专题04命题 直角三角形与勾股定理（考点清单，8清单&12题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单04 命题 直角三角形与勾股定理（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题 定理 1.定义 一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2.命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 3.基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理 用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据. 注意：满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 【清单02】直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 【清单03】直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 【清单04】直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【清单05】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 【清单06】勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【清单07】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 【清单08】勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【考点题型一】命题的判定 【例1】下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【变式1-1】下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-2】下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【考点题型二】命题的真假 【例2】下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2-1】在下列命题中，为真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．负数的立方根是负数 D．垂线段叫做点到直线的距离 【变式2-2】用一组，，的整数值说明命题“若，则”是假命题，则这组值可以是 ， ， ． 【考点题型三】逆命题 【例3】下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【变式3-1】命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【变式3-2】写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【考点题型四】直角三角形两锐角互余 【例4】在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，，．若，的度数为（   ） A． B． C． D． 【考点题型五】含30°角的直角三角形 【例5】如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式5-1】如图，在中，，是高，，若，则 ． 【变式5-2】已知：等边中，，，垂足分别为点，与交于．求证：． 【考点题型六】斜中定理 【例6】在中，，，，若点为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，，，垂足为D，E是的中点．若，则的长为（ ） A． B．9 C． D．8 【变式6-2】如图，在中，，点D为边的中点，，则的长为 ． 【考点题型七】勾股定理解三角形 【例7】如图，正方形其中两个顶点分别与和0对应（点B为一顶点），点A与对应．则点C在数轴上所对应的数为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】如图，在中，，，，垂足为，为上任一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如图，在中，，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【考点题型八】勾股数 【例8】在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【变式8-1】下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式8-2】在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【考点题型九】勾股定理的证明 【例9】在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【变式9-1】请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 【变式9-2】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【考点题型十】勾股定理的应用 【例10】水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 【变式10-1】如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 【变式10-2】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【考点题型十一】勾股定理逆定理求解 【例11】已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【变式11-1】如图，在中，，，，是边上的高，求： (1)的面积； (2)的长． 【变式11-2】如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【考点题型十二】勾股定理逆定理的应用 【例12】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【变式12-1】如图所示的一块草地，已知，，，，，求这块草地的面积． 【变式12-2】某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 2．下列命题中，①一个角的补角大于这个角；②如果，那么；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．其中真命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．对顶角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．邻补角的两个角之和是 4．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 5．如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 8．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 9．如图，在中，，，D是边的中点，的周长是18，求的长． 10．把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ． 11．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    12．如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 13．如图中，于点D，若，，，则 ． 14．以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ． 15．一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为 ． 16．如图，在中，是边的中点，是上一点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 17．长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 18．如图，中山路一侧有两个送奶站，为中山路上一供奶站，测得，，，．小明从点C处出发，沿中山路向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离． 19．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 20．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单04 命题 直角三角形与勾股定理（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】命题 定理 1.定义 一般地，能清楚的规定某一名称或术语的意义的句子叫做该名称或术语的定义. 2.命题 一般地，判断某一件事情的句子叫命题．正确的命题叫做真命题；不正确的命题叫做假命题． 命题通常由条件、结论两个部分组成，条件是已知事项，结论是由已知事项得到的事项.通常命题可以写成“如果……那么……”的形式，其中以“如果“开始的部分是条件，”那么“后面的部分是结论. 注意：命题属于判断句或陈述句，是对一件事情作出判断，与判断的正确与否没有关系．当证明一个命题是假命题时只要举出一个反例就可以． 3.基本事实 人们经过长期实践后公认为正确的命题，作为判断其他命题的依据，也可称为公理. 4.定理 用推理的方法判断为正确的命题.定理也可以作为判断其他命题真假的依据. 注意：满足以下两个条件的真命题称为定理： （1）其正确性可通过公理或其它真命题逻辑推理而得到. （2）其又可作为判断其它命题真假的依据. 【清单02】直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 【清单03】直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 【清单04】直角三角形的判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 【清单05】勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么． 2.注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个 条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。 （2）在应用勾股定理时要注意它的变式： （3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。 （4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。 【清单06】勾股定理的验证 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形． 　　　 图（1）中，所以． 　　　　　 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形． 　　　　 　　图（2）中，所以． 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形． 　　　　　　 　　　　 ，所以． 【清单07】勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为，且，那么这个三角形是直角三角形． 勾股定理与其逆定理的区别与联系： 区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。 联系：（1）两者都与三角形三边关系有关；（2）两者都与直角三角形有关。 【清单08】勾股数 满足关系的三个正整数称为勾股数。 常见的勾股数有：（1）3，4,5； （2）6,8,10； （3）9，12,15； （4）5,12,13； （5）8,15,17； （6）7,24,25； 【考点题型一】命题的判定 【例1】下列句子中不是命题的是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．直线和直线不一定垂直 C．若，则 D．同角的补角相等 【答案】B 【分析】本题主要考查了命题的概念．判断一件事情的语句叫做命题．判断一件事情的语句叫做命题，据此判断． 【详解】解：A、是命题，故不合题意； B、直线和直线不一定垂直，不是可以判断真假的陈述句，不是命题，故符合题意； C、是命题，故不合题意； D、是命题，故不合题意； 故选：B． 【变式1-1】下列语句中命题的个数为（   ） ①两直线相交，只有一个交点；②过点P画直线AB的垂线；③延长线段AB到C；④整数都能被2整除 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查命题的定义，命题是指判断一件事情的语句，根据命题的定义依次判断即可． 【详解】解：命题是指判断一件事情的语句， ∴①④是命题，②③不是命题， 故选：B． 【变式1-2】下列语句中，属于命题的是（  ） A．作线段的垂直平分线 B．等角的补角相等吗 C．三角形是轴对称图形 D．用三条线段去拼成一个三角形 【答案】C 【分析】本题主要考查了命题的定义：一般的，在数学中我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． 分析是否是命题，需要分别分析各选项是否是用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句． 【详解】解：A、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； B、是问句，未做判断，故本选项不符合； C、符合命题的概念，故本选项符合； D、没对一件事情做出判断，不符合命题的概念，故本选项不符合； 故选：C． 【考点题型二】命题的真假 【例2】下列命题是真命题的是（    ）． A．两条直线被第三条直线所截，同位角的平分线平行； B．对顶角相等，邻补角互补； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】B 【分析】本题考查了判断命题的真假、平行公理、对顶角、邻补角，根据平行公理、对顶角、邻补角的相关知识点逐项判断即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：A、两条平行线被第三条直线所截，同位角的平分线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； B、对顶角相等，邻补角互补，故原说法正确，为真命题，符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误，为假命题，不符合题意； 故选：B． 【变式2-1】在下列命题中，为真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．负数的立方根是负数 D．垂线段叫做点到直线的距离 【答案】C 【分析】有公共顶点，且角的两边互为方向延长线的两个角叫做对顶角，据此可判断A；根据平行线的性质可判断B；根据立方根的定义可判断C；点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，据此可判断D． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题是假命题，不符合题意； B、两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题，不符合题意； C、负数的立方根是负数，原命题是真命题，符合题意； D、点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，原命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了判断命题真假，立方根的定义，对顶角的定义，平行线的性质，点到直线的距离的定义，熟知相关知识是解题的关键． 【变式2-2】用一组，，的整数值说明命题“若，则”是假命题，则这组值可以是 ， ， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列举法证明假命题，解题关键是结合题意找到合适的，，的整数值．证明一个命题是假命题，只需要列举出满足题设，但不满足结论的例子即可．根据题意确定合适的，，的整数值，证明，而，即可解题． 【详解】解：当，，时， 可有， ∵， ∴， ∴命题“若，则”是假命题． 故答案为：3，，（答案不唯一）． 【考点题型三】逆命题 【例3】下列说法错误的是（       ） A．任何命题都有逆命题 B．任何定理都有逆定理 C．命题的逆命题不一定是真命题 D．定理的逆定理一定是真命题 【答案】B 【分析】本题考查命题与定理，逆定理、互逆定理、原命题、逆命题、互逆命题等知识，解题的关键是掌握基本概念，根据命题，定理的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、任何命题都有逆命题，正确，故本选项不符合题意； B、任何定理不一定都有逆定理，故本选项符合题意； C、命题的逆命题不一定为真命题，故本选项不符合题意； D、定理的逆定理一定是真命题，故本选项不符合题意； 故选：B． 【变式3-1】命题“线段的中点到这条线段两端的距离相等”的逆命题是 ． 【答案】如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点 【分析】本题考查写原命题的逆命题．根据题意将原命题的结论作为新命题的条件，原命题的条件作为新命题的结论，写成“如果．．．那么．．．”的形式即为原命题的逆命题． 【详解】解：∵线段的中点到这条线段两端的距离相等， ∴原命题为：如果这个点是线段的中点，那么这个点到线段两端的距离相等， ∴逆命题为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点， 故答案为：如果这个点到线段两端的距离相等，那么这个点是线段的中点． 【变式3-2】写出下列命题“若p，则q”的形式，写出它的逆命题并判断它们的真假． (1)全等三角形的对应边相等； (2)互为相反数的两个数的和为零． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查命题书写及判断真假： （1）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； （2）先根据题意找到题设结论，写出命题，根据是否能得到判断真假即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， “若p，则q ”的形式：若两个三角形全等，则这两个三角形的对应边相等， ∵三角形全等对应边相等， ∴该命题是真命题， 逆命题：若两个三角形的对应边相等，则这两个三角形全等，是真命题； （2）解：由题意可得， “若p，则q”的形式：若两个数互为相反数，则它们的和为零， ∵两个互为相反的数和为0， ∴是真命题， 逆命题：若两个数的和为零，则它们互为相反数，是真命题． 【考点题型四】直角三角形两锐角互余 【例4】在给定的下列条件中，不能判定三角形是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和定理，熟记定理并求出最大的角是解题的关键．根据三角形的内角和等于求出各选项中的最大的角的度数，即可判断． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴是直角三角形，选项A不符合题意； B、∵，， ∴， ∴是直角三角形，选项B不符合题意； C、∵，， ∴， ∴是等边三角形，选项C符合题意； D、∵，，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，选项D不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】如图是由相同的小正方形组成的网格，点A、B、C均在格点上，连接．则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了格点三角形．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理，直角三角形两锐角互余，是解题关键．证明，即得出，从而由，可求出． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式4-2】如图，，．若，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，垂直的定义，直角三角形的性质，由全等三角形的性质可得，即可得，得到，再根据直角三角形的的性质即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 故选：． 【考点题型五】含30°角的直角三角形 【例5】如图，在中，，，点是的中点；过点作交于点，，则的长度为（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】此题主要考查了直角三角形的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，理解在直角三角形中，的角所对的直角边是斜边的一半是解决问题的关键．连接，先求出，，再根据线段垂直平分线的性质得，，由此得，进而利用直角三角形的性质得，然后求出，再利用直角三角形的性质即可求出的长． 【详解】解：连接，如图：    在中，，， ， ， 点是的中点，， 是线段的垂直平分线， ， ， 在中，，， ， ，， ， 在中，，， ． 故选：B． 【变式5-1】如图，在中，，是高，，若，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质、直角三角形两锐角互余，由含角的直角三角形的性质得出，再结合直角三角形两锐角互余得出，最后再由含角的直角三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∵是高， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】已知：等边中，，，垂足分别为点，与交于．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题关键．首先根据等边三角形的性质和含30度角的直角三角形的性质证明、，再证明，易得，即可证明结论． 【详解】证明：∵为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴在中，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【考点题型六】斜中定理 【例6】在中，，，，若点为的中点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了含角的直角三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线的性质，根据含角的直角三角形的性质，以及直角三角形斜边上的中线的性质即可求解，熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， 故选：． 【变式6-1】如图，在中，，，垂足为D，E是的中点．若，则的长为（ ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、直角三角形斜边中线的性质等知识点，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半成为解题的关键． 利用直角三角形斜边的中线等于斜边一半求出，然后根据等腰三角形的定义即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴． 故选B． 【变式6-2】如图，在中，，点D为边的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线，等边三角形的判定和性质，掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是解题关键．由题意可知，，进而证明是等边三角形，即可求出的长为． 【详解】解：在中，点D为边的中点， ， ， 是等边三角形， ， 故答案为：． 【考点题型七】勾股定理解三角形 【例7】如图，正方形其中两个顶点分别与和0对应（点B为一顶点），点A与对应．则点C在数轴上所对应的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是勾股定理的应用、数轴与实数的关系，掌握任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解题的关键． 【详解】解：， ∵点A与对应， ∴点C在数轴上所对应的数为， 故选：D． 【变式7-1】如图，在中，，，，垂足为，为上任一点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，由，则，再根据勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ，， 在和中， ，， ∴，， ∴ ， 故选：． 【变式7-2】如图，在中，，，，，，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理，先根据勾股定理求出，再求出，根据求出结果即可． 【详解】解：在中，，，， 根据勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【考点题型八】勾股数 【例8】在下列四组数中，属于勾股数的是（ ） A．0.3，0.4，0.5 B． C．1，2，3 D．5，12，13 【答案】D 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. 0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B.不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，不能够构成三角形，不符合题意； D.，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 【变式8-1】下面四组数中是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，满足的三个正整数，称为勾股数，据此即可求解． 【详解】解：A、，不是勾股数，故本选项错误； B、，是勾股数，故本选项正确； C、不全是整数，不是勾股数，故本选项错误； D、，不是勾股数，故本选项错误， 故选：B 【变式8-2】在中国古代数学著作《周髀算经》中就对勾股定理和勾股数有过一定的描述，所谓勾股数一般是指能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，观察下面的表格中的勾股数： … … … (1)当时，______，______． (2)按上面的规律归纳出一个一般的结论（用含的等式表示，为正整数）． (3)请运用有关知识，推理说明这个结论是正确的． 【答案】(1)60  61 (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了勾股数，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股数是解题的关键． （1）根据表格中的数据即可得到答案； （2）．根据表格中的数据找出规律即可得到答案； （3）根据勾股定理的逆定理即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：60，61 （2）解：由（1）可得，， 当时， （3）解： ． 结论成立． 【考点题型九】勾股定理的证明 【例9】在证明勾股定理时，甲、乙两位同学给出如图所示两种方案，对于甲、乙两种方案，下列判断正确的是（    ） A．甲正确，乙不正确 B．甲不正确，乙正确 C．甲、乙都正确 D．甲、乙都不正确 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，分别用不同的方法表示出大正方形的面积，即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：甲方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，即，可以证明勾股定理，故甲正确； 乙方案中：大正方形的面积可以表示为，还可以表示为， ∴，不可以证明勾股定理，故乙错误； 故选：A． 【变式9-1】请你利用如图图形证明勾股定理：在四边形中，于点E，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】连接，根据四边形面积的两种不同表示形式，结合全等三角形的性质即可求解．本题考查了勾股定理的证明，解题时，利用了全等三角形的对应边相等，对应角相等的性质． 【详解】证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， ∴ 即． 【变式9-2】数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象．数与形也是有联系的，这种联系称为“数形结合”．利用“数形结合”思想可以直观地帮助我们解决一些数学验证或运算． (1)我国是最早了解勾股定理的国家之一，该定理阐明了直角三角形的三边关系．请你利用如图对勾股定理（即下列命题）进行验证，从中体会“数形结合”的思想： 已知：如图，在和中，，（点B，C，D在一条直线上），，，． 证明：； (2)请利用“数形结合”思想，画图推算出的结果． 【答案】(1)见解析 (2)画图见解析， 【分析】本题考查了勾股定理的证明及完全平方公式，熟练掌握数形相结合的思想是解题的关键． （）先证明，得出，然后利用面积法证明即可； （）利用面积法计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴梯形的面积， 梯形的面积， ∴， 化简可得：； ； （2）解：如图所示： 大正方形的面积； 大正方形的面积， ∴． 【考点题型十】勾股定理的应用 【例10】水池中有一根芦苇，长在离岸边远的水底，直立时，芦苇高出水面，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，则水的深度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设水的深度为 ，则芦苇的长度为，根据题意，可得方程，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设水的深度为 ，则芦苇的长度为， 由题意可得，， 解得， ∴水的深度为， 故答案为：． 【变式10-1】如图，一架5的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距墙角3，若梯子的顶端下滑2，则梯足将滑动（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．如图，由题意知，，，，，由勾股定理得，，则，由勾股定理得，，根据，求解作答即可． 【详解】解：如图， 由题意知，，，，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， 故选：B． 【变式10-2】如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图， 根据题意得：， ， 一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞， 故选：B． 【考点题型十一】勾股定理逆定理求解 【例11】已知，，是的三边长，且满足关系，则的形状是 ． 【答案】等腰直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握二次根式，绝对值的非负性是解题的关键． 首先根据二次根式，绝对值的非负性得出，，的关系，即可判断三角形形状． 【详解】解：， ，， ，， 为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【变式11-1】如图，在中，，，，是边上的高，求： (1)的面积； (2)的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股逆定理以及等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，，，得出，证明是直角三角形，根据三角形面积公式列式计算，即可作答． （2）结合是边上的高，根据等面积法列式计算，即可作答． 【详解】（1） 解：∵，， ∴ ∴ 即是直角三角形 ∴的面积 （2）解：∵是边上的高， ∴的面积 解得 【变式11-2】如图，在中，于点D，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)的长为12； (2) 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的知识，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴、是直角三角形， ∵，， ∴， 即的长为12； （2）解：∵，， ∴在中，， ∵， ∴， ∵， ∴是直角三角形，且， 即的度数为． 【考点题型十二】勾股定理逆定理的应用 【例12】台风“烟花”登录我国沿海地区，风力强，累计降雨量大，影响范围大，有极强的破坏力．如图，台风“烟花”中心沿东西方向由向移动，已知点为一海港，且点与直线上的两点、的距离分别为，，又，经测量，距离台风中心及以内的地区会受到影响． (1)求的度数； (2)海港受台风影响吗？为什么？ (3)若台风中心的移动速度为25千米时，则台风影响该海港持续的时间有多长？ 【答案】(1)90° (2)受台风影响；理由见解析 (3)8小时 【分析】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用． （1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而得出的度数； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1），，， ， 是直角三角形，； （2）海港受台风影响，理由：过点作于， ∵是直角三角形， ， ， ， 以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， 海港受台风影响； （3）当，时，正好影响港口， ， ， 台风的速度为25千米小时， （小时）． 答：台风影响该海港持续的时间为8小时． 【变式12-1】如图所示的一块草地，已知，，，，，求这块草地的面积． 【答案】这块草地的面积是216． 【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 连接，勾股定理求得，进而勾由股定理逆定理得出是直角三角形，进而根据即可求解． 【详解】解：连接． 则在中， ， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 答：这块草地的面积是216． 【变式12-2】某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里，如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？ 【答案】“海天”号沿北偏西方向航行 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，掌握勾股定理的逆定理是解题关键，先求出、和的长度，再根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，即，再根据“远航”号沿东北方向航行，得到，即可求得． 【详解】解：由题意可得：海里，海里，海里， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴， ∴ ∴“海天”号沿北偏西方向航行． 1．下列语句中不是命题的是（   ） A．锐角小于钝角 B．作的垂直平分线 C．对顶角不相等 D．三角形的内角和等于 【答案】B 【分析】本题主要考查角的比较与运算，还考查命题的知识点，不是很难．答题时首先知道命题是由题设和结论构成，然后判断． 【详解】解：锐角小于钝角，对顶角相等，三角形的内角和等于都是命题， 作的垂直平分线不是命题，没有结论， 故选：B． 2．下列命题中，①一个角的补角大于这个角；②如果，那么；③对顶角相等；④内错角相等，两直线平行．其中真命题有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了命题、补角、绝对值的性质、对顶角性质、平行线的判定，熟练掌握这些性质和判定是解题关键．根据补角的定义（和为的两个角互为补角）即可判断①错误；根据绝对值的性质即可判断②错误；根据对顶角的性质即可判断③正确；根据平行线的判定即可判断④正确． 【详解】解：①一个角的补角不一定大于这个角，如的补角等于，则此命题是假命题； ②如果，那么，则此命题是假命题； ③对顶角相等，则此命题是真命题； ④内错角相等，两直线平行，则此命题是真命题； 综上，真命题有2个， 故选：B． 3．下列命题的逆命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．对顶角相等 C．两直线平行，内错角相等 D．邻补角的两个角之和是 【答案】C 【分析】先逐一写出各命题的逆命题，根据算术平方根的含义判断A的逆命题，根据对顶角的定义判断B的逆命题。根据平行线的判定判断C的逆命题，根据邻补角的定义判断D的逆命题，从而可得答案； 【详解】解：A、若，则的逆命题是若，则，逆命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题，不符合题意； C、两直线平行，内错角相等的逆命题是内错角相等，两直线平行，逆命题是真命题，符合题意； D、邻补角的两个角之和是的逆命题是若两个角之和为，则这两个角为邻补角，逆命题是假命题，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是命题与逆命题，真假命题的判断，算术平方根的含义，对顶角的性质，平行线的判定与性质，邻补角的含义与性质，熟记基本概念与性质是解本题的关键. 4．下列定理中，没有逆定理的是（    ） A．两直线平行，内错角相等 B．直角三角形两锐角互余 C．对顶角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，分别写出四个命题的逆命题，逆命题是真命题的就是逆定理，不成立的就是假命题，就不是逆定理． 【详解】解：A，“两直线平行，内错角相等”的逆定理是“内错角相等，两直线平行”，不合题意； B，“直角三角形两锐角互余”的逆定理是“两锐角互余的三角形是直角三角形”，不合题意； C，“对顶角相等”的逆命题是“相等的两个角是对顶角”，该逆命题是假命题，因此“对顶角相等”没有逆定理，符合题意； D，“同位角相等，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同位角相等”，不合题意； 故选C． 5．如图，已知直线，直线与直线分别交于点，交直线于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂直的定义，直角三角形的性质，平行线的性质，由垂直可得，即得，再根据平行线的性质即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：． 6．中，，P在线段上，于E，于D，若它一腰上的高与另一腰所成的锐角等于，则的值为（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了 的直角三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，分一腰上的高在外部和内部讨论即可． 【详解】解：当一腰上的高在外部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 当一腰上的高在内部时，如图，连接，    由题意知：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，， 故选：B． 7．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：“今有竹高二十尺，未折抵地，去本四尺，问折者高几何”意思是：现有竹子高20尺，折后竹尖抵地与竹子底部距离为4尺，问折处高几尺？如图所示，设竹子折断处离地尺，由题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了 勾股定理的应用，设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺，运用勾股定理即可列出方程，利用题目信息构造直角三角形，运用勾股定理求解是解题的关键． 【详解】解：设竹子折断处离地x尺，则折断部分的竹子长尺， 依题意得：， 故选：D． 8．已知三条不同的直线a、b、c在同一平面内，下列四条命题： ①如果，，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，，那么．其中假命题的是 ．（填写序号） 【答案】③ 【分析】本题考查两直线的位置关系，解题的关键是掌握垂直于同一直线的两条直线平行，平行于同一直线的两条直线平行．根据两直线的位置关系一一判断即可． 【详解】①如果，，那么，正确，是真命题； ②如果，，那么，正确，是真命题； ③如果，，那么，错误，应该是，故原命题是假命题； ④如果，，那么，正确，是真命题． 假命题有③， 故答案为：③． 9．如图，在中，，，D是边的中点，的周长是18，求的长． 【答案】的长是 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和等量代换进行解答，熟记直角三角形斜边上的中线是斜边的一半的性质是解题的关键． 【详解】解：，D是边的中点， . ，的周长是， ， 解得， 的长是． 10．把命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成如果那么的形式是 ． 【答案】如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式 【分析】本题考查的是命题与定理，命题写成“如果，那么”的形式，这时，“如果”后面接的部分是题设，“那么”后面解的部分是结论．根据命题的概念解答即可． 【详解】解：命题“等式两边加同一个数，结果仍然是等式”改写成“如果那么的形式是：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式， 故答案为：如果在等式两边加同一个数，那么结果仍然是等式． 11．如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【详解】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，点D在线段上，且，，，则的长度为 ． 【答案】9 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质，含角直角三角形的性质，等腰三角形的判定，根据三角形外角的性质可得，从而得到，再求出，然后根据直角三角形的性质可得，进而求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 13．如图中，于点D，若，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理．熟练掌握勾股定理解直角三角形，线段的和差计算，是解题关键． 根据勾股定理求出，即可求出，再利用勾股定理即可求出． 【详解】解：∵于点D，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14．以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 15．一块钢板形状如图所示，若，，，，，则这块钢板的面积为 ． 【答案】36 【分析】四边形是不规则图形无法直接计算，连接，将四边形分割成两个直角三角形进行计算．先算出，再运用勾股逆定理得出，故这块钢板的面积，即可作答．本题考查了勾股定理以及勾股逆定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】如解图，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴钢板的面积． 故答案为：36 16．如图，在中，是边的中点，是上一点， 交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一般，平行线的性质，等角对等边以及中点定义，熟练掌握三角形全等的性质和判定方法是解题的关键． （1）由是边的中点，得 ，由 ，得，，可得，即可证明结论成立； （2）由是边的中点，，得 ，进而，由（1），，由，得，从而，进而即可得解． 【详解】（1）证明：∵是边的中点， ∴ ． 又∵ ， ∴，， 在与中， ， ∴ ∴； （2）解：∵是边的中点，， ∴ ． ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．长方形中，，，将长方形折叠，使得点B落在线段上，求线段的长． 【答案】线段的长为． 【分析】本题考查了勾股定理，折叠的性质，熟练掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方是解题关键．由折叠的性质可，，，利用勾股定理求得，进而得到，设，则再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：在长方形中，，， 由折叠的性质得，，， 在中，， ， 设，则， 在中，， ， 解得：， 即线段的长为． 18．如图，中山路一侧有两个送奶站，为中山路上一供奶站，测得，，，．小明从点C处出发，沿中山路向东一直行走，求小明与B送奶站的最近距离． 【答案】小明与B送奶站的最近距离为 【分析】由勾股定理逆定理，即可得到；过点B作于点D，利用含30度角的直角三角形的性质，和勾股定理求出的长即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 过点B作于点D，则的长即为小明与送奶站的最近距离， ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， 即小明与B送奶站的最近距离为． 【点睛】本题考查勾股定理和逆定理，含30度角的直角三角形，垂线段最短．熟练掌握相关定理和性质，是解题的关键． 19．追本溯源 题（1）来自课本中的习题改编，请你完成解答，提炼方法并完成题（2）． (1)如图1，一个长方体盒子，它的长、宽、高分别为、、，一只蚂蚁想从盒底的点A沿盒的表面爬到盒顶的点B，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线吗？蚂蚁要爬行的最短路程是多少？ (2)如图2，长方体的长为，宽为，高为，点B在棱上，一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1)蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）分两种情况画出图形，求出最短路径长度，然后再进行比较即可； （2）将长方体按三种方案展开，画出图形，求出结果，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，． 如图2，． 因为， 故蚂蚁爬行的最短路线为（P为的中点），最短路程是． （2）解：将长方体按下列三种方案展开： 如图3，一直角边为，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图4，一直角边为20cm，另外一条直角边为， 根据勾股定理得． 如图5，，， 根据勾股定理得． 因为， 所以一只蚂蚁要沿长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是． 20．定义：若a，b，c是的三边，且，则称为“方倍三角形”． (1)对于①等边三角形②直角三角形，下列说法一定正确的是 ． A．①一定是“方倍三角形”                B．②一定是“方倍三角形” C．①②都一定是“方倍三角形”            D．①②都一定不是“方倍三角形” (2)如图，中，，，P为边上一点，将沿直线进行折叠，点A落在点D处，连接，．若为“方倍三角形”，且，求的面积． 【答案】(1)A (2) 【分析】本题考查了翻折变换、等边三角形的性质，解决本题的关键是掌握等边三角形的性质． （1）根据“方倍三角形”定义可得，等边三角形一定是“方倍三角形”，直角三角形不一定是“方倍三角形”进而可以判断； （2）根据题意可得，根据“方倍三角形”定义可得为等边三角形，从而证明为等腰直角三角形，可得，延长交于点，根据勾股定理求出的长，根据为等腰直角三角形，可得，进而可以求的面积． 【详解】（1）解：对于①等边三角形，三边相等， 设边长为， 则， 根据“方倍三角形”定义可知： 等边三角形一定是“方倍三角形”； 对于②直角三角形，三边满足关系式： ， 根据“方倍三角形”定义可知： 直角三角形不一定是“方倍三角形”； 故答案为：； （2）由题意可知： ， ，， 根据“方倍三角形”定义可知： ， ， 为等边三角形，， ， ， ， ， ， ，， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 延长交于点，如图， ， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$