专题03 不等式（考题猜想，真题必刷10种题型）-2024-2025学年高一数学上学期期中考点大串讲（苏教版2019必修第一册）

专题03 不等式 一．利用不等式的性质判断命题真假（5题） 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）（多选）已知实数，满足，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）若为实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 二．利用不等式的性质求取值范围（5题） 1．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·江苏南通·期中）（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若，，，则的取值范围为 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，，则的取值范围为 . 5．（22-23高一上·江苏淮安·期中）若，则的取值范围为 . 三．利用基本不等式求最值（8题） 1．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最大值为2 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 6．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求的最小值及此时所对应的的值； （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 8．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 四．基本不等式恒成立问题（5题） 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．23-24高一上·江苏南京·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（22-23高一上·江苏南通·期中）若不等式，对一切恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知：，，，且恒成立，则的取值范围是 . 五．基本不等式的实际应用（5题） 1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 3．（23-24高一上·江苏·期中）某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案. 方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； 方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； (1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值） 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. (1)写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） (2)求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 六．不等式性质与基本不等式证明不等式（2题） 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 2．（22-23高一上·江苏苏州·期中）阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果，那么；②如果，那么. (1)请运用上述公理①②证明：“如果，那么.” (2)求证： 七．一元二次不等式的解法（5题） 1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 33．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知不等式的解集为. (1)求的值； (2)当时，解关于的不等式. 5．（23-24高一上·江苏扬州·期中）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 八．三个“二次”之间的对应关系（6题） 1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．6 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 九．分式不等式与绝对值不等式的解法（5题） 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）不等式的解集为 ． 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）不等式的解集是 . 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）的解集为 5．（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集 (1)； (2) (3) 十．一元二次不等式恒成立与有解问题（5题） 1．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若集合，则实数的取值范围为 . 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知不等式的解集为，则的取值范围是 . 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式 一．利用不等式的性质判断命题真假（5题） 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）（多选）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】由题， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B正确； 对于C，令满足，但，所以C错误； 对于D，因为，所以不同时为0， 则，所以D正确；故选：ABD 2．（23-24高一上·江苏淮安·阶段练习）（多选）已知实数，满足，则下列不等关系一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，，所以，则，故A正确； 对于B，正负无法确定， 取，则满足，但，故B错误； 对于C，，则，故C正确； 对于D，由，得， 又因为， 所以，故D正确.故选：ACD 3．（23-24高一上·江苏镇江·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】CD 【解析】对于选项A：若，，时，，即不成立，故A错误； 对于选项B：因为， 当，时，，故，即，故B错误； 对于选项C：因为， 当时，，故； 又因为， 当时，，故 所以，故C正确； 对于选项D：因为， 若，则， 可得，即，故D正确；故选：CD. 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）（多选）若为实数，则下列命题错误的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【解析】对于A，若，则，A错误； 对于B，若，则，故，B正确； 对于C，取，满足，则，C错误； 对于D，若，则，故，D错误，故选：ACD 5．（23-24高一上·江苏徐州·期中）（多选）已知，，，都是正数，且，，则下列关系正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】已知，，，都是正数，且，， 对于A选项，满足已知条件，但此时，A选项错误； 对于B选项，由不等式的同向可加性，，时，有，B选项正确； 对于C选项，由，，有，所以，C选项正确； 对于D选项，由，， 有， 所以，得，D选项正确；故选：BCD 二．利用不等式的性质求取值范围（5题） 1．（22-23高一上·江苏南通·期中）已知实数x，y满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设， 则， 所以， 又，， 则， 所以，故选： 2．（22-23高一上·江苏南通·期中）（多选）已知，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以，又因为，， 所以，即，所以， 又因为，所以，可知A选项正确； 对于B，因为， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，可知B选项错误； 对于C，因为，解得， 当且仅当，即，时等号成立，可知C选项正确； 对于D，因为，所以， 所以， 当且仅当，即，时等号成立，可知D选项正确.故选：ACD. 3．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若，，，则的取值范围为 【答案】 【解析】设，则， 解得：，，则， 而由，可得， 再由，可得， 所以， 即，可得. 故答案为：. 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】由于，，则， 而，故， 故的取值范围为， 故答案为： 5．（22-23高一上·江苏淮安·期中）若，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为，所以，则， 又因为，所以， 故的取值范围为. 故答案为：. 三．利用基本不等式求最值（8题） 1．（23-24高一上·江苏·期中）（多选）设正实数a，b满足，则下列结论正确的是（    ） A．有最小值4 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】ACD 【解析】A：因为正实数a，b满足，所以， 当且仅当时取等号，即时取等号，因此本选项正确； B：因为正实数a，b满足， 所以，当且仅当时，取等号， 即有最大值，因此本选项不正确； C：因为正实数a，b满足， 所以， 当且仅当时取等号，因此本选项正确； D：因为正实数a，b满足所以， 当且仅当时取等号，因此本选项正确，故选：ACD 2．（23-24高一上·江苏无锡·期中）（多选）设正实数满足，则下列说法正确的是（    ） A．的最小值为1 B．的最小值为 C．的最大值为2 D．的最大值为2 【答案】BC 【解析】因为为正实数，，则，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为1，则A错误； ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为，则B正确； 因为， 当且仅当时，等号成立，所以，的最大值为2，故C正确； 因为， 由A项知，则， 所以，当且仅当时，等号成立， 故的最小值为2，故D错误，故选：BC. 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）已知正实数满足，则的最小值为 . 【答案】 【解析】因为， 所以由，得， 因为， 所以， 当且仅当，即，即时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 故答案为： 4．（23-24高一上·江苏盐城·期中）已知，且，那么的最小值为 . 【答案】 【解析】因， 则， 则，当且仅当，即时取等号. 故答案为： 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知，则的最小值为 . 【答案】16 【解析】由，则， 而，故当时，目标式最小值为16. 故答案为：16 6．（23-24高一上·江苏南通·期中）（1）已知，求的最小值及此时所对应的的值； （2）已知，是正实数，且，求的最小值． 【答案】（1）最小值7 ；；（2）最小值 【解析】（1），，， 当且仅当，即时取‘’ 故最小值是 （2），且，是正实数，， 故， 当且仅当，即，， 故的最小值为 7．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知正数a，b满足． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1)；(2)18 【解析】（1）因为，，且，则， 所以， 当且仅当，即，即，时等号成立， 故的最小值为． （2）因为，，且，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18． 8．（23-24高一上·江苏常州·期中）（1）设，且，求的最小值； （2）设，求的最小值. 【答案】（1）1；（2）. 【解析】（1）因为，所以， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为1； （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 四．基本不等式恒成立问题（5题） 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）若命题“对任意的，恒成立”为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：存在，成立为真命题， 又因为：，当且仅当，即：取等号， 所以：，故B项正确.故选：B. 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】因为，所以，，， 恒成立，等价于恒成立， 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以要使恒成立，则需，所以的最大值为4.故选：B 3．23-24高一上·江苏南京·期中）设，且恒成立，则的最大值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以等价于， 因为， 所以， 当且仅当时等号成立， 所以，即的最大值为 故选：C 4．（22-23高一上·江苏南通·期中）若不等式，对一切恒成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式对一切恒成立，， ，对一切恒成立. 而， 当且仅当，即时等号成立，.故选： 5．（22-23高一上·江苏南京·期中）已知：，，，且恒成立，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由题设，，， ∴， 当且仅当时等号成立， ∴要使恒成立，只需. 故答案为：. 五．基本不等式的实际应用（5题） 1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）古希腊数学家希波克拉底曾研究过如图的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形的斜边，直角边．若以斜边为直径的半圆弧长为，则周长的最大值为 ． 【答案】 【解析】设，，， 以斜边为直径的半圆弧长为，则，即， 为直角三角形， ，即， 则，即，当且仅当时，等号成立， 则，即周长的最大值为. 故答案为：. 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）如图所示，为宣传2023年杭州亚运会，某公益广告公司拟在一张矩形海报纸上设计大小相等的左右两个矩形宣传栏，宣传栏的面积之和为，为了美观，要求海报上四周空白的宽度为，两个宣传栏之间的空隙的宽度为，设海报纸的长和宽分别为 (1)求关于的函数表达式 (2)为节约成本，应如何选择海报纸的尺寸，可使用纸量最少? 【答案】(1)；(2)海报长，宽时，用纸量最少. 【解析】（1）由题知，两个矩形宣传栏的长为，宽为， 所以有，整理得. （2）由（1）知，即， 因为，所以由基本不等式可得， 令，则，解得（舍去）或. 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以海报长，宽时，用纸量最少，最少用纸量为. 3．（23-24高一上·江苏·期中）某学校准备购买手套和帽子用于奖励在秋季运动会中获奖的运动员，其中手套的单价为元，帽子的单价为元，且.现有两种购买方案. 方案一：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； 方案二：手套的购买数量为件，帽子的购买数量为个； (1)采用方案一需花费，采用方案二需花费，试问采用哪种购买方案花费更少？请说明理由； (2)若，，，满足，，求这两种方案花费的差值的最小值.（注：差值） 【答案】(1)采用方案二花费更少，理由见解析；(2)54 【解析】（1）方案一的总费用为，方案二的总费用为， 则， 因为，，所以，即， 所以采用方案二花费更少. （2）由（1）可知， 因为， 令，则， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 令，则， 所以，当时,即，等号成立， 所以差值的最小值为，当且仅当，，，时，等号成立. 故两种方案花费的差值的最小值为54. 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）第19届杭州亚运会将于2023年9月23日至10月8日在浙江杭州举行，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为15元，年销售10万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了抓住此次契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到元.公司拟投入万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价. 【答案】(1)50；(2)至少应达到万件，商品的每件定价为20元 【解析】（1）设定价为元，则销售量为万件， 由已知可得，， 整理可得，，解得， 所以，该商品每件定价最多为50元. （2）由已知可得，，. 因为，所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以，. 所以，当该商品改革后的销售量至少应达到万件时， 才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，商品的每件定价为20元. 5．（23-24高一上·江苏泰州·期中）第三十三届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，这是体育的盛会，也是商人们角逐的竞技场.某运动装备生产企业为了抢占先机，欲扩大生产规模.已知该企业2023年的固定成本为50万元，每生产（千件）装备，需另投入资金（万元）.经计算与市场评估得，调查发现，当生产20（千件）装备时需另投入的资金万元.每千件装备的市场售价为300万元，从市场调查来看，2023年预计最多能售出100千件. (1)写出2023年利润（万元）关于产量（千件）的函数；（利润销售总额-总成本） (2)求当2023年产量为多少千件时，该企业所获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)30千件，850万元 【解析】（1）由题意知，当时，，所以， 当时，； 当时，， 所以； （2）当时，函数在上是增函数，在上是减函数， 所以当时，有最大值，最大值为850； 当时，由基本不等式得， 当且仅当时取等号，所以当时，有最大值，最大值为755； 因为，所以当年产量为30千件时，该企业的年利润最大，最大年利润为850万元. 六．不等式性质与基本不等式证明不等式（2题） 1．（23-24高一上·江苏南京·期中）（1）设a，b，c，d为实数，求证：； （2）已知，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】（1）因为， 当且仅当时，等号成立， 所以， 所以； （2）因为，当且仅当，即时取等号， 所以，当且仅当，即时取等号， 因为， 综上． 2．（22-23高一上·江苏苏州·期中）阅读：序数属性是自然数的基本属性之一，它反映了记数的顺序性，回答了“第几个”的问题.在教材中有如下顺序公理：①如果，那么；②如果，那么. (1)请运用上述公理①②证明：“如果，那么.” (2)求证： 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【解析】（1），且， 同理，； （2）法一： 当同号时，，. 当异号时，， ，.· 综上可知，的取值范围为， 的取值范围为 且，· 由（1）中的结论可知：. 法二：令，则关于的函数在区间和上单调递增， 在和上单调递减， 所以的值域为. 令，则的取值范围为， 令函数，则在上单调递减，在上单调递增. 所以函数的值域为， 所以，故.· 法三：令，则， 令，则的取值范围为， 又，所以. 因为 当时，； 当时，. 所以， 又，所以，原命题即证. 七．一元二次不等式的解法（5题） 1．（23-24高一上·江苏无锡·期中）一元二次不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，即，解得，故选：A. 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】不等式，化为，即，解得， 所以不等式的解集为.故选：A 33．（23-24高一上·江苏盐城·期中）若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由恰有两个整数解，即恰有两个整数解， 所以，解得或， ①当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得； ②当时，不等式的解集为，因为， 所以两个整数解，则，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为或.故选：B. 4．（23-24高一上·江苏南通·期中）已知不等式的解集为. (1)求的值； (2)当时，解关于的不等式. 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为不等式的解集为， 解法一：所以，解得， 解法二：所以，是方程的两根， 则，解得， （2）由（1）可知：不等式，即， 又，所以不等式， 方程的两根为，， 又，解得，所以不等式解集为. 5．（23-24高一上·江苏扬州·期中）设． (1)若不等式对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1)；(2)答案见解析. 【解析】（1）由题设，即对一切实数x恒成立， 当时，不恒成立； 当时，只需，可得； 综上，. （2）当时，，即，可得；解集为； 当时，， 若，则， 若，即时，可得或，解集为； 若，即时，可得，解集为； 若，即时，可得或，解集为； 若，则，可得，解集为. 八．三个“二次”之间的对应关系（6题） 1．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】A 【解析】因为是不等式的解集， 所以是方程的两个实数根且， 所以，， 所以，且，； 所以， 当且仅当时“”成立； 所以的最小值为．故选：A． 2．（23-24高一上·江苏徐州·期中）已知关于的不等式的解集是，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】关于的不等式的解集是 和是方程的两个实数根，且. 则，解得. 所以不等式等价于（），即， 解得： 所以不等式的解集是故选：B. 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为 【答案】AB 【解析】不等式的解集为， 所以是的两个根，且，故A正确； 对于B，所以， 可得， 所以， 所以不等式的解集是，故B正确； 对于C，因为，， 可得，故C错误； 对于D，因为， 即解，解得，故D错误.故选：AB. 4．（23-24高一上·江苏扬州·期中）（多选）已知关于的不等式的解集为，则（    ） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】对于A，因为关于的不等式的解集为， 所以且，得，故A错误； 对于B，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故B正确； 对于C，，故C正确. 对于D，原不等式可化为， 因为，所以，解得，故D正确.故选：BCD. 5．（23-24高一上·江苏·期中）已知关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】不等式即，由不等式的解集为， 则有且，且， 令，解得或， 由可知，不等式的解集为. 故答案为： 6．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知二次函数满足下列两个条件： ①的解集为；②的最小值为 (1)求的值； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)，，；(2)答案见解析. 【解析】（1）由条件知：， 由①知：的两根为， 所以， 由②结合对称性可知： 联立，解得. （2）因为， 即， 化简得， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 九．分式不等式与绝对值不等式的解法（5题） 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意即，解得， 即不等式的解集为，故选：B 2．（23-24高一上·江苏盐城·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【解析】由可得：，解得：. 故答案为： 3．（23-24高一上·江苏常州·期中）不等式的解集是 . 【答案】 【解析】.解得或. 则解集为， 4．（23-24高一上·江苏常州·期中）的解集为 【答案】 【解析】由, 可得, 即, 所以,解得, 所以原不等式的解集为. 5．（23-24高一上·江苏扬州·期中）求下列不等式的解集 (1)； (2) (3) 【答案】(1)；(2)；(3) 【解析】（1）由题意， 解不等式得或， 从而不等式的解集为. （2）由题意，解不等式得， 从而不等式的解集为. （3）由题意， 解不等式得， 从而不等式的解集为. 十．一元二次不等式恒成立与有解问题（5题） 1．（23-24高一上·江苏·期中）已知，若时，关于x的不等式恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【解析】由，则函数单调递增， 且当时，；当时，. 由在时恒成立， 则当时，恒成立； 当时，恒成立. 故有时，，则有， 则有，当且仅当等号成立. 故答案为：. 2．（23-24高一上·江苏扬州·期中）若，使恒成立，则的取值范围为 【答案】 【解析】因为，使恒成立， 所以，使恒成立， 又函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即，所以， 即的取值范围为. 3．（23-24高一上·江苏连云港·期中）若集合，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】由题意可知：对任意的恒成立， 若，则，符合题意； 若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 4．（23-24高一上·江苏南京·期中）已知不等式的解集为，则的取值范围是 . 【答案】 【解析】由于不等式的解集为， 所以，解得. 故答案为： 5．（23-24高一上·江苏宿迁·期中）已知函数，， (1)若关于的不等式的解集为，求实数和实数的值； (2)若对，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】(1)，；(2) 【解析】（1）依题意，，即解集为， 所以，是方程的两个实数根， 将代入方程得，此时方程，另一根，即， 所以实数，. （2）若对，恒成立， 即，恒成立， 当时，上述不等式恒成立； 当时，上述不等式恒成立等价于， 而， 当且仅当，即时取等号， 即函数在上有最小值为4，则； 综上，实数的取值范围是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$