第3章 一元一次不等式知识归纳与题型训练（6类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

第3章 《一元一次不等式》知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、认识不等式 用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式 常见的不等号：＞、＜、≥、≤、≠ 二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1 （也叫不等式的传递性） 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立 字母表达式： 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 字母表达式： 三、一元一次不等式 1、定义：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解 3、解一元一次不等式的一般步骤和根据： 步骤 根据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项 合并同类项法则 5 两边同除以未知数的系数 不等式的基本性质3 要点诠释： （1）不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 （2）不等式的简单应用解题步骤： 步骤 要点 1 审 审题目中的已知量、未知量、待求量 2 设 一般是求谁设谁，或者谁小设谁 3 列 根据题目中的不等量关系列对应不等式 4 解 解出不等式的解集 5 答 四、一元一次不等式组 1、定义：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组； 2、不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解 不等式组解集口诀：同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解； 3、不等式组的应用：“审、设、列、解、答” 题型一　不等式的定义与不等式的解集 例题： 1．（2023秋•滨江区校级期中）以下表达式：①4x+3y≤0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】据不等式的定义进行判断即可． 【解答】解：①4x+3y≤0；②a＞3；⑤x≠5是不等式，③x2+xy；④a2+b2＝c2不是不等式， 即不等式有3个，故B正确． 故选：B． 2．（2022•拱墅区模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根据x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解即可． 【解答】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b， 因为x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解， 所以b的值不可能是1． 故选：A． 3．（2023•丽水模拟）如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＜﹣3 C．m＞﹣3 D．m是任意实数 【分析】由原不等式变形为（m+3）x＞2（m+3），解该不等式的下一步是两边都除以x的系数（m+3），题中给出的解集是x＜2，改变了不等号的方向，所以x的系数是小于0的，据此可以求得m的取值范围． 【解答】解：由不等式（m+3）x＞2m+6，得 （m+3）x＞2（m+3）， ∵（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2， ∴m+3＜0， 解得，m＜﹣3； 故选：B． 巩固训练 4．（2023秋•西湖区校级月考）数轴上表示的不等式的解集正确的是（　　） A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2 【分析】根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则得出不等式的解集即可． 【解答】解：数轴上表示的不等式的解集是x≤2， 故选：C． 5．（2023秋•柯桥区期末）在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】不等式﹣1≤x＜3在数轴上表示不等式x≥﹣1与x＜3两个不等式的公共部分． 【解答】解：∵﹣1≤x＜3， ∴在数轴上表示为： 故选：D． 6．（2022秋•金华期末）若x是非正数，则x 　≤　0．（填不等号） 【分析】根据不等关系解决此题． 【解答】解：由题意得，x≤0． 故答案为：≤． 7．（2023秋•拱墅区期末）写出一个解集为x＞1的不等式：　x+2＞3　． 【分析】根据不等式的性质解答．把x＞1进行变形就可以得到结论． 【解答】解：例如：x+2＞3；＞．答案不唯一． 故答案为：x+2＞3． 题型二　不等式的基本性质 例题： 1．（2024•拱墅区校级模拟）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0 【分析】根据不等式的性质解决此题． 【解答】解：A．由m＞n，得m﹣2＞n﹣2，那么A错误，故A不符合题意． B．由m＞n，得﹣2m＜﹣2n，推断出1﹣2m＜1﹣2n，那么B正确，故B符合题意． C．由m＞n，得mn，那么C错误，故C不符合题意． D．由m＞n，得n﹣m＜0，那么D错误，故D不符合题意． 故选：B． 2．（2024春•温岭市期末）若a＞b＞0＞c，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B．a﹣b＞b﹣c C．ac＜bc D．a﹣c＞b 【分析】根据a＞b＞0＞c，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＞b＞0， ∴a2＞b2， ∴选项A不符合题意； ∵a＞b＞0＞c时，a﹣b＞b﹣c不一定成立， ∴选项B符合题意； ∵a＞b，c＜0， ∴ac＜bc， ∴选项C不符合题意； ∵a＞b＞0＞c， ∴a﹣c＞b， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 3．（2024•桐乡市一模）已知a＜b，c＜0，则（　　） A．a＜b+c B．a＜b﹣c C．ac＜bc D． 【分析】根据a＜b，c＜0，应用不等式的性质，逐项判断即可． 【解答】解：∵a＜b，c＜0， ∴a＜b+c不一定成立，有可能a＝b+c或a＞b+c， ∴选项A不符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴﹣c＞0， ∴a＜b﹣c， ∴选项B符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴ac＞bc， ∴选项C不符合题意； ∵a＜b，c＜0， ∴＞， ∴选项D不符合题意． 故选：B． 巩固训练 4．（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 【分析】运用不等式的性质和整式的混合运算知识进行逐一辨别． 【解答】解：∵0＞a＞b时，a2+m＜b2+m， ∴选项A不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a+m2＞b+m2， ∴选项B符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，a2m＞b2m不一定成立， ∴选项C不符合题意； ∵a，b，m是实数，且a＞b时，am2＞bm2不一定成立， ∴选项D不符合题意， 故选：B． 5．（2024•拱墅区一模）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+1 B．2x+2＜2y+2 C． D．﹣2x+5＜﹣2y+5 【分析】根据不等式的基本性质解答即可． 【解答】解：A、∵x＜y， ∴x+5＜y+5，原变形错误，不符合题意； B、∵x＜y， ∴2x＜2y， ∴2x+2＜2y+2，正确，符合题意； C、∵x＜y， ∴＜，原变形错误，不符合题意； D、∵x＜y， ∴﹣2x＞﹣2y， ∴﹣2x+5＞﹣2y+5，原变形错误，不符合题意． 故选：B． 6．（2023秋•绍兴期中）已知a＞﹣2b则下列结论错误的是（　　） A．a+2b＞0 B．a+1＞﹣2b+1 C． D．﹣a＜2b 【分析】根据不等式的性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，可得答案． 【解答】解：A、不等式的两边都加2b，不等号的方向不变，得到a+2b＞0，故此选项正确，不符合题意； B、不等式的两边都加1，不等号的方向不变，得到a+1＞﹣2b+1，故此选项正确，不符合题意； C、不等式的两边都除以b，不知道b的符号，无法判定与﹣2的大小，故此选项错误，符合题意； D、不等式的两边都先乘以﹣1，不等号的方向改变，得到﹣a＜2b，故此选项正确，不符合题意． 故选：C． 题型三　一元一次不等式及其解法 例题： 1．（2023秋•西湖区校级期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．4x+5＞0 B．x+2≥x+1 C．x＝3 D．x2+x＜0 【分析】根据含有一个未知数，且未知数的最高次数为1次，两边都为整式的不等式为一元一次不等式，判断即可． 【解答】解：A、4x+5＞0是一元一次不等式，符合题意； B、x+2≥x+1变形得：2≥1，不符合题意； C、x＝3是一元一次方程，不符合题意； D、x2+x＜0是一元二次不等式，不符合题意． 故选：A． 2．（2023秋•嵊州市期中）下列各式中是一元一次不等式的是（　　） A．3x﹣2＞0 B．2＞﹣5 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＜ 【分析】根据一元一次不等式的概念判断． 【解答】解：A、是一元一次不等式； B、不含未知数，不符合定义； C、D、有两个未知数，不符合定义； 故选：A． 3．（2024•海宁市校级模拟）不等式2（x﹣1）＞x+3的解集为 　x＞5　． 【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去括号、移项、合并同类项可得． 【解答】解：∵2（x﹣1）＞x+3， ∴2x﹣2＞x+3， 2x﹣x＞3+2， x＞5， 故答案为：x＞5． 4．（2024•海曙区校级开学）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上． 【分析】根据解不等式的一般步骤：移项、合并同类项、系数化为1，得出不等式的解集，表示在数轴上即可． 【解答】解：9x﹣2≤7x+3， 移项，得9x﹣7x≤3+2． 合并同类项，得2x≤5． 两边都除以2，得． 这个不等式的解表示在数轴上如图所示． 巩固训练 5．（2023春•荔城区校级月考）已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　4　． 【分析】根据一元一次不等式的定义，|m|﹣3＝1，m+4≠0，分别进行求解即可． 【解答】解：根据题意|m|﹣3＝1，m+4≠0解得|m|＝4，m≠﹣4 所以m＝4 6．（2023秋•上城区校级期中）不等式﹣3（x﹣2）≤0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【分析】先求出不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：去括号得，﹣3x+6≤0， 移项得，﹣3x≤﹣6， 系数化为1得，x≥2． 在数轴上表示为： ． 故选：A． 7．（2023秋•嵊州市期末）在下列解不等式的过程中，错误的一步是（　　） A．去分母得5（2+x）＞3（2x﹣1） B．去括号得10+5x＞6x﹣3 C．移项得5x﹣6x＞﹣3﹣10 D．系数化为1得x＞13 【分析】根据解一元一次不等式的基本步骤进行解答即可． 【解答】解：去分母得，5（2+x）＞3（2x﹣1） 去括号得，10+5x＞6x﹣3， 移项得，5x﹣6x＞﹣3﹣10， 合并同类项得，﹣x＞﹣13， 系数化为1得，x＜13，故D错误． 故选：D． 8．（2024春•临海市期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足7x+5y＜﹣a﹣3，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣8 B．a＜8 C．a＞﹣8 D．a＞8 【分析】把a看作已知数表示出方程组的解，代入已知不等式求出a的范围即可． 【解答】解：， ①×2+②得：6x+2y+x+3y＝2﹣2a+3， 整理得：7x+5y＝5﹣2a， ∵7x+5y＜﹣a﹣3， ∴5﹣2a＜﹣a﹣3， 解得a＞8． 故选：D． 9．（2023秋•金东区期末）如图，在数轴上点M、N分别表示数2，﹣2x+1，则x的取值范围是 　x＜﹣　． 【分析】根据数轴得到关于x的不等式，然后解不等式即可． 【解答】解：由题意可知﹣2x+1＞2， 解得x＜﹣， 故答案为：x＜﹣． 10．（2024•瑞安市开学）解不等式：． 【分析】根据解一元一次不等式的方法解不等式即可． 【解答】解：， 6﹣3（x﹣2）≤2（x+1）， 6﹣3x+6≤2x+2， ﹣3x﹣2x≤﹣12+2， ﹣5x≤﹣10， x≥2． 题型四　一元一次不等式的应用 例题： 1．（2023秋•南浔区期末）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 【分析】设售价可以按标价打x折，根据“每件衣服的利润不低于5%”即可列出不等式． 【解答】解：按标价打x折出售，根据题意得： ：． 故选：B． 2．（2023秋•瓯海区校级期末）某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如表： 进价（元/件） 售价（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进x件男装，根据题意可列不等式（　　） A．（320﹣260）（100﹣x）+（290﹣240）x＞5200 B．（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）＞5200 C．（320﹣260）（100﹣x）+（290﹣240）x≥5200 D．（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）≥5200 【分析】根据获得利润不少于5200元列出不等式即可． 【解答】解：设购进x件男装，则设购进（100﹣x）件女装， 由题意得（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）≥5200． 故选：D． 3．（2024•杭州四模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 　22　道题． 【分析】设小明答对x道，根据“一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，有2题没答，竞赛成绩要不低于83分”可得相应的一元一次不等式． 【解答】解：设小明答对x道， 根据题意得：4x﹣1×（25﹣2﹣x）≥83， 解得x≥21.2， 即小明至少要答对22道题． 故答案为：22． 4．（2023秋•海曙区校级期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【分析】（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元，根据3台A型号4台B型号的电扇收入1200元，5台A型号6台B型号的电扇收入1900元，列方程组求解； （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台，根据金额不多余7500元，列不等式求解； （3）根据A种型号电风扇的进价和售价、B种型号电风扇的进价和售价以及总利润＝一台的利润×总台数，列出不等式，求出a的取值范围，再根据a为整数，即可得出答案． 【解答】解：（1）设A、B两种型号电风扇的销售单价分别为x元、y元， 依题意得：， 解得：， 答：A、B两种型号电风扇的销售单价分别为200元、150元． （2）设采购A种型号电风扇a台，则采购B种型号电风扇（50﹣a）台． 依题意得：160a+120（50﹣a）≤7500， 解得：a≤37， ∵a是整数， ∴a最大是37， 答：超市最多采购A种型号电风扇37台时，采购金额不多于7500元． （3）设采购A种型号电风扇x台，则采购B种型号电风扇（50﹣x）台，根据题意得： （200﹣160）x+（150﹣120）（50﹣x）＞1850， 解得：x＞35， ∵x≤37，且x应为整数， ∴在（2）的条件下超市能实现利润超过1850元的目标．相应方案有两种： 当x＝36时，采购A种型号的电风扇36台，B种型号的电风扇14台； 当x＝37时，采购A种型号的电风扇37台，B种型号的电风扇13台． 巩固训练 5．（2023秋•西湖区校级月考）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式8（x+5）＞12x．则横线上的条件应该是（　　） A．每人分8本，则剩余 5本 B．每人分8本，则恰好可多分给5个人 C．每人分5本，则剩余 8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本 【分析】根据不等式表示的意义解答即可． 【解答】解：由不等式8（x+5）＞12x，可得：把一些书分给几名同学，若每人分8本，则恰好可多分给5个人，若每人分12本，则有剩余． 故选：B． 6．（2024•富阳区一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为 　50+18x＞80+12x　． 【分析】利用小健原来存款数+18×月数x＞小康原来存款数+12×月数x，此题得解． 【解答】解：由题意可得：50+18x＞80+12x． 故答案为：50+18x＞80+12x． 7．（2023秋•南浔区期末）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1． 实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2． 电池充电状态 时间t（小时） 0.5 1 1.5 2 电量y1（%） 25 50 75 100 表1 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y2（%） 100 60 50 30 表2 任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量； 【建立模型】 任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式； 【解决问题】 任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 【分析】任务一：由表格（1），可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%，即可； 任务二：由表格可知，两个函数均为一次函数，设出函数解析式，待定系数法求出解析式即可； 任务三：先求出行驶3小时，消耗的电量，再求出到达目的地所需的最小电量，即可． 【解答】解：任务一：由表格可知，每隔0.5小时，电池电量的增加量为25%； 任务二：由表格可知两个函数均为一次函数，设y1＝k1t+b1，y2＝k2s+b2， 对于y1＝k1t+b1，当t＝1时，y＝50，当t＝2时，y＝100， ∴，解得：， ∴y1＝50t； 对于y2＝k2s+b2，当s＝0时，y＝100，当s＝100时，y＝50， ∴，解得：， ∴； 任务三：∵， ∴当s＝40×3＝120时，； ∵到达目的地，还需要250﹣120＝130（千米）， ∴还需消耗电量， ∴至少需充电65﹣40＝25， ∴当y1＝25时，50t＝25， ∴t＝0.5， 即：要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电0.5小时． 题型五　一元一次不等式组的解法 例题： 1．（2024•浙江模拟）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，然后把解集表示在数轴上，根据数轴即可确定不等式的解集． 【解答】解： 解不等式①得：x＞1， 解不等式②得：x≤4， 故不等式组的解集为1＜x≤4， 将不等式组的解集表示在数轴上：， 故选：A． 2．（2023秋•婺城区校级月考）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，那么a的取值范围是（　　） A．a≤﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 【分析】先解出每个不等式的解集，再根据不等式组的解集为x＞﹣1，即可得到a的取值范围． 【解答】解：解不等式3x﹣1＞2（x﹣1）， 得：x＞﹣1， ∵关于x的不等式组的解集为x＞﹣1， ∴a≤﹣1． 故选：A． 3．（2024•衢州一模）不等式组的解集是（　　） A．x＞3 B．x≤2 C．2＜x≤5 D．3＜x≤5 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x＞3， 解不等式②得：x≤5， ∴原不等式组的解集为：3＜x≤5， 故选：D． 4．（2024春•临海市期中）解不等式组，可按下列步骤完成解答： （I）解不等式①，得 　x≤1　； （II）解不等式②，得 　x＞﹣2　； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为：　﹣2＜x≤1　； 【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示出来即可． 【解答】解：（I）解不等式①，去括号得，x﹣3x+6≥4 移项，合并同类项得，﹣2x≥﹣2 系数化为1得，x≤1； （II）解不等式②，去分母得，3（2+x）＜2（2x﹣2）+12 去括号得，6+3x＜4x﹣4+12 移项，合并同类项得，﹣x＜2 系数化为1得，x＞﹣2； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）由以上可得，原不等式组的解集为：﹣2＜x≤1． 巩固训练 5．（2024•鹿城区开学）不等式组的解为　4＜x≤5　． 【分析】首先解不等式组的每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集． 【解答】解：， 解①得：x＞4， 解②得：x≤5， 则不等式组的解集是：4＜x≤5． 故答案为：4＜x≤5． 6．（2023秋•镇海区校级期末）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 　m≤2　． 【分析】不等式组整理后，根据已知解集，确定出m的范围即可． 【解答】解：不等式组整理得：， ∵不等式组的解集为x＞2， ∴m的范围是m≤2． 故答案为：m≤2． 7．（2023秋•余姚市期末）解一元一次不等式组：． 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【解答】解：解不等式x+3（x﹣2）≤6，得：x≤3， 解不等式x﹣1，得：x＜4， 则不等式组的解集为x≤3． 题型六　一元一次不等式组的应用 例题： 1．（2023秋•滨江区校级期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（　　） A．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 B．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 C．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 D．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 【分析】根据题意，可以得到不等式1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8，从而可以判断哪个选项昂符合题意． 【解答】解：由题意可得， 1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：D． 2．（2023秋•萧山区期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 　1≤x＜7　． 【分析】根据“程序运行1次得出的结果＜37，运行2次得出的结果≥37”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：1≤x＜7， ∴x的取值范围为1≤x＜7． 故答案为：1≤x＜7． 3．（2023秋•兰溪市校级月考）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元．根据“购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元．”列出方程组，即可求解； （2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个，根据“总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，”列出不等式组，即可求解． 【解答】解：（1）设每个气排球的价格是x元，每个篮球的价格是y元． 根据题意得：， 解得：， 所以每个气排球的价格是50元，每个篮球的价格是80元． （2）设购买气排球n个，则购买篮球（50﹣n）个． 根据题意得：， 解得， 又∵n为正整数， ∴排球的个数可以为27，28，29， ∴购买方案三种：①购买排球29个，篮球21个， ②购买排球28个，篮球22个， ③购买排球27个，篮球23个． 巩固训练 4．（2023秋•温州期中）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 　10间　． 【分析】设该科技馆位于一楼的活动室数为x间，则二楼的活动室为（x+5）间，根据某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：设该科技馆位于一楼的活动室数为x间，则二楼的活动室为（x+5）间， 依题意得：， 由①得：9.6＜x＜12③， 由②得：7＜x＜11④， 由③、④知，9.6＜x＜11， ∵x为正整数， ∴x＝10， 即该科技馆位于一楼的活动室数为10间， 故答案为：10间． 5．（2022秋•宁波期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 【分析】（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元，根据“购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共需4500元，B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球，根据“此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，可得出共有3种购买方案，再分别求出各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种品牌足球的单价是x元，B种品牌足球的单价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：A种品牌足球的单价是50元，B种品牌足球的单价是80元； （2）设购买m个B种品牌的足球，则购买（50﹣m）个A种品牌的足球， 根据题意得：， 解得：23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买27个A种品牌的足球，23个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×27+80×0.8×23＝2714（元）； 方案2：购买26个A种品牌的足球，24个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×26+80×0.8×24＝2732（元）； 方案3：购买25个A种品牌的足球，25个B种品牌的足球，总费用为（50﹣4）×25+80×0.8×25＝2750（元）． ∵2714＜2732＜2750， ∴为了节约资金，学校应选择购买方案1． 6．（2023秋•奉化区期末）春节前夕，某商店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元． （1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ （2）若购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，则有几种进货方案？ （3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利12元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？ 【分析】（1）利用A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，得出等式求出即可； （2）利用两种礼盒恰好用去9900元，结合（1）中所求，得出等式，利用两种礼盒的数量关系求出即可； （3）首先表示出店主获利，进而利用w，m关系得出符合题意的答案． 【解答】解（1）设A种礼盒单价为3x元，B种礼盒单价为4x元，则： 3x+4x＝210， 7x＝210， x＝30， 所以A种礼盒单价为3×30＝90元， B种礼盒单价为4×30＝120元． （2）设A种礼盒购进a个，购进B种礼盒b个，则： 90a+120b＝9900，可列不等式组为：， 解得：30≤a≤36， 因为礼盒个数为整数，所以符合的方案有2种，分别是： 第一种：A种礼盒30个，B种礼盒60个， 第二种：A种礼盒34个，B种礼盒57个． （3）设该商店获利w元，由（2）可知：w＝12a+（18﹣m）b，， 则w＝（2﹣m）b+1320， 若使所有方案都获利相同，则令2﹣m＝0， 得m＝2，此时店主获利1320元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 《一元一次不等式》知识归纳与题型训练（6题型清单） 一、认识不等式 用符号“＜”（或“≤”），“＞”（或“≥”），“≠”连接而成的数学式子，叫做不等式 常见的不等号：＞、＜、≥、≤、≠ 二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1 （也叫不等式的传递性） 不等式的基本性质2 不等式的两边都加上（或减去）同一个数，所得到的不等式仍成立 字母表达式： 不等式的基本性质3 不等式的两边都乘（或都除以）同一个正数，所得的不等式仍成立；不等式的两边都乘（或都除以）同一个负数，必须改变不等号的方向，所得的不等式成立。 字母表达式： 三、一元一次不等式 1、定义：不等号的两边都是整式，而且只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，这样的不等式叫做一元一次不等式. 2、不等式的解集：能使不等式成立的未知数的值的全体叫做不等式的解集，简称不等式的解 3、解一元一次不等式的一般步骤和根据： 步骤 根据 1 去分母 不等式的基本性质3 2 去括号 单项式乘多项式法则 3 移项 不等式的基本性质2 4 合并同类项 合并同类项法则 5 两边同除以未知数的系数 不等式的基本性质3 要点诠释： （1）不等式的解法的第5步中，当除的数是一个负数时，不等式中的不等号必须改变方向，这是与解一元一次方程的不同之处。 （2）不等式的简单应用解题步骤： 步骤 要点 1 审 审题目中的已知量、未知量、待求量 2 设 一般是求谁设谁，或者谁小设谁 3 列 根据题目中的不等量关系列对应不等式 4 解 解出不等式的解集 5 答 四、一元一次不等式组 1、定义：一般地，由几个含同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式，叫做一元一次不等式组； 2、不等式组的解：组成不等式组的各个不等式的解的公共部分就是不等式组的解 不等式组解集口诀：同大取大；同小取小；大小小大取中间；大大小小则无解； 3、不等式组的应用：“审、设、列、解、答” 题型一　不等式的定义与不等式的解集 例题： 1．（2023秋•滨江区校级期中）以下表达式：①4x+3y≤0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．（2022•拱墅区模拟）x＝1是不等式x﹣b＜0的一个解，则b的值不可能是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2023秋•西湖区校级月考）数轴上表示的不等式的解集正确的是（　　） A．x≥2 B．x＞2 C．x≤2 D．x＜2 巩固训练 4．（2023•丽水模拟）如果（m+3）x＞2m+6的解集为x＜2，则m的取值范围是（　　） A．m＜0 B．m＜﹣3 C．m＞﹣3 D．m是任意实数 5．（2023秋•柯桥区期末）在数轴上表示不等式﹣1≤x＜3，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．（2022秋•金华期末）若x是非正数，则x 　 　0．（填不等号） 7．（2023秋•拱墅区期末）写出一个解集为x＞1的不等式：　 　． 题型二　不等式的基本性质 例题： 1．（2024•拱墅区校级模拟）若m＞n，则下列不等式中正确的是（　　） A．m﹣2＜n﹣2 B．1﹣2m＜1﹣2n C． D．n﹣m＞0 2．（2024春•温岭市期末）若a＞b＞0＞c，则下列不等式不一定成立的是（　　） A．a2＞b2 B．a﹣b＞b﹣c C．ac＜bc D．a﹣c＞b 3．（2024•桐乡市一模）已知a＜b，c＜0，则（　　） A．a＜b+c B．a＜b﹣c C．ac＜bc D． 巩固训练 4．（2024•萧山区一模）已知a，b，m是实数，且a＞b，那么有（　　） A．a2+m＞b2+m B．a+m2＞b+m2 C．a2m＞b2m D．am2＞bm2 5．（2024•拱墅区一模）已知x＜y，则下列不等式一定成立的是（　　） A．x+5＜y+1 B．2x+2＜2y+2 C． D．﹣2x+5＜﹣2y+5 6．（2023秋•绍兴期中）已知a＞﹣2b则下列结论错误的是（　　） A．a+2b＞0 B．a+1＞﹣2b+1 C． D．﹣a＜2b 题型三　一元一次不等式及其解法 例题： 1．（2023秋•西湖区校级期中）下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．4x+5＞0 B．x+2≥x+1 C．x＝3 D．x2+x＜0 2．（2023秋•嵊州市期中）下列各式中是一元一次不等式的是（　　） A．3x﹣2＞0 B．2＞﹣5 C．3x﹣2＞y+1 D．3y+5＜ 3．（2024•海宁市校级模拟）不等式2（x﹣1）＞x+3的解集为 　 　． 4．（2024•海曙区校级开学）解不等式9x﹣2≤7x+3，并把解集表示在数轴上． 巩固训练 5．（2023春•荔城区校级月考）已知（m+4）x|m|﹣3+6＞0是关于x的一元一次不等式，则m＝　 　． 6．（2023秋•上城区校级期中）不等式﹣3（x﹣2）≤0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 7．（2023秋•嵊州市期末）在下列解不等式的过程中，错误的一步是（　　） A．去分母得5（2+x）＞3（2x﹣1） B．去括号得10+5x＞6x﹣3 C．移项得5x﹣6x＞﹣3﹣10 D．系数化为1得x＞13 8．（2024春•临海市期中）若关于x，y的二元一次方程组的解满足7x+5y＜﹣a﹣3，则a的取值范围是（　　） A．a＜﹣8 B．a＜8 C．a＞﹣8 D．a＞8 9．（2023秋•金东区期末）如图，在数轴上点M、N分别表示数2，﹣2x+1，则x的取值范围是 　 　． 10．（2024•瑞安市开学）解不等式：． 题型四　一元一次不等式的应用 例题： 1．（2023秋•南浔区期末）某批服装每件进价为200元，标价为300元，现商店准备将这批服装降价处理，按标价打x折出售，使得每件衣服的利润不低于5%，根据题意可列出来的不等式为（　　） A．300x﹣200≥200×5% B． C． D．300x≥200×（1+5%） 2．（2023秋•瓯海区校级期末）某服装网店购进男装、女装共100件，其进价和售价如表： 进价（元/件） 售价（元/件） 男装 260 320 女装 240 290 该服装网店预计获得利润不少于5200元，设购进x件男装，根据题意可列不等式（　　） A．（320﹣260）（100﹣x）+（290﹣240）x＞5200 B．（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）＞5200 C．（320﹣260）（100﹣x）+（290﹣240）x≥5200 D．（320﹣260）x+（290﹣240）（100﹣x）≥5200 3．（2024•杭州四模）一次生活常识竞赛，一共有25道题，答对一题得4分，不答得0分，答错一题扣1分，小明有2题没答，竞赛成绩要不低于83分，则小明至少要答对 　 　道题． 4．（2023秋•海曙区校级期中）某电器超市销售每台进价分别为160元、120元的A、B两种型号的电风扇，如表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一周 3台 4台 1200元 第二周 5台 6台 1900元 （进价、售价均保持不变，利润＝销售收入﹣进货成本） （1）求A、B两种型号的电风扇的销售单价； （2）若超市准备用不多于7500元的金额再采购这两种型号的电风扇共50台，求A种型号的电风扇最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，超市销售完这50台电风扇能否实现利润超过1850元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 巩固训练 5．（2023秋•西湖区校级月考）把一些书分给若干名同学，若每人分12本，则有剩余；若______．依题意，设有x名同学，可列不等式8（x+5）＞12x．则横线上的条件应该是（　　） A．每人分8本，则剩余 5本 B．每人分8本，则恰好可多分给5个人 C．每人分5本，则剩余 8本 D．其中一个人分8本，则其他同学每人可分5本 6．（2024•富阳区一模）小健原有存款50元，小康原有存款80元：从这个月开始，小健每个月存18元零花钱，小康每个月存12元零花钱，设经过x个月后，小健的存款超过小康．可列不等式为 　 　． 7．（2023秋•南浔区期末）【问题背景】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的． 【实验操作】 为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计两组实验，实验一：探究电池充电状态下汽车仪表盘显示电量y1（%）与时间t（小时）的关系，数据记录如表1． 实验二：探究充满电量状态下汽车行驶过程中仪表盘显示电量y2（%）与行驶里程s（千米）的关系，数据记录如表2． 电池充电状态 时间t（小时） 0.5 1 1.5 2 电量y1（%） 25 50 75 100 表1 汽车行驶过程 已行驶里程s（千米） 0 80 100 140 电量y2（%） 100 60 50 30 表2 任务一：计算表1中每隔0.5小时电池电量的增加量； 【建立模型】 任务二：请结合表1、表2的数据，选择合适的数学模型，求出y1关于t的函数表达式及y2关于s的函数表达式； 【解决问题】 任务三：某电动汽车在充满电量的状态下出发，前往距离出发点250千米处的目的地，若电动车平均每小时行驶40千米，行驶3小时后，在途中的服务区充电，一次性充电若干时间后汽车以原速度继续行驶，若要保证司机在最短的时间快速到达目的地，则至少要在服务区充电多长时间？ 题型五　一元一次不等式组的解法 例题： 1．（2024•浙江模拟）将不等式组的解集表示在数轴上，其中正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023秋•婺城区校级月考）关于x的不等式组的解集是x＞﹣1，那么a的取值范围是（　　） A．a≤﹣1 B．a≥﹣1 C．a＜﹣1 D．a＞﹣1 3．（2024•衢州一模）不等式组的解集是（　　） A．x＞3 B．x≤2 C．2＜x≤5 D．3＜x≤5 4．（2024春•临海市期中）解不等式组，可按下列步骤完成解答： （I）解不等式①，得 　 　； （II）解不等式②，得 　 　； （III）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （IV）原不等式组的解集为：　 　； 巩固训练 5．（2024•鹿城区开学）不等式组的解为　 　． 6．（2023秋•镇海区校级期末）不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围是 　 　． 7．（2023秋•余姚市期末）解一元一次不等式组：． 题型六　一元一次不等式组的应用 例题： 1．（2023秋•滨江区校级期中）将一箱苹果分给若干个学生，每个学生都分到苹果．若每个学生分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位学生分8个苹果，则有一个学生所分苹果不足8个，若学生的人数为x，则列式正确的是（　　） A．0＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 B．0≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 C．1＜5x+12﹣8（x﹣1）≤8 D．1≤5x+12﹣8（x﹣1）＜8 2．（2023秋•萧山区期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 　 　． 3．（2023秋•兰溪市校级月考）某体育馆计划从一家体育用品商店一次性购买若干个气排球和篮球（每个气排球的价格都相同，每个篮球的价格都相同）．经洽谈，购买1个气排球和2个篮球共需210元；购买2个气排球和3个篮球共需340元． （1）每个气排球和每个篮球的价格各是多少元？ （2）该体育馆决定从这家体育用品商店一次性购买气排球和篮球共50个，总费用不超过3200元，且购买气排球的个数少于30个，有哪几种购买方案？ 巩固训练 4．（2023秋•温州期中）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 　 　． 5．（2022秋•宁波期末）为了响应习主席提出的“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间活动”，某中学购买A种品牌的足球50个，B种品牌的足球25个，共花费4500元，已知B种品牌足球的单价比A种品牌足球的单价高30元． （1）求A、B两种品牌足球的单价各多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的足球50个，正逢体育用品商店“优惠促销”活动，A种品牌的足球单价优惠4元，B种品牌的足球单价打8折．如果此次学校购买A、B两种品牌足球的总费用不超过2750元，且购买B种品牌的足球不少于23个，则有几种购买方案？为了节约资金，学校应选择哪种方案？ 6．（2023秋•奉化区期末）春节前夕，某商店从厂家购进A、B两种礼盒，已知A、B两种礼盒的单价比为3：4，单价和为210元，该商店购进这两种礼盒恰好用去9900元． （1）求A、B两种礼盒的单价分别是多少元？ （2）若购进A种礼盒最多36个，B种礼盒的数量不超过A种礼盒数量的2倍，则有几种进货方案？ （3）根据市场行情，销售一个A种礼盒可获利12元，销售一个B种礼盒可获利18元．为奉献爱心，该店主决定每售出一个B种礼盒，为爱心公益基金捐款m元，每个A种礼盒的利润不变，要使礼盒全部售出后所有方案获利相同，m值是多少？此时店主获利多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！24 学科网（北京）股份有限公司 $$