变阻器共100个，总费用不超过5200元，那么该校最多可以购买多少个甲种滑动变阻器? 【答案】(1)甲单价为55元，乙单价为50元 (2)40个 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用； （1）设乙种滑动变阻器的单价是x元，则甲种滑动变阻器的单价是元，乙种书的单价是元，根据“购买甲种滑动变阻器用了1650元，购买乙种用了1000元，购买的甲种滑动变阻器的数量是乙种的1.5倍”，可得出关于的分式方程，解之即可得出结论； （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个，利用总价单价数量，结合总费用不超过5200元，可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【详解】（1）设乙种滑动变阻器的单价是x元， 根据题意得： 解得：． 经检验，是所列方程的根，且符合题意． ∴（元） 答：甲种滑动变阻器的单价是55元，乙种滑动变阻器的单价是50元． （2）设购买甲种滑动变阻器m个，则购买乙种滑动变阻器个． 根据题意得：． 解得：． 答：该校最多可以购买40个甲种滑动变阻器． 【变式8-1】为改善城市人居环境，某区域原来每天需要处理生活垃圾920吨，刚好被12个A型和10个B型预处置点位进行初筛、压缩等处理．已知一个A型点位比一个B型点位每天多处理7吨生活垃圾． (1)求每个B型点位每天处理生活垃圾的吨数； (2)由于垃圾分类要求提高，在每个点位每天将少处理8吨生活垃圾，同时由于市民环保意识增强，该区域每天需要处理的生活垃圾比原来少10吨．若该区域计划增设A型、B型点位共5个，试问至少需要增设几个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾？ 【答案】(1)38吨 (2)3个 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用： （1）设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨，根据一共要处理920吨垃圾列出方程求解即可； （2）设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾，则提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨），个B型点位每天处理生活垃圾（吨），再根据一共处理的垃圾要不少于吨列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设每个B型点位每天处理生活垃圾吨，则每个A型点位每天处理生活垃圾吨， 根据题意，得， 解得． 答：每个B型点位每天处理生活垃圾38吨． （2）解：设需要增设个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾， 由（1）可知垃圾分类要求提高前，每个A型点位每天处理生活垃圾45吨，则垃圾分类要求提高后，每个A型点位每天处理生活垃圾（吨）； 垃圾分类要求提高前，每个B型点位每天处理生活垃圾38吨，则垃圾分类要求提高后，每个B型点位每天处理生活垃圾（吨）． 根据题意，得， 解得． 是正整数， 符合条件的的最小值为3． 答：至少需要增设3个A型点位才能当日处理完所有生活垃圾． 【变式8-2】为了落实东坡文化进校园，学校每年在初中年级举办国学诵读活动，学校计划购进类和类两种演出服装供学生使用，经市场调查，购买类演出服装套和类演出服装套共花费元，已知购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元． (1)购买一套类演出服装和购买一套类演出服装各需多少元？ (2)通过全校师生的共同努力，学校在今年市举办的东坡文化节诵读活动中成绩优秀，学校计划用不超过元的经费再次购买类演出服装和类演出服装共套，若单价不变，则这次至少可以购买多少套类演出服装？ 【答案】(1)一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元． (2)至少可以购买套类演出服装． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． （1）设购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元，根据购买套类演出服装和套类演出服装共花费元，购买一套类演出服装比购买一套类演出服装多花元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买套类演出服装，则购买套类演出服装，根据总价单价数量结合总费用不超过元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元， 依题意，得：， 解得：． 答：购买一套类演出服装需要元，购买一套类演出服装需要元． （2）解：设购买套类演出服装，则购买套类演出服装，依题意，得： ， 解得：． 答：本次至少可以购买套类演出服装． 【考点题型九】一元一次不等式（组）的整数解 【例9】解不等式组，把解集表示在数轴上，并求出不等式组的整数解． 【答案】，数轴见解析， 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示，再找出不等式组的整数解即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 如图， ∴不等式组的整数解有：． 【变式9-1】计算的结果为． (1)若．求P的值； (2)若P的值为正数，请你写出一个的整数值，并求出P的值． 【答案】(1) (2)2；3（答案不唯一） 【分析】（1）根据求代数式的值的基本步骤解答即可； （2）根据P的值为正数，得到，解不等式，确定整数解，后计算即可． 本题考查了求代数式的值，解不等式求整数解，熟练掌握解不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ． （2）解：根据题意，得， 解得， 当时， ． 【变式9-2】解不等式组并求它的所有的非负整数解的和． 【答案】，3 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．分别得出两个不等式的解集，找出两个解集的公共部分即可得不等式组的解集，进而可得不等式组的非负整数解，再求和即可． 【详解】解：， 解不等式，得， 解不等式，得， 则不等式组的解集为， 不等式组的非负整数解有：， 不等式组的非负整数解的和为． 【考点题型十】一元一次不等式组的应用 【例10】凯瑞商都某数码专营店销售甲、乙两种品牌智能手机，这两种手机的进价和售价如表所示： 甲 乙 进价（元/部） 4300 3600 售价（元/部） 4800 4200 (1)该店销售记录显示，三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍，求该店三月份售出甲种手机和乙种手机各多少部？ (2)根据市场调研，该店四月份计划购进这两种手机共20部，要求购进乙种手机数不超过甲种手机数的而用于购买这两种手机的资金低于81500元，清通过计算设计所有可能的进货方案． 【答案】(1)甲手机12部，乙手机5部 (2)2种方案：①购进甲手机12部，乙手机8部；②购进甲手机13部，乙手机7部． 【分析】本题考查了一元一次不等式组解实际问题的运用，二元一次方程组解实际问题的运用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设售出甲手机x部，乙手机y部，由“三月份销售甲、乙两种手机共17部，且销售甲种手机的利润恰好是销售乙种手机利润的2倍”列出方程组，可求解； （2）设购进甲手机x部，乙手机部，由“购进乙种手机数不超过甲种手机数的，而用于购买这两种手机的资金低于81500元”列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设售出甲手机x部，乙手机y部， 由题意得，， 解得：． 答：售出甲手机12部，乙手机5部； （2）解：设购进甲手机x部，乙手机部， 由题意得，， 解得：， 取整数， 可取12，13， 则可能的方案为： ①购进甲手机12部，乙手机8部； ②购进甲手机13部，乙手机7部． 【变式10-1】根据以下素材，探索完成任务 背景 福田区某学校拟向公交公司租借A、B两种车共8辆，用于接送八年级师生去实践基地参加社会实践活动． 素材1 A型车最大载客量是人，B型车的最大载客量是人，已知此前明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元． 素材2 八年级的师生共有人，根据学校预算，租车的费用需要控制在元（包含元）以内． 问题解决 任务1 A型车和B型车每辆的租金分别是多少元？ 任务2 根据素材2中该校八年级师生的实际情况，该如何租车？请给出所有满足条件的租车方案． 任务3 在所有满足条件的租车方案中，花费最少的方案比预算元省多少钱？ 【答案】任务1：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元；任务2：共有2种租车方案，方案1：租用A型车2辆，B型车6辆：方案2：租用A型车3辆，B型车5辆；任务3：花费最少的是方案1，节省了元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：任务1：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；任务2：根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组；任务3：根据各数量之间的关系，求出选择各租车方案所需总租金. 任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元，根据“明华中学租用了3辆A型车和2辆B型车花费了元，安阳中学租用了4辆A型车和4辆B型车花费了元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆，根据总载客量不少于305人且总租金不超过元，可列出关于a的一元一次不等式组，解之可得出a的取值范围，再结合a为正整数，即可得出各租车方案； 任务3：求出选择各租车方案所需总租金，比较后，用元减去花费最少的总租金，即可得出结论. 【详解】解：任务1：设A型车每辆的租金是x元，B型车每辆的租金是y元， 根据题意得： 解得： 答：A型车每辆的租金是元，B型车每辆的租金是元； 任务2：设租用A型车a辆，则租用B型车辆， 根据题意得：， 解得：， 又∵a为正整数， ∴a可以为2，3， ∴共有2种租车方案， 方案1：租用A型车2辆，B型车6辆： 方案2：租用A型车3辆，B型车5辆： 任务3：选择方案1所需总租金为（元）； 选择方案2所需总租金为（元）. ∵，（元）， ∴花费最少的是方案1，节省了元. 【变式10-2】为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售，两种头盔，批发价和零售价格如表所示，请解答下列问题． 名称 种头盔 种头盔 批发价（元/个） 60 40 零售价（元/个） 80 50 (1)该商店第一次批发，两种头盔共120个，用去5600元钱，求，两种头盔各批发了多少个； (2)该商店第二次仍然批发这两种头盔（批发价和零售价不变），用去7200元钱，要求批发种头盔不高于76个，要想将第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元，则该商店第二次有几种批发方案． 【答案】(1)A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个 (2)该商店第二次有3种批发方案 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，根据“该商店第一次批发A,B两种头盔共120个，用去5600元钱”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据“批发A种头盔不高于76个，第二次批发的两种头盔全部售完后，所获利润不低于2160元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，求出m的值再判断即可． 【详解】（1）解：设A种头盔批发了x个，B种头盔批发了y个，依意得： ， 解得：， 答：A种头盔批发了40个，B种头盔批发了80个； （2）解：设该商店第二次批发了m个A种头盔，则批发了个B种头盔，根据题意得， ， 解得：， 又∵m，均为正整数， ∴m可以为72，74，76， ∴该商店第二次有3种批发方案． 【考点题型十一】利用不等式的解集求参数 【例11】若关于的不等式组有且只有两个偶数解，且关于的分式方程有解，则所有满足条件的整数的和是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据不等式组“有且只有两个偶数解”求出的取值范围，再解分式方程，并由该方程有解得到、，综合后即可得到所有满足条件的整数的和． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 原不等式有且只有两个偶数解， ， ， 解分式方程得：， 原分式方程有解， ， 是原分式方程的增根， ， 综上，，且，，为整数， 或， 所有满足条件的整数的和是．． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是由不等式组解集的情况求参数、根据分式方程解的情况求值，解题关键是熟练掌握根据不等式组解集的情况求参数及根据分式方程解的情况求值的方法． 【变式11-1】定义一种新运算（其中，为实数），例如：，若关于的不等式组恰好有2个整数解，则实数的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及新定义运算、不等式组的解法等知识，先解不等式组，再由整数解的情况，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：由定义可知，关于的不等式组中， ，即，解得； ，即，则分子分母同时乘以得，则，解得； 关于的不等式组恰好有2个整数解， ， ∴ 故答案为：． 【变式11-2】从，，，0，1，2，3这七个数中，随机取出一个数，记为a，那么a使关于x的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a的值为 ． 【答案】，0，2 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，熟练掌握一元一次不等式组和解分式方程的方法是解题的关键． 分式方程去分母转化为整式方程，把数字代入判断确定出a的值，表示出不等式组的解集，由不等式组无解找出满足题意a的值即可． 【详解】解：方程 两边乘，得 ， 整理，得. 由于方程有整数解且， 所以，0，2，3， 解，得. 解  得. 由不等式组  有解， 得，解得. 所以使关于 x 的方程 有整数解，且使关于 x 的不等式组 有解的a 的值为，0，2. 故答案为：，0，2. 1．实数，在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了用数轴表示数以及不等式的性质，加法与乘法法则，依次判断选项即可． 【详解】解：从题图中得出，，， 所以，，，， 故选项B、C、D错误，选项A正确， 故选：A． 2．某品牌亚麻服装进价为200元/件，标价为300元/件，由于搞活动，商店准备打折销售，但要保证利润率不低于，则该品牌亚麻服装每件最多可打（  ） A．9折 B．8折 C．7折 D．3.5折 【答案】C 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设可以打折，根据利润不低于，即可列出一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】解：设可打折，利润率不低于， 根据题意得：， ， 则最多打7折． 故选：C． 3．下列各式中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，不等号的左右两边都是整式，并且未知数的次数都是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式．根据定义逐项分析即可． 【详解】解：A．是一元一次不等式，故符合题意；     B．不含不等号，不是一元一次不等式，故不符合题意；     C．不含未知数，不是一元一次不等式，故不符合题意；     D．的未知数在分母里，不是一元一次不等式，故不符合题意； 故选A． 4．秦岭是中国南北方的界山，秦岭的大散岭，凤岭，紫柏山的海拔均在1500米以上．若用米表示这些山岭的海拔，则满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的定义．根据题意列出不等式即可求解． 【详解】解：∵山岭主峰海拔超过1500米． ∴， 故选：B． 5．不等式的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．依次移项、合并同类项即可得出答案，也考查了在数轴上表示不等式的解集． 【详解】解∶∵， ∴， ∴， 在数轴上表示为∶ ， 故选∶A． 6．若，则下列不等式中成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变是解题关键． 根据不等式的性质逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、∵，∴，故此选项不符合题意； B、∵，∴，故此选项不符合题意； C、∵，∴，故此选项符合题意； D、∵，∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 7．设[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，＜x＞表示最接近x的整数（x≠n＋0.5，n为整数）．例如[3.4]＝3，{3.4}＝4，＜3.4＞＝3，则方程3[x]＋2{x}＋＜x＞＝20（    ） A．没有解 B．恰好有1个解 C．有限个解 D．有无数个解 【答案】D 【分析】首先判断x的大致范围为3＜x＜4，然后再分两种情况讨论x的范围，①3＜x＜3.5，②3.5＜x＜4即可得到答案． 【详解】解：当x＝3时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×3+3＝18，当x＝4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×4+2×4+4＝24， ∴可得x的大致范围为3＜x＜4， ①3＜x＜3.5时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+3＝20，符合方程； ②当3.5＜x＜4时，3[x]+2{x}+＜x＞＝3×3+2×4+4＝21，不符合方程． 故选：D． 【点睛】本题考查了学生对[x]表示不大于x的最大整数，{x}表示不小于x的最小整数，（x）表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数）的理解，难度适中，解此题的关键是分类讨论思想的应用． 8．若不等式组有解，则k的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知不等式的解集求参数，根据求不等式组解集的方法“大中取大，小中取小，大小小大中间找，大大小小找不到” 的原则求解即可． 【详解】不等式组有解， 两个不等式的解有公共部分， 故选：A． 9．用不等式表示x减去y大于： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式，根据不等式的定义即可求得答案，读懂题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】解：x减去y大于用不等式表示为， 故答案为：． 10．某游乐园“西部战车”项目的游客须知规定： 以下谢绝乘坐，（包括150）的儿童须有成人陪同．按上述规定，一位游客可以单独乘坐“西部战车”，则该游客的身高需满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，根据题意可知，只有身高在以上的游客才能单独乘坐“西部战车”，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，， 故答案为：． 11．若不等式的解都是不等式的解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】考核知识点：不等式组的解集．理解不等式组的解集意义是关键． 根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则说明n不能小于2．即． 【详解】根据不等式组的解集意义，若不等式的解都是不等式的解，则n的取值范围是． 故答案为：． 12．已知，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上两点间距离计算，理解数轴上两点间距离公式是解题的关键，表示数轴上表示x的点到表示和的两个点的距离之和，得．同理，，，可得，求出此时范围，再求出的取值范围即可． 【详解】解：∵表示数轴上表示x的点到表示和的两个点的距离之和， ∴，当时； 同理，，当时；，当时， ∵ ∴． 此时，，． ∴，，． ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 13．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由不等式组的解集情况求参数的取值范围，由分式方程的解的情况求参数，先解不等式组，根据不等式组无解确定的取值范围，即确定的取值范围，再解分式方程，求出分式方程的解，根据分式方程的整数解确定的值，进而即可求解，解题的关键是根据不等式组无解确定的取值范围，进而由分式方程的整数解确定出的值． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴， ∴， 解分式方程得，， ∵分式方程有整数解，且, ∴，，，， 又∵， ∴，，， ∴满足条件的所有整数的和为， 故答案为：． 14．有两个三位数和，若m，n满足为整数时，则称m，n为最佳“搭档数”， ，，若p，q是最佳“搭档数”，且q的各个数位上的数字之和能被12整除，则 【答案】467或687 【分析】本题考查不定方程整数解的求法，运用了分类讨论的思想，根据位值原则正确改写p和q是本题解题的关键． 先根据q的数字之和能被12整除，求出y和z的值，然后将p和q根据位值原则改写，根据“搭档数”的定义列出代数式，根据不定方程整数解的求法进行求解即可． 【详解】解：根据q的各个数位上的数字之和能被12整除， 可得：能被12整除， ， 即， 或4， 当时，， 当时，， ， 当时，， 根据“搭档数”定义可得： 为整数， 或0， 当时， 根据“搭档数”定义可得： 为整数， 或0， 综上所述，或0， 或687． 故答案为：467或687． 15．某校为了开展“阳光体育运动”，计划购买篮球、足球共个，已知每个篮球的价格为元，每个足球的价格为元． (1)若购买这两类球的总金额为元，求篮球，足球各买了多少个？ (2)若购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，求最多可购买多少个篮球？ (3)在精准扶贫中，李师傅在扶贫工作者的指导下，计划用个大棚种植香瓜和甜瓜，根据种植经验及市场情况，他打算两个品种同时种，一个大棚只种一个品种的瓜并预测明年两种瓜的产量、销售价格及成本如下： 品种项目 产量（斤每棚） 销售价（元每斤） 成本（元棚） 香瓜 甜瓜 根据以上信息，求李师傅至少种植多少个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 【答案】(1)购买篮球个，足球个； (2)最多可购买个篮球； (3)李师傅至少种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 【分析】（）设购买篮球个，足球个，根据购买篮球、足球共个且共花费了元，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （）设购买了个篮球，则购买了个足球，根据购买篮球的总金额不超过购买足球的总金额，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论； （）设种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元，根据总利润每个大棚的利润数量结合总利润不低于万元，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可得出结论； 本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量和数量关系，正确列出二元一次方程组一元一次不等式． 【详解】（1）设购买篮球个，足球个， 依题意，得：， 解得：， 答：购买篮球个，足球个； （2）设购买了个篮球，则购买了个足球，依题意，得： ， 解得：， 答：最多可购买个篮球； （3）设种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元， 依题意，得： ， 解得：， ∵为正整数， ∴的最小值为， 答：李师傅至少种植个大棚的香瓜，才能使他获得的利润不低于万元． 16．学校准备为运动会的某项活动购买两种奖品，中奖品的单价比种商品的单价多2元，用600元购进种奖品和用570元购进种商品的数量相同． (1)种商品和种商品的单价分别是多少？ (2)学校计划用不超过1555元的资金购进、两种奖品共40件，其中种奖品的数量不低于种奖品数量的一半，学校去购买的时候商店正在做促销活动，每件种商品的售价优惠3元，种商品的售价不变，请为学校设计出最省钱的购买方案． 【答案】(1)种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元 (2)最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件 【分析】本题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设种商品的单价是元，则种商品的单价是元，根据题意列出分式方程，求解并检验，即可获得答案； （2）设购买种商品件，则购买种商品件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合实际即可获得答案． 【详解】（1）解：设种商品的单价是元，则种商品的单价是元， 根据题意，可得， 解得 （元）， 经检验，是该分式方程的解， 所以（元）． 答：种商品的单价是40元，则种商品的单价是38元； （2）设购买种商品件，则购买种商品件， 根据题意，可得， 解得， 根据题意，种商品的售价优惠3元，即实际售价为37元， 而种商品的售价不变，为38元， ∵， ∴种商品数量越多越省钱， 所以应购买种商品40件， 即最省钱的购买方案为购买种商品40件，则购买种商品0件． 17．又是一年端阳至，绿杨带雨垂垂重，五色新丝缠角粽，吃粽子是端午节的习俗．某糕点店推出的“鲜肉粽”和“蛋黄粽”深受顾客喜欢．已知3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元． (1)求“鲜肉粽”和“蛋黄粽”的售价各是多少元？ (2)糕点店在今年端午节前夕，购进了3000个“鲜肉棕”，2500个“蛋黄粽”．适逢店庆，为答谢新老顾客，糕点店对两种粽子都展开了降价促销活动，其中“鲜肉粽”按售价打折（a为整数）出售，“蛋黄棕”每个让利元，且保证降价后“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，最终两种粽子全部销售出去，且总销售额不低于39000元，求a的值． 【答案】(1)10元，8元 (2)4 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设“鲜肉棕”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个，根据3个“鲜肉粽”、2个“蛋黄粽”的售价之和为46元，5个“鲜肉粽”、1个“蛋黄粽”的售价之和为58元，列出方程组进行求解即可； （2）根据“鲜肉棕”的售价低于“蛋黄粽”售价的1.5倍，且总销售额不低于39000元，列出不等式组，求出正整数解即可． 【详解】（1）解：设“鲜肉棕”的售价为x元/个；“蛋黄粽”售价为y元/个， 则 解得： 答：“鲜肉粽”的售价为10元/个；“蛋黄粽”售价为8元/个． （2）由题意得 解得： 为整数 答：a的值为4． 18．解不等式组：并在数轴上表示此不等式组的解集 【答案】，见解析 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： 19．某货运电梯限重标志显示，载重总质量禁止超过．现要用此货运电梯装运一批设备，每套设备由个甲部件和个乙部件组成，个甲部件的质量是千克，1个乙部件的质量是千克．每次装运都需要工人装卸，设备需要成套装运，现已知装卸工人总重量为，则货运电梯一次最多可装运多少套设备？ 【答案】套 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设货运电梯一次可装运套设备，根据“货运电梯的载重总质量禁止超过”可列出关于的一元一次不等式，解之可得出的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论．解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】解：设货运电梯一次可装运套设备， 根据题意得：， 解得：， 又∵为正整数， ∴的最大值为． 答：货运电梯一次最多可装运套设备． 20．我们用表示不大于的最大整数，例如：，，；用表示大于的最小整数，例如：，，．请回答下列问题： (1) ； ； (2)若，则的取值范围是 ；若，则的取值范围是 ； (3)已知，满足方程组，求，的取值范围． 【答案】(1)，； (2) (3)， 【分析】本题考查新定义，解二元一次方程组及不等式，解答的关键是对相应的知识的掌握与运用． （1）根据和的意义进行求解即可； （2）根据和的意义，对相应的数进行分析即可； （3）利用加减消元法求出相应的，的值，再分析，的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵是不大于的最大整数， ∴． ∵是大于的最小整数， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵表示不大于的最大整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴； ∵表示大于的最小整数是．，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 故答案为：，； （3）解：解方程组 得 ， 表示不大于的最大整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 表示大于的最小整数是． ∵，， ∴可以等于，不可以等于． ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$