专题03 等腰三角形（考点清单，6清单&13题型解读）-2024-2025学年八年级数学上学期期中考点大串讲（浙教版）

清单03 等腰三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【清单02】轴对称的性质 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【清单03】等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 【清单04】等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 【清单05】等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【清单06】等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【考点题型一】轴对称图形的判定 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】第33届夏季奥运会于2024年7月26 日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【考点题型二】做轴对称图形 【例2】如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【变式2-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)的面积为 ； (2)在图中作出关于直线的对称图形． (3)利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 【考点题型三】轴对称图形特征 【例3】如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式3-1】如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．    (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？ (2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有怎样的关系？ 【考点题型四】三线合一 【例4】如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，在中，，为中点，，则的度数为 ． 【变式4-2】如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【考点题型五】等腰三角形的定义 【例5】在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 【变式5-1】如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【变式5-2】如图，在中，是边上一点，垂直平分，．求证：为等腰三角形． 【变式5-3】把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连结、，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求，的长． 【考点题型六】等边对等角 【例6】如图，D在边上，，，则的度数为 ． 【变式6-1】如图，，若和分别垂直平分和，则 ．      【变式6-2】如图，中，，E是的中点，求证：平分． 【考点题型七】等腰三角形动点问题 【例7】如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【变式7-1】如图，已知中，，，点D为的中点 (1)如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次相遇？并求出相遇的具体位置？ 【变式7-2】如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【考点题型八】等腰三角形的性质与判定 【例8】综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如下图． 在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是．并且展示了他们的证法如下： 证明：如上图， ∵，； ∴； ∵； ∴（依据1）； ∵D是的中点； ∴； 在和中， ∴（依据2）； ∴． 请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_____． 依据2：______． （2）类比探究： 奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在下图中，若，分别为和的中线，那么仍然成立； ②在下图中，若，分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 【变式8-1】几何探究在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接 (1)如图，当点在线段上时，求证：． (2)如图，若点在线段的延长线上，，．则，之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (3)如图，当点在线段上，°，，求最大值． 【变式8-2】如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由． 【考点题型九】等边三角形的性质 【例9】如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 【变式9-1】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【变式9-2】如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【考点题型十】等边三角形的判定 【例10】如图，在四边形中，平分．若，求证：是等边三角形． 【变式10-1】已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【变式10-2】如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【考点题型十一】手拉手全等问题 【例11】已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是 （只填写序号）    【变式11-1】在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【变式11-2】如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点． (1)证明：； (2)直接写出的度数； (3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明． 【考点题型十二】折叠问题 【例12】如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则 ． 【变式12-1】如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则 ° 【变式12-2】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 【考点题型十三】将军饮马最值问题 【例13】如图，等腰中，，，面积为24．点E在边上，点F在边上，且垂直平分，点D是边的中点，点M在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 【变式13-1】如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于 ． 【变式13-2】如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 1．下面图形中，不属于轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 2．下列语句：①若两个图形全等，则这两个图形一定关于某直线对称；②全等三角形的周长相等；③面积相等的三角形是全等三角形；④若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 4．若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 5．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 6．如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A．6 B．12 C．16 D．8 7．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 9．如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 10．如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 11．若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 12．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 13．如图，方格图中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B、C都在格点上． (1)画出关于直线对称的． (2)求出的面积． 14．如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 15．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 16．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 等腰三角形（考点梳理+题型解读+提升训练） 【清单01】轴对称与轴对称图形 1.轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。 这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。 3. 轴对称和轴对称图形的区别和联系： 区别：①轴对称图形说的是一个具有特殊形状的图形；轴对称说的是两个图形的一种特殊位置关系。 ②轴对称是对两个图形说的，而轴对称图形是对一个图形说的。 联系：①都沿某条直线对折，图形重合。 ②如把两个成轴对称的图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形；反过来，把轴对称图形的两部分分别看作两个图形，那么这两个图形成轴对称。 【清单02】轴对称的性质 垂直平分线：垂直并且评分一条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 1 由一个平面图形可以得到它关于一条直线L成轴对称的图形，这个图形与原图形全等（即形状、大小完全相同） 2 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线L的对称点。 3 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 【清单03】等腰三角形的概念 1.定义 有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角. 如图所示，在△ABC中，AB＝AC，则它叫等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 　　 2.等腰三角形的作法 已知线段a,b(如图).用直尺和圆规作等腰三角形ABC,使AB=AC=b,BC=a. 作法：1.作线段BC=a； 2.分别以B,C为圆心，以b为半径画弧， 两弧相交于点A; 3.连接AB,AC. △ABC为所求作的等腰三角形. 【清单04】等腰三角形的性质 1.性质 ①两腰相等 ②两底角相等（简称等边对等角） ③等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线互相重合（简称为“三线合一”） ④等腰三角形是轴对称图形，其顶角平分线、底边上的中线、底边上的高线所在的直线式对称轴。 证明题目中的写法： ①已知高线：∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠BAD=∠CAD ②已知中线：∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD ③已知角平分线：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，∴AD⊥BC，BD=CD 2.等腰三角形的构造 （1） “角平分线+平行线”构造等腰三角形 ①如下左图所示，OP评分∠AOB，CD∥OA，则△OCD是等腰三角形 ②如下右图所示，OP评分∠AOB，CD∥OB，则△OCD是等腰三角形 （2） “角平分线+垂线”构造等腰三角形 如下左图所示，已知AD是∠BAC的平分线，AD⊥BC，得出等腰三角形 （3） “角平分线+中线”构造等腰三角形 如下中图所示，已知AD是∠BAC的平分线，D是BC中点，则△ABC是等腰三角形 （4） “中点+垂直”构造等腰三角形（垂直平分线）如下右图所示 (5)“平行+等腰”构造等腰三角形 已知等腰△ABC，过腰或底上作腰或底的平行线 【清单05】等腰三角形的判定 ①有两条边相等的三角形是等腰三角形。 ②有两个角相等的三角形是等腰三角形。（简称“等角对等边”） 【清单06】等边三角形的概念 （1）定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形。 （2）性质：三条边都相等，三个角都相等，每一个角都等于60° （3）判定：①三条边都相等的三角形是做等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形；③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 （4）推论：在直角三角形中，锐角为30°所对的直角边等于斜边的一半。 【考点题型一】轴对称图形的判定 【例1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故A符合题意； B．是轴对称图形，故B不符合题意； C．是轴对称图形，故C不符合题意； D．是轴对称图形，故D不符合题意． 故选：A． 【变式1-1】下列图形中，不是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称图形，根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，有一条对称轴，故A选项不符合题意； B、是轴对称图形，有多条对称轴，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，没有对称轴，故C选项符合题意； D、是轴对称图形，有三条对称轴，故D选项不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】第33届夏季奥运会于2024年7月26 日至8月11日在法国巴黎举行，中国取得金牌榜第一名的好成绩，如图所示巴黎奥运会项目图标中，是轴对称图形的是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念求解． 此题主要考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 【详解】解：A．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意； C．该图形是轴对称称图形，故此选项符合题意； D．该图形不是轴对称图形，故此选项不合题意． 故选：C． 【考点题型二】做轴对称图形 【例2】如图． (1)在网格中画出关于轴对称的． (2)写出关于轴对称的的各顶点坐标． (3)在轴上确定一点，使最短．（只需作图保留作图痕迹） 【答案】(1)见解析 (2)，， (3)见解析 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，对称最短路径的作图方法，掌握以上知识的综合运用是解题的关键． （1）先确定点的位置，然后连接各点即可求解； （2）根据题意，分别写出点的坐标，再根据点关于轴对称的点的特点，即可求出的坐标； （3）根据对称求最短路径的方法即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标变为原来的相反数，纵坐标不变， ∴，，，如图所示，连接，    ∴即为所求图形． （2）解：由（1）可知，，，， ∵点关于轴对称的点的特点是横坐标不变，纵坐标变为原来的相反数， ∴，，． （3）解：如图所示，作点关于轴对称的点，连接，则与轴交于点， ∴根据对称可得，， ∴， ∵点两点之间线段最短， ∴最短，即的值最小， ∴如图所示，点的位置即为所求点的位置． 【变式2-1】如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)的面积为 ； (2)在图中作出关于直线的对称图形． (3)利用网格纸，在上找一点P，使得的距离最短．（保留痕迹） 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称的性质以及画轴对称图形，根据题意准确作图是解题的关键． （1）利用矩形的面积减去三个顶点上三角形的面积即可； （2）分别作出各点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （3）连接交直线于点P，则点P即为所求点． 【详解】（1）解：． 故答案为：5； （2）如图，即为所求； （3）如图，点P即为所求． 【考点题型三】轴对称图形特征 【例3】如图，和关于直线1对称，下列结论：①；②；③垂直平分；④直线和的交点不一定在上．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，根据轴对称的性质求解． 【详解】解：∵和关于直线l对称， ∴（1），正确． （2），正确． （3）直线l垂直平分，正确． （4）直线和的交点一定在直线l上，错误． 故选：B． 【变式3-1】如图所示，是由经轴对称变换得到的，对称轴为直线．    (1)与全等吗？全等的两个三角形一定能经轴对称变换互相得到吗？ (2)分别找出点、点关于直线l的对称点，如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内吗？ (3)连接，线段与直线有怎样的关系？ 【答案】(1)与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到 (2)点关于直线的对称点一定在内 (3)线段被直线垂直平分 【分析】本题考查轴对称、全等三角形的判定，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键． （1）根据轴对称的性质即可得出答案，全等三角形不一定是轴对称图形，画出反例图形即可； （2）画图予以说明即可； （3）运用轴对称的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：与全等，全等的两个三角形不一定能经轴对称变换互相得到，这要看这两个三角形的位置关系， 理由如下： 是由经轴对称变换得到的， ， 如图，，但和不是轴对称的关系，   ； （2）解：点、点关于直线的对称点分别是点、点；如果点在内，那么点关于直线的对称点一定在内， 如图，   ； （3）解：线段被直线垂直平分， 理由如下： 如图，设直线交直线于，   ， 与关于直线对称， 点，是对称点， 将沿直线折叠后，点与点重合，则有，， 线段被直线垂直平分． 【考点题型四】三线合一 【例4】如图，在已知中，，则下列结论中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形三线合一是解题的关键． 根据等腰三角形的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵， ∴，， ∵不一定成立， ∴故C错误，符合题意，A、B、D正确，不符合题意． 故选：C． 【变式4-1】如图，在中，，为中点，，则的度数为 ． 【答案】/65度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、三角形内角和定理，由等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理计算即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，为中点， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】如图，平分，，的延长线交于点E，若，则 度． 【答案】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，掌握等腰三角形的三线合一是解题的关键．如图，连接，延长与交于点F，利用等腰三角形的三线合一证明是的垂直平分线，从而得到， 再次利用等腰三角形的性质得到：，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接，延长与交于点F， ∵平分，， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， 故答案为：． 【考点题型五】等腰三角形的定义 【例5】在下列条件中，不能判定为等腰三角形的是（　　） A． B． C．， D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等角对等边． 根据等腰三角形的定义，以及判定定理：等角对等边即可判断． 【详解】解：A、∵， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； B、∵， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； C、∵，， ， ∴，即是等腰三角形，故选项不合题意； D、由不能得出其中的两个角相等，故不一定是等腰三角形，故选项符合题意． 故选：D． 【变式5-1】如图，是延长线上的一点，，动点从点出发，沿以的速度移动，动点从点出发，沿以的速度移动．如果点同时出发，用表示移动的时间，那么当 时，是等腰三角形． 【答案】或10 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义，一元一次方程解决实际问题，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． 根据点P，Q的移动时间与速度，表示出，的长，分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在的延长线上时，根据建立方程求解即可． 【详解】解：点P，Q移动时， ，． 分两种情况： ①当点在线段上时， 若是等腰三角形，则， 即， 解得，； ②当点在的延长线上时， ， 若是等腰三角形，又， 则是等边三角形， ∴， 即， 解得，； 综上所述，当或时，是等腰三角形． 故答案为：或10． 【变式5-2】如图，在中，是边上一点，垂直平分，．求证：为等腰三角形． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定，由线段垂直平分线的性质可得，，进而可得，又由，即得，即可根据等腰三角形的定义求证，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】证明：∵垂直平分， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形． 【变式5-3】把两个含有角的直角三角板如图放置，点在上，连结、，且的延长线交于点． (1)求证：； (2)若，，求，的长． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质等知识． （1）和都是等腰直角三角形，则，，，即可证明，则，利用角之间的关系证明即可； （2）根据线段的和差和等量代换列出方程组，即可进行解答． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形， ，，， 在和中， ∴ ， 又， ， ， 即． （2）解：， ， ， ． ，， ， 由、得：，． 【考点题型六】等边对等角 【例6】如图，D在边上，，，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了全等三角形的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键．先根据全等三角形的性质可得，，从而可得，再根据等边对等角求解即可得． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，即， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式6-1】如图，，若和分别垂直平分和，则 ．      【答案】/度 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，由和分别垂直平分和，可得，，即可证得，，又由可求得的度数，即可得的度数，继而求得答案. 【详解】解：∵垂直平分， 同理： ∵， ∴ 故答案为： 【变式6-2】如图，中，，E是的中点，求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，等边对等角，三角形的外角性质，先由E是的中点得，证明，因为，且结合等边对等角以及角的等量代换得，再证明，由全等三角形的对应角相等得，即可作答． 【详解】证明：延长到M，使，连接，如图所示： ∵E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴ 又， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即平分． 【考点题型七】等腰三角形动点问题 【例7】如图，在等边三角形中，高线，D是上一动点，以为边向下作等边三角形，当点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是（     ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握知识点，发现全等三角形是解题的关键． 连接，先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接，如图． ∵和都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵在等边三角形中，为高，D是上一动点 ∴大小不变， ∴大小不变， ∴点E的运动轨迹为一条线段． ∵， ∴点D从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径长是， 故选：B． 【变式7-1】如图，已知中，，，点D为的中点 (1)如果点P在线段上以的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向点A运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ (2)若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间，点P与点Q第一次相遇？并求出相遇的具体位置？ 【答案】(1)①全等，见解析；② (2)经过24秒点P与点Q第一次在边上相遇，且点P在距离C点处 【分析】本题考查了三角形上的动点问题，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，一元一次方程的应用，熟练掌握相关判定和性质，利用数形结合思想是解题的关键． （1）①根据路程等于速度乘以时间可得，，结合已知可得，，然后根据边角边即可证明结论；②设点Q的运动速度为，点P的运动速度为，当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等时，若与全等，且，则可得，，由此根据已知点P的运动速度可求得两点的运动时间，进而求出点Q的运动速度； （2）由于，故只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走的路程，设经过x秒后点P与点Q第一次相遇，根据路程之间的关系列方程，求出第一次相遇的时间，进而求得点P一共运动了，结合的周长为，即可确定相遇的具体位置． 【详解】（1）解：① 若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后， 则，， ，，点D为的中点 ，， ， ， ， ② 设点Q的运动速度为，点P的运动速度为， 若与全等， ， ， 与全等，且， ，， 点Q、P的运动时间为， ． （2）解： ， 只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走的路程， 设经过x秒后点P与点Q第一次相遇， 由题意得，， 解得：， 点P一共运动了， 又 的周长为， ， 经过24秒点P与点Q第一次在边上相遇，且点P在距离C点处． 【变式7-2】如图，中，，现有两点M、N分别从点A、点B同时出发，沿三角形的边运动，已知点M的速度为，点N的速度为．当点N第一次到达B点时，M、N同时停止运动． (1)点M、N运动几秒时，M、N两点重合？ (2)点M、N运动几秒时，可得到等边三角形？ (3)当点M、N在边上运动时，能否得到以为底边的等腰三角形？如存在，请求出此时M、N运动的时间． 【答案】(1) (2)点M、N运动4秒时，可得到等边； (3)当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形，此时M、N运动的时间为16秒． 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、等边三角形的性质是解题的关键． （1）根据题意设点M、N运动t秒时，M、N两点重合，列方程即可求解； （2）根据题意设点M、N运动t秒后，可得到等边，然后表示出，的长，由于等于，所以只要，就是等边三角形； （3）首先假设是等腰三角形，可证出，可得，设出运动时间，表示出、、的长，列出方程，可解出未知数的值． 【详解】（1）解：设点M、N运动t秒时，M、N两点重合， 得方程， 解得, 答：点M、N运动12秒时，M、N两点重合； （2）解：设点M、N运动t秒时，可得到等边，如图①， ，， 是等边三角形， ， 解得， ∴点M、N运动4秒时，可得到等边． （3）解：当点M、N在边上运动时，可以得到以为底边的等腰三角形， 情况一： 设点M、N运动x秒时，M、N两点重合， ， 解得：； 即12秒时M、N两点重合，恰好在C处，，但不是等腰三角形； 情况2： 如图②，假设是等腰三角形， ， ， ， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， ， ， 设当点M、N在边上运动时M、N运动的时间y秒时，是等腰三角形， ，，， 即， 解得：． 综上所述，故假设成立． ∴当点M、N在边上运动时，能得到以为底边的等腰三角形， 此时M、N运动的时间为16秒． 【考点题型八】等腰三角形的性质与判定 【例8】综合探究：探索等腰三角形中相等的线段． 问题情境： 数学活动课上，老师提出了一个问题：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等吗？同学们就这个问题展开探究． 问题初探： （1）希望小组的同学们根据题意画出了相应的图形，如下图． 在中，，D是的中点，，，垂足分别为点E，F．经过合作，该小组的同学得出的结论是．并且展示了他们的证法如下： 证明：如上图， ∵，； ∴； ∵； ∴（依据1）； ∵D是的中点； ∴； 在和中， ∴（依据2）； ∴． 请写出依据1和依据2的内容： 依据1：_____． 依据2：______． （2）类比探究： 奋斗小组的同学认真研究过后，发现了以下两个正确结论：①在下图中，若，分别为和的中线，那么仍然成立； ②在下图中，若，分别为和的角平分线，那么仍然成立．请你选择其中一个结论，写出证明过程． 【答案】 （1）依据1：等腰三角形的两个底角相等或等边对等角，依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一） （2）选择①，证明见解析（选择②，证明见解析） 【分析】（1）本题主要考查全等三角形的判定依据识别，跟根据等腰三角形的性质，及全等三角形的判定依据直接可以得到所填内容． （2）本题主要考查全全等三角形行的判定和性质，直接依据腰上的中线可直接找到，再根据等边对等角和底边中线的性质，直接可以判定两三角形全等． 【详解】解：（1）依据1：等腰三角形的两个底角相等或等边对等角， 依据2：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等或角角边或， 故答案为：等边对等角（答案不唯一），两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（答案不唯一）． 类比探究： （2）选择①证明： ∵，是和的中线， ∴，， ∵， ∴，， 又∵D是的中点， ∴， 在与中， ； ∴， ∴； 选择②证明： ∵，D是的中点， ∴，，， ∴， 又∵，分别是和的平分线， ∴， 在与中， ； ∴， ∴． 【变式8-1】几何探究在中，，是直线上一点（不与点、重合），以为一边在的右侧作，，，连接 (1)如图，当点在线段上时，求证：． (2)如图，若点在线段的延长线上，，．则，之间有怎样的数量关系？写出你的理由． (3)如图，当点在线段上，°，，求最大值． 【答案】(1)见解析 (2) (3)最大值为 【分析】（1）根据，则，又根据，，得，即可； （2）由（1）得，，则，根据，则，根据，三角形内角和为，则，得，又根据，根据等量代换，即可； （3）过点作交于点，根据等腰三角形的性质，得；由（1）得，，得，根据垂线段最短，即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2） 理由，如下： 由（1）得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）过点作交于点， ∵，， ∴， 由（1）得，， ∴， ∴， ∴ ； ∴ ， 当最小时，最大， ∴当，时最小，， ∴最大为：． 【点睛】本题考查三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，垂线段最短． 【变式8-2】如图①，在中，，点D在边上，于点E，过点C作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)如图②，过点D作交于点G，连结交于点H，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)等腰三角形；理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，关键是全等三角形的性质和判定定理的应用． （1）根据等角的余角相等得出，进而根据平行弦的性质得出，根据，即可证明； （2）先证明，由（1）知，，得出，可得，根据平行线的性质可得，等量代换得出，根据等角对等边，即可得证． 【详解】（1）证明：如图． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． （2）解：是等腰三角形．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 又∵， ∴． 由（1）知， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴，即是等腰三角形． 【考点题型九】等边三角形的性质 【例9】如图，、均为等边三角形，连接、交于点，与交于点，则的度数为 ． 【答案】/60度 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形． 利用“边角边”证明和全等，可得，根据“八字型”求出即可． 【详解】解：∵均为等边三角形， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ， ∴，即， 故答案为：． 【变式9-1】如图，为等边三角形，点D是边上异于B，C的任意一点，于点E，于点F．若边上的高线，则 ．      【答案】10 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，求三角形的面积，连接，根据，再代入数值可得答案． 【详解】如图所示． 连接， ∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：10．    【变式9-2】如图，已知等边三角形的边长为3，过边上一点P作于点为延长线上一点，取，连接，交于点M，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质和等边三角形的性质，根据题意作P作交于点F，证是等边三角形，再证明，利用全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】过P作交于点F． ∵是等边三角形， ∴． 又∵， ∴． ∴是等边三角形． ∴． 又∵， ∴． 在和中，， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 【考点题型十】等边三角形的判定 【例10】如图，在四边形中，平分．若，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】由平分得，用对角互补得，要证是等边三角形，需用全等证．本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定，角平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】证明：如图，过点作于点交的延长线于点， 则， 平分 ， ， ， 在和中， ， 平分， ， ， ， ， 是等边三角形． 【变式10-1】已知：如图，都是等边三角形，相交于点O，点M、N分别是线段的中点． (1)求证：； (2)求的度数； (3)求证：是等边三角形． 【答案】(1)证明见解析； (2)的度数是；； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据等边三角形性质得出，求出，证即可； （2）根据全等求出，求出的值，根据三角形的内角和定理求出即可； （3）求出，根据证，推出，求出即可． 【详解】（1）证明：∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵等边三角形， ∴， ∴ ， ∴， ∴的度数是； （3）证明：∵， ∴， 又∵点M、N分别是线段的中点， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ， 又， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形． 【变式10-2】如图所示，在 中， ，点分别在上，且 与交于点 F． (1)求证： 是等边三角形； (2)求证： (3)求 的大小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的判定与性质，三角形外角性质． （1）根据等边三角形的判定解答即可； （2）求出，根据证出即可； （3）根据全等三角形的性质得出，根据三角形外角性质推出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴是等边三角形； （2）∵是等边三角形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． 【考点题型十一】手拉手全等问题 【例11】已知：如图，和都是等边三角形，是延长线上一点，与相交于点，与相交于点，与相交于点 ，连接，，则下列四个结论：①；②；③；④平分．其中，正确的是 （只填写序号）    【答案】②③④ 【分析】当是的中点或者平分时，，故①错误；根据等边三角形的性质得，，则，可得，故，再判断，所以；可以判断③正确，根据三角形内角和定理可得，而，则，然后再利用三角形内角和定理即可得到，故，故②正确；作于，于，由得到，即可证明，故，根据角平分线的判定定理即可得到平分，进而可以判断④正确． 【详解】证明：∵是等边三角形， ∴当是的中点或者平分时， ∴， 但题中的位置不确定， ∴和不一定相等， 故①错误； ∵和都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 故③正确； ∵， 而， ∴， ∴， ∴， 故②正确； 作于，于，如图，    ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， 又∵， ∴平分， 故④正确． 综上所述：正确的是②③④． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的判定定理，等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式11-1】在和中，，，，点D是直线上的一动点（点D不与B，C重合），连接． (1)在图1中，当点D在边上时，求证：； (2)在图2中，当点D在边的延长线上时，结论是否还成立？若不成立，请猜想，，之间存在的数量关系，并说明理由； (3)在图3中，当点D在边的反向延长线上时，不需写证明过程，直接写出，， 之间存在的数量关系及直线与直线的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，存在的数量关系为，理由见解析 (3)， 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质； （1）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （2）求出，证明，根据全等三角形的性质可得结论； （3）如图3，求出，证明，根据全等三角形的性质可得，然后由是等腰直角三角形可得，，进而求出即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （2）不成立，存在的数量关系为． 理由：如图2， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）存在的数量关系为； 如图3，    ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式11-2】如图1，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点． (1)证明：； (2)直接写出的度数； (3)如图2连接，探究、、之间满足数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）利用等边三角形的性质证明 ，可得； （2）由 可得，再结合，通过等量代换可得答案； （3）在上截取，连接，由 可得，再证 ，，，进而证明是等边三角形，推出，即可证明． 【详解】（1）证明： 和都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ； （2）解： ， ， ， ； （3）解：， 证明：如图，在上截取，连接， 由（1）得 ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义和性质等，第三问有一定难度，通过作辅助线构造等边三角形是解题的关键． 【考点题型十二】折叠问题 【例12】如图，在中，将按如图所示的方式折叠，点B、C均落于边上的点Q处，为折痕，若，则 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等，解题的关键是利用整体思想得到的度数． 由折叠的性质可知：，根据三角形的内角和为，可求出的度数，进而得到的度数，问题得解． 【详解】解：∵线段、为折痕， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式12-1】如图1，中，D是边上的点，先将沿看翻折，使点A落在点处，且交于点E（如图2），又将沿着翻折，使点C落在点处，若点恰好落在上（如图3），且，则 ° 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，折叠性质，三角形内角和定理，先由平行线性质得：，再由折叠可得：，，，则，由三角形内角和定理知，而，可求得，然后由，则，即可求出度数． 【详解】解：∵， ， 由折叠可得：，，， ， ，， ， ①， ， ②， 由①②解得，， 故答案为：． 【变式12-2】如图，在中，，点在边上，点在边上，且，将沿折叠，点的对应点为点．若点落在边上，求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了翻折变换的性质,平行线的性质和等边三角形的判定，掌握翻折变换的性质是解题关键．利用平行线的性质得出，再利用翻折变换的性质得出，进而得出即可得出答案； 【详解】证明： ，， ， 将沿折叠，点的对应点为点， ， ， ， 是等边三角形． 【考点题型十三】将军饮马最值问题 【例13】如图，等腰中，，，面积为24．点E在边上，点F在边上，且垂直平分，点D是边的中点，点M在线段上移动，连接，，则的周长的最小值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了轴对称—最短路线问题，等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，连接，，由，点D是边的中点可得，再根据三角形的面积公式求出的长，再判断出点M在上时，最小，由此即可得出结论，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：连接，， ∵，点D是边的中点， ∴， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， 当点M在上时，最小，最小值为， ∴的周长最短． 故答案为：10． 【变式13-1】如图，已知，是内部的一个定点，且，点、分别是、上的动点，则周长的最小值等于 ． 【答案】1 【分析】本题考查轴对称求最短距离．作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、，此时周长最小为，由对称性可求是等边三角形，则可求的长为1． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接交于点、交于点，连接、， 由对称性可知，，， 周长， 此时周长最小， ，， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：1． 【变式13-2】如图，在中，平分交于点，点，分别是线段、上一动点，且，，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查轴对称最短问题，坐标有图形性质，正方形的性质等知识，作点关于的对称点，连接，过点作于点．证明，再根据，求出，可得结论．解题的关键是掌握利用轴对称解决最短问题． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，过点作于点． 平分， 点关于的对称点在上， ， ， ，， ， ， ， 的最小值为4． 故答案为：4． 1．下面图形中，不属于轴对称图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握轴对称图形的定义．根据轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形进行逐一判断即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选：D． 2．下列语句：①若两个图形全等，则这两个图形一定关于某直线对称；②全等三角形的周长相等；③面积相等的三角形是全等三角形；④若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形和轴对称的性质．根据全等三角形的性质和轴对称的性质进行判断． 【详解】解：①两个图形全等，这两个图形不一定关于某直线对称，原说法不正确； ②全等三角形的周长相等，原说法正确； ③面积相等的三角形不一定是全等三角形，原说法不正确； ④若成轴对称的两个图形中的对称线段所在直线相交，则这个交点一定在对称轴上，原说法正确． 综上所述，正确的说法有2个． 故选：B． 3．如图所示，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质和平角的定义，掌握平行线的性质是本题的关键． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即要得出结果． 【详解】解：， ， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过第二次反射后的反射光线与第一次反射的入射光线平行， ； 故选：A． 4．若等腰三角形的一个外角为，则它的顶角的度数为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理根据外角为可得相邻的内角为，然后分当是顶角和底角两种情况分析，结合三角形的内角和定理即可求得结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵等腰三角形的一个外角为， ∴相邻的内角为， 当为顶角时，顶角的度数是， 当为底角时，顶角的度数是， 综上可知：顶角的度数是或， 故选：． 5．动点在等边的边上，，连接，于，以为一边作等边，的延长线交于，当取最大值时，的长为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点，利用全等三角形的判定定理准确找出图中的全等三角形是解题的关键． 如图，分别连接，，作，交的延长线于，利用等边三角形的性质和全等三角形的判定与性质得到、；再证明，则，利用等腰三角形的三线合一性质得到，从而得到，，，四点共圆，利用圆中最长的弦为直径得到当取最大值时，则等于直径，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，分别连接，，作，交的延长线于， 和是等边三角形， ，，， ． 在和中， ， ， ，， ， ， ． ， ， ， ， ， ， ． 在和中， ， ， ， ， 点为中点， ， ， ， ，，，四点共圆， 当取最大值时，则等于直径， 为直径， ， 四边形为矩形， ， ， 点在上， 于， ，两点重合，此时为中点，， ． ， ． 故选：C． 6．如图，，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A．6 B．12 C．16 D．8 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质，等边三角形的性质．根据等边三角形的性质可得，再由，可得，从而得到的边长为2，同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16，即可． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴的边长为2， 同理：的边长为4，的边长为8，的边长为16． 故选：C． 7．在中，，分别以和为边在外部作等边三角形、等边三角形和等边三角形，连结和交千点P，则以下结论中①；②；③；④．正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】证明，，可得，，进一步可判断①②，证明，求出，进一步可判断③，在上截取，连接，证明，再证，可得，进而可得，进一步可判断④． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 同理可得， ∴，，， ∴，故①②符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴，， ∴，故③符合题意； 如图，在上截取，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故④符合题意； 故选D 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质；熟练的确定全等三角形是解本题的关键． 8．如图所示，把沿直线翻折后得到，如果，那么 度． 【答案】72 【分析】此题考查了折叠的性质，平角的概念，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．首先根据折叠的性质得到，然后根据平角的概念求解即可． 【详解】解：把沿直线翻折后得到， ， ， ． 故答案为：72． 9．如图，在中，，和是内的两点，平分，，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，角所对直角边是斜边的一半，延长交于点，延长交于点，由等腰三角形的性质得，，证明是等边三角形，则，，再根据角所对直角边是斜边的一半得即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】如图所示，延长交于点，延长交于点， ∵在中，，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在中，，点D，E，F在的边上，，，则的面积是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，求出是解答本题的关键．由三角形内角和定理得，由等腰三角形的性质得，，从而可求，得出，然后利用三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的面积． 故答案为：4． 11．若，满足，则以，的值为两边长的等腰三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质、非负数的性质等知识．根据非负数的性质求出，的值，再根据等腰三角形的定义即可解决问题． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴，， ∵，为等腰三角形的两边， 当为腰时，，不满足三角形三边的关系，故舍去， ∴等腰三角形的三边分别为：，，． ∴等腰三角形的周长为， 故答案为：． 12．如图，在中，，以为边在外作等边，过点作．若，，则 ． 【答案】7.8 【分析】此题考查了等边三角形的性质，熟练掌握等边三角形的性质，正确地作出辅助线，构造全等三角形和含有角的直角三角形是解决问题的关键．过点作于，根据得，再根据等边三角形性质得，，则，由此得，据此可依据“”判定和全等，从而得，则，进而在根据直角三角形性质得，据此可得的长． 【详解】解：过点作于，如图所示： ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为： 13．如图，方格图中每个小正方形的边长为1个单位长度，点A、B、C都在格点上． (1)画出关于直线对称的． (2)求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，网格中求三角形面积： （1）根据轴对称图形的画法画图即可； （2）根据根据网格的特点和三角形面积计算公式求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：由题意得， 14．如图，E、F分别是等边三角形的边，上的点，且，、交于点P．      (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】题目主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定定理和性质，三角形内角和定理，理解题意，熟练掌握运用各个定理、性质是解题关键． （1）根据等边三角形的性质可得：，，然后依据全等三角形的判定定理可得：，由全等三角形的性质即可证明； （2）由（1），根据全等三角形的性质可得：，结合图形，运用各角之间的关系可得：，利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：∵ 是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴ 在中，， 即． 15．已知点D在外，，，射线与的边交于点H，，垂足为E，. (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，求证：； (3)如图2，在（1）的条件下，，点F在线段BC，且，点，分别是射线、上的动点，在点M，N运动的过程中，请判断式子的值是否存在最小值，若存在，请直接写出这个最小值：若不存在，写出你的理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)存在，最小值为4 【分析】（1）根据同角的余角相等即可证明； （2）在上取，连接，．由题意易证，即得出．再根据等腰三角形“三线合一”的性质即可得出，从而可得出结论； （3）作点E关于BC的对称点，点F关于BD的对称点．连接，交BD于点，BC于点，连接．根据轴对称的性质即可知，即存在最小值，取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长．根据轴对称的性质结合题意可求出，，即证明为边长为4的等边三角形，即可求出，从而即得出答案． 本题考查三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，轴对称的性质以及等边三角形的判定和性质．正确的作出辅助线是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴ （2）证明：如图，在上取，连接，． ∵在和中， ， ∴， ∴． 又∵， ∴为中点，即， ∴， ∴； （3）解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点．连接，交于点，于点，连接． 由作图可知，，． ∴， ∵，即存在最小值，即取最小值时N与重合，M与重合，最小值为的长． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴为边长为4的等边三角形， ∴， ∴的最小值为4． 16．如图，在中，，与的平分线相交于点，延长交于点，过点作交于，作交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质可得，可得，根据等角的余角相等可得，即可得证； （2）在上取，连接，证明，得，说明，证明，得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）在上取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的定义，平行线的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$