专题03 等腰三角形（考题猜想，易错必刷41题14种题型）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

专题03 等腰三角形（考题猜想易错必刷41题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 轴对称图形识别 · 根据轴对称特征求解 · 做轴对称图形 · 折叠问题 · 将军饮马最短路径问题 · 根据等腰三角形的定义求三角形的边或角 · 等腰三角形的三线合一 · 等边对等角 · 等腰三角形的性质与判定 · 等腰三角形动点问题 · 等边三角形的性质 · 等边三角形的证明 · 等边三角形的性质与判定 · 等腰三角形与全等三角形综合 一．轴对称的图形识别（共3小题） 1．（23-24八年级上·云南·期中）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 二、根据轴对称特征求解（共3小题） 4．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，“箭头”是一个轴对称图形，已知，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为（           ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，点在上，将点分别以，为对称轴，画出对称点，，并连接，，根据图中标示的角度，的度数为 ． 三、做轴对称图形（共3小题） 7．（24-25九年级上·四川广安·开学考试）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的.（每个正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是重合的，则视为一种） 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 9．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点．    (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)在直线上画出点P，使得的距离最短； 四、折叠问题（共3小题） 10．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（    ）． A．6 B．7 C．8 D．11 11．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长为 ． 12．（23-24七年级下·全国·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为E，若，则的大小为 度． 五、将军饮马最短路径问题（共3小题） 13．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，、是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到、两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）． 14．（19-20七年级下·山东青岛·期末）如图，为内部的已知点，连接，为上的点，为上的点，当周长的最小值与的长度相等，的度数为 ． 15．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 六、根据等腰三角形定义求三角形的边或角（共3小题） 16．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是 ． 17．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 18．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 七、等腰三角形的三线合一（共3小题） 19．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，是中线，，则是 度．    20．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 21．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 八、等边对等角（共3小题） 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，如果，那么 ． 24．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，、两点关于直线对称，，则 ． 九、等腰三角形的性质与判定（共3小题） 25．（2023·浙江·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，点A在边上，连接交于点F，求证：． 26．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分． (1)求证：； (2)若的面积是18，，求长． 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 十、等腰三角形动点问题（共2小题） 28．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以 的速度由C点向A点运动，设运动时间为 ． (1)用含t的代数式表示的长度； (2)若点P，Q的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等? 29．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，点P，Q分别是边上的动点，连接交于点M． (1)点P，Q分别从点B以相同的速度同时出发，当时，试判断的形状，并说明理由． (2)若为边长为的等边三角形，此时P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段运动、且它们的速度均为．当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为． ①当t为何值时，； ②点P，Q在运动的过程中，的大小会发生变化吗？若发生变化、请说明理由；若不会发生变化，请求出的大小． 十一、等边三角形的性质（共3小题） 30．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 31．（2023·山东德州·一模）如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 32．（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 十二、等边三角形的证明（共3小题） 33．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 34．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 35．（24-25八年级上·全国·假期作业）等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 十三、等边三角形的性质与判定（共3小题） 36．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，为等边三角形，在上分别取点，使，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求证：； (3)在（）条件下，求的度数． 37．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 38．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为______． 十四、等腰三角形与全等三角形综合（共3小题） 39．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）（1）问题发现 如图①，在中，，D、E分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则、、之间的数量关系是 ，与的数量关系是 ． （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接．试求的度数及与的数量关系．并说明理由 （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．试猜想的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 40．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 41．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． $$专题03 等腰三角形（考题猜想易错必刷41题14种题型专项训练） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 · 轴对称图形识别 · 根据轴对称特征求解 · 做轴对称图形 · 折叠问题 · 将军饮马最短路径问题 · 根据等腰三角形的定义求三角形的边或角 · 等腰三角形的三线合一 · 等边对等角 · 等腰三角形的性质与判定 · 等腰三角形动点问题 · 等边三角形的性质 · 等边三角形的证明 · 等边三角形的性质与判定 · 等腰三角形与全等三角形综合 一．轴对称的图形识别（共3小题） 1．（23-24八年级上·云南·期中）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断，利用排除法求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、是轴对称图形，故本选项正确． 故选：D． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期中）下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴． 【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故此选项符合题意； C、是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 3．（2024·广东深圳·模拟预测）下列图形中，不是轴对称图形的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后即可求解． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； B中图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形不是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 二、根据轴对称特征求解（共3小题） 4．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，“箭头”是一个轴对称图形，已知，则图中的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查轴对称图形，熟练掌握轴对称图形的性质是解答本题的关键．根据轴对称图形的性质即可求出的度数． 【详解】 “箭头”是一个轴对称图形，， ， 故选：A． 5．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，，则四边形的周长为（           ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，熟记性质得到相等的边是解题的关键． 根据轴对称图形的性质得出，，进而求出即可． 【详解】∵四边形是轴对称图形，所在的直线是它的对称轴，，， ∴，， 则四边形的周长为：． 故选：B． 6．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，点在上，将点分别以，为对称轴，画出对称点，，并连接，，根据图中标示的角度，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和，根据三角形内角和为得到，通过对称性特征得到即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意可得，，，， 则 故答案为：． 三、做轴对称图形（共3小题） 7．（24-25九年级上·四川广安·开学考试）在的正方形格点图中，有格点和，且和关于某直线成轴对称，请在如图给出的图中画出4个这样的.（每个正方形个点图中限画一种，若两个图形中的对称轴是重合的，则视为一种） 【答案】图见解析 【分析】本题考查的是利用轴对称设计图案，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．解题时注意：若两个图形中的对称轴是重合的，则视为一种．根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形即可． 【详解】解：如图，即为所求．（答案不唯一） 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【详解】（1）解：（1）的面积为， 故答案为：5； （2）解：如图1，直线m即为所求． （3）解：如图2，即为所求． 9．（23-24七年级下·宁夏银川·阶段练习）如下图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，网格中有一个格点．    (1)在图中作出关于直线的对称图形； (2)在直线上画出点P，使得的距离最短； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了作图，轴对称变换，最短路径，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质找出对应点画图即可； （2）根据最短路径问题即可得出答案； 【详解】（1）解：如图，即为所求；    （2）解：如图，点P即为所求；    四、折叠问题（共3小题） 10．（23-24八年级上·辽宁大连·期末）如图的三角形纸片中，，，，沿过点B的直线折叠这个三角形，使点C落在边上的点E处，折痕为，则的周长为（    ）． A．6 B．7 C．8 D．11 【答案】B 【分析】本题考查了翻折的特性，解题的关键是掌握翻折前和翻折后对应边相等；由折叠的性质可得，，可求的长，即可求的周长． 【详解】解：由折叠可知，，， 则， ∴的周长为：， 故选：B． 11．（23-24八年级上·四川内江·开学考试）如图，在中，，，将折叠，使点与点重合，折痕为，则的周长为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 根据折叠的性质可得，进而根据三角形的周长公式即可求解． 【详解】解：∵将折叠，使点与点重合，折痕为， ∴， ∴的周长为， 故答案为：． 12．（23-24七年级下·全国·期末）如图，将长方形纸片沿对角线折叠，点C的对应点为E，若，则的大小为 度． 【答案】22 【分析】本题考查折叠中角度的计算，平行线的性质，根据折痕是角平分线以及平行线的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， 由折叠得：， ∴； 故答案为：22． 五、将军饮马最短路径问题（共3小题） 13．（2023·辽宁鞍山·一模）如图，、是两个蓄水池，都在河流a的同旁，为了方便灌溉作物，要在河边建一个抽水站，将河水送到、两池，问该站建在河边哪一点，可使所修的渠道最短，试在图中画出该点（不写作法，但要保留作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题考查轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键；求两点和距离最小一般采用作出一点的轴对称图形．然后连接对称点与另一点，与所在直线的交点即为所求的点； ，的距离之和最小，那么应作出关于河岸的对称点，连接交河岸与一点，这点就是所求的点．根据轴对称的性质即可作出图. 【详解】解：根据题意作图如下： 14．（19-20七年级下·山东青岛·期末）如图，为内部的已知点，连接，为上的点，为上的点，当周长的最小值与的长度相等，的度数为 ． 【答案】30 【分析】设点P关于OM的对称点为C，关于ON的对称点为D，当点A、B在CD上时，△PAB的周长为PA+AB+BP=CD，此时周长最小，根据CD=OP可求出的度数． 【详解】 解：作点P关于OM的对称点C，关于ON的对称点D，连接CD，交OM于A，交ON于B．此时，△PAB的周长最小． 连接OC，OD，PA，PB． ∵点P与点C关于OM对称 ∴OM垂直平分PC ∴∠COM=∠MOP，PA=CA，OC=OP 同理，可得∠DON=∠NOP，PB=DB，OD=OP ∴∠COA+∠DOB=∠AOP+∠BOP=∠MON ∴∠COD=2∠MON 又∵△PAB的周长=PA+AB+BP=CA+AB+BD=CD=OP ∴OC=OD=CD ∴△COD是等边三角形 ∴∠MON 故答案为：30． 【点评】此题找到点A和点B是的位置是解题的关键，要使△PAB的周长最小，通常是把三边的和转化为一条线段，运用三角形三边关系解决． 15．（21-22七年级下·山东青岛·期末）如图，在△ABC中，∠A＝54°，∠C＝76°，D为AB中点，点P在AC上从C向A运动；同时，点Q在BC上从B向C运动，当∠PDQ＝ 时，△PDQ的周长最小． 【答案】28°/28度 【分析】根据两点之间线段最短，把三角形的周长转化为一条线段的长，利用三角形的内角和及平角的定义求解． 【详解】过点D作DF⊥BC于N，并截取NF＝DN，过点D作DE⊥AC于M，并截取ME＝DM，连接EF，则EF的长为△PDQ的最小值， 根据作图知：AC垂直平分DE，BC垂直平分DF， ∴DQ＝FQ，PD＝PE， ∴DQ+DP+PQ＝FQ+PE+PQ， 根据两点之间线段最短，所以EF的长是△PDQ的最小值， 此时有：∠FDQ∠DQP，∠MDP∠DPQ， 在△ABC中有∠A＝54°，∠C＝76°， ∴∠B＝180°－∠A－∠C ＝50°， ∴∠BDN＝40°，∠ADM＝36°， ∴∠PDQ＝180°﹣∠BDN﹣∠ADM﹣∠FDQ﹣∠MDP ＝180°﹣40°﹣36°（∠DQP+∠DPQ） ＝104°（180°﹣∠PDQ） ＝104°﹣90°∠PDQ， 解得：∠PDQ＝28°． 故当∠PDQ＝28°时，△PDQ的周长最小． 故答案为：28° 【点评】本题考查了最短路径问题，通过轴对称把问题进行转化是解题的关键． 六、根据等腰三角形定义求三角形的边或角（共3小题） 16．（24-25八年级上·湖北宜昌·阶段练习）若等腰三角形两边的长分别为和，则周长是 ． 【答案】15或18 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，构成三角形的条件，分当腰长为时，当腰长为时，根据等腰三角形的定义确定等腰三角形的三边长，再根据构成三角形的条件和三角形周长计算公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此等腰三角形的周长为； 当腰长为时，则该三角形的三边长分别为，，， ∵， ∴此时能构成三角形， ∴此等腰三角形的周长为； 综上所述，该等腰三角形的周长为或， 故答案为：15或18． 17．（23-24八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的底角是 ． 【答案】/35度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，由题意可得，等腰三角形的顶角为，再根据三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求解，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，等腰三角形的顶角为， ∴等腰三角形的底角为， 故答案为：． 18．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）一个等腰三角形的两边长分别为3，4，它的周长为 ． 【答案】10或11 【分析】本题考查了等腰三角形的性质“等腰三角形的两腰相等”．分腰为4和腰为3两种情况讨论，再求其周长． 【详解】解：①当腰为4时，则三角形的三边长分别为4、4、3，满足三角形的三边关系， 周长为； ②当腰为3时，则三角形的三边长分别为3、3、4，满足三角形的三边关系， 周长为． 综上可知：等腰三角形的周长为10或11． 故答案为：10或11． 七、等腰三角形的三线合一（共3小题） 19．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，，是中线，，则是 度．    【答案】 【分析】此题主要考查等腰三角形的性质以及三角形外角的性质，根据等腰三角形的性质得到，，根据三角形外角的性质，即可求解． 【详解】，， ， ，是边上的中线， ， ， ， ， 故答案为：． 20．（2024八年级上·浙江·专题练习）已知：如图，B，D，E，C在同一直线上，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形三线合一，如图所示，过点A作于F，由三线合一定理得到，，再由线段的和差关系即可证明． 【详解】证明：如图所示，过点A作于F， ∵（已知）， ∴， 又∵（已知）， ∴， ∴，即（等式的性质）． 21．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，的垂直平分线交于点E，交于点F，D为线段的中点，． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查等腰三角形的性质和垂直平分线的性质， （1）连接，根据垂直平分线的性质，可知，根据等腰三角形三线合一即可知； （2）设，由（1）可知，然后根据三角形的内角和为列出方程即可求出x的值． 【详解】（1）解：连接，如图， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点 ∴； （2）设， ∵， ∴， ∴由三角形的外角的性质，， ∵， ∴， 在三角形中，， ， ∴． 八、等边对等角（共3小题） 22．（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，垂直平分交于，交于，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，外角的性质，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形内角和定理，求出的度数，根据是的垂直平分线，可知，，结合是的外角，即可算出答案． 【详解】解：， 是的垂直平分线 故选：C． 23．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在中，，点D、E、F分别在边上，如果，那么 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质等知识点，根据题意证得是解题关键． 【详解】解：∵， ∴ ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 24．（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，中，，、两点关于直线对称，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了等边对等角，三角形外角的性质；直接利用轴对称的性质得出，再利用三角形内角和定理以及三角形外角的性质得出答案． 【详解】解：、两点关于直线对称，， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 九、等腰三角形的性质与判定（共3小题） 25．（2023·浙江·模拟预测）如图，和都是等腰直角三角形，，点A在边上，连接交于点F，求证：． 【答案】证明过程见详解． 【分析】 本题考查等腰直角三角形的性质及全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三角形是正确解决本题的关键． 作于点G，证明，得，进而得，再证明，得 ，进而得结论． 【详解】 证明：作于点G， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 26．（23-24八年级上·山东聊城·期末）如图，是的角平分线，，垂足为交的延长线于点，若恰好平分． (1)求证：； (2)若的面积是18，，求长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质定理，证明三角形全等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质，平行线的性质，可判断是等腰三角形，再根据等腰三角形的“三线合一”可得是中线，由“”可证； （2）过点作于点，根据角平分线的性质可得，根据中线的性质可得，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）解：平分 ， ， ． 是角平分线， ． 在和中， ， ． （2）解：过点作于点， ， ， 平分， ， ， ， 即， ． 27．（22-23八年级上·浙江杭州·期中）如图，在锐角中，点E是边上一点，，于点D，与交于点G． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，G为中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加适当的辅助线是解题的关键． （1）根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，再利用等腰三角形的性质可得，然后利用等角的余角相等可得，再根据对顶角相等可得，从而可得，最后利用等角对等边即可解答； （2）如图：过点E作，垂足为F，利用等腰三角形的三线合一性质可得，再根据线段中点的定义可得，然后利用证明，从而利用全等三角形的性质可得，最后在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：图：过点E作，垂足为F， ∴， ∵， ∴， ∵G为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的长为8． 十、等腰三角形动点问题（共2小题） 28．（23-24八年级上·贵州黔东南·期中）如图所示，在中，，点D为的中点．如果点P在线段上以的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上以 的速度由C点向A点运动，设运动时间为 ． (1)用含t的代数式表示的长度； (2)若点P，Q的运动速度相等，经过后，与是否全等，请说明理由； (3)若点P，Q的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等? 【答案】(1) (2)全等，见解析 (3) 【分析】此题考查了全等三角形的判定，主要运用了路程速度时间的公式，要求熟练运用全等三角形的判定和性质． （1）先表示出，根据，可得出答案； （2）根据时间和速度分别求得两个三角形中的边的长，根据判定两个三角形全等． （3）根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度； 【详解】（1）解：由题意得：，则； （2）解：和全等，理由如下： ， ， ， ，点为的中点， ． ， 在和中， ， ； （3）解：点、的运动速度不相等， ， 又，， ，， 点，点运动的时间 ， ． 当点的运动速度为 时，能够使与全等． 29．（23-24八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，在中，点P，Q分别是边上的动点，连接交于点M． (1)点P，Q分别从点B以相同的速度同时出发，当时，试判断的形状，并说明理由． (2)若为边长为的等边三角形，此时P，Q分别从顶点A，B同时出发，沿线段运动、且它们的速度均为．当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为． ①当t为何值时，； ②点P，Q在运动的过程中，的大小会发生变化吗？若发生变化、请说明理由；若不会发生变化，请求出的大小． 【答案】(1)是等腰三角形，理由见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据证明得，然后证明，可证是等腰三角形； （2）由得，然后列方程求解即可； （3）根据证明得，然后利用三角形外角的性质可得结论． 【详解】（1）∵点P，Q分别从点B以相同的速度同时出发， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）①∵， ∴， ∴， ∴， ∴时，； ②结论：不变． 理由：∵是等边三角 ∴，， 又∵点P、Q运动速度相同， ∴， 在与中， ， ∴． ∴， ∵， ∴． 【点评】此题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答此题的关键． 十一、等边三角形的性质（共3小题） 30．（24-25八年级上·海南儋州·阶段练习）如图，已知是等边三角形，且边长为3，点、分别在边、上，将沿所在的直线折叠，若点落在点处，、分别交边于点、．则阴影部分图形的周长等于（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，折叠的性质，由折叠的性质得，是解题的关键．利用折叠的性质可得，，利用等量代换和等式的性质解答即可． 【详解】解：利用折叠的性质可得：，． ∴阴影部分图形的周长 ， ∵是边长为3的等边三角形， ∴， ∴， ∴阴影部分图形的周长等于9， 故选：D． 31．（2023·山东德州·一模）如图，已知，点在射线上，点在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．32 B．510 C．256 D．64 【答案】A 【分析】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，进而发现规律是解题关键．根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ， ， ， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：A 32．（22-23八年级下·辽宁本溪·期中）如图，是等边三角形，是边上的中线，点在上，且，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形性质，等腰三角形判定与性质，三角形外角性质，由是等边三角形，可得，由是边上的中线，可得 ，，由，，可求，由三角形外角性质可求． 【详解】解： 是等边三角形， ，， 是边上的中线， ，， ， ，， ， 是的外角， ． 故答案为：． 十二、等边三角形的证明（共3小题） 33．（23-24八年级下·全国·单元测试）如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结，若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】是等边三角形；理由见解析 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等边三角形的判定，根据线段垂直平分线和角平分线的定义可得，，，然后利用证明，从而可得，再根据等量代换可得，即可解答． 【详解】解：是等边三角形，理由如下： 设交于点O， ∵是的垂直平分线， ∴，， 是的角平分线， ， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 34．（22-23八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知，，，点在线段上，点在线段上，设，． (1)如果，，那么是等边三角形？请说明理由； (2)若，试求与之间的关系． 【答案】(1)是等边三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等边三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形外角的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据已知得△ABC是等腰三角形，从而可得，进而可得，然后利用三角形的外角定义可得，从而利用三角形内角和定理求出，即可解答； （2）利用等腰三角形的性质可得，然后利用三角形的外角定义，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： 理由：，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）若时，则， 证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 35．（24-25八年级上·全国·假期作业）等边中，点P在内，点Q在外，且，问是什么形状的三角形？试说明你的结论． 【答案】是等边三角形，见解析 【分析】本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定和性质，先证，得，再证，从而得出是等边三角形． 【详解】解：是等边三角形． 证明：∵为等边三角形， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． 十三、等边三角形的性质与判定（共3小题） 36．（23-24八年级上·广东江门·期中）如图，为等边三角形，在上分别取点，使，连接．    (1)求证：是等边三角形． (2)点分别是的中点，连接，当绕点旋转到如图的位置时，求证：； (3)在（）条件下，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】（）根据等边三角形得到，进而由等边三角形的判定即可求证； （）首先推导出，然后利用即可证明； （）证明，可得，，进而得到，可得为等边三角形，即可求解； 本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴， 又∵， ∴是等边三角形； （2）证明：∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵点分别是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴， ∴为等边三角形， ∴． 37．（23-24八年级下·广东河源·期中）如图：已知在中，，D为边的中点，过点D作，垂足分别为． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，含的直角三角形．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）由为边的中点，可得，，，证明即可； （2）由，，可得是等边三角形，则，，，，然后求的周长即可． 【详解】（1）证明：， ， D为边的中点， ， ，， ， 在与中 ， ； （2）解：在中，，， ， 为等边三角形， 在中，， ， ， ， 为的中点， ， 为等边三角形， ， ． 38．（23-24八年级下·河南郑州·阶段练习）如图，在四边形中，，，，点E为上一点，连接，交于点F，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)若，，则的长为______． 【答案】(1)等边三角形，理由见解析 (2)2 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质： （1）先证明为等边三角形，进而得到，结合平行线的性质，推出时等边三角形即可； （2）连接交于点，易得垂直平分，三线合一，结合平行线的性质，推出，进而求出的长，等边三角形的性质，得到的长，利用求出的长即可． 【详解】（1）解：是等边三角形，理由如下： ∵，， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）连接交于点， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴； 故答案为：2． 十四、等腰三角形与全等三角形综合（共3小题） 39．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）（1）问题发现 如图①，在中，，D、E分别在上，若，则和是顶角相等的等腰三角形，连接，则、、之间的数量关系是 ，与的数量关系是 ． （2）类比探究 如图②，和均为等边三角形，点A、D、E在同一条直线上，连接．试求的度数及与的数量关系．并说明理由 （3）拓展延伸 如图③，和均为等腰直角三角形，，点A、D、E在同一条直线上，为中边上的高，连接．试猜想的度数及线段、、之间的数量关系，并说明理由． （4）解决问题 在（3）的条件下，若，，直接写出四边形的面积． 【答案】（1），； （2）的度数为；线段与之间的数量关系是：． （3），． （4）35． 【分析】此题是三角形综合题目，考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由三角形外角的性质及等式的性质可得出结论； （2）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出结论； （3）证明，得出，最后证出即可． （4）根据进行计算即可． 【详解】解：（1），， ， 即， 是的外角， ； 故答案为：，； （2）和均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ∵点A，D，E在同一直线上， ， ， ， 综上可得的度数为；线段与之间的数量关系是：． （3）和均为等腰直角三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ∵点A，D，E在同一直线上， ， ， ； ，，， ， ， ． （4）， 故答案为：35． 40．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）【初步感知】 （1）如图1，已知为等边三角形，点D为边上一动点（点D不与点B，点C重合）．以为边向右侧作等边，连接．求证：； 【类比探究】 （2）如图2，若点D在边的延长线上，随着动点D的运动位置不同，线段，，之间的数量关系为__________，请证明你的结论． 【拓展应用】 （3）如图3，在等边中，，点P是边上一定点且，若点D为射线上动点，以为边向右侧作等边，连接，．请问：是否有最小值？若有，请求出其最小值；若没有，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）；证明见解析；（3）有；8 【分析】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，等边三角形的判定与性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）由和是等边三角形，推出，，，又因为，则，即，利用证明即可； （2）证明，得出，结合，则； （3）在射线上截取，连接，易证，则，，得出是等边三角形，则，即点E在角平分线上运动，在射线上截取，连接，证明，得出，推出，由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值． 【详解】（1）证明： 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． （2）解：， 和是等边三角形， ，，． ， ，即． 在和中， ， ． ， ， ． （3）解：有最小值，在射线上截取，连接， ， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵， ∴， 是等边三角形， ， ∴，， 即点E在角平分线上运动， 在射线上截取，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系可得，，即当点E与点C重合时，时，有最小值， ∵，， ∴， ∴ 的最小值为8． 41．（23-24八年级下·浙江金华·开学考试）已知，在等边三角形中，点O在上，点P在的延长线上，且． (1)如图1，当点O为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论； (2)如图2，当点O为边上任意一点，确定线段与的大小关系，请你写出结论，并说明理由； (3)在等边三角形中，点O在直线上，点P在直线上，且，若的边长为2，，求的长． 【答案】(1) (2)相等，见解析 (3)7或3 【分析】（1）利用等腰三角形的性质，三线合一性质，等边三角形的性质，计算说明即可． （2）过作交于，证明是等边三角形，以及即可证明． （3）分为点在射线上或点在射线上两种情况，利用全等、等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：，理由如下： 为等边三角形，点为的中点， ，平分，， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：相等，即，理由如下： 如图，过作交于， 是等边三角形， ，， ，， 即， 是等边三角形， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． （3）解：如图③，当点在射线上时，过作交的延长线于， 则为等边三角形，， ，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ； 如图，当点O在射线上时，∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， 过点O作，则， ∴， ∴， 又∵， ∴； 综上所述，长为或． ． 【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质是解题的关键． $$