专题突破：一元一次不等式常见题型分类专练（4大题型）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（浙教版）

专题突破：一元一次不等式常见题型分类专练 一、含参数类一元一次不等式（组）的整数解问题解题步骤： （1）解出不等式（组）的解集表达式； （2）在数轴上表示出不等式（组）的解集，确定参数所在表达式在哪两个相邻整数之间，得参数表达式的范围； （3）确定两个整数哪边可以取“=”； （4）解除参数所在的不等式 二、程序计算类问题解题方法 如运算n次停止运算，则需满足 三、方案类不等式组应用题解题步骤 （1）根据要求求出满足题意的未知数的取值范围； （2）在所求范围内取正整数，得对应方案 四、“分配与不足”类不等式问题解题步骤 （1）设“小量”，表“总量”； （2）依据不等量关系表示出“总量-前（n-1）的和”的范围； （3）解出对应不等式，取符合情况的整数解 题型一 含参数类一元一次不等式（组）的整数解问题 【例1】．（2024•瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2 【变式1-1】．（2023秋•义乌市期末）若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 　 　． 【变式1-2】．（2023秋•余杭区校级期中）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2 【变式1-3】．（2023秋•婺城区期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的（m，n）共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【变式1-4】．（2023•龙游县一模）对于任意实数m，n，定义一种新运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6＝2×6﹣2﹣6+3＝7，请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a≤2 B．﹣1≤a＜2 C．﹣4≤a＜﹣1 D．﹣4＜a≤﹣1 【变式1-5】．（2022秋•上城区校级期中）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是　 　． 【变式1-6】．（2023秋•萧山区月考）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是 　 　，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是 　 　． 【变式1-7】．（2023•鄞州区校级开学）对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n＝am﹣bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6＝5a﹣6b+5． （1）已知2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n＝n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 题型二 程序计算类问题 【例2】．（2023秋•镇海区校级期中）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A．x B． C． D．x＜6 【变式2-1】．（2023秋•德清县校级期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于58”为一次运算，若运算进行了3次停止，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2023秋•萧山区期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 　 　． 【变式2-3】．（2022秋•金华期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 　 　． 题型三 方案类不等式组的应用题 【例3】．（2022秋•婺城区期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元． （1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？ 【变式3-1】．（2023秋•下城区校级期中）双十一期间，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）．请解答下列问题： （1）甲、乙两种书包每个的售价各是多少元？ （2）已知甲种书包每个进价为25元，乙种书包每个进价为20元，该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，该网店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪一种方案获利最多？利润最多是多少元？ 【变式3-2】．（2023秋•宁海县期中）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，某校计划组织960名学生和45名老师开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载客180人． （1）一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？ （2）若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．该校计划一共租A，B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【变式3-3】．（2021春•西山区期末）为更好的治理水质，保护环境，市治污办事处预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表： A型 B型 价格（万元） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 询问商家得知：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，根据以上条件． （1）求a、b的值； （2）市污水处理办公室由于资金缺乏，购买污水处理设备的资金最多105万元，你认为该有几种购买方案？ （3）在（2）的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040吨，为节约资金，请你帮污水处理办事处选取一种最省钱的方案？ 【变式3-4】．（2023秋•诸暨市校级月考）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材． （1）七年一班准备统一购买新的足球和跳绳，请你根据图中班长和售货员的对话信息，分别求出每个足球和每根跳绳的售价； （2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球和跳绳10个，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 题型四 “分配与不足”类不等式的应用问题 【例4】．（2023秋•西湖区校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜x+12＜8 B．8＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜x+12＜8 【变式4-1】．（2023秋•东阳市期中）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（　　） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【变式4-2】．（2024春•临海市期中）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 　 　人． 【变式4-3】．（2023秋•温州期中）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题突破：一元一次不等式常见题型分类专练 一、含参数类一元一次不等式（组）的整数解问题解题步骤： （1）解出不等式（组）的解集表达式； （2）在数轴上表示出不等式（组）的解集，确定参数所在表达式在哪两个相邻整数之间，得参数表达式的范围； （3）确定两个整数哪边可以取“=”； （4）解除参数所在的不等式 二、程序计算类问题解题方法 如运算n次停止运算，则需满足 三、方案类不等式组应用题解题步骤 （1）根据要求求出满足题意的未知数的取值范围； （2）在所求范围内取正整数，得对应方案 四、“分配与不足”类不等式问题解题步骤 （1）设“小量”，表“总量”； （2）依据不等量关系表示出“总量-前（n-1）的和”的范围； （3）解出对应不等式，取符合情况的整数解 题型一 含参数类一元一次不等式（组）的整数解问题 【例1】．（2024•瓯海区模拟）已知关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2，则m的取值范围是（　　） A．﹣3＜m＜﹣2 B．﹣3＜m≤﹣2 C．﹣3≤m≤﹣2 D．﹣3≤m＜﹣2 【分析】先根据不等式的性质求出不等式的解集，再根据关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2得出答案即可． 【解答】解：x﹣m≥0， x≥m， ∵关于x的不等式x﹣m≥0的负整数解只有﹣1，﹣2， ∴m的取值范围是﹣3＜m≤﹣2． 故选：B． 【变式1-1】．（2023秋•义乌市期末）若关于x的不等式3x+2≤a的正整数解是1，2，3，4，则整数a的最小值是 　14　． 【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含a的式子表示，根据整数解的个数就可以确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于a的不等式，从而求出a的范围． 【解答】解：不等式的解集是：x≤， ∵不等式的正整数解恰是1，2，3，4， ∴4≤＜5， ∴a的取值范围是14≤a＜17． ∴整数a的最小值是14． 故答案为：14． 【变式1-2】．（2023秋•余杭区校级期中）若关于x的不等式组恰好有3个整数解，且关于y的方程的解是非负数，则符合条件的所有整数m之和是（　　） A．﹣6 B．﹣5 C．﹣3 D．﹣2 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算可得≤x＜4，再根据题意可得0＜≤1，从而求出﹣5＜m≤1，然后解方程可得y＝m+3，再根据题意可得m+3≥0，然后进行计算即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥， 解不等式②得：x＜4， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴0＜≤1， ∴﹣5＜m≤1， 由方程得， y﹣2＝m﹣2+3， 解得：y＝m+3， ∵方程的解是非负数， ∴m+3≥0， ∴m≥﹣3， 综上所述，﹣3≤m≤1， ∴符合条件的所有整数m的值为：﹣3，﹣2，﹣1，0，1， ∴符合条件的所有整数m的和为﹣5， 故选：B． 【变式1-3】．（2023秋•婺城区期末）已知关于x的不等式组的整数解为1，2（其中m，n为整数），则满足条件的（m，n）共有（　　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【分析】根据所给不等式组的整数解为1，2，得出m，n的取值范围，再根据m，n为整数即可解决问题． 【解答】解：解不等式x﹣m≥0得， x≥m； 解不等式3x﹣n＜0得， x＜； 因为不等式组的整数解为1，2， 所以0＜m≤1，且2＜， 则0＜m≤1，6＜n≤9． 又因为m，n为整数， 所以m＝1，n＝7，8，9， 所以满足条件的（m，n）共有3对． 故选：C． 【变式1-4】．（2023•龙游县一模）对于任意实数m，n，定义一种新运算m※n＝mn﹣m﹣n+3，等式的右边是通常的加减和乘法运算，例如：2※6＝2×6﹣2﹣6+3＝7，请根据上述定义解决问题：若a＜4※x＜8，且解集中有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣1＜a≤2 B．﹣1≤a＜2 C．﹣4≤a＜﹣1 D．﹣4＜a≤﹣1 【分析】根据m※n＝mn﹣m﹣n+3，用4替换m，x替换n．再利用不等式组的整数解为1，2，故0≤＜1．解不等式组即可． 【解答】解：根据题意，得4※x＝4x﹣4﹣x+3＝3x﹣1． ∴a＜3x﹣1＜8， 解得＜x＜3． ∵解集中有2个整数解， ∴0≤＜1， 解得﹣1≤a＜2． 故选：B． 【变式1-5】．（2022秋•上城区校级期中）关于x的不等式组有且只有3个整数解，则常数k的取值范围是　﹣3＜k≤﹣2　． 【分析】解两个不等式得出其解集，再根据不等式组整数解的情况列出关于k的不等式，解之即可． 【解答】解：解不等式4x﹣3≥2x﹣5，得：x≥﹣1， 解不等式x+2＜k+6，得：x＜k+4， ∵不等式组只有3个整数解， ∴不等式组的整数解为﹣1、0、1， 则1＜k+4≤2， 解得﹣3＜k≤﹣2， 故答案为：﹣3＜k≤﹣2． 【变式1-6】．（2023秋•萧山区月考）若不等式组，若不等式组有解，则a的取值范围是 　a＞﹣1　，若不等式组刚好有两个整数解，则a的取值范围是 　1≤a＜2　． 【分析】先将不等式组化简求出取值范围，然后根据解的情况可求得结果． 【解答】解：不等式组整理得：， 解得：﹣a≤x＜1， 若不等式有解，则﹣a＜1，即a＞﹣1， 若不等式刚好有两个整数解，得到两个整数解为：0，﹣1， 此时﹣2＜﹣a≤﹣1，解得1≤a＜2， 故答案为：a＞﹣1；1≤a＜2． 【变式1-7】．（2023•鄞州区校级开学）对m、n定义一种新运算“▽”，规定：m▽n＝am﹣bn+5（其中a、b均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：5▽6＝5a﹣6b+5． （1）已知2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10． ①求a、b的值； ②若关于x的不等式组有且只有两个整数解，求字母t的取值范围； （2）若运算“▽”满足加法交换律，即对于我们所学过的任意数m、n，结论“m▽n＝n▽m”都成立，试探究a、b应满足的关系． 【分析】（1）①根据已知新运算得出方程组，求出方程组的解即可； ②先根据运算得出不等式组，求出每个不等式的解集，根据已知得出关于t的不等式组，求出解集即可； （2）根据新运算得出等式，整理后即可得出答案． 【解答】解：（1）①∵2▽3＝1，3▽（﹣1）＝10， ∴， 解得：a＝1，b＝2； ②∵，a＝1，b＝2， ∴xa﹣（2x﹣3）b+5＝﹣3x+11＜9， 3xa﹣（﹣6）b+5＝3x+17≤t， 即， 解得：， ∵关于x的不等式组，有且只有两个整数解， ∴2≤＜3， 解得：23≤t＜26， 即字母t的取值范围是23≤t＜26； （2）∵m▽n＝n▽m， ∴ma﹣nb+5＝na﹣mb+5， ∴ma﹣nb﹣na+mb＝0， ∴m（a+b）﹣n（a+b）＝0， ∴（a+b）（m﹣n）＝0， ∵m、n为任意数， ∴m﹣n不一定等于0， ∴a+b＝0， 即a、b所应满足的关系式是a+b＝0． 题型二 程序计算类问题 【例2】．（2023秋•镇海区校级期中）运行程序如图所示，从“输入实数x“到“结果是否＞18“为一次程序操作，若输入x后程序操作进行了两次就停止，则x的取值范围是（　　） A．x B． C． D．x＜6 【分析】根据运行程序，第一次运算结果小于等于18，第二次运算结果大于18列出不等式组，然后求解即可． 【解答】解：由题意得， 解不等式①得x≤8， 解不等式②得，x＞， 则x的取值范围是＜x≤8． 故选：B． 【变式2-1】．（2023秋•德清县校级期中）如图，按下面的程序进行运算，规定：程序运行到“判断结果是否大于58”为一次运算，若运算进行了3次停止，则x的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据第二次运算结果不大于58且第三次运算结果大于58，列出关于x的一元一次不等式组，解出不等式组，得到答案． 【解答】解：由题意得： ， 解得：， 故选：A． 【变式2-2】．（2023秋•萧山区期中）一个运算程序，若需要经过2次运算才能输出结果，则x的取值范围为 　1≤x＜7　． 【分析】根据“程序运行1次得出的结果＜37，运行2次得出的结果≥37”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【解答】解：根据题意得：， 解得：1≤x＜7， ∴x的取值范围为1≤x＜7． 故答案为：1≤x＜7． 【变式2-3】．（2022秋•金华期末）运行程序如图所示，规定：从“输入一个值x”到“结果是否＞94”为一次程序操作，如果程序操作进行了三次才停止，那么x的取值范围是 　3＜x≤10　． 【分析】根据程序操作进行了三次才停止，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可求出x的取值范围． 【解答】解：依题意得：， 解得：3＜x≤10， ∴x的取值范围是3＜x≤10． 故答案为：3＜x≤10． 题型三 方案类不等式组的应用题 【例3】．（2022秋•婺城区期末）为更好地推进生活垃圾分类工作，改善城市生态环境，某小区准备购买A、B两种型号的垃圾箱，通过对市场调研得知：购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元． （1）求每个A型垃圾箱和每个B型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买A、B两种型号的垃圾箱共20个，且A型号垃圾箱个数不多于B型垃圾箱个数的3倍，则该小区购买A、B两种型号垃圾箱的方案有哪些？ 【分析】（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买B型垃圾箱m个，则购买A型垃圾箱（20﹣m）个，根据“购买3个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需390元，购买2个A型垃圾箱比购买1个B型垃圾箱少用20元”列出不等式组，求出m的范围，可得出答案． 【解答】解：（1）设每个A型垃圾箱x元，每个B型垃圾箱y元． 依题意，得：， 解得：． 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元； （2）设购买m个B型垃圾箱，则购买（20﹣m）个A型垃圾箱． 依题意，得：， 解得：5≤m≤． 又m为整数，m可以为5，6，7， ∴有3种购买方案：方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱； 方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱； 方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱． 【变式3-1】．（2023秋•下城区校级期中）双十一期间，某网店销售甲、乙两种书包，已知甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）．请解答下列问题： （1）甲、乙两种书包每个的售价各是多少元？ （2）已知甲种书包每个进价为25元，乙种书包每个进价为20元，该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个，该网店有哪几种进货方案？ （3）在（2）的条件下，采用哪一种方案获利最多？利润最多是多少元？ 【分析】（1）设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元，根据“甲种书包每个的售价比乙种书包每个的售价多6元，小成在该网店购买2个甲种书包和3个乙种书包共花费132元（免运费）”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m个甲种书包，则购进（100﹣m）个乙种书包，根据“该网店决定用不超过2275元购进甲、乙两种书包共100个，且甲种书包的数量超过52个”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各进货方案； （3）利用总利润＝每个甲种书包的销售利润×购进甲种书包的数量+每个乙种书包的销售利润×购进乙种书包的数量，可求出采用各方案可获得的总利润，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设甲种书包每个的售价是x元，乙种书包每个的售价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：甲种书包每个的售价是30元，乙种书包每个的售价是24元； （2）设购进m个甲种书包，则购进（100﹣m）个乙种书包， 根据题意得：， 解得：52＜m≤55， 又∵m为正整数， ∴m可以为53，54，55， ∴该网店共有3种进货方案， 方案1：购进53个甲种书包，47个乙种书包； 方案2：购进54个甲种书包，46个乙种书包； 方案3：购进55个甲种书包，45个乙种书包； （3）采用方案1获得的总利润为（30﹣25）×53+（24﹣20）×47＝453（元）； 采用方案2获得的总利润为（30﹣25）×54+（24﹣20）×46＝454（元）； 采用方案3获得的总利润为（30﹣25）×55+（24﹣20）×45＝455（元）． ∵453＜454＜455， ∴在（2）的条件下，采用方案3获利最多，利润最多是455元． 【变式3-2】．（2023秋•宁海县期中）四季莫负春光日，人生不负少年时！为了体验成长，收获快乐，某校计划组织960名学生和45名老师开展以“欢乐嘉年华，挑战致青春”为主题的研学活动．租车公司有A，B两种型号的客车可以租用，已知1辆A型车和1辆B型车可以载客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载客180人． （1）一辆A型车和一辆B型车分别可以载多少乘客？ （2）若一辆A型车的租金为320元，一辆B型车的租金为400元．该校计划一共租A，B两种型号的客车25辆，在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，学校可以选择哪几种租车方案？ 【分析】（1）设一辆A型车和一辆B型车分别可以载乘客的人数为x，y，根据1辆A型车和1辆B型车可以载乘客75人，3辆A型车和2辆B型车可以载乘客180人，列出方程组，进行求解即可； （2）设租A型号的客车a辆，则租用B型号的客车（25﹣a）辆，根据在保证将全部师生送达目的地的前提下租车费用不超过9550元，列出不等式组进行求解即可． 【解答】解：（1）设一辆A型车可以载x个乘客，一辆B型车可以载y个乘客， 由题意得：， 解得， ∴一辆A型车和一辆B型车分别可以载30人和45人． （2）设A型车租a辆，则租用B型车（25﹣a）辆， 由题意得：， 解得， ∵a为整数， ∴a可以取：6，7，8， ∴共有三种租车方案：A型车租6辆，B型车租19辆， A型车租7辆，B型车租18辆； A型车租8辆，B型车租17辆． 【变式3-3】．（2021春•西山区期末）为更好的治理水质，保护环境，市治污办事处预购买10台污水处理设备，现有A、B两种型号的设备，其中价格及污水处理量如下表： A型 B型 价格（万元） a b 处理污水量（吨/月） 240 200 询问商家得知：购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，根据以上条件． （1）求a、b的值； （2）市污水处理办公室由于资金缺乏，购买污水处理设备的资金最多105万元，你认为该有几种购买方案？ （3）在（2）的情况下，若每月污水处理量要求不低于2040吨，为节约资金，请你帮污水处理办事处选取一种最省钱的方案？ 【分析】（1）因为购买一台A型设备比购买一台B型设备多2万元，购买2台A型设备比购买3台B型设备少6万元，所以有，解之即可； （2）可设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，则有12x+10（10﹣x）≤105，解之确定x的值，即可确定方案； （3）因为每月要求处理洋澜湖的污水量不低于2040吨，所以有240x+200（10﹣x）≥2040，解之即可由x的值确定方案，然后进行比较，作出选择． 【解答】解：（1）根据题意得， 解得． （2）设购买污水处理设备A型设备x台，B型设备（10﹣x）台，根据题意得， 12x+10（10﹣x）≤105， ∴x≤2.5， ∵x取非负整数， ∴x＝0，1，2， ∴10﹣x＝10，9，8， ∴有三种购买方案： ①A型设备0台，B型设备10台； ②A型设备1台，B型设备9台； ③A型设备2台，B型设备8台． （3）由题意：240x+200（10﹣x）≥2040， ∴x≥1， 又∵x≤2.5， ∴x为1，2． 当x＝1时，购买资金为12×1+10×9＝102（万元）， 当x＝2时，购买资金为12×2+10×8＝104（万元）， ∵102＜104， ∴为了节约资金，应选购A型设备1台，B型设备9台． 【变式3-4】．（2023秋•诸暨市校级月考）为更好地落实“双减”要求，提高课后延时服务质量，某校根据学校实际，决定增设更多运动课程，让更多学生参加体育锻炼，各班自主选择购买两种体育器材． （1）七年一班准备统一购买新的足球和跳绳，请你根据图中班长和售货员的对话信息，分别求出每个足球和每根跳绳的售价； （2）由于足球和跳绳需求量增大，该体育用品商店计划再次购进足球和跳绳10个，合计费用不超过650元，其中足球至少购进3个，则有哪几种购进方案？并求出每种方案所花的费用． 【分析】（1）设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意，列出方程组，即可求解； （2）设再次购进足球m个，则购进跳绳（10﹣m）根，根据费用不超过650元，其中足球至少购进3个，再列不等式组即可． 【解答】（1）解：设足球的单价为x元，跳绳单价为y元，根据题意得： ， 解得：， 答：足球单价为100元，跳绳单价为20元； （2）设再次购进足球m个，则购进跳绳（10﹣m）根，则 ， 解得：， ∵m为整数， ∴m＝3或m＝4或m＝5； ∴有三种方案： ①购进足球3个，跳绳7根，费用为100×3+20×7＝440（元）， ②购进足球4个，跳绳6根，费用为100×4+20×6＝520（元）， ③购进足球5个，跳绳5根，费用为100×5+20×5＝600（元）． 题型四 “分配与不足”类不等式的应用问题 【例4】．（2023秋•西湖区校级期中）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为（　　） A．8（x﹣1）＜x+12＜8 B．8＜5x+12＜8x C．0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8 D．8x＜x+12＜8 【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有（5x+12）个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数5x+12﹣8（x﹣1）大于0，并且小于8，然后即可列出相应的不等式组． 【解答】解：设有x人，则苹果有（5x+12）个， 由题意得：0＜5x+12﹣8（x﹣1）＜8， 故选：C． 【变式4-1】．（2023秋•东阳市期中）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵．则同学人数为（　　） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【分析】设该小组共有x人，则共植树（7x+9）棵，根据“若每人平均植树9棵，则有1位同学有植树但植树棵数不到3棵”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论． 【解答】解：设该小组共有x人，则共植树（7x+9）棵， 根据题意得：， 解得：＜x＜9， 又∵x为正整数， ∴x＝8， ∴该小组共有8人． 故选：A． 【变式4-2】．（2024春•临海市期中）我校学生会计划组织初一学生给某边远山区小学生捐赠书籍，已经筹到图书若干．若每位小学生2本书，则余7本；若前面每人分5本，则除了有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本．则共有小学生 　5　人． 【分析】设出未知数，找出不等关系：有一个小学生分不到书籍外，还有一个小学生得到的书不足4本，据此列出不等式组求解即可． 【解答】解：设有小学生x个，根据题意得： 2x+7−5（x−2）＜4， 解得：x＜， ∵x为整数， ∴x＝5， ∴共有小学生5人． 故答案为：5． 【变式4-3】．（2023秋•温州期中）某校科技馆位于一楼的活动室比二楼的活动室少5间，某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，该科技馆位于一楼的活动室数为 　10间　． 【分析】设该科技馆位于一楼的活动室数为x间，则二楼的活动室为（x+5）间，根据某班48人分组展开活动，若全安排在一楼，每间4人，活动室不够，每间5人，则有些活动室坐不满；若全安排在二楼，每间3人，活动室不够，每间4人，则有些活动室坐不满，列出一元一次不等式组，解不等式组，即可解决问题． 【解答】解：设该科技馆位于一楼的活动室数为x间，则二楼的活动室为（x+5）间， 依题意得：， 由①得：9.6＜x＜12③， 由②得：7＜x＜11④， 由③、④知，9.6＜x＜11， ∵x为正整数， ∴x＝10， 即该科技馆位于一楼的活动室数为10间， 故答案为：10间． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！3 学科网（北京）股份有限公司 $$