专题04命题、直角三角形与勾股定理（考题猜想，易错必刷50题17种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题04 命题 直角三角形与勾股定理（考题猜想易错必刷50题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 命题的判断 · 命题的真假 · 逆命题逆定理 · 直角三角形的两锐角互余 · 含30°角的直角三角形 · 斜中定理 · 勾股定理解三角形 · 勾股数 · 勾股定理与折叠问题 · 勾股定理与网格问题 · 勾股定理的证明 · 赵爽弦图 · 用勾股定理构造图形解决问题 · 勾股定理的应用 · 勾股定理逆定理求解 · 勾股定理逆定理的应用 · 最短路径问题 一．命题的判断（共2小题） 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 2．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、命题的真假（共3小题） 3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列说法中，假命题的个数为（    ） ①两条不相交的直线叫做平行线； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ④过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑤在同一平面内不平行的两条线段一定相交； ⑥两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（22-23七年级下·青海西宁·阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①有一条公共边且相加等于的两个角是邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④对顶角相等：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．（23-24七年级下·北京·阶段练习）对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则 ， ． 三、逆命题逆定理（共3小题） 6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 7．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 8．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 四、直角三角形的两锐角互余（共3小题） 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，中，，，，，求． 11．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）如图所示，于H，于C，与相交于点E、仔细观察图形，回答以下问题： (1)和是什么关系?为什么? (2)若，那么和各是多少度? 五、含30°角的直角三角形（共3小题） 12．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 13．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在中，，，，则底边上的高 ． 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 六、斜中定理（共3小题） 15．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 16．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）在中，、、的度数的比是，边上的中线长，则的面积是 17．（22-23八年级上·福建厦门·期中）在中，平分，垂足为D，过点D作，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求线段的长． 七、勾股定理解三角形（共3小题） 18．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边为边向外侧作等边三角形，设三个等边三角形的面积分别为，，，则，，三者之间关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度 ． 八、勾股数（共3小题） 21．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，3，4 D． 22．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，勾股数是（    ） A．13，14，15 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 23．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 九、勾股定理与折叠问题（共3小题） 24．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 25．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 26．（11-12八年级上·江苏扬州·期中）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 十、勾股定理与网格问题（共3小题） 27．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 28．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 29．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的，若每个小方格的边长为，请你根据所学的知识解答下列问题． (1)求的面积； (2)判断是什么形状？并说明理由． 十一、勾股定理的证明（共3小题） 30．（23-24八年级下·全国·单元测试）将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 31．（23-24八年级下·广西桂林·期中）阅读材料，并完成相应任务． 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形： 证明：①在图1中，∵， 个直角三角形的面积+两个正方形的面积， ___________________， ②在图2中， ∵， 个直角三角形的面积小正方形的面积， ____________． ∴____________， 整理得：， ∴______． 任务： (1)将材料中的空缺部分补充完整； (2)如图3，在中，，，，，求的长． 32．（23-24七年级下·江苏南京·期中）用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形． (1)用两种方法计算该梯形的面积，说明． (2)是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由． 十二、赵爽弦图（共3小题） 33．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（   ）． A． B． C． D． 34．（2024八年级上·浙江·专题练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ． 35．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 十三、用勾股定理构造图形解决问题（共3小题） 36．（23-24七年级上·山东烟台·期末）春节将近，小明决定将家里长的圆柱体不锈钢护栏上均匀的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带间隔．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带． 37．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 38．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是． (1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． (2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？ 十四、勾股定理的应用（共3小题） 39．（24-25八年级上·全国·单元测试）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 40．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 41．（24-25八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 十五、勾股定理逆定理求解（共3小题） 42．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 43．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 44．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，是边上的中线，，求的面积． 十六、勾股定理逆定理的应用（共3小题） 45．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 46．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 47．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于洪水原因，由C到A的路损坏，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（点A，D，B在同一直线上），并修建一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． (2)求新路比原来的路少多少米？ 十七、最短路径问题（共3小题） 48．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为 ． 49．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 50．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． $$专题04 命题 直角三角形与勾股定理（考题猜想易错必刷50题17种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 命题的判断 · 命题的真假 · 逆命题逆定理 · 直角三角形的两锐角互余 · 含30°角的直角三角形 · 斜中定理 · 勾股定理解三角形 · 勾股数 · 勾股定理与折叠问题 · 勾股定理与网格问题 · 勾股定理的证明 · 赵爽弦图 · 用勾股定理构造图形解决问题 · 勾股定理的应用 · 勾股定理逆定理求解 · 勾股定理逆定理的应用 · 最短路径问题 一．命题的判断（共2小题） 1．（23-24七年级下·湖南湘西·期末）下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．在同一个平面内两直线不平行就相交 C．连接A，B两点 D．对顶角相等 【答案】C 【分析】本题考查了命题：判断一件事情的语句叫做命题，正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．命题都是由题设和结论两部分组成的．根据命题的定义对各选项进行判断即可． 【详解】解：A．两点之间线段最短，是命题； B．在同一个平面内两直线不平行就相交，是命题； C．连接A，B两点，为描述性语言，不是命题； D．对顶角相等，是命题． 故选：C． 2．（23-24八年级上·四川内江·阶段练习）下列语句是命题的有（      ） ①连接；  ②等边对等角； ③同角的余角不相等； ④作线段的垂直平分线； ⑤你来吗？ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题，据此逐一判断即可． 【详解】解：①连接，不是命题； ②等边对等角，是命题； ③同角的余角不相等，是命题； ④作线段的垂直平分线，不是命题； ⑤你来吗？不是命题； ∴命题有2个， 故选：B． 二、命题的真假（共3小题） 3．（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）下列说法中，假命题的个数为（    ） ①两条不相交的直线叫做平行线； ②两条直线被第三条直线所截，同位角相等； ③如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行； ④过一点有且只有一条直线与这条直线平行； ⑤在同一平面内不平行的两条线段一定相交； ⑥两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题主要考查了判断命题真假，平行线的性质，平面内两直线的位置关系，垂线的定义等等，熟知相关知识是解题的关键． 【详解】解；①同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，原命题是假命题； ②两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，原命题是假命题； ③同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，原命题是假命题； ④过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，原命题是假命题； ⑤在同一平面内不平行的两条线段一定相交，原命题是真命题； ⑥两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线相交或平行，原命题是假命题． ∴假命题有5个， 故选：C 4．（22-23七年级下·青海西宁·阶段练习）下列命题中，真命题的个数有（    ） ①有一条公共边且相加等于的两个角是邻补角；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③内错角相等；④对顶角相等：⑤过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】分别利用邻补角的定义、对顶角的性质及平行线的性质及判定分别判断后即可确定正确的选项． 本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解邻补角的定义，对顶角的件质及平行线的性质及判定等知识，难度不大． 【详解】解：①有一条公共边的角且互补的两个角叫邻补角，故原命题正确，是真命题，符合题意；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原命题错误，是假命题，不符合题意；③两条平行直线被第三条线所截，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；④对顶角相等，正确，是真命题，符合题意； ⑤平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题错误，是假命题，不符合题意；真命题有2个； 故选：C． 5．（23-24七年级下·北京·阶段练习）对于命题“若，则”，举出能说明这个命题是假命题的一组a，b的值，则 ， ． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据有理数的大小比较、有理数的乘方法则判断即可． 【详解】解：当，时，，而， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：；（答案不唯一）． 三、逆命题逆定理（共3小题） 6．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）判断下列命题：①对顶角相等；②两条直线平行，同位角相等；③全等三角形的各边对应相等；④全等三角形的各角对应相等．其中有逆定理的是  (      ) A．①② B．①④ C．②④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一般一个命题可以写成如果那么的形式． 根据对顶角的定义对①进行判断；根据平行线的判定定理对②进行判断；根据全等三角形的判定方法对③④进行判断． 【详解】解：①对顶角相等没有逆定理； ②两直线平行，同位角相等的逆定理为：同位角相等，两直线平行； ③全等三角形的各边对应相等的逆定理为：各边对应相等的三角形全等； ④全等三角形的各角对应相等没有逆定理． 其中有逆定理的是：②③． 故选：D． 7．（21-22八年级下·陕西榆林·期末）命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 8．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）下列定理中，没有逆定理的是（   ） A．在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等 B．两个全等三角形的对应角相等 C．线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等 D．两直线平行，内错角相等 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，平行线的判定与性质，定理与逆定理的含义，根据以上基础知识再逐一分析各选项即可． 【详解】解：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等的逆定理是：角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上，故A不符合题意； 两个全等三角形的对应角相等的逆命题是：三个角分别相等的两个三角形全等，是假命题，故B符合题意； 线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等的逆定理是到线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，故C不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆定理是内错角相等，两直线平行，故D不符合题意； 故选B 四、直角三角形的两锐角互余（共3小题） 9．（23-24八年级上·福建厦门·期中）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键； 根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论； 【详解】解：如图， 在与中， ， ， ， ， ， 故选：C 10．（24-25八年级上·广东广州·阶段练习）如图，中，，，，，求． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形内角的性质，熟练掌握直角三角形两锐角互余是本题的关键．根据平角的定义，求得，由于，，，根据直角三角形的性质求得，即可求得． 【详解】解：， ， ，，， ， ． 11．（24-25八年级上·云南文山·阶段练习）如图所示，于H，于C，与相交于点E、仔细观察图形，回答以下问题： (1)和是什么关系?为什么? (2)若，那么和各是多少度? 【答案】(1)相等，见解析 (2)， 【分析】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，同角的余角相等的性质． （1）根据同角的余角相等解答； （2）根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再根据对顶角相等求出． 【详解】（1）解：相等； ，， ，， ； （2）解：， ， ， 由（2）可知，， 所以，（对顶角相等）． 五、含30°角的直角三角形（共3小题） 12．（23-24八年级上·全国·期中）如图，在中，，，平分交于点，如果，为上一动点，那么的最小值为（   ） A．6 B．5 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短、角平分线的定义、含角的直角三角形性质等知识，熟练掌握含角的直角三角形性质是解题的关键．当时，的值最小，此时，，先求出，再由角平分线的定义得出，然后由含角的直角三角形性质即可得出结果． 【详解】解：如图，当时，的值最小， 此时，， ，， ， 平分， ， ， 故选：B 13．（22-23八年级下·辽宁丹东·阶段练习）如图，在中，，，，则底边上的高 ． 【答案】5 【分析】本题考查等腰三角形的性质，含角的直角三角形的特征，由等腰三角形的性质推出，由含角的直角三角形的性质推出，即可得到边上的高． 【详解】解：∵是的高， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， 故答案为： 14．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，D为延长线上一点，且于点E，交于点F． (1)求证：是等腰三角形； (2)连接，若，，，求的长． 【答案】(1)答案见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，直角三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质得到，然后根据直角三角形的性质，即可逐步证明，再根据等腰三角形的判定，即可证明结论； （2）先证明，得到，再根据直角三角形的性质，即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ，， ， ， ， ， 即是等腰三角形； （2）解：，， ， ， ， ， ， ． 六、斜中定理（共3小题） 15．（22-23八年级上·广西柳州·期中）如图，在等腰直角三角形中，，为边上中点，过点作，交于，交于，若，，则的长度为（    ）    A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线．熟练掌握等腰三角形三线合一，直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，证明三角形全等，是解题的关键． 利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，以及等腰三角形三线合一，证明，求出，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：连接，如图所示：    等腰直角三角形中，为边上中点， ∴，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则， ∴， 故选：B． 16．（23-24九年级下·四川达州·开学考试）在中，、、的度数的比是，边上的中线长，则的面积是 【答案】 【分析】本题考查直角三角形斜边上的中线，涉及到三角形面积，含的直角三角形性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键； 根据题意设，，，由三角形内角和定理得出各角的度数，根据边长之间的关系，利用勾股定理即可求解； 【详解】解：根据题意作图如下： 设，，， ， ， ，，， 即是直角三角形， 边上的中线长， ， ， ， ， 故答案为： 17．（22-23八年级上·福建厦门·期中）在中，平分，垂足为D，过点D作，交于点E．    (1)求证：； (2)若，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据平行线的性质，角的平分线的定义，等腰三角形的判定解答即可． （2）先证明，得到解答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 【点评】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，角的平分线，直角三角形的特征量，熟练掌握性质和特征量是解题的关键． 七、勾股定理解三角形（共3小题） 18．（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）如图，分别以直角三角形的三边为边向外侧作等边三角形，设三个等边三角形的面积分别为，，，则，，三者之间关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，等边三角形的性质，熟练掌握勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键．设，，，利用等边三角形的性质和勾股定理求出面积，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，设，，， 是直角三角形， ， 都是等边三角形， 如图，等边中，为等边的高， ， ， ， 同理，等边三角形的高分别为， ，， ， ， ∴， 故选：B． 19．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，平分，过点B作，垂足为点D，连接，若，，则的面积为 ． 【答案】/0.6 【分析】本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定理的应用，三角形面积的计算，延长交于点E，可以算出，的长度，从而利用面积比得到的面积，而的面积又是面积的一半，从而求解． 【详解】解：延长交于点E， 在中，，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 20．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度 ． 【答案】/210米 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据已知条件在中，利用勾股定理求得的长，用减去、求得即可． 【详解】解：在中， 所以， 池塘的宽度为210米． 故答案为：． 八、勾股数（共3小题） 21．（24-25八年级上·重庆·阶段练习）下列四组数中，是勾股数的一组是（　　） A．1，2，3 B．3，4，5 C．3，3，4 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：都是正整数且满足，满足勾股数的定义即符合题意． 【详解】解：A、，不符合题意，故该选项是错误的； B、，符合题意，故该选项是正确的； C、，不符合题意，故该选项是错误的； D、都不是正整数，不符合题意，故该选项是错误的； 故选：B． 22．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，勾股数是（    ） A．13，14，15 B．1，1， C．0.3，0.4，0.5 D．8，15，17 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数，解答此题要用到勾股数的定义．欲判断是否为勾股数，首先判断是否整数，再根据两小边的平方和是否等于最长边的平方，从而得出答案． 【详解】解：A、，不是勾股数，该选项不符合题意； B、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； C、不是整数，不是勾股数，该选项不符合题意； D、，是勾股数，该选项符合题意； 故选：D． 23．（23-24八年级下·河南驻马店·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、E的边长分别是4、3、4、16，则正方形D的面积是 ． 【答案】215 【分析】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意，运用勾股定理可得，，正方形的面积是正方形、的面积和，同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和，正方形的面积是正方形、的面积和，由此即可求解． 【详解】解：如图所述，设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意可得，，， ， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 同理可得，正方形的面积是正方形、的面积和， 所以正方形的面积=， 故答案为：215 九、勾股定理与折叠问题（共3小题） 24．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在长方形中，，，将其沿直线折叠，使点C与点A重合，的长为（     ） A．7 B． C． D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，根据题意得：，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 故选：B． 25．（23-24八年级下·广东惠州·阶段练习）如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键． 求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，解得，即：， ∴， ∴的面积为． 故答案为6． 26．（11-12八年级上·江苏扬州·期中）直角三角形纸片，两直角边，，现将直角边沿直线对折，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，解题的关键是掌握相关的知识．先根据勾股定理求出，由折叠可得：，，，进而求出，设，则，在中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：两直角边，， ， 由折叠可得：，，， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：， ． 十、勾股定理与网格问题（共3小题） 27．（23-24八年级上·广东茂名·阶段练习）如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，则是 三角形（填直角、锐角或钝角）． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理和勾股定理，利用勾股定理得到，再根据三角形中，若两较小边的平方和等于最大边的平方，那么这个三角形是直角三角形即可得到答案． 【详解】解：由网格的特点和勾股定理得，，， ∴， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 28．（2024·北京·模拟预测）如图所示的网格是正方形网格，点A，B，C，D是网格线交点，则 （填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的网格问题、勾股定理逆定理等知识点，应用勾股定理逆定理得到是直角三角形成为解题的关键． 先应用勾股定理逆定理得到是直角三角形，然后分别求得、，最后比较即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵ ∴， ∴． 故答案为：． 29．（24-25八年级上·甘肃张掖·阶段练习）如图，已知正方形网格中的，若每个小方格的边长为，请你根据所学的知识解答下列问题． (1)求的面积； (2)判断是什么形状？并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理， （1）根据所在长方形的面积减去周围三个三角形的面积即可； （2）根据勾股定理的逆定理进行计算，即可解答； 解题的关键是掌握运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的方法：先确定最长边，算出最长边的平方；计算另两边的平方和比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则此三角形为直角三角形．． 【详解】（1）解：∵正方形网格中的每个小方格的边长为， ∴ ， ∴的面积为； （2）是直角三角形． 理由：∵正方形网格中的每个小方格的边长为， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形． 十一、勾股定理的证明（共3小题） 30．（23-24八年级下·全国·单元测试）将两个全等的直角三角形按如图所示的方式放置，三角形的长直角边记为a，短直角边记为b，斜边记为c，试通过各部分图形面积之间的数量关系验证勾股定理． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，连接， 首先说明再用两种方法表示出四边形的面积，化简即可，运用两种方法表示四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，如图： ∵两个三角形全等， ∴四边形的面积为： ． 31．（23-24八年级下·广西桂林·期中）阅读材料，并完成相应任务． 2000多年来，人们对勾股定理的证明颇感兴趣，不但因为这个定理重要、基本，还因为这个定理贴近人们的生活实际，所以很多人都探讨、研究它的证明，新的证法不断出现，下面的图形是传说中毕达哥拉斯的证明图形： 证明：①在图1中，∵， 个直角三角形的面积+两个正方形的面积， ___________________， ②在图2中， ∵， 个直角三角形的面积小正方形的面积， ____________． ∴____________， 整理得：， ∴______． 任务： (1)将材料中的空缺部分补充完整； (2)如图3，在中，，，，，求的长． 【答案】(1)，，，，，，， (2) 【分析】此题主要考查勾股定理的验证与应用，解题的关键是熟知勾股定理的性质及应用． （1）根据图形的特点及完全平方公式即可验证勾股定理； （2）根据直角三角形中的特殊角与勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：①在图1中，∵， 个直角三角形的面积两个正方形的面积， ， ②在图2中， ∵， 个直角三角形的面积小正方形的面积， ． ∴ 整理得： ∴． 故答案为：，，，，，，，； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 在中，． 32．（23-24七年级下·江苏南京·期中）用两个边长分别为a，b，c的直角三角形和一个两条直角边都是c的直角三角形拼成如图的直角梯形． (1)用两种方法计算该梯形的面积，说明． (2)是否存在一个直角三角形，在直角边a长度不变的基础上，它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度，所得三角形仍是一个直角三角形？请判断并说明理由． 【答案】(1)说明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】本题考查勾股定理的证明，解答中涉及面积计算，反证法，完全平方公式，掌握面积法和反证法是解题的关键． （1）一种是直接利用梯形的面积公式：梯形的面积=底×高，另一种是梯形的面积等于三个直角三角形的面积和，利用等式变形证明即可； （2）根据（1）中的结论利用反证法判断，并推理证明即可． 【详解】（1）解：，， 两边同时除以得： 整理得： （2）解：不存在． 理由如下： 假设存在这样的三角形，在直角边a长度不变的基础上，设它的斜边c与另一条直角边b都增加相同的长度且为， 由（1）的结论则有：， 即， ， ， ， 又斜边大于直角边， 即， 则假设不成立， 故不存在． 十二、赵爽弦图（共3小题） 33．（23-24八年级上·浙江湖州·期末）四个全等的直角三角形按图示方式围成正方形，过各较长直角边的中点作垂线，围成小正方形．已知为较长直角边，问，当正方形的面积是小正方形面积的倍时，两条直角边与的数量关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理；设，．则正方形ABCD的面积，根据正方形的面积是小正方形面积的倍，得出，即可求解． 【详解】解：由题意可知， ∵正方形的面积是小正方形面积的倍， ∴ ∴ ∴ 即 故选：C． 34．（2024八年级上·浙江·专题练习）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则 ． 【答案】108 【分析】本题主要考查了勾股定理，完全平方公式，设全等的直角三角形的两条直角边为a、b且，则，，，先证明，再证明，即可得到答案． 【详解】解：设全等的直角三角形的两条直角边为a、b，且， 由题意可知：，，， ∵正方形的边长为6， ∴， ∴ ， 故答案为：108． 35．（22-23八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料，解决问题： 三国时期吴国的数学家赵爽创建了一幅“弦图”，利用面积法给出了勾股定理的证明．实际上，该“弦图”与完全平方公式有着密切的关系．如图2，这是由8个全等的直角边长分别为，，斜边长为的三角形拼成的“弦图”． (1)在图2中，正方形的面积可表示为______，正方形的面积可表示为______（用含，的式子表示）； (2)请结合图2用面积法说明，，三者之间的等量关系； (3)已知，，求正方形的面积． 【答案】(1)； (2)； (3)正方形的面积为39 【分析】本题考查勾股定理，完全平方公式，三角形的面积，关键是应用正方形的面积公式进行计算． （1）由正方形面积公式即可得到答案； （2）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，即可得到答案； （3）由正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积，得到正方形的面，代入有关数据即可计算． 【详解】（1）解：正方形的面积可表示为，正方形的面积可表示为． 故答案为：；； （2）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， ， ； （3）解：正方形的面积正方形的面积直角三角形的面积， 正方形的面积． 十三、用勾股定理构造图形解决问题（共3小题） 36．（23-24七年级上·山东烟台·期末）春节将近，小明决定将家里长的圆柱体不锈钢护栏上均匀的缠满彩色丝带．已知圆柱体的不锈钢护栏的底面周长为，彩色丝带的宽度不计，若相邻两圈丝带间隔．请你帮小明计算一下，最少需要多长的丝带． 【答案】最少需要的丝带 【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题关键在于将实际问题抽象成勾股定理进行计算．根据题意首先求出丝带需要缠绕的圈数，在根据勾股定理求出每圈丝带的长度，即可求出结果． 【详解】解：丝带需要缠绕的圈数：（圈 每圈丝带的长度为：． 最少需要的丝带长度：． 答：最少需要的丝带． 37．（2024·贵州·模拟预测）意大利著名画家达芬奇用如图所示的方法证明了勾股定理，图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形，其中四边形，四边形与四边形均为正方形，若图1中空白部分面积为37，线段的长为7，则图2中两个直角三角形的面积和为（    ） A．6 B．12 C．15 D．25 【答案】B 【分析】由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为，读懂题意，确定图2中两个直角三角形的直角边是，由题中条件列出等式，进而得到由空白图形面积得到，两式相减即可得到答案． 【详解】解：由题意可设正方形的边长为，正方形的边长为， 图2是将图1沿直线剪开，将右半部分上下翻转得到的图形， ，即图2中两个直角三角形的直角边是， 线段的长为7， ，则①， 图1中空白部分面积为37， ，即②， 由①②得， 图2中两个直角三角形的面积和为， 故选：B． 【点评】本题考查以勾股定理证明为背景的问题，涉及完全平方和公式、不规则图形面积求法、正方形面积公式及直角三角形面积公式，读懂题意，将题中条件准确用数学表达式表示求解是解决问题的关键． 38．（21-22八年级下·湖北咸宁·期末）一辆装满货物的卡车，高米，宽米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为，长方形的另一条边长是． (1)此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． (2)为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为，高为的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？ 【答案】(1)此卡车能通过桥洞，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为，由勾股定理求的长，然后根据求，最后比较大小，然后进行判断作答即可； （2）如图2，同理（1），由题意知，，则，由勾股定理求的长，进而可得的长，然后计算即可． 【详解】（1）解：此卡车能通过桥洞，理由如下； 如图，记长方形宽的中点为，圆心为，取，过作交半圆于，交半圆的直径为， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∵， ∴此卡车能通过桥洞； （2）解：如图2， 同理（1），由题意知，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴桥洞的宽至少要增加到． 十四、勾股定理的应用（共3小题） 39．（24-25八年级上·全国·单元测试）为了积极响应国家新农村建设，某镇政府采用了移动宣讲的广播形式进行宣传．如图，笔直公路的一侧有一报亭A，报亭A到公路的距离为600米，且宣讲车P周围1 000米以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿方向行驶．    (1)请问报亭的人能否听到广播宣传，并说明理由； (2)如果能听到广播宣传，已知宣讲车的速度是200米/分，那么报亭的人总共能听到多长时间的广播宣传？ 【答案】(1)报亭的人能听到广播宣传，理由见解析 (2)报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，垂线段最短： （1）根据垂线段最短，结合600米米即可得到结论； （2）如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接．利用勾股定理求出的长，进而求出的长，再根据时间等于路程除以速度即可得到答案． 【详解】（1）解：报亭的人能听到广播宣传，理由如下： ∵600米米， ∴报亭的人能听到广播宣传． （2）解：如图，假设当宣讲车P行驶到点时，报亭的人开始听到广播宣传，当宣讲车P行驶过点时，报亭的人开始听不到广播宣传，连接． 由题意得，米，米，，    由勾股定理得米，米， ∴米． ∵ (分)， ∴报亭的人总共能听到8分钟的广播宣传． 40．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）如图，开州大道上，两点相距，，为两商场，于，于．已知，．现在要在公路上建一个土特产产品收购站，使得，两商场到站的距离相等，    (1)求站应建在离点多少处？ (2)若某人从商场以的速度匀速步行到收购站，需要多少小时？ 【答案】(1)站应建在离站处 (2)需要2小时 【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理正确建立方程是解题关键． （1）先根据垂直的定义可得，再根据勾股定理可得，，从而可得，设，则，据此建立方程，解方程即可得； （2）由勾股定理求出，用路程除以速度即可得出时间． 【详解】（1）解：∵使得，两村到站的距离相等， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得：， ∴， 答：站应建在离站处； （2）解：， （小时） 答：需要2小时． 41．（24-25八年级下·全国·单元测试）某宾馆装修，需在台阶上铺上地毯．已知台阶宽，其剖面图如图，需要购买多少平方米的地毯才能铺满所有台阶？ 【答案】需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 【分析】此题考查了勾股定理的应用，根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，进一步求出面积即可． 【详解】解：如图，由题意可得，， 利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，得到一个长方形，地毯的长为， ∴地毯面积为， 答：需要购买平方米的地毯才能铺满所有台阶． 十五、勾股定理逆定理求解（共3小题） 42．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）如图，在四边形中，，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理逆定理，等腰直角三角形的性质，由勾股定理得出，由等腰直角三角形的性质得到，再由勾股定理逆定理得出为直角三角形，即，据此根据角的和差关系可得答案． 【详解】解：如图：连接， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴． 43．（24-25八年级上·河南驻马店·阶段练习）如图，四边形中，，，，． (1)求的度数； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)33 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的性质、三角形面积等知识点，利用勾股定理的逆定理证明是解题的关键． （1）如图：连接，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理得到 ，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据四边形内角和定理即可解答； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：如图：连接， 在中，， 根据勾股定理可得：，， ∵， ∴,， ∴为直角三角形，即，则． （2）解：根据题意可得：， ． 44．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，是边上的中线，，求的面积． 【答案】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，以及等底同高的两三角形面积相等的运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解本题的关键． 由为边的中线，可得出为的中点，由的长求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，利用两直角边乘积的一半求出此直角三角形的面积，同时由为中点，利用等底同高得到三角形与三角形面积相等都为三角形面积的一半，由三角形的面积即可求出三角形的面积． 【详解】解：为边上的中线，即为中点，且， ，即， 又，， ， ， ， ， 又为中点， ， 则． 十六、勾股定理逆定理的应用（共3小题） 45．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图1是某品牌婴儿车，图2为其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），通过计算说明该车是否符合安全标准． 【答案】符合标准，见解析 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理等知识．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 由勾股定理得：，由，可得，则是直角三角形，，即，然后作答即可． 【详解】解：符合标准 在中，，，， 由勾股定理得：， 在中，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，，即， ∴该车符合标准． 46．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1),理由见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键. （1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论. 【详解】（1）,理由： ∵厘米, 厘米，厘米, ， ∴是直角三角形, ∴； （2）能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则, 证明： 如图， ∵厘米, 厘米, 厘米, ， ∴是直角三角形, ∴． 47．（23-24八年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）如图，在河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中，由于洪水原因，由C到A的路损坏，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D（点A，D，B在同一直线上），并修建一条路，测得，，． (1)问是否为从村庄C到河边最近的路？请通过计算加以说明． (2)求新路比原来的路少多少米？ 【答案】(1)是从村庄到河边最近的路，理由见解析 (2)新路比原来的路少49米 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）根据勾股定理的逆定理解答即可； （2）设，则．在中根据勾股定理求出的长即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴是从村庄到河边最近的路； （2）解： ， 设，则． ∵， ， ∴，即， 解得：． ， ， ， 即新路比原来的路少49米． 十七、最短路径问题（共3小题） 48．（24-25九年级上·黑龙江绥化·阶段练习）如图，有一个圆柱体，它的高为12，底面周长为10，如果一只蚂蚁要从圆柱体下底面的A点，沿圆柱表面爬到与A相对的上底面的B点，则蚂蚁的最短路线长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面展开图的最短路径问题，本题的关键是要明确，要求两点间的最短线段，就要把这两点放到一个平面内，即把圆柱的侧面展开再计算． 要求最短路线，首先要把圆柱的侧面展开，利用两点之间线段最短，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：将圆柱体侧面沿点所在直线展开，点A，B的最短距离为线段的长， 由上图可知：，， ∴为最短路径． 则蚂蚁爬的最短路线长为． 故答案为：． 49．（24-25八年级上·陕西西安·开学考试）如图，是长方形地面，长，宽，中间竖有一堵砖墙高．一只蚂蚱从点A爬到点C，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走 m． 【答案】15 【分析】本题主要考查了平面展开最短路线问题、勾股定理等知识点，根据题意画出平面展开图是解答题的关键． 如图：连接，利用勾股定理求出的长，再把中间的墙平面展开，使原来的矩形长度增加而宽度不变，求出新矩形的对角线长即可． 【详解】解：如图所示： 将图展开，图形长度增加， 原图长度增加2米，则， 如图：连接， ∵四边形是长方形，，宽， ∴， ∴蚂蚱从A点爬到C点，它至少要走的路程． 故答案为15． 50．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）有一个如图所示的长方体透明玻璃水缸，高，水深，在水面线上紧贴内壁处有一粒食物，且，一只小虫想从水缸外的处沿水缸壁爬到水缸内的处吃掉食物． (1)小虫应该沿怎样的路线爬行才能使爬行的路程最短？请你画出最短路线，并用箭头标注． (2)求小虫爬行的最短路程长（不计缸壁厚度）． 【答案】(1)见解析 (2)小虫爬行的最短路线长为． 【分析】本题考查最短路径问题，关键知道两点之间线段最短，从而可找到路径求出解． （1）作关于的对称点，连接，与交于点，此时最短； （2）为的斜边，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图， 作点关于所在直线的对称点， 连接，与交于点， 则为最短路线； （2）解：因为，， 所以． 在中，，，， 所以． 由对称性可知， 所以：． 所以：小虫爬行的最短路线长为． $$